[측도론] 6-1 Lp공간의 기본적인 이론(2)

[측도론] 6-1 Lp공간의 기본적인 이론(2)

6.7 $0<p<q<r\leq\infty$이면, $L^{q}\subset L^{p}+L^{r}$이고 이것은 임의의 $f\in L^{q}$가 $L^{p}$, $L^{r}$상의 함수들의 합임을 뜻한다.  

증명: $f\in L^{q}$이면, $E=\{x\,|\,|f(x)|>1\}$, $g=f\chi_{E}$, $h=f\chi_{E^{c}}$라고 하자. 그러면 $|g|^{p}=|f|^{p}\chi_{E}\leq|f|^{q}\chi_{E}$이므로 $g\in L^{p}$이고 $|h|^{r}=|f|^{r}\chi_{E^{c}}\leq|f|^{q}\chi_{E^{c}}$이므로 $h\in L^{r}$이다.($r=\infty$일 때 $\|h\|_{\infty}\leq1$) 

6.8 $0<p<q<r\leq\infty$이면, $L^{p}\cap L^{r}\subset L^{q}$이고 $\|f\|_{q}\leq\|f\|_{p}^{\lambda}\|f\|_{r}^{1-\lambda}$이다. 여기서 $\lambda$는 다음과 같이 정의된다. $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda}{p}+\frac{1-\lambda}{r}\,\left(\lambda=\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}\right)$$  

증명: $r=\infty$이면, $|f|^{q}\leq\|f\|_{\infty}^{q-p}|f|$, $\displaystyle\lambda=\frac{p}{q}$이므로 다음의 결과를 얻는다. $$\|f\|_{q}\leq\|f\|_{\frac{p}{q}}^{p}\|f\|_{\infty}^{1-\frac{p}{q}}=\|f\|_{p}^{\lambda}\|f\|_{\infty}^{1-\lambda}$$ $r<\infty$이면 횔더 부등식을 각각 두 켤레지수 $\displaystyle\frac{p}{\lambda q},\,\frac{r}{(1-\lambda)q}$에 대해 적용하면 $$\begin{align*}\int_{X}{|f|^{q}d\mu}=\int_{X}{|f|^{\lambda q}|f|^{(1-\lambda)q}d\mu}\\&\leq\||f|^{\lambda q}\|_{\frac{p}{\lambda q}}\||f|^{(1-\lambda)q}\|_{\frac{r}{(1-\lambda)q}}\\&=\left(\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\right)^{\frac{\lambda q}{p}}\left(\int_{X}{|f|^{r}d\mu}\right)^{\frac{(1-\lambda)q}{r}}\\&=\|f\|_{p}^{\lambda q}\|f\|_{r}^{(1-\lambda)q}\end{align*}$$ 이고 위의 부등식의 양변에 $q$제곱근을 취하면 $\|f\|_{q}\leq\|f\|_{p}^{\lambda}\|f\|_{r}^{1-\lambda}$이므로 $L^{p}\cap L^{r}\subset L^{q}$이다.  

6.9 $A$가 임의의 집합이고 $0<p<q\leq\infty$이면, $\ell^{p}(A)\subset\ell^{q}(A)$이고 $\|f\|_{p}\leq\|f\|_{q}$이다.  

증명: 분명히 $\displaystyle\|f\|_{\infty}^{p}=\sup_{\alpha}{|f(\alpha)|^{p}}\leq\sum_{\alpha}{|f(\alpha)|^{p}}$이므로 $\|f\|_{\infty}\leq\|f\|_{p}$이다. $q<\infty$이면 $\displaystyle\lambda=\frac{p}{q}$로 놓고 6.8을 적용하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\|f\|_{q}\leq\|f\|_{p}^{\lambda}\|f\|_{\infty}^{1-\lambda}\leq\|f\|_{p}$$  

6.10 $\mu(X)<\infty$, $0<p<q\leq\infty$이면, $L^{q}(\mu)\subset L^{p}(\mu)$이고 $\|f\|_{p}\leq\|f\|_{q}\{\mu(X)\}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}$이다.   

증명: $q=\infty$이면 다음의 부등식에 의해 분명하다. $$\|f\|_{p}^{p}=\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\leq\|f\|_{\infty}^{p}\int_{X}{1d\mu}=\|f\|_{\infty}^{p}\mu(X)$$ $q<\infty$이면 횔더 부등식을 각가 두 켤레지수 $\displaystyle\frac{q}{p}$, $\displaystyle\frac{q}{q-p}$에 대해 적용하면, 다음의 부등식으로부터 성립한다. $$\|f\|_{p}^{p}=\int_{X}{|f|^{p}\cdot1d\mu}\leq\||f|^{p}\|_{\frac{q}{p}}\|1\|_{\frac{q}{q-p}}=\|f\|_{q}^{p}\{\mu(X)\}^{\frac{q-p}{q}}$$  

$\mu$를 양측도라고 하자. $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset L^{1}(\mu)$가 균등적분가능(uniformly integrable)하다는 것은 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $\mu(E)<\delta$일 때 $\displaystyle\left|\int_{E}{f_{\alpha}d\mu}\right|<\epsilon$인 것이다.  

6.11 

a. $L^{1}(\mu)$의 임의의 유한부분집합은 균등적분 가능하다.  

b. $\{f_{n}\}\subset L^{1}(\mu)$이 $f\in L^{1}(\mu)$로 $L^{1}$거리에서 수렴하면($\|f_{n}-f\|_{1}\,\rightarrow\,0$), $\{f_{n}\}$은 균등적분 가능하다.

증명: 

b: $f\in L^{1}(\mu)$는 3.6에 의해 균등적분 가능하다. 그러므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta_{0}>0$가 존재해서 $\mu(E)<\delta_{0}$일 때 $\displaystyle\left|\int_{E}{fd\mu}\right|<\frac{\epsilon}{2}$이고 $L^{1}(\mu)$에서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$이므로 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $\displaystyle\|f_{n}-f\|_{1}<\frac{\epsilon}{2}$이다. 

$\mu(E)<\delta_{0}$이면 모든 $n\geq N$에 대해 $$\begin{align*}\left|\int_{E}{f_{n}d\mu}\right|&=\left|\int_{E}{(f_{n}-f)d\mu}+\int_{E}{fd\mu}\right|\\&\leq\left|\int_{E}{(f_{n}-f)d\mu}\right|+\left|\int_{E}{fd\mu}\right|\\&\leq\|f_{n}-f\|_{1}+\left|\int_{E}{fd\mu}\right|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$ 이고 $n<N$에 대해서 $f_{n}$이 균등적분 가능하기 때문에 $\delta_{m}>0$이 존재해서 $\mu(E)<\delta_{m}\,(m<N)$일 때 $\displaystyle\|\int_{E}{f_{n}d\mu}\|<\epsilon$이다. $\delta=\min\{\delta_{0},\,\delta_{1},\,...,\,\delta_{N-1}\}$라고 하면 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\mu(E)<\delta$일 때 $\displaystyle\|\int_{E}{f_{n}d\mu}\|<\epsilon$이다.   

a: b에서 $\{f_{n}\}$이 상수함수인 경우이다.  

6.12 비탈리 수렴정리(Vitali Convergence Theorem) 

$1\leq p<\infty$, $\{f_{n}\}\subset L^{p}$라 하자. $\{f_{n}\}$이 $L^{p}$노름에서 코시수열이 될 필요충분조건은 다음의 세 가지 조건들을 만족하는 것이다. 

(i) $\{f_{n}\}$은 측도 코시수열이다.  

(ii) $\{|f_{n}|^{p}\}$는 균등적분 가능하다. 

(iii) 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $E\subset X$가 존재해서 $\mu(E)<\infty$이고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle\int_{E^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}<\epsilon$이다. 

증명: 

($\Rightarrow$): $\{f_{n}\}$이 $L^{p}$노름에서 코시수열이라 하자. $\epsilon>0$에 대하여 $E_{n,\,m}=\{x\in X\,|\,|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\geq\epsilon\}$이라고 하면 $$\mu(E_{n,\,m})\epsilon^{p}=\int_{E_{n,\,m}}{\epsilon^{p}d\mu}\leq\int_{E_{m,\,n}}{|f_{n}-f_{m}|^{p}d\mu}\leq\|f_{n}-f_{m}\|_{p}^{p}$$ 이고 $\{f_{n}\}$이 $L^{p}$노름에서 코시수열이므로 $m,\,n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\mu(E_{n,\,m})\leq\left(\frac{\|f_{n}-f_{m}\|}{\epsilon}\right)^{p}$이고 이 부등식은 모든 $\epsilon>0$에 대해 성립하므로 $\{f_{n}\}$은 측도 코시수열이다.(성질 (i)의 증명 완료)

(ii)가 성립함을 보이자. $L^{p}$는 완비이므로 적당한 $f\in L^{p}$가 존재해서 $L_{p}$에서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$이다. $a,\,b\in\mathbb{R}$에 대하여 $g(x)=x^{p}$에 평균값 정리를 적용하면 적당한 $c\in(a,\,b)$에 대해 $\displaystyle\frac{b^{p}-a^{p}}{b-a}=pc^{p-1}$이고 $p-1\geq0$이므로 $b^{p}-a^{p}\leq(b-a)pb^{p-1}$이고 다음의 부등식이 성립한다. $$|a^{p}-b^{p}|\leq p|a-b|\max\{|a|^{p-1},\,|b|^{p-1}\}(|a|+|b|)^{p-1}$$ 위의 부등식과 횔더 부등식으로부터 $$\begin{align*}\||f_{n}|^{p}-|f|^{p}\|_{1}=\int_{X}{||f_{n}|^{p}-|f||d\mu}&\leq p\int_{X}{|f_{n}-f|(|f_{n}|+|f|)^{p-1}d\mu}\\&=p\|(f_{n}-f)(|f_{n}|+|f|)^{p-1}\|_{1}\\&\leq p\|f_{n}-f\|_{p}\|(|f_{n}|+|f|)^{p-1}\|_{q}\end{align*}$$ 이고 여기서 $q$는 $p$의 켤레지수$\displaystyle\left(q=\frac{p}{p-1},\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\right)$이다. 따라서 $$\begin{align*}\|(|f_{n}|+|f|)^{p-1}\|_{q}&=\left(\int_{X}{(|f_{n}|+|f|)^{q(p-1)}d\mu}\right)^{\frac{1}{q}}=\left(\int_{X}{(|f_{n}|+|f|)^{p}d\mu}\right)^{\frac{1}{q}}\\&=(\||f_{n}|+|f|\|_{p})^{\frac{p}{q}}\leq(\|f_{n}\|_{p}+\|f\|_{p})^{\frac{p}{q}}\end{align*}$$ 이고 $\|f_{n}\,\rightarrow\,f\|_{p}\,\rightarrow\,0$이므로 $$\||f_{n}|^{p}-|f|\|_{1}\leq p\|f_{n}-f\|_{p}(\|f_{n}\|_{p}+\|f\|_{p})^{\frac{p}{q}}\,\rightarrow\,0$$ 이고 6.11 b에 의해 $\{|f_{n}|^{p}\}$는 균등적분 가능하다.(성질 (ii)의 증명 완료)     

(iii)가 성립함을 보이자. $|f|^{p}\in L^{1}$이므로 $\epsilon>0$에 대하여 집합 $E$가 존재해서 $\mu(E)<\infty$이고 $\displaystyle\int_{E}{|f|^{p}d\mu}<\frac{\epsilon}{2}$이다. 앞에서 $\||f_{n}|^{p}-|f|^{p}\|_{1}\,\rightarrow\,0$이므로 $\displaystyle\int_{E^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}\,\rightarrow\,\int_{E^{c}}{|f|^{c}d\mu}$이고 따라서 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$에 대해 $\displaystyle\int_{E^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}<\epsilon$이다. $|f_{1}|^{p},\,...,\,|f_{N-1}|^{p}\in L^{1}$이므로 유한측도집합 $E_{1},\,...,\,E_{N-1}$이 존재해서 $n<N$에 대해 $\displaystyle\int_{E_{n}^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}$이다. $\displaystyle D=\bigcup_{n=1}^{N-1}{E_{n}}\cup E$라고 하면 $\mu(D)<\infty$이고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle\int_{D^{c}}{|f_{n}|^{p}d\mu}<\epsilon$이다.(성질 (iii)의 증명 완료)  

($\Leftarrow$): (i), (ii), (iii)가 성립한다고 하고 $\epsilon>0$이라고 하자. (iii)에 의해 집합 $E$가 존재해서 $\mu(E)<\infty$이고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle\|\chi_{E^{c}}f_{n}\|_{p}<\frac{\epsilon}{6}$이다. 그러므로 모든 $m,\,n$에 대해 다음이 성립한다. $$\|\chi_{E^{c}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}\leq\|\chi_{E^{c}}f_{m}\|_{p}+\|\chi_{E^{c}}f_{n}\|_{p}<\frac{\epsilon}{6}+\frac{\epsilon}{6}=\frac{\epsilon}{3}$$ $A_{mn}=\{x\in E\,|\,|f_{m}(x)-f_{n}(x)|\geq\epsilon\}$이라고 하자. $E-A_{mn}$에서 $|f_{m}-f_{n}|<\epsilon^{p}$이고 $g_{mn}=\chi_{E-A_{mn}}|f_{m}-f_{n}|^{p}$라고 하면 (i)에 의해 $m,\,n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\int_{X}{g_{mn}d\mu}\,\rightarrow\,0$이다. 그러면 $N_{1}\in\mathbb{N}$이 존재해서 $m,\,n\geq N_{1}$일 때 $\displaystyle\|\chi_{E-A_{mn}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}$이다. $\{|f_{n}|^{p}\}$가 균등적분 가능하므로 $\delta>0$가 존재해서 $\mu(A)<\delta$일 때 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle\|\chi_{A}f_{n}\|_{p}<\frac{\epsilon}{6}$이다. $\{f_{n}\}$이 측도 코시수열이므로 $N_{2}\in\mathbb{N}$가 존재해서 $m,\,n\geq N_{2}$일 때 $\mu(A_{mn})<\delta$이므로 $m,\,n\geq N_{2}$일 때 다음이 성립한다. $$\|\chi_{A_{mn}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}\leq\|\chi_{A_{mn}}f_{m}\|_{p}+\|\chi_{A_{mn}}f_{n}\|_{p}<\frac{\epsilon}{6}+\frac{\epsilon}{6}=\frac{\epsilon}{3}$$ $N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}$라고 하면 $m,\,n\geq N$일 때 $$\|f_{m}-f_{n}\|_{p}\leq\|\chi_{E^{c}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}+\|\chi_{E-A_{mn}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}+\|\chi_{A_{mn}}(f_{m}-f_{n})\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$$ 이므로 따라서 $\{f_{n}\}$은 $L^{p}$노름에서 코시수열이다.     

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley