[측도론] 6-2 Lp공간의 쌍대공간(1)

[측도론] 6-2 Lp공간의 쌍대공간(1)

\(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), \(g\in L^{q}\)라고 하자. 다음과 같이 정의된 선형범함수 \(\phi_{g}\)는$$\phi_{g}(f)=\int_{X}{fgd\mu}$$횔더 부등식에 의해 \(L^{p}\)에서 유계선형범함수이고 \(\phi_{g}\)의 연산자 노름의 최댓값은 \(\|g\|_{q}\)이다.(\(p=2\)인 경우는 \(\displaystyle\phi_{g}(f)=\int_{X}{f\overline{g}d\mu}\)이다) 

사상 \(g\,\rightarrow\,\phi_{g}\)는 거의 항상 \(L^{q}\)에서 \((L^{p})^{*}\)로의 등거리가 된다.  

6.13 \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), \(1\leq q<\infty\)라고 하자. \(g\in L^{q}\)이면 다음이 성립하고$$\|g\|_{q}=\|\phi_{g}\|=\sup_{\|f\|=1}{\left|\int_{X}{fgd\mu}\right|}$$\(\mu\)가 반 유한이면, \(q=\infty\)일 때 위의 등식이 성립한다.  

증명: 횔더 부등식에 의해$$|\phi_{g}(f)|\leq\int_{X}{|fg|d\mu}\leq\|f\|_{p}\|g\|_{q}$$이므로 \(\|\phi_{g}\|\leq\|g\|_{q}\)이고 \(g=0\,a.e.\)이면 등식이 성립함은 자명하다. \(g\neq0\)이고 \(q<\infty\)이면 \(f\)를 다음과 같이 정의하자.$$f=\frac{|g|^{q-1}\overline{\text{sgn}g}}{\|g\|_{q}^{q-1}}$$그러면$$\|f\|_{p}^{p}=\frac{1}{\|g\|_{q}^{(q-1)p}}\int_{X}{|g|^{(q-1)p}d\mu}=\left(\int_{X}{|g|^{q}d\mu}\right)^{-1}\left(\int_{X}{|g|^{q}d\mu}\right)=1$$이고$$\|\phi_{g}\|\geq\int_{X}{fgd\mu}=\frac{1}{\|g\|_{q}^{q-1}}\int_{X}{|g|^{q}d\mu}=\|g\|_{q}$$(\(q=1\)이면 \(f=\overline{\text{sgn}g}\), \(\|f\|_{\infty}=1\), \(\displaystyle\int_{X}{fgd\mu}=\|g\|_{1}\))이므로 \(\|\phi_{g}\|=\|g\|_{q}\)이다.    

\(q=\infty\)이면 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(A=\{x\,|\,|g(x)|>\|g\|_{\infty}-\epsilon\}\)라 하자. 그러면 \(\mu(A)>0\)이고 \(\mu\)가 반 유한이면 \(B\subset A\)가 존재해서 \(0<\mu(B)<\infty\)이다. \(\displaystyle f=\frac{\chi_{B}\overline{\text{sgn}g}}{\mu(B)}\)라 하면 \(\|f\|_{1}=1\)이고$$\|\phi_{g}\|\geq\int_{X}{fgd\mu}=\frac{1}{\mu(B)}\int_{B}{|g|d\mu}\geq\|g\|_{\infty}-\epsilon$$가 되는데 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\|\phi_{g}\|=\|g\|_{\infty}\)이다.   

역으로 \(\displaystyle f\,\rightarrow\,\int_{X}{fgd\mu}\)가 \(L^{p}\)에서 유계선형범함수이면, 거의 모든 경우에 대해 \(g\in L^{q}\)이다.  

6.14 \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), 유한측도집합 바깥에서 소멸하는 단순함수들의 공간을 \(\Sigma\)라고 하자. \(g\)가 \(X\)상의 가측함수이고 \(\mu\)는 반 유한측도, 모든 \(f\in\Sigma\)에 대해 \(fg\in L^{1}\),$$M_{q}(g)=\sup\left\{\left|\int_{X}{fgd\mu}\right|\,|\,f\in\Sigma,\,\text{and}\,\|f\|_{p}=1\right\}<\infty$$이면, \(g\in L^{q}\)이고 \(M_{q}(g)=\|g\|_{q}\)이다.  

증명: 

(i) \(q<\infty\)일 때 \(\mu\)를 \(\sigma-\)유한이라고 하자. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\{E_{n}\}\)을 \(E_{n}\subset E_{n+1}\) \(\mu(E_{n})<\infty\), \(\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)인 집합열, \(\{\phi_{n}\}\)을 \(g\)로 점별수렴하는 단순함수열로 \(|\phi_{n}|\leq|g|\)라고 하자. \(g_{n}=\phi_{n}\chi_{E_{n}}\)이라 하면 \(g\)로 점별수렴하고 \(|g_{n}|\leq|g|\), \(g_{n}\in\Sigma\)이다.$$f_{n}=\frac{|g_{n}|^{q-1}\overline{\text{sgn}g}}{\|g_{n}\|_{q}^{q-1}}$$라고 하면 6.13의 증명과 같이 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\|f_{n}\|_{p}=1\)이고 파투의 보조정리에 의해$$\begin{align*}\|g\|_{q}&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\|g_{n}\|_{q}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{|f_{n}g_{n}|d\mu}}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{|f_{n}g|d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}gd\mu}}\\&\leq M_{q}(g)\,\left(\int_{X}{|f_{n}g_{n}|d\mu}=\int_{X}{\|g_{n}\|_{q}^{1-q}|g_{n}|^{q}d\mu}=\|g_{n}\|_{q}\right)\end{align*}$$이다. \(\mu\)가 \(\sigma-\)유한이 아니면 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\displaystyle\mu\left(\left\{x\,|\,|g(x)|>\frac{1}{n}\right\}\right)<\infty\)이다. \(\displaystyle\mu\left(\left\{x\,|\,|g(x)|>\frac{1}{n}\right\}\right)=\infty\)이면 \(\mu\)가 반 유한측도이므로 가측집합 \(\displaystyle A\subset\left\{x\,|\,|g(x)|>\frac{1}{n}\right\}\)가 존재해서 \(\mu(A)\)의 값을 임의로 정할 수 있다.

(\(\because\) \(\mu\)가 반 유한측도, \(\mu(E)=\infty\)이면, 임의의 \(C>0\)에 대하여 \(F\subset E\)가 존재해서 \(C<\mu(F)<\infty\)이다. 이것을 보이자$$\alpha=\sup_{F\in\mathcal{F}}{\mu(F)}\,\left(\mathcal{F}=\left\{F\in\mathcal{M}\,|\,F\subset E,\,\mu(F)<\infty\right\}\right)$$라고 하자. \(\mu\)가 반 유한이므로 \(\alpha>0\)이고 \(\alpha=\infty\)임을 보이자. \(0<\alpha<\infty\)이면, 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(F_{n}\in\mathcal{F}\)이 존재해서 \(\displaystyle\mu(F_{n})\geq\alpha-\frac{1}{n}\)이고 \(\mu\)의 가산준가법성에 의해 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}\in\mathcal{F}\)이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다.$$\alpha-\frac{1}{n}\leq\mu(F_{n})\leq\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}\leq\alpha\right)$$\(\displaystyle F=\bigcup_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\subset E\)에 대하여 \(\displaystyle\mu(F)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}\right)}=\alpha\)이고 \(F\in\mathcal{F}\)이다. 그러나 \(\mu(E-F)=\infty\)이고 \(\mu\)는 반 유한측도이므로 \(F'\subset E-F\)이 존재해서 \(0<\mu(F')<\infty\)이고 \(F\cup F'\in\mathcal{F}\), \(\mu(F\cup F')=\alpha+\mu(F')>\alpha\)이므로 \(\alpha\)의 정의에 모순이다.)

\(f=\{\mu(A)\}^{-\frac{1}{p}}\chi_{A}\overline{\text{sgn}g}\)라 하면 \(f\in\Sigma\)이고 \(\|f\|_{p}=1\),$$\frac{1}{n}\{\mu(A)\}^{\frac{1}{q}}=\frac{1}{n}\{\mu(A)\}^{1-\frac{1}{p}}<\|fg\|_{1}\leq M_{q}(g)$$가 되는데 \(\mu(A)\)를 임의로 크게 선택할 수 있으므로 \(M_{q}(g)\)에 모순이다. 따라서 \(\displaystyle B=\{x\,|\,g(x)\neq0\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left\{x\,|\,|g(x)|>\frac{1}{n}\right\}}\)는 \(\sigma-\)유한이다. \(\mu\)가 \(\sigma-\)유한이면 앞의 결과로부터 \(\|g\|_{q}=\|g|_{B}\|\leq M_{q}(g)\)이고 횔더 부등식에 의해 \(M_{q}(g)\leq\|g\|_{q}\)이므로 따라서 \(q<\infty\)일 때 \(M_{q}(g)=\|g\|_{q}\)이다.    

(ii) \(q=\infty\)일 때 \(\epsilon>0\)에 대해 \(A=\{x\,|\,|g(x)|\geq M_{\infty}(g)+\epsilon\}\)라 하자. \(\mu(A)>0\)이면 가측집합 \(B\subset A\)를 선택해서 \(0<\mu(B)<\infty\)가 되게 할 수 있다. \(\displaystyle f=\frac{\overline{\text{sgn}g}}{\mu(B)}\chi_{B}\)라 하면 \(\|f\|_{1}=1\)이고$$M_{\infty}(g)\geq\int_{X}{fgd\mu}\geq M_{\infty}(g)+\epsilon$$이 되는데 이것은 모순이다. 따라서 \(\|g\|_{\infty}\leq M_{\infty}(g)\)이고 6.6 a에 의해 \(\|g\|_{\infty}\geq M_{\infty}(g)\)이므로 \(q=\infty\)일 때 \(M_{\infty}(g)=\|g\|_{\infty}\)이다. 

* \(f\)가 유한측도집합 \(E\) 바깥에서 사라지는 유계가측함수이고 \(\|f\|_{p}=1\)이면, \(\displaystyle\|\int_{X}{fgd\mu}\|\leq M_{q}(g)\)이다. 2.10에 의해 단순함수열 \(\{f_{n}\}\)이 존재해서 \(|f_{n}|\leq|f|\), \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.\)(\(f_{n}\)은 \(E\) 바깥에서 소멸한다)이고 \(|f_{n}|\leq\|f\|_{\infty}\chi_{E}\), \(\chi_{E}g\in L^{1}\)이므로 지배수렴정리에 의해 \(\displaystyle\left|\int_{X}{fgd\mu}\right|=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\int_{X}{f_{n}gd\mu}\right|}\leq M_{q}(g)\)이다.

6.15 \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)이라고 하자. \(1<p<\infty\)이면, 모든 \(\phi\in(L^{p})^{*}\)에 대해 \(g\in L^{q}\)가 존재해서 모든 \(f\in L^{p}\)에 대해 \(\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu}\)이고 따라서 \(L^{q}\)는 \((L^{p})^{*}\)와 등거리적 동형(isometrically isomorphic)이다. \(\mu\)가 \(\sigma-\)유한이면, \(p=1\)일 때도 성립한다.  

증명: 

(i) \(\mu\)를 유한측도라 하여 모든 단순함수들이 \(L^{p}\)에 속한다고 하자. \(\phi\in(L^{p})^{*}\)이고 \(E\)를 가측집합이라 하면, \(\nu(E)=\phi(\chi_{E})\)라 하자. 임의의 서로소인 \(\{E_{i}\}\)에 대하여 \(\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)라 하면 \(\displaystyle\chi_{E}=\sum_{i=1}^{\infty}{\chi_{E_{i}}}\)이고 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\left\|\chi_{E}-\sum_{i=1}^{n}{\chi_{E_{i}}}\right\|_{p}=\left\|\sum_{i=n+1}^{\infty}{\chi_{E_{i}}}\right\|=\left\{\mu\left(\bigcup_{i=n+1}^{\infty}{E_{i}}\right)\right\}^{\frac{1}{p}}\,\rightarrow\,0$$이므로 \(\displaystyle\chi_{E}=\sum_{i=1}^{\infty}{\chi_{E_{i}}}\)는 \(L^{p}\)노름에서 수렴한다. 따라서 \(\phi\)가 선형이고 연속이므로 \(\displaystyle\nu(E)=\sum_{i=1}^{\infty}{\phi(\chi_{E_{i}})}=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E_{i})}\)이고 \(\nu\)는 복소측도이고 또한 \(\mu(E)=0\)이면 \(\chi_{E}=0\in L^{p}\)이므로 \(\nu(E)=0\)이다. 이것은 \(\nu\ll\mu\)를 뜻하고 라돈-니코딤 정리에 의해 \(g\in L^{1}(\mu)\)가 존재해서 모든 \(E\)에 대해 \(\displaystyle\phi(\chi_{E})=\nu(E)=\int_{E}{gd\mu}\)이고 따라서 모든 \(f\in L^{p}\)에 대해 \(\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu}\)이다. 게다가 \(\displaystyle\left|\int_{X}{fgd\mu}\right|\leq\|\phi\|\|f\|_{p}\)이므로 6.14에 의해 \(g\in L^{q}\)이고 6.5에 의해 모든 \(f\in L^{p}\)에 대해 \(\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu}\)이다. 

(ii) \(\mu\)를 \(\sigma-\)유한측도라 하고 \(\{E_{n}\}\)을 \(E_{n}\subset E_{n+1}\), \(0<\mu(E_{n})<\infty\), \(\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)인 집합열, \(L^{p}(E)\)와 \(L^{q}(E)\)를 \(E_{n}\)바깥에서 사라지는 함수(\(f\chi_{E}\))들로 구성된 \(L^{p}(X)\), \(L^{q}(X)\)의 부분공간이라 하자. (i)에 의해 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(g_{n}\in L^{q}(E_{n})\)가 존재해서 모든 \(f\in L^{p}(E_{n})\)에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu},\,\|g_{n}\|_{q}=\|\phi|_{L^{p}(E_{n})}\|\leq\|\phi\|$$\(m>n\)이라 하자. \(f\in L^{p}(E_{m})\)에 대해 \(\displaystyle\phi(f\chi_{E_{m}})=\int_{E_{m}}{fg_{m}d\mu}=\int_{E_{n}}{fg_{n}d\mu}\)이므로 \(E_{n}\)에서 \(g_{m}=g_{n}\,a.e.\)이고 따라서 \(E_{n}\)에서 \(g=g_{n}\)이라 할 수 있다. 단조수렴정리에 의해 \(\|g\|_{q}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|g_{n}\|_{q}}\leq\|\phi\|\)이므로 \(g\in L^{q}\)이고 \(f\in L^{p}\)이면 지배수렴정리에 의해 \(L^{p}\)노름에서 \(f\chi_{E_{n}}\,\rightarrow\,f\)이고 따라서 다음의 식이 성립한다.$$\phi(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\phi(f\chi_{E_{n}})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fgd\mu}}=\int_{X}{fgd\mu}$$

(iii) \(\mu\)를 임의의 측도, \(p>1\,(q<\infty)\)이라고 하자. (ii)에서처럼 모든 \(\sigma-\)유한집합 \(E\subset X\)에 대해 \(g_{E}\in L^{q}(E)\)가 존재해서 모든 \(f\in L^{p}(E)\)에 대해 \(\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fgd\mu}\)이고 \(\|g_{E}\|_{q}\)이다. \(F\)가 \(\sigma-\)유한이고 \(E\subset F\)이면 \(E\)에서 \(g_{F}=g_{E}\,a.e.\)이므로 \(\|g_{F}\|_{q}\geq\|g_{E}\|_{q}\)이다. \(\displaystyle M=\sup\{\|g_{E}\|\,|\,E\,\sigma-\text{finite}\}\)이라 하면 \(M\leq\|\phi\|\)이고 \(\{E_{n}\}\)을 \(\|g_{E_{n}}\|_{q}\,\rightarrow\,M\)인 \(\sigma-\)유한집합열, \(\displaystyle F=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)이라 하자. 그러면 \(F\)는 \(\sigma-\)유한이고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\|g_{F}\|_{q}\geq\|g_{E_{n}}\|_{q},\,\|g_{F}\|_{q}=M$$\(A\)를 \(F\)를 포함하는 \(\sigma-\)유한집합이라고 하면$$\int_{X}{|g_{F}|^{q}d\mu}+\int_{X}{|g_{A-F}|^{q}d\mu}=\int_{X}{|g_{A}|^{q}d\mu}\leq M^{q}=\int_{X}{|g_{F}|^{q}d\mu}$$이고 따라서 \(g_{A-F}=0\), \(g_{A}=g_{E}\,a.e.\)이다. \(f\in L^{p}\)이면 \(A=F\cup\{x\,|\,f(x)\neq0\}\)는 \(\sigma-\)유한이므로 \(\displaystyle\phi(f)=\int_{X}{fg_{A}d\mu}=\int_{X}{fg_{F}d\mu}\)이고 따라서 \(g=g_{F}\)라고 하면 된다. 6.14에 의해 \(\phi\,\mapsto\,g\)는 등거리적 동형사상이다.

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사