[측도론] 5-3 베이어 범주정리와 그 결과들

[측도론] 5-3 베이어 범주정리와 그 결과들 

5.9 베이어 범주 정리(The Baire's Category Theorem) 

\(X\)를 완비거리공간이라 하자.  

a. \(\{U_{n}\}\)이 \(X\)상의 열린 조밀부분집합들의 열이면, \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{U_{n}}\)은 \(X\)에서 조밀하다.  

b. \(X\)는 희박한 집합들의 가산합집합이 아니다.  

증명: 

a: \(W(\neq\phi)\)가 \(X\)상의 열린집합이면, \(\displaystyle W\cap\bigcap_{n=1}^{\infty}{U_{n}}\neq\phi\)이 성립함을 보여야 한다. \(U_{1}\cap W(\neq\phi)\)는 열린집합이므로 공 \(B(r_{0},\,x_{0})\)를 포함하고 이때 \(0<r_{0}<1\)이라고 할 수 있다. \(n>0\)에 대하여 \(x_{n}\in X\)과 \(r_{n}\in(0,\,\infty)\)을 다음과 같이 귀납적으로 선택할 수 있다. 

\(i<n\)에 대하여 이미 선택된 \(x_{i}\), \(r_{i}\)에 대해 \(U_{n}\cap B(r_{n-1},\,x_{n-1})(\neq\phi)\)은 열린집합이므로 \(x_{n}\), \(r_{n}\)을 선택해서 다음이 성립하게 할 수 있다.$$0<r^{n}<2^{-n},\,\overline{B(r_{n},\,x_{n})}\subset U_{n}\cap B(r_{n-1},\,x_{n-1})$$그러면 \(n,\,m\geq N\)일 때 \(x_{n},\,x_{m}\in B(r_{N},\,x_{N})\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}}=0\)이므로 \(\{x_{n}\}\)은 코시수열이다. \(X\)가 완비이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x\)가 존재하고 \(n\geq N\)에 대하여 \(x_{n}\in B(r_{N},\,x_{N})\)이므로 모든 \(N\)에 대하여 다음이 성립한다.$$x\in\overline{B(r_{N},\,x_{N})}\subset U_{N}\cap B(r_{0},\,x_{0})\subset U_{N}\cap W$$ 

b: \(\{E_{n}\}\)이 \(X\)상의 희박한 집합들의 열이면, \(\{(\overline{E}_{n})^{c}\}\)는 열린 조밀집합들의 열이고 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{(\overline{E}_{n})^{c}}\neq\phi\)이므로 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{\overline{E}_{n}}\neq X\)이다.  

\(X\)가 위상공간이고 \(E\subset X\)가 희박한 집합들의 가산합집합이면, \(E\)를 제1범주(first category)라 하고, 그렇지 않으면 \(E\)를 제2범주(second category)라고 한다.  

5.9에 의해 완비거리공간은 제2범주이다. 또한 5.9를 이용하여 정의역 전체에서 미분불가능한 연속함수가 존재함을 보일 수 있다.  

\(X,\,Y\)가 위상공간, 사상 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)에 대해서 임의의 열린집합 \(U\subset X\)에 대해 \(f[U]\subset Y\)가 열린집합이면, \(f\)를 열린사상(open mapping)이라고 한다.  

\(X,\,Y\)가 거리공간이려면 다음의 조건이 필요하다: \(B\)가 \(x\in X\)를 중심으로 하는 공이면, \(f[B]\)는 \(f(x)\)를 중심으로 하는 한 공을 포함한다.  

\(X,\,Y\)가 노름선형공간이고 \(f\)가 선형이면, \(f\)는 평행이동과 확장(dilation)과 교환적이다. 따라서 \(f\)가 열린사상일 필요충분조건은 \(f[B]\)가 \(Y\)에서 중심이 0인 공을 포함하고 \(B\)는 \(X\)에서 중심이 0이고 반지름이 1인 공이다. 

5.10 열린사상 정리(Open Mapping Theorem)

\(X,\,Y\)를 바나흐공간이라 하자. \(T\in L(X,\,Y)\)가 단사이면, \(T\)는 열린사상이다.  

증명: \(B_{r}\)을 \(X\)에서 중심이 0이고 반지름이 \(r\)인 열린공이라고 하자. \(X\), \(Y\)가 노름선형공간이고 \(T\)가 선형사상이므로 \(T\)는 평행이동과 확장에 대해 교환적이다. 따라서 \(T[B_{1}]\)이 0을 중심으로 하는 \(Y\)상의 한 구를 포함함을 보이면 된다. \(\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}\)이고 \(T\)가 전사이므로 \(\displaystyle Y=\bigcup_{n=1}^{\infty}{T[B_{n}]}\)이다. \(Y\)는 완비이고 사상 \(n\,\mapsto\,ny\)는 \(T[B_{1}]\)에서 \(T[B_{n}]\)으로의 위상동형이므로 베이어 정리(5.9)에 의해 \(T[B_{1}]\)은 희박한 집합이 아니다. 이것은 \(y_{0}\in Y\)와 \(r>0\)이 존재해서 \(B(4r,\,y_{0})\subset\overline{T[B_{1}]}\)임을 뜻한다. 

\(y_{1}=T(x_{1})\in T[B_{1}]\)을 선택해서 \(\|y_{1}-y_{0}\|<2r\)이라고 하자. 그러면 \(B(2r,\,y_{1})\subset B(4r,\,y_{0})\subset\overline{T[B_{1}]}\)이고 \(\|y\|<2r\)이면$$y=-T(x_{1})+(y+y_{1})\in\overline{T[-x_{1}+B_{1}]}\subset\overline{T[B_{2}]}$$이다. 앞의 식을 2로 나누면 \(r>0\)이 존재해서 \(\|y\|<r\)일 때 \(y\in\overline{T[B_{1}]}\)이다. \(r>0\)을 0에 가깝게 줄이고 \(\overline{T}[B_{1}]\)을 \(T[B_{1}]\)로 바꿀 수 있다면 증명을 끝낼 수 있다. 

\(T\)가 확장에 대해 교환적이므로 \(\|y\|<r2^{-n}\)이면, \(y\in\overline{T[B_{2^{-n}}]}\)이다. \(\displaystyle\|y\|<\frac{r}{2}\)라 하자. 그러면 \(x_{1}\in B_{\frac{1}{2}}\)이 존재해서 \(\displaystyle\|y-T(x_{1})\|<\frac{r}{4}\)이고 귀납적으로 \(x_{n}\in B_{2^{-n}}\)이 존재해서 \(\displaystyle\left\|y-\sum_{j=1}^{n}{T(x_{j})}\right\|<r2^{-n-1}\)이다. \(X\)가 완비이므로 5.1에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}}\)은 수렴한다. 이 급수가 \(x\)로 수렴한다고 하면 \(\displaystyle\|x\|<\sum_{n=1}^{\infty}{2^{-n}}=1\)이고 \(y=T(x)\)이다. 이것은 \(T[B_{1}]\)이 \(\displaystyle\|y\|<\frac{r}{2}\)인 \(y\)들을 모두 포함함을 뜻하고 증명은 끝났다.     

5.11 \(X,\,Y\)가 바나흐공간이고 \(T\in L(X,\,Y)\)가 전단사이면, \(T\)는 동형사상, 즉 \(T^{-1}\in L(Y,\,X)\)이다.  

증명: \(T\)가 전단사이면 \(T^{-1}\)의 연속성이 \(T\)가 열린사상인 것과 동치이므로 성립한다.  

\(X,\,Y\)가 노름벡터공간이고 \(T:X\,\rightarrow\,Y\)가 선형사상일 때, \(T\)의 그래프(graph) \(\Gamma(T)\)를 다음과 같이 정의한다.$$\Gamma(T)=\{(x,\,y)\in X\times Y\,|\,y=T(x)\}$$\(\Gamma(T)\)는 \(X\times Y\)의 부분집합이고 \(\Gamma(T)\)가 \(X\times Y\)의 닫힌 부분집합이면, \(T\)를 닫힌사상(closed mapping)이라고 한다. \(T\)가 연속이면, \(T\)는 닫힌사상이고, \(X\), \(Y\)가 완비이면 역도 성립한다.  

5.12 닫힌 그래프 정리(Closed Graph Theorem) 

\(X,\,Y\)가 바나흐공간이고 \(T:X\,\rightarrow\,Y\)가 닫힌 선형사상이면, \(T\)는 유계이다.  

증명: \(\pi_{1}:\Gamma(T)\,\rightarrow\,X\), \(\pi_{2}:\Gamma(T)\,\rightarrow\,Y\)를 \(\pi_{1}(x,\,T(x))=x\), \(\pi_{2}(x,\,T(x))=T(x)\)라고 하자. 분명히 \(\pi_{1}\in L(\Gamma(T),\,X)\), \(\pi_{2}\in L(\Gamma(T),\,Y)\)이고 \(X\), \(Y\)는 완비이므로 \(X\times Y\)도 완비이며 따라서 \(T\)가 닫힌 사상이므로 \(\Gamma(T)\)도 완비이다. \(\pi_{1}\)은 \(\Gamma(T)\)에서 \(X\)로의 전단사이고, 5.11에 의해 \(\pi_{1}^{-1}\)은 유계이므로 \(T=\pi_{2}\circ\pi_{1}^{-1}\)는 유계이다.   

\(X,\,Y\)를 바나흐공간, \(T\)를 선형사상이라 하자. \(\Gamma(T)\)가 닫힌집합일 필요충분조건은 \(x_{n}\,\rightarrow\,x\)이고 \(T(x_{n})\,\rightarrow\,y\)이면, \(T(x)=y\)이다. \(T\)의 연속성은 \(x_{n}\,\rightarrow\,x\)이면, \(T(x_{n})\,\rightarrow\,T(x)\)를 의미하므로 충분조건을 보이면 \((x_{n},\,T(x_{n}))\,\rightarrow\,(x,\,y)\)일 때 \(\|x-x_{n}\|+\|y-T(x_{n})\|\,\rightarrow\,0\)이므로 \(x_{n}\,\rightarrow\,x\)이고 \(T(x_{n})\,\rightarrow\,y\)이며 \(T(x)=y\)이므로 \(\Gamma(T)\)는 닫혀있다. 필요조건은 5.12에 의해 성립한다.  

\(T\)가 연속임을 보이기 위해 닫힌 그래프정리에 의해 \(x_{n}\,\rightarrow\,x\)이고 \(T(x_{n})\,\rightarrow\,y\)일 때 \(T(x)=y\)임을 보이면 된다. 

5.13 균등 유계성 원리(Uniform Boundedness Principle) 

\(X,\,Y\)를 노름벡터공간, \(\mathcal{A}\subset L(X,\,Y)\)라고 하자.  

a. \(X\)의 어떤 제1범주가 아닌 부분집합에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|Tx\|}<\infty\)이면 \(\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|T\|}<\infty\)이다.  

b. \(X\)가 바나흐공간이고 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|Tx\|}<\infty\)이면 \(\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|T\|}<\infty\)이다.  

증명: \(E_{n}\)을 다음과 같이 정의하자.$$E_{n}=\left\{x\in X\,|\,\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|Tx\|}\leq n\right\}=\bigcap_{T\in\mathcal{A}}{\{x\in X\,|\,\|Tx\|\leq n\}}$$그러면 \(E_{n}\)들은 닫힌집합이고 a의 가정에 의해 어떤 \(E_{n}\)은 비자명 닫힌 공 \(\overline{B(r,\,x_{0})}\)를 포함해야 한다. \(\overline{B(r,\,0)}\subset E_{2n}\)이므로 \(\|x\|<r\)이면 \(x+x_{0}\in E_{n}\)이고$$\|Tx\|\leq\|T(x+x_{0})\|+\|Tx_{0}\|\leq2n$$이다. 즉, \(T\in\mathcal{A}\)이고 \(\|x\|\leq r\)이면 \(\|Tx\|\leq2n\)이고 \(\displaystyle\sup_{T\in\mathcal{A}}{\|T\|}\leq\frac{2n}{r}\)이므로 a를 증명했다. b는 베이어 범주 정리(5.9)에 의해 성립한다.  

\(X\)를 노름벡터공간이라 하자. \(X^{*}\)에 의해 생성된 약 위상을 간단히 \(X\)에서의 약 위상(weak topology)이라고 하고 이 위상에서의 수렴은 약 수렴(weak convergence)이라고 한다.  

\(X\)가 노름벡터공간일 때 \(X^{*}\)는 \(X\)의 쌍대공간이다. 앞에서처럼 \(X^{*}\)에서의 약 위상은 \(X^{**}\)에 의해 생성된 위상이고 이것을 \(X^{*}\)에서의 범약위상(weak* topology)이라고 한다. \(X^{*}\)는 \(X\)에서의 함수들의 공간이고 범약위상은 점별수렴위상(\(f_{\alpha}\,\rightarrow\,f\,\Leftrightarrow\,f_{\alpha}(x)\,\rightarrow\,f(x)\,\text{for each}\,x\in X\))이다.  

범약위상은 \(X^{*}\) 에서의 약 위상보다 약하고 \(X\)가 반사적이면 이 두 위상은 서로 같다. 

\(X,\,Y\)를 바나흐공간이라 하자. 사상 \(T\,\mapsto\,Tx\,(x\in X)\)에 의해 생성된 \(L(X,\,Y)\)상의 위상을 \(L(X,\,Y)\)에서의 약 연산자 위상(weak operator topology)이라고 한다. \(T_{\alpha}\)가 \(T\)로 강 수렴할 필요충분조건은 노름위상 \(Y\)에서 모든 \(x\in X\)에 대해 \(T_{\alpha}x\,\rightarrow\,Tx\)이고 \(T_{\alpha}x\)가 \(T\)로 약 수렴할 필요충분조건은 약 위상 \(Y\)에서 모든 \(x\in X\)에 대해 \(T_{\alpha}x\,\rightarrow\,Tx\)이다. 따라서 강 연산자 위상은 약 연산자 위상보다 강하지만 노름위상 \(L(X,\,Y)\)보다 약하다.  

5.14 \(\{T_{n}\}\subset L(X,\,Y)\), \(\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}{\|T_{n}\|}<\infty\), \(T\in L(X,\,Y)\)라고 하자. 조밀부분집합 \(D\subset X\)에서의 모든 \(x\)에 대해 \(\|T_{n}x-Tx\|\,\rightarrow\,0\)이면, \(T_{n}\)은 \(T\)로 강 수렴한다.  

증명: \(\displaystyle C=\sup_{n\in\mathbb{N}}{\|T_{n}\|}\)이라 하고 모든 \(x\in X\)와 \(\epsilon>0\)에 대해 \(x'\in D\)를 선택해서 \(\displaystyle\|x-x'\|<\frac{\epsilon}{3C}\)라고 하자. \(n\)이 충분히 커서 \(\displaystyle\|T_{n}x'-Tx'\|<\frac{\epsilon}{3}\)이면,$$\begin{align*}\|T_{n}x-Tx\|&\leq\|T_{n}x-T_{x}x'\|+\|T_{n}x'-Tx'\|+\|Tx'-Tx\|\\&\leq2C\|x-x'\|+\frac{\epsilon}{3}\\&<\epsilon\end{align*}$$이므로 \(T_{n}x\,\rightarrow\,Tx\)이다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사