[측도론] 6-1 Lp공간의 기본적인 이론(2)

[측도론] 6-1 Lp공간의 기본적인 이론(2)

6.7 \(0<p<q<r\leq\infty\)이면, \(L^{q}\subset L^{p}+L^{r}\)이고 이것은 임의의 \(f\in L^{q}\)가 \(L^{p}\), \(L^{r}\)상의 함수들의 합임을 뜻한다.  

증명: \(f\in L^{q}\)이면, \(E=\{x\,|\,|f(x)|>1\}\), \(g=f\chi_{E}\), \(h=f\chi_{E^{c}}\)라고 하자. 그러면 \(|g|^{p}=|f|^{p}\chi_{E}\leq|f|^{q}\chi_{E}\)이므로 \(g\in L^{p}\)이고 \(|h|^{r}=|f|^{r}\chi_{E^{c}}\leq|f|^{q}\chi_{E^{c}}\)이므로 \(h\in L^{r}\)이다.(\(r=\infty\)일 때 \(\|h\|_{\infty}\leq1\)) 

6.8 \(0<p<q<r\leq\infty\)이면, \(L^{p}\cap L^{r}\subset L^{q}\)이고 \(\|f\|_{q}\leq\|f\|_{p}^{\lambda}\|f\|_{r}^{1-\lambda}\)이다. 여기서 \(\lambda\)는 다음과 같이 정의된다.$$\frac{1}{q}=\frac{\lambda}{p}+\frac{1-\lambda}{r}\,\left(\lambda=\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}\right)$$ 

증명: \(r=\infty\)이면, \(|f|^{q}\leq\|f\|_{\infty}^{q-p}|f|\), \(\displaystyle\lambda=\frac{p}{q}\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\|f\|_{q}\leq\|f\|_{\frac{p}{q}}^{p}\|f\|_{\infty}^{1-\frac{p}{q}}=\|f\|_{p}^{\lambda}\|f\|_{\infty}^{1-\lambda}$$\(r<\infty\)이면 횔더 부등식을 각각 두 켤레지수 \(\displaystyle\frac{p}{\lambda q},\,\frac{r}{(1-\lambda)q}\)에 대해 적용하면$$\begin{align*}\int_{X}{|f|^{q}d\mu}=\int_{X}{|f|^{\lambda q}|f|^{(1-\lambda)q}d\mu}\\&\leq\||f|^{\lambda q}\|_{\frac{p}{\lambda q}}\||f|^{(1-\lambda)q}\|_{\frac{r}{(1-\lambda)q}}\\&=\left(\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\right)^{\frac{\lambda q}{p}}\left(\int_{X}{|f|^{r}d\mu}\right)^{\frac{(1-\lambda)q}{r}}\\&=\|f\|_{p}^{\lambda q}\|f\|_{r}^{(1-\lambda)q}\end{align*}$$이고 위의 부등식의 양변에 \(q\)제곱근을 취하면 \(\|f\|_{q}\leq\|f\|_{p}^{\lambda}\|f\|_{r}^{1-\lambda}\)이므로 \(L^{p}\cap L^{r}\subset L^{q}\)이다.  

6.9 \(A\)가 임의의 집합이고 \(0<p<q\leq\infty\)이면, \(\ell^{p}(A)\subset\ell^{q}(A)\)이고 \(\|f\|_{p}\leq\|f\|_{q}\)이다.  

증명: 분명히 \(\displaystyle\|f\|_{\infty}^{p}=\sup_{\alpha}{|f(\alpha)|^{p}}\leq\sum_{\alpha}{|f(\alpha)|^{p}}\)이므로 \(\|f\|_{\infty}\leq\|f\|_{p}\)이다. \(q<\infty\)이면 \(\displaystyle\lambda=\frac{p}{q}\)로 놓고 6.8을 적용하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\|f\|_{q}\leq\|f\|_{p}^{\lambda}\|f\|_{\infty}^{1-\lambda}\leq\|f\|_{p}$$ 

6.10 \(\mu(X)<\infty\), \(0<p<q\leq\infty\)이면, \(L^{q}(\mu)\subset L^{p}(\mu)\)이고 \(\|f\|_{p}\leq\|f\|_{q}\{\mu(X)\}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\)이다.   

증명: \(q=\infty\)이면 다음의 부등식에 의해 분명하다.$$\|f\|_{p}^{p}=\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\leq\|f\|_{\infty}^{p}\int_{X}{1d\mu}=\|f\|_{\infty}^{p}\mu(X)$$\(q<\infty\)이면 횔더 부등식을 각가 두 켤레지수 \(\displaystyle\frac{q}{p}\), \(\displaystyle\frac{q}{q-p}\)에 대해 적용하면, 다음의 부등식으로부터 성립한다.$$\|f\|_{p}^{p}=\int_{X}{|f|^{p}\cdot1d\mu}\leq\||f|^{p}\|_{\frac{q}{p}}\|1\|_{\frac{q}{q-p}}=\|f\|_{q}^{p}\{\mu(X)\}^{\frac{q-p}{q}}$$ 

\(\mu\)를 양측도라고 하자. \(\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset L^{1}(\mu)\)가 균등적분가능(uniformly integrable)하다는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(\mu(E)<\delta\)일 때 \(\displaystyle\left|\int_{E}{f_{\alpha}d\mu}\right|<\epsilon\)인 것이다.  

6.11 

a. \(L^{1}(\mu)\)의 임의의 유한부분집합은 균등적분 가능하다.  

b. \(\{f_{n}\}\subset L^{1}(\mu)\)이 \(f\in L^{1}(\mu)\)로 \(L^{1}\)거리에서 수렴하면(\(\|f_{n}-f\|_{1}\,\rightarrow\,0\)), \(\{f_{n}\}\)은 균등적분 가능하다.

증명: 

b: \(f\in L^{1}(\mu)\)는 3.6에 의해 균등적분 가능하다. 그러므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta_{0}>0\)가 존재해서 \(\mu(E)<\delta_{0}\)일 때 \(\displaystyle\left|\int_{E}{fd\mu}\right|<\frac{\epsilon}{2}\)이고 \(L^{1}(\mu)\)에서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\)이므로 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle\|f_{n}-f\|_{1}<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 

\(\mu(E)<\delta_{0}\)이면 모든 \(n\geq N\)에 대해$$\begin{align*}\left|\int_{E}{f_{n}d\mu}\right|&=\left|\int_{E}{(f_{n}-f)d\mu}+\int_{E}{fd\mu}\right|\\&\leq\left|\int_{E}{(f_{n}-f)d\mu}\right|+\left|\int_{E}{fd\mu}\right|\\&\leq\|f_{n}-f\|_{1}+\left|\int_{E}{fd\mu}\right|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$이고 \(n<N\)에 대해서 \(f_{n}\)이 균등적분 가능하기 때문에 \(\delta_{m}>0\)이 존재해서 \(\mu(E)<\delta_{m}\,(m<N)\)일 때 \(\displaystyle\|\int_{E}{f_{n}d\mu}\|<\epsilon\)이다. \(\delta=\min\{\delta_{0},\,\delta_{1},\,...,\,\delta_{N-1}\}\)라고 하면 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\mu(E)<\delta\)일 때 \(\displaystyle\|\int_{E}{f_{n}d\mu}\|<\epsilon\)이다.   

a: b에서 \(\{f_{n}\}\)이 상수함수인 경우이다.  

6.12 비탈리 수렴정리(Vitali Convergence Theorem) 

\(1\leq p<\infty\), \(\{f_{n}\}\subset L^{p}\)라 하자. \(\{f_{n}\}\)이 \(L^{p}\)노름에서 코시수열이 될 필요충분조건은 다음의 세 가지 조건들을 만족하는 것이다. 

(i) \(\{f_{n}\}\)은 측도 코시수열이다.  

(ii) \(\{|f_{n}|^{p}\}\)는 균등적분 가능하다. 

(iii) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(E\subset X\)가 존재해서 \(\mu(E)<\infty\)이고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{E^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}<\epsilon\)이다. 

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(\{f_{n}\}\)이 \(L^{p}\)노름에서 코시수열이라 하자. \(\epsilon>0\)에 대하여 \(E_{n,\,m}=\{x\in X\,|\,|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\geq\epsilon\}\)이라고 하면$$\mu(E_{n,\,m})\epsilon^{p}=\int_{E_{n,\,m}}{\epsilon^{p}d\mu}\leq\int_{E_{m,\,n}}{|f_{n}-f_{m}|^{p}d\mu}\leq\|f_{n}-f_{m}\|_{p}^{p}$$이고 \(\{f_{n}\}\)이 \(L^{p}\)노름에서 코시수열이므로 \(m,\,n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\mu(E_{n,\,m})\leq\left(\frac{\|f_{n}-f_{m}\|}{\epsilon}\right)^{p}\)이고 이 부등식은 모든 \(\epsilon>0\)에 대해 성립하므로 \(\{f_{n}\}\)은 측도 코시수열이다.(성질 (i)의 증명 완료)

(ii)가 성립함을 보이자. \(L^{p}\)는 완비이므로 적당한 \(f\in L^{p}\)가 존재해서 \(L_{p}\)에서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\)이다. \(a,\,b\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(g(x)=x^{p}\)에 평균값 정리를 적용하면 적당한 \(c\in(a,\,b)\)에 대해 \(\displaystyle\frac{b^{p}-a^{p}}{b-a}=pc^{p-1}\)이고 \(p-1\geq0\)이므로 \(b^{p}-a^{p}\leq(b-a)pb^{p-1}\)이고 다음의 부등식이 성립한다.$$|a^{p}-b^{p}|\leq p|a-b|\max\{|a|^{p-1},\,|b|^{p-1}\}(|a|+|b|)^{p-1}$$위의 부등식과 횔더 부등식으로부터$$\begin{align*}\||f_{n}|^{p}-|f|^{p}\|_{1}=\int_{X}{||f_{n}|^{p}-|f||d\mu}&\leq p\int_{X}{|f_{n}-f|(|f_{n}|+|f|)^{p-1}d\mu}\\&=p\|(f_{n}-f)(|f_{n}|+|f|)^{p-1}\|_{1}\\&\leq p\|f_{n}-f\|_{p}\|(|f_{n}|+|f|)^{p-1}\|_{q}\end{align*}$$이고 여기서 \(q\)는 \(p\)의 켤레지수\(\displaystyle\left(q=\frac{p}{p-1},\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\right)\)이다. 따라서$$\begin{align*}\|(|f_{n}|+|f|)^{p-1}\|_{q}&=\left(\int_{X}{(|f_{n}|+|f|)^{q(p-1)}d\mu}\right)^{\frac{1}{q}}=\left(\int_{X}{(|f_{n}|+|f|)^{p}d\mu}\right)^{\frac{1}{q}}\\&=(\||f_{n}|+|f|\|_{p})^{\frac{p}{q}}\leq(\|f_{n}\|_{p}+\|f\|_{p})^{\frac{p}{q}}\end{align*}$$이고 \(\|f_{n}\,\rightarrow\,f\|_{p}\,\rightarrow\,0\)이므로$$\||f_{n}|^{p}-|f|\|_{1}\leq p\|f_{n}-f\|_{p}(\|f_{n}\|_{p}+\|f\|_{p})^{\frac{p}{q}}\,\rightarrow\,0$$이고 6.11 b에 의해 \(\{|f_{n}|^{p}\}\)는 균등적분 가능하다.(성질 (ii)의 증명 완료)     

(iii)가 성립함을 보이자. \(|f|^{p}\in L^{1}\)이므로 \(\epsilon>0\)에 대하여 집합 \(E\)가 존재해서 \(\mu(E)<\infty\)이고 \(\displaystyle\int_{E}{|f|^{p}d\mu}<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 앞에서 \(\||f_{n}|^{p}-|f|^{p}\|_{1}\,\rightarrow\,0\)이므로 \(\displaystyle\int_{E^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}\,\rightarrow\,\int_{E^{c}}{|f|^{c}d\mu}\)이고 따라서 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)에 대해 \(\displaystyle\int_{E^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}<\epsilon\)이다. \(|f_{1}|^{p},\,...,\,|f_{N-1}|^{p}\in L^{1}\)이므로 유한측도집합 \(E_{1},\,...,\,E_{N-1}\)이 존재해서 \(n<N\)에 대해 \(\displaystyle\int_{E_{n}^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}\)이다. \(\displaystyle D=\bigcup_{n=1}^{N-1}{E_{n}}\cup E\)라고 하면 \(\mu(D)<\infty\)이고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{D^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}<\epsilon\)이다.(성질 (iii)의 증명 완료)  

(\(\Leftarrow\)): (i), (ii), (iii)가 성립한다고 하고 \(\epsilon>0\)이라고 하자. (iii)에 의해 집합 \(E\)가 존재해서 \(\mu(E)<\infty\)이고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\displaystyle\|\chi_{E^{c}}f_{n}\|_{p}<\frac{\epsilon}{6}\)이다. 그러므로 모든 \(m,\,n\)에 대해 다음이 성립한다.$$\|\chi_{E^{c}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}\leq\|\chi_{E^{c}}f_{m}\|_{p}+\|\chi_{E^{c}}f_{n}\|_{p}<\frac{\epsilon}{6}+\frac{\epsilon}{6}=\frac{\epsilon}{3}$$\(A_{mn}=\{x\in E\,|\,|f_{m}(x)-f_{n}(x)|\geq\epsilon\}\)이라고 하자. \(E-A_{mn}\)에서 \(|f_{m}-f_{n}|<\epsilon^{p}\)이고 \(g_{mn}=\chi_{E-A_{mn}}|f_{m}-f_{n}|^{p}\)라고 하면 (i)에 의해 \(m,\,n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\int_{X}{g_{mn}d\mu}\,\rightarrow\,0\)이다. 그러면 \(N_{1}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N_{1}\)일 때 \(\displaystyle\|\chi_{E-A_{mn}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}\)이다. \(\{|f_{n}|^{p}\}\)가 균등적분 가능하므로 \(\delta>0\)가 존재해서 \(\mu(A)<\delta\)일 때 모든 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\|\chi_{A}f_{n}\|_{p}<\frac{\epsilon}{6}\)이다. \(\{f_{n}\}\)이 측도 코시수열이므로 \(N_{2}\in\mathbb{N}\)가 존재해서 \(m,\,n\geq N_{2}\)일 때 \(\mu(A_{mn})<\delta\)이므로 \(m,\,n\geq N_{2}\)일 때 다음이 성립한다.$$\|\chi_{A_{mn}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}\leq\|\chi_{A_{mn}}f_{m}\|_{p}+\|\chi_{A_{mn}}f_{n}\|_{p}<\frac{\epsilon}{6}+\frac{\epsilon}{6}=\frac{\epsilon}{3}$$\(N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}\)라고 하면 \(m,\,n\geq N\)일 때$$\|f_{m}-f_{n}\|_{p}\leq\|\chi_{E^{c}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}+\|\chi_{E-A_{mn}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}+\|\chi_{A_{mn}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$$이므로 따라서 \(\{f_{n}\}\)은 \(L^{p}\)노름에서 코시수열이다.     

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley