[측도론] 6-2 Lp공간의 쌍대공간(1)

[측도론] 6-2 Lp공간의 쌍대공간(1)

$\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $g\in L^{q}$라고 하자. 다음과 같이 정의된 선형범함수 $\phi_{g}$는 $$\phi_{g}(f)=\int_{X}{fgd\mu}$$ 횔더 부등식에 의해 $L^{p}$에서 유계선형범함수이고 $\phi_{g}$의 연산자 노름의 최댓값은 $\|g\|_{q}$이다.($p=2$인 경우는 $\displaystyle\phi_{g}(f)=\int_{X}{f\overline{g}d\mu}$이다) 

사상 $g\,\rightarrow\,\phi_{g}$는 거의 항상 $L^{q}$에서 $(L^{p})^{*}$로의 등거리가 된다.  

6.13 $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $1\leq q<\infty$라고 하자. $g\in L^{q}$이면 다음이 성립하고 $$\|g\|_{q}=\|\phi_{g}\|=\sup_{\|f\|=1}{\left|\int_{X}{fgd\mu}\right|}$$ $\mu$가 반 유한이면, $q=\infty$일 때 위의 등식이 성립한다.  

증명: 횔더 부등식에 의해 $$|\phi_{g}(f)|\leq\int_{X}{|fg|d\mu}\leq\|f\|_{p}\|g\|_{q}$$ 이므로 $\|\phi_{g}\|\leq\|g\|_{q}$이고 $g=0\,a.e.$이면 등식이 성립함은 자명하다. $g\neq0$이고 $q<\infty$이면 $f$를 다음과 같이 정의하자. $$f=\frac{|g|^{q-1}\overline{\text{sgn}g}}{\|g\|_{q}^{q-1}}$$ 그러면 $$\|f\|_{p}^{p}=\frac{1}{\|g\|_{q}^{(q-1)p}}\int_{X}{|g|^{(q-1)p}d\mu}=\left(\int_{X}{|g|^{q}d\mu}\right)^{-1}\left(\int_{X}{|g|^{q}d\mu}\right)=1$$ 이고 $$\|\phi_{g}\|\geq\int_{X}{fgd\mu}=\frac{1}{\|g\|_{q}^{q-1}}\int_{X}{|g|^{q}d\mu}=\|g\|_{q}$$ ($q=1$이면 $f=\overline{\text{sgn}g}$, $\|f\|_{\infty}=1$, $\displaystyle\int_{X}{fgd\mu}=\|g\|_{1}$)이므로 $\|\phi_{g}\|=\|g\|_{q}$이다.    

$q=\infty$이면 $\epsilon>0$에 대하여 $A=\{x\,|\,|g(x)|>\|g\|_{\infty}-\epsilon\}$라 하자. 그러면 $\mu(A)>0$이고 $\mu$가 반 유한이면 $B\subset A$가 존재해서 $0<\mu(B)<\infty$이다. $\displaystyle f=\frac{\chi_{B}\overline{\text{sgn}g}}{\mu(B)}$라 하면 $\|f\|_{1}=1$이고 $$\|\phi_{g}\|\geq\int_{X}{fgd\mu}=\frac{1}{\mu(B)}\int_{B}{|g|d\mu}\geq\|g\|_{\infty}-\epsilon$$ 가 되는데 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $\|\phi_{g}\|=\|g\|_{\infty}$이다.   

역으로 $\displaystyle f\,\rightarrow\,\int_{X}{fgd\mu}$가 $L^{p}$에서 유계선형범함수이면, 거의 모든 경우에 대해 $g\in L^{q}$이다.  

6.14 $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 유한측도집합 바깥에서 소멸하는 단순함수들의 공간을 $\Sigma$라고 하자. $g$가 $X$상의 가측함수이고 $\mu$는 반 유한측도, 모든 $f\in\Sigma$에 대해 $fg\in L^{1}$, $$M_{q}(g)=\sup\left\{\left|\int_{X}{fgd\mu}\right|\,|\,f\in\Sigma,\,\text{and}\,\|f\|_{p}=1\right\}<\infty$$ 이면, $g\in L^{q}$이고 $M_{q}(g)=\|g\|_{q}$이다.  

증명: 

(i) $q<\infty$일 때 $\mu$를 $\sigma-$유한이라고 하자. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\{E_{n}\}$을 $E_{n}\subset E_{n+1}$ $\mu(E_{n})<\infty$, $\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$인 집합열, $\{\phi_{n}\}$을 $g$로 점별수렴하는 단순함수열로 $|\phi_{n}|\leq|g|$라고 하자. $g_{n}=\phi_{n}\chi_{E_{n}}$이라 하면 $g$로 점별수렴하고 $|g_{n}|\leq|g|$, $g_{n}\in\Sigma$이다. $$f_{n}=\frac{|g_{n}|^{q-1}\overline{\text{sgn}g}}{\|g_{n}\|_{q}^{q-1}}$$ 라고 하면 6.13의 증명과 같이 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\|f_{n}\|_{p}=1$이고 파투의 보조정리에 의해 $$\begin{align*}\|g\|_{q}&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\|g_{n}\|_{q}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{|f_{n}g_{n}|d\mu}}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{|f_{n}g|d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}gd\mu}}\\&\leq M_{q}(g)\,\left(\int_{X}{|f_{n}g_{n}|d\mu}=\int_{X}{\|g_{n}\|_{q}^{1-q}|g_{n}|^{q}d\mu}=\|g_{n}\|_{q}\right)\end{align*}$$ 이다. $\mu$가 $\sigma-$유한이 아니면 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle\mu\left(\left\{x\,|\,|g(x)|>\frac{1}{n}\right\}\right)<\infty$이다. $\displaystyle\mu\left(\left\{x\,|\,|g(x)|>\frac{1}{n}\right\}\right)=\infty$이면 $\mu$가 반 유한측도이므로 가측집합 $\displaystyle A\subset\left\{x\,|\,|g(x)|>\frac{1}{n}\right\}$가 존재해서 $\mu(A)$의 값을 임의로 정할 수 있다.

($\because$ $\mu$가 반 유한측도, $\mu(E)=\infty$이면, 임의의 $C>0$에 대하여 $F\subset E$가 존재해서 $C<\mu(F)<\infty$이다. 이것을 보이자 $$\alpha=\sup_{F\in\mathcal{F}}{\mu(F)}\,\left(\mathcal{F}=\left\{F\in\mathcal{M}\,|\,F\subset E,\,\mu(F)<\infty\right\}\right)$$ 라고 하자. $\mu$가 반 유한이므로 $\alpha>0$이고 $\alpha=\infty$임을 보이자. $0<\alpha<\infty$이면, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $F_{n}\in\mathcal{F}$이 존재해서 $\displaystyle\mu(F_{n})\geq\alpha-\frac{1}{n}$이고 $\mu$의 가산준가법성에 의해 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}\in\mathcal{F}$이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다. $$\alpha-\frac{1}{n}\leq\mu(F_{n})\leq\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}\leq\alpha\right)$$ $\displaystyle F=\bigcup_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\subset E$에 대하여 $\displaystyle\mu(F)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}\right)}=\alpha$이고 $F\in\mathcal{F}$이다. 그러나 $\mu(E-F)=\infty$이고 $\mu$는 반 유한측도이므로 $F'\subset E-F$이 존재해서 $0<\mu(F')<\infty$이고 $F\cup F'\in\mathcal{F}$, $\mu(F\cup F')=\alpha+\mu(F')>\alpha$이므로 $\alpha$의 정의에 모순이다.)

$f=\{\mu(A)\}^{-\frac{1}{p}}\chi_{A}\overline{\text{sgn}g}$라 하면 $f\in\Sigma$이고 $\|f\|_{p}=1$, $$\frac{1}{n}\{\mu(A)\}^{\frac{1}{q}}=\frac{1}{n}\{\mu(A)\}^{1-\frac{1}{p}}<\|fg\|_{1}\leq M_{q}(g)$$ 가 되는데 $\mu(A)$를 임의로 크게 선택할 수 있으므로 $M_{q}(g)$에 모순이다. 따라서 $\displaystyle B=\{x\,|\,g(x)\neq0\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left\{x\,|\,|g(x)|>\frac{1}{n}\right\}}$는 $\sigma-$유한이다. $\mu$가 $\sigma-$유한이면 앞의 결과로부터 $\|g\|_{q}=\|g|_{B}\|\leq M_{q}(g)$이고 횔더 부등식에 의해 $M_{q}(g)\leq\|g\|_{q}$이므로 따라서 $q<\infty$일 때 $M_{q}(g)=\|g\|_{q}$이다.    

(ii) $q=\infty$일 때 $\epsilon>0$에 대해 $A=\{x\,|\,|g(x)|\geq M_{\infty}(g)+\epsilon\}$라 하자. $\mu(A)>0$이면 가측집합 $B\subset A$를 선택해서 $0<\mu(B)<\infty$가 되게 할 수 있다. $\displaystyle f=\frac{\overline{\text{sgn}g}}{\mu(B)}\chi_{B}$라 하면 $\|f\|_{1}=1$이고 $$M_{\infty}(g)\geq\int_{X}{fgd\mu}\geq M_{\infty}(g)+\epsilon$$ 이 되는데 이것은 모순이다. 따라서 $\|g\|_{\infty}\leq M_{\infty}(g)$이고 6.6 a에 의해 $\|g\|_{\infty}\geq M_{\infty}(g)$이므로 $q=\infty$일 때 $M_{\infty}(g)=\|g\|_{\infty}$이다. 

* $f$가 유한측도집합 $E$ 바깥에서 사라지는 유계가측함수이고 $\|f\|_{p}=1$이면, $\displaystyle\|\int_{X}{fgd\mu}\|\leq M_{q}(g)$이다. 2.10에 의해 단순함수열 $\{f_{n}\}$이 존재해서 $|f_{n}|\leq|f|$, $f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.$($f_{n}$은 $E$ 바깥에서 소멸한다)이고 $|f_{n}|\leq\|f\|_{\infty}\chi_{E}$, $\chi_{E}g\in L^{1}$이므로 지배수렴정리에 의해 $\displaystyle\left|\int_{X}{fgd\mu}\right|=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\int_{X}{f_{n}gd\mu}\right|}\leq M_{q}(g)$이다.

6.15 $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$이라고 하자. $1<p<\infty$이면, 모든 $\phi\in(L^{p})^{*}$에 대해 $g\in L^{q}$가 존재해서 모든 $f\in L^{p}$에 대해 $\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu}$이고 따라서 $L^{q}$는 $(L^{p})^{*}$와 등거리적 동형(isometrically isomorphic)이다. $\mu$가 $\sigma-$유한이면, $p=1$일 때도 성립한다.  

증명: 

(i) $\mu$를 유한측도라 하여 모든 단순함수들이 $L^{p}$에 속한다고 하자. $\phi\in(L^{p})^{*}$이고 $E$를 가측집합이라 하면, $\nu(E)=\phi(\chi_{E})$라 하자. 임의의 서로소인 $\{E_{i}\}$에 대하여 $\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$라 하면 $\displaystyle\chi_{E}=\sum_{i=1}^{\infty}{\chi_{E_{i}}}$이고 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\left\|\chi_{E}-\sum_{i=1}^{n}{\chi_{E_{i}}}\right\|_{p}=\left\|\sum_{i=n+1}^{\infty}{\chi_{E_{i}}}\right\|=\left\{\mu\left(\bigcup_{i=n+1}^{\infty}{E_{i}}\right)\right\}^{\frac{1}{p}}\,\rightarrow\,0$$ 이므로 $\displaystyle\chi_{E}=\sum_{i=1}^{\infty}{\chi_{E_{i}}}$는 $L^{p}$노름에서 수렴한다. 따라서 $\phi$가 선형이고 연속이므로 $\displaystyle\nu(E)=\sum_{i=1}^{\infty}{\phi(\chi_{E_{i}})}=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E_{i})}$이고 $\nu$는 복소측도이고 또한 $\mu(E)=0$이면 $\chi_{E}=0\in L^{p}$이므로 $\nu(E)=0$이다. 이것은 $\nu\ll\mu$를 뜻하고 라돈-니코딤 정리에 의해 $g\in L^{1}(\mu)$가 존재해서 모든 $E$에 대해 $\displaystyle\phi(\chi_{E})=\nu(E)=\int_{E}{gd\mu}$이고 따라서 모든 $f\in L^{p}$에 대해 $\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu}$이다. 게다가 $\displaystyle\left|\int_{X}{fgd\mu}\right|\leq\|\phi\|\|f\|_{p}$이므로 6.14에 의해 $g\in L^{q}$이고 6.5에 의해 모든 $f\in L^{p}$에 대해 $\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu}$이다. 

(ii) $\mu$를 $\sigma-$유한측도라 하고 $\{E_{n}\}$을 $E_{n}\subset E_{n+1}$, $0<\mu(E_{n})<\infty$, $\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$인 집합열, $L^{p}(E)$와 $L^{q}(E)$를 $E_{n}$바깥에서 사라지는 함수($f\chi_{E}$)들로 구성된 $L^{p}(X)$, $L^{q}(X)$의 부분공간이라 하자. (i)에 의해 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $g_{n}\in L^{q}(E_{n})$가 존재해서 모든 $f\in L^{p}(E_{n})$에 대해 다음이 성립한다. $$\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu},\,\|g_{n}\|_{q}=\|\phi|_{L^{p}(E_{n})}\|\leq\|\phi\|$$ $m>n$이라 하자. $f\in L^{p}(E_{m})$에 대해 $\displaystyle\phi(f\chi_{E_{m}})=\int_{E_{m}}{fg_{m}d\mu}=\int_{E_{n}}{fg_{n}d\mu}$이므로 $E_{n}$에서 $g_{m}=g_{n}\,a.e.$이고 따라서 $E_{n}$에서 $g=g_{n}$이라 할 수 있다. 단조수렴정리에 의해 $\|g\|_{q}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|g_{n}\|_{q}}\leq\|\phi\|$이므로 $g\in L^{q}$이고 $f\in L^{p}$이면 지배수렴정리에 의해 $L^{p}$노름에서 $f\chi_{E_{n}}\,\rightarrow\,f$이고 따라서 다음의 식이 성립한다. $$\phi(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\phi(f\chi_{E_{n}})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fgd\mu}}=\int_{X}{fgd\mu}$$

(iii) $\mu$를 임의의 측도, $p>1\,(q<\infty)$이라고 하자. (ii)에서처럼 모든 $\sigma-$유한집합 $E\subset X$에 대해 $g_{E}\in L^{q}(E)$가 존재해서 모든 $f\in L^{p}(E)$에 대해 $\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu}$이고 $\|g_{E}\|_{q}$이다. $F$가 $\sigma-$유한이고 $E\subset F$이면 $E$에서 $g_{F}=g_{E}\,a.e.$이므로 $\|g_{F}\|_{q}\geq\|g_{E}\|_{q}$이다. $\displaystyle M=\sup\{\|g_{E}\|\,|\,E\,\sigma-\text{finite}\}$이라 하면 $M\leq\|\phi\|$이고 $\{E_{n}\}$을 $\|g_{E_{n}}\|_{q}\,\rightarrow\,M$인 $\sigma-$유한집합열, $\displaystyle F=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$이라 하자. 그러면 $F$는 $\sigma-$유한이고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다. $$\|g_{F}\|_{q}\geq\|g_{E_{n}}\|_{q},\,\|g_{F}\|_{q}=M$$ $A$를 $F$를 포함하는 $\sigma-$유한집합이라고 하면 $$\int_{X}{|g_{F}|^{q}d\mu}+\int_{X}{|g_{A-F}|^{q}d\mu}=\int_{X}{|g_{A}|^{q}d\mu}\leq M^{q}=\int_{X}{|g_{F}|^{q}d\mu}$$ 이고 따라서 $g_{A-F}=0$, $g_{A}=g_{E}\,a.e.$이다. $f\in L^{p}$이면 $A=F\cup\{x\,|\,f(x)\neq0\}$는 $\sigma-$유한이므로 $\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fg_{A}d\mu}=\int_{X}{fg_{F}d\mu}$이고 따라서 $g=g_{F}$라고 하면 된다. 6.14에 의해 $\phi\,\mapsto\,g$는 등거리적 동형사상이다.

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사