[측도론] 5-3 베이어 범주정리와 그 결과들

[측도론] 5-3 베이어 범주정리와 그 결과들 

5.9 베이어 범주 정리(The Baire's Category Theorem) 

$X$를 완비거리공간이라 하자.  

a. $\{U_{n}\}$이 $X$상의 열린 조밀부분집합들의 열이면, $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{U_{n}}$은 $X$에서 조밀하다.  

b. $X$는 희박한 집합들의 가산합집합이 아니다.  

증명: 

a: $W(\neq\phi)$가 $X$상의 열린집합이면, $\displaystyle W\cap\bigcap_{n=1}^{\infty}{U_{n}}\neq\phi$이 성립함을 보여야 한다. $U_{1}\cap W(\neq\phi)$는 열린집합이므로 공 $B(r_{0},\,x_{0})$를 포함하고 이때 $0<r_{0}<1$이라고 할 수 있다. $n>0$에 대하여 $x_{n}\in X$과 $r_{n}\in(0,\,\infty)$을 다음과 같이 귀납적으로 선택할 수 있다. 

$i<n$에 대하여 이미 선택된 $x_{i}$, $r_{i}$에 대해 $U_{n}\cap B(r_{n-1},\,x_{n-1})(\neq\phi)$은 열린집합이므로 $x_{n}$, $r_{n}$을 선택해서 다음이 성립하게 할 수 있다. $$0<r^{n}<2^{-n},\,\overline{B(r_{n},\,x_{n})}\subset U_{n}\cap B(r_{n-1},\,x_{n-1})$$ 그러면 $n,\,m\geq N$일 때 $x_{n},\,x_{m}\in B(r_{N},\,x_{N})$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}}=0$이므로 $\{x_{n}\}$은 코시수열이다. $X$가 완비이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x$가 존재하고 $n\geq N$에 대하여 $x_{n}\in B(r_{N},\,x_{N})$이므로 모든 $N$에 대하여 다음이 성립한다. $$x\in\overline{B(r_{N},\,x_{N})}\subset U_{N}\cap B(r_{0},\,x_{0})\subset U_{N}\cap W$$  

b: $\{E_{n}\}$이 $X$상의 희박한 집합들의 열이면, $\{(\overline{E}_{n})^{c}\}$는 열린 조밀집합들의 열이고 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{(\overline{E}_{n})^{c}}\neq\phi$이므로 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{\overline{E}_{n}}\neq X$이다.  

$X$가 위상공간이고 $E\subset X$가 희박한 집합들의 가산합집합이면, $E$를 제1범주(first category)라 하고, 그렇지 않으면 $E$를 제2범주(second category)라고 한다.  

5.9에 의해 완비거리공간은 제2범주이다. 또한 5.9를 이용하여 정의역 전체에서 미분불가능한 연속함수가 존재함을 보일 수 있다.  

$X,\,Y$가 위상공간, 사상 $f:X\,\rightarrow\,Y$에 대해서 임의의 열린집합 $U\subset X$에 대해 $f[U]\subset Y$가 열린집합이면, $f$를 열린사상(open mapping)이라고 한다.  

$X,\,Y$가 거리공간이려면 다음의 조건이 필요하다: $B$가 $x\in X$를 중심으로 하는 공이면, $f[B]$는 $f(x)$를 중심으로 하는 한 공을 포함한다.  

$X,\,Y$가 노름선형공간이고 $f$가 선형이면, $f$는 평행이동과 확장(dilation)과 교환적이다. 따라서 $f$가 열린사상일 필요충분조건은 $f[B]$가 $Y$에서 중심이 0인 공을 포함하고 $B$는 $X$에서 중심이 0이고 반지름이 1인 공이다. 

5.10 열린사상 정리(Open Mapping Theorem)

$X,\,Y$를 바나흐공간이라 하자. $T\in L(X,\,Y)$가 단사이면, $T$는 열린사상이다.  

증명: $B_{r}$을 $X$에서 중심이 0이고 반지름이 $r$인 열린공이라고 하자. $X$, $Y$가 노름선형공간이고 $T$가 선형사상이므로 $T$는 평행이동과 확장에 대해 교환적이다. 따라서 $T[B_{1}]$이 0을 중심으로 하는 $Y$상의 한 구를 포함함을 보이면 된다. $\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}$이고 $T$가 전사이므로 $\displaystyle Y=\bigcup_{n=1}^{\infty}{T[B_{n}]}$이다. $Y$는 완비이고 사상 $n\,\mapsto\,ny$는 $T[B_{1}]$에서 $T[B_{n}]$으로의 위상동형이므로 베이어 정리(5.9)에 의해 $T[B_{1}]$은 희박한 집합이 아니다. 이것은 $y_{0}\in Y$와 $r>0$이 존재해서 $B(4r,\,y_{0})\subset\overline{T[B_{1}]}$임을 뜻한다. 

$y_{1}=T(x_{1})\in T[B_{1}]$을 선택해서 $\|y_{1}-y_{0}\|<2r$이라고 하자. 그러면 $B(2r,\,y_{1})\subset B(4r,\,y_{0})\subset\overline{T[B_{1}]}$이고 $\|y\|<2r$이면 $$y=-T(x_{1})+(y+y_{1})\in\overline{T[-x_{1}+B_{1}]}\subset\overline{T[B_{2}]}$$ 이다. 앞의 식을 2로 나누면 $r>0$이 존재해서 $\|y\|<r$일 때 $y\in\overline{T[B_{1}]}$이다. $r>0$을 0에 가깝게 줄이고 $\overline{T}[B_{1}]$을 $T[B_{1}]$로 바꿀 수 있다면 증명을 끝낼 수 있다. 

$T$가 확장에 대해 교환적이므로 $\|y\|<r2^{-n}$이면, $y\in\overline{T[B_{2^{-n}}]}$이다. $\displaystyle\|y\|<\frac{r}{2}$라 하자. 그러면 $x_{1}\in B_{\frac{1}{2}}$이 존재해서 $\displaystyle\|y-T(x_{1})\|<\frac{r}{4}$이고 귀납적으로 $x_{n}\in B_{2^{-n}}$이 존재해서 $\displaystyle\left\|y-\sum_{j=1}^{n}{T(x_{j})}\right\|<r2^{-n-1}$이다. $X$가 완비이므로 5.1에 의해 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}}$은 수렴한다. 이 급수가 $x$로 수렴한다고 하면 $\displaystyle\|x\|<\sum_{n=1}^{\infty}{2^{-n}}=1$이고 $y=T(x)$이다. 이것은 $T[B_{1}]$이 $\displaystyle\|y\|<\frac{r}{2}$인 $y$들을 모두 포함함을 뜻하고 증명은 끝났다.     

5.11 $X,\,Y$가 바나흐공간이고 $T\in L(X,\,Y)$가 전단사이면, $T$는 동형사상, 즉 $T^{-1}\in L(Y,\,X)$이다.  

증명: $T$가 전단사이면 $T^{-1}$의 연속성이 $T$가 열린사상인 것과 동치이므로 성립한다.  

$X,\,Y$가 노름벡터공간이고 $T:X\,\rightarrow\,Y$가 선형사상일 때, $T$의 그래프(graph) $\Gamma(T)$를 다음과 같이 정의한다. $$\Gamma(T)=\{(x,\,y)\in X\times Y\,|\,y=T(x)\}$$ $\Gamma(T)$는 $X\times Y$의 부분집합이고 $\Gamma(T)$가 $X\times Y$의 닫힌 부분집합이면, $T$를 닫힌사상(closed mapping)이라고 한다. $T$가 연속이면, $T$는 닫힌사상이고, $X$, $Y$가 완비이면 역도 성립한다.  

5.12 닫힌 그래프 정리(Closed Graph Theorem) 

$X,\,Y$가 바나흐공간이고 $T:X\,\rightarrow\,Y$가 닫힌 선형사상이면, $T$는 유계이다.  

증명: $\pi_{1}:\Gamma(T)\,\rightarrow\,X$, $\pi_{2}:\Gamma(T)\,\rightarrow\,Y$를 $\pi_{1}(x,\,T(x))=x$, $\pi_{2}(x,\,T(x))=T(x)$라고 하자. 분명히 $\pi_{1}\in L(\Gamma(T),\,X)$, $\pi_{2}\in L(\Gamma(T),\,Y)$이고 $X$, $Y$는 완비이므로 $X\times Y$도 완비이며 따라서 $T$가 닫힌 사상이므로 $\Gamma(T)$도 완비이다. $\pi_{1}$은 $\Gamma(T)$에서 $X$로의 전단사이고, 5.11에 의해 $\pi_{1}^{-1}$은 유계이므로 $T=\pi_{2}\circ\pi_{1}^{-1}$는 유계이다.   

$X,\,Y$를 바나흐공간, $T$를 선형사상이라 하자. $\Gamma(T)$가 닫힌집합일 필요충분조건은 $x_{n}\,\rightarrow\,x$이고 $T(x_{n})\,\rightarrow\,y$이면, $T(x)=y$이다. $T$의 연속성은 $x_{n}\,\rightarrow\,x$이면, $T(x_{n})\,\rightarrow\,T(x)$를 의미하므로 충분조건을 보이면 $(x_{n},\,T(x_{n}))\,\rightarrow\,(x,\,y)$일 때 $\|x-x_{n}\|+\|y-T(x_{n})\|\,\rightarrow\,0$이므로 $x_{n}\,\rightarrow\,x$이고 $T(x_{n})\,\rightarrow\,y$이며 $T(x)=y$이므로 $\Gamma(T)$는 닫혀있다. 필요조건은 5.12에 의해 성립한다.  

$T$가 연속임을 보이기 위해 닫힌 그래프정리에 의해 $x_{n}\,\rightarrow\,x$이고 $T(x_{n})\,\rightarrow\,y$일 때 $T(x)=y$임을 보이면 된다. 

5.13 균등 유계성 원리(Uniform Boundedness Principle) 

$X,\,Y$를 노름벡터공간, $\mathcal{A}\subset L(X,\,Y)$라고 하자.  

a. $X$의 어떤 제1범주가 아닌 부분집합에 속하는 모든 $x$에 대하여 $\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|Tx\|}<\infty$이면 $\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|T\|}<\infty$이다.  

b. $X$가 바나흐공간이고 모든 $x\in X$에 대하여 $\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|Tx\|}<\infty$이면 $\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|T\|}<\infty$이다.  

증명: $E_{n}$을 다음과 같이 정의하자. $$E_{n}=\left\{x\in X\,|\,\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|Tx\|}\leq n\right\}=\bigcap_{T\in\mathcal{A}}{\{x\in X\,|\,\|Tx\|\leq n\}}$$ 그러면 $E_{n}$들은 닫힌집합이고 a의 가정에 의해 어떤 $E_{n}$은 비자명 닫힌 공 $\overline{B(r,\,x_{0})}$를 포함해야 한다. $\overline{B(r,\,0)}\subset E_{2n}$이므로 $\|x\|<r$이면 $x+x_{0}\in E_{n}$이고 $$\|Tx\|\leq\|T(x+x_{0})\|+\|Tx_{0}\|\leq2n$$ 이다. 즉, $T\in\mathcal{A}$이고 $\|x\|\leq r$이면 $\|Tx\|\leq2n$이고 $\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|T\|}\leq\frac{2n}{r}$이므로 a를 증명했다. b는 베이어 범주 정리(5.9)에 의해 성립한다.  

$X$를 노름벡터공간이라 하자. $X^{*}$에 의해 생성된 약 위상을 간단히 $X$에서의 약 위상(weak topology)이라고 하고 이 위상에서의 수렴은 약 수렴(weak convergence)이라고 한다.  

$X$가 노름벡터공간일 때 $X^{*}$는 $X$의 쌍대공간이다. 앞에서처럼 $X^{*}$에서의 약 위상은 $X^{**}$에 의해 생성된 위상이고 이것을 $X^{*}$에서의 범약위상(weak* topology)이라고 한다. $X^{*}$는 $X$에서의 함수들의 공간이고 범약위상은 점별수렴위상($f_{\alpha}\,\rightarrow\,f\,\Leftrightarrow\,f_{\alpha}(x)\,\rightarrow\,f(x)\,\text{for each}\,x\in X$)이다.  

범약위상은 $X^{*}$ 에서의 약 위상보다 약하고 $X$가 반사적이면 이 두 위상은 서로 같다. 

$X,\,Y$를 바나흐공간이라 하자. 사상 $T\,\mapsto\,Tx\,(x\in X)$에 의해 생성된 $L(X,\,Y)$상의 위상을 $L(X,\,Y)$에서의 약 연산자 위상(weak operator topology)이라고 한다. $T_{\alpha}$가 $T$로 강 수렴할 필요충분조건은 노름위상 $Y$에서 모든 $x\in X$에 대해 $T_{\alpha}x\,\rightarrow\,Tx$이고 $T_{\alpha}x$가 $T$로 약 수렴할 필요충분조건은 약 위상 $Y$에서 모든 $x\in X$에 대해 $T_{\alpha}x\,\rightarrow\,Tx$이다. 따라서 강 연산자 위상은 약 연산자 위상보다 강하지만 노름위상 $L(X,\,Y)$보다 약하다.  

5.14 $\{T_{n}\}\subset L(X,\,Y)$, $\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}{\|T_{n}\|}<\infty$, $T\in L(X,\,Y)$라고 하자. 조밀부분집합 $D\subset X$에서의 모든 $x$에 대해 $\|T_{n}x-Tx\|\,\rightarrow\,0$이면, $T_{n}$은 $T$로 강 수렴한다.  

증명: $\displaystyle C=\sup_{n\in\mathbb{N}}{\|T_{n}\|}$이라 하고 모든 $x\in X$와 $\epsilon>0$에 대해 $x'\in D$를 선택해서 $\displaystyle\|x-x'\|<\frac{\epsilon}{3C}$라고 하자. $n$이 충분히 커서 $\displaystyle\|T_{n}x'-Tx'\|<\frac{\epsilon}{3}$이면, $$\begin{align*}\|T_{n}x-Tx\|&\leq\|T_{n}x-T_{x}x'\|+\|T_{n}x'-Tx'\|+\|Tx'-Tx\|\\&\leq2C\|x-x'\|+\frac{\epsilon}{3}\\&<\epsilon\end{align*}$$ 이므로 $T_{n}x\,\rightarrow\,Tx$이다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사