[측도론] 4-5 컴팩트성 정리, 스톤-바이어슈트라스 정리

[측도론] 4-5 컴팩트성 정리, 스톤-바이어슈트라스 정리

컴팩트성 정리 

4.38 티코노프 정리(Tychonoff's Theorem) 

$\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 컴팩트공간들의 족이면, $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$는 컴팩트이다. 

증명: 생략 

$X$를 위상공간, $\mathcal{F}\subset C(X)$라고 하자. 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $x\in X$의 근방 $U$가 존재해서 모든 $y\in U$, $f\in\mathcal{F}$에 대하여 $|f(y)-f(x)|<\epsilon$이면, $\mathcal{F}$를 $x\in X$에서 동등연속(equicontinuous)이라고 하고, 모든 $x\in X$에서 동등연속이면, $X$에서 동등연속이라고 한다.  

각각의 $x\in X$에 대하여 $\{f(x)\,|\,f\in\mathcal{F}\}$가 $\mathbb{C}$의 유계부분집합이면, $\mathcal{F}$를 점별유계(pointwise bounded)라고 한다.  

4.39 아젤라-아스콜리 정리(Arzela-Ascoli Theorem) 

i. $X$를 컴팩트 $T_{2}$공간이라 하자. $\mathcal{F}\subset C(X)$가 동등연속이고 점별유계이면, $\mathcal{F}$는 균등거리공간에서 전유계이고 $C(X)$에서 $\overline{\mathcal{F}}$는 컴팩트이다.  

ii. $X$를 $\sigma-$컴팩트 LCH공간이라고 하자. $\{f_{n}\}$이 $C(X)$에서 동등연속이고 점별유계이면, $f\in C(X)$와 $\{f_{n}\}$의 부분수열 $\{f_{n_{i}}\}$가 존재해서 $\{f_{n_{i}}\}$는 컴팩트집합에서 $f$로 균등수렴한다.  

증명: 

i: $\epsilon>0$이라 하자. $\mathcal{F}$가 동등연속이므로 모든 $x\in X$에 대하여 $x$의 열린근방 $U_{x}$가 존재해서 모든 $y\in U_{x}$, $f\in\mathcal{F}$에 대하여 $\displaystyle|f(y)-f(x)|<\frac{1}{4}\epsilon$이다. $X$가 컴팩트이므로 $x_{1},\,x_{2},\,...,\,x_{n}\in X$가 존재해서 $\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{n}{U_{x_{i}}}$이다. 그러면 $\mathcal{F}$가 점별유계이므로 $\{f(x_{i})\,|\,f\in\mathcal{F},\,1\leq i\leq n\}$는 $\mathcal{C}$의 유계부분집합이고 유한집합 $\{z_{1},\,...,\,z_{m}\}\subset\mathbb{C}$가 존재해서 $\displaystyle|f(X_{i})-z_{k}|<\frac{1}{4}\epsilon$이다.

$A=\{x_{1},\,...,\,x_{n}\}$, $B=\{z_{1},\,...,\,z_{m}\}$라고 하자. 그러면 $A$에서 $B$로의 함수들의 집합 $B^{A}$는 유한집합이다. $\phi\in B^{A}$에 대하여 $\mathcal{F}_{\phi}$를 다음과 같이 정의하자. $$\mathcal{F}_{\phi}=\left\{f\in\mathcal{F}\,|\,|f(x_{i})-\phi(x_{i})|<\frac{1}{4}\epsilon\right\}$$ 그러면 $\displaystyle\bigcup_{\phi\in B^{A}}{\mathcal{F}_{\phi}}=\mathcal{F}$이고 $f,\,g\in\mathcal{F}_{\phi}$라고 하자. $A$에서 $\displaystyle|f-\phi|<\frac{1}{4}\epsilon$, $B$에서 $\displaystyle|g-\phi|<\frac{1}{4}\epsilon$이므로 $A$에서 $\displaystyle|f-g|<\frac{1}{2}\epsilon$이다. 

$x\in X$이면, 적당한 $i$에 대하여 $x\in U_{x_{i}}$이고 $$|f(x)-g(x)|\leq|f(x)-f(x_{i})|+|f(x_{i})-g(x_{i})|+|g(x_{i})-g(x)|<\frac{\epsilon}{4}+\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{4}=\epsilon$$ 이므로 $\mathcal{F}$는 전유계이다. 전유계집합의 폐포는 전유계이고 $C(X)$는 완비이므로 증명이 끝났다.      

ii: 4.35에 의해 열린 예비컴팩트 집합으 ㅣ열 $\{U_{k}\}$ 가 존재해서 $\overline{U}_{k}\subset U_{k+1}$이고 $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^{\infty}{U_{k}}$이다. i에 의해 $\{f_{n}\}$의 부분수열 $\{f_{n_{i}}\}$가 존재해서 $\overline{U}_{1}$에서 균등 코시수열이다. 이것을 $\{f^{1}_{i}\}$로 나타낸다. 귀납적으로 $k\in\mathbb{N}$에 대하여 $\overline{U}_{k}$에서 균등 코시수열인 $\{f^{k-1}_{i}\}$의 부분수열 $\{f^{k}_{i}\}$를 얻는다. 

$g_{k}=f^{k}_{k}$ 라고 하자. 그러면 $\{g_{k}\}$는 $\{f_{n}\}$의 부분수열이고 모든 $\overline{U}_{k}$에서 균등 코시수열이다. $\displaystyle f=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{g_{k}}$라고 하자. 그러면 4.34, 4.36에 의해 $f\in C(X)$이고 컴팩트집합에서 $g_{k}$는 $f$로 균등수렴한다. 

스톤-바이어슈트라스 정리 

$\mathcal{A}$를 $C(X,\,\mathbb{R})$(또는 $C(X)$)의 부분집합이라 하자. 모든 $x,\,y\in X\,(x\neq y)$에 대하여 $f\in\mathcal{A}$가 존재해서 $f(x)\neq f(y)$이면, $\mathcal{A}$는 점을 분리한다(separate point)고 한다.   

$\mathcal{A}$가 실(복소)벡터 부분공간 $C(X,\,\mathbb{R})$($C(X)$)이고 $f,\,g\in\mathcal{A}$일 때 $fg\in\mathcal{A}$이면, $\mathcal{A}$를 대수(algebra)라 하고, $\mathcal{A}\subset C(X,\,\mathbb{R})$이고 $f,\,g\in\mathcal{A}$일 때, $\max\{f,\,g\},\,\min\{f,\,g\}\in\mathcal{A}$이면, $\mathcal{A}$를 격자(lattice)라고 한다.  

대수와 격자의 연산은 연속이므로 $\mathcal{A}$가 대수이거나 격자이면, $\overline{\mathcal{A}}$도 균등거리에서 대수이거나 격자이다.  

4.40 $\mathbb{R}^{2}$에서 덧셈에 곱셈을 좌표마다 정의해서 대수라고 하자. $\mathbb{R}^{2}$의 부분대수는 $\mathbb{R}^{2}$자신, $\{(0,\,0)\}$, $(1,\,0))$, $(0,\,1)$, $(1,\,1)$에 의해 각각 생성된 부분공간뿐이다.   

증명: $\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^{2}$가 0이 아닌 대수이고 $(a,\,b)(\neq(0,\,0))\in\mathcal{A}$이면, $(a^{2},\,b^{2})\in\mathcal{A}$이다. $a\neq0$, $b\neq0$, $a\neq b$이면, $(a,\,b)$와 $(a^{2},\,b^{2})$는 선형(일차)독립이고 $\mathcal{A}=\mathbb{R}^{2}$이다. $a\neq0$, $b=0$이면, $\mathcal{A}$는 $(1,\,0)$에 의해서, $a=0$, $b\neq0$이면, $\mathcal{A}$는 $(0,\,1)$에 의해서, $a=b\neq0$이면, $\mathcal{A}$는 $(1,\,1)$에 의해 생성된다. 

4.41 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\mathbb{R}$상의 다항식 $P$가 존재해서 $P(0)=0$이고 $x\in[-1,\,1]$에 대하여 $||x|-P(x)|<\epsilon$이다.   

증명: $\displaystyle(1-t)^{\frac{1}{2}}$의 매클로린 급수는 $$\begin{align*}(1-t)^{\frac{1}{2}}&=1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\cdots\left(\frac{2n-3}{2}\right)\frac{t^{n}}{n!}}\\&=1-\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}t^{n}}\,\left(c_{n}=\frac{1\cdot3\cdots(2n-3)}{2^{n}n!}\right)\end{align*}$$ 이고 비판정법에 의해 $|t|<1$에 대하여 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}t^{n}}$은 절대수렴하고 따라서 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 $[-1,\,1]$에서 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}t^{n}}$은 균등수렴한다. 따라서 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 매클로린급수의 부분합인 다항식 $r(t)$가 존재해서 $[-1,\,1]$에서 다음과 같다. $$\left|(1-t)^{\frac{1}{2}}-r(t)\right|<\frac{\epsilon}{2}$$ 이 부등식에서 $t$대신 $1-x^{2}$를 대입하고 $R(x)=r(1-x^{2})$라고 하면 모든 $x\in[-1,\,1]$에 대하여 $\displaystyle||x|-R(x)|<\frac{\epsilon}{2}$이다. $\displaystyle|R(0)|<\frac{\epsilon}{2}$이므로 $P(x)=R(x)-R(0)$라고 하면 $P(0)=0$이고 $x\in[-1,\,1]$에 대하여 $||x|-P(x)|<\epsilon$이다.    

4.42 $\mathcal{A}$를 $C(X,\,\mathbb{R})$의 닫힌 부분대수라고 하자. $f\in\mathcal{A}$이면, $|f|\in\mathcal{A}$이고 $\mathcal{A}$는 격자이다. 

증명: $f\in\mathcal{A}\,(f\neq0)$에 대하여 $\displaystyle h=\frac{f}{\|f\|_{u}}$라고 하자. 그러면 $h$는 $X$에서 $[-1,\,1]$로의 함수이고 $\epsilon>0$, $P$가 4.41의 다항식이면, $\||h|-P\circ h\|_{u}<\epsilon$이다. $P(0)=0$이므로 $P$는 상수항을 갖지 않고 $\mathcal{A}$가 대수이므로 $P\circ h\in\mathcal{A}$이다. $\mathcal{A}$는 닫혀있고 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $|h|\in\mathcal{A}$이고 따라서 $|f|=\|f\|_{u}|h|\in\mathcal{A}$이다. 또한 두 번째 주장도 성립하는데 그 이유는 다음과 같다. $$\max\{f,\,g\}=\frac{1}{2}(f+g+|f-g|),\,\min\{f,\,g\}=\frac{1}{2}(f+g-|f-g|)$$  

4.43 $\mathcal{A}$를 $C(X,\,\mathbb{R})$에서의 닫힌격자, $f\in C(X,\,\mathbb{R})$라고 하자. 모든 $x,\,y\in X$에 대하여 $g_{xy}\in\mathcal{A}$가 존재해서 $g_{xy}(x)=f(x)$, $g_{xy}(y)=f(y)$이면, $f\in\mathcal{A}$이다.  

증명: 임의의 $\epsilon>0$, $x,\,y\in X$에 대하여 다음과 같이 정의하자. $$U_{xy}=\{z\in X\,|\,f(z)<g_{xy}(z)+\epsilon\},\,V_{xy}=\{z\in X\,|\,f(z)>g_{xy}(z)-\epsilon\}$$ 이 두 집합들은 열린집합이고 $x,\,y$모두 포함한다. $y$를 고정하자. 그러면 $\{U_{xy}\}_{x\in X}$는 $X$를 덮고 유한부분덮개 $\{U_{x_{i}y}\}_{i=1}^{n}$을 갖는다. $g_{y}=\max\{g_{x_{1}y},\,...,\,g_{x_{n}y}\}$라고 하면 $X$에서 $f<g_{y}+\epsilon$이고 $\displaystyle V_{y}=\bigcap_{i=1}^{n}{V_{x_{i}y}}$에서 $f>g_{y}-\epsilon$이다. $V_{y}$는 $y$를 포함하는 열린집합이므로 $\{V_{y}\}_{y\in X}$는 $X$의 또다른 열린집합이고 유한부분덮개 $\{V_{y_{i}}\}_{i=1}^{m}$을 갖는다. $g=\min\{g_{y_{1},\,...,\,g_{y_{m}}}\}$라고 하면 $\|f-g\|_{u}<\epsilon$이다. $\mathcal{A}$가 격자이므로 $g\in\mathcal{A}$이고 $\mathcal{A}$는 닫혀있고 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $f\in\mathcal{A}$이다. 

4.44 스톤-바이어슈트라스 정리(Stone-Weirestrass Theorem)

$X$를 컴팩트 $T_{2}$공간이라고 하자. $\mathcal{A}$가 점을 분리하는 $C(X,\,\mathbb{R})$의 닫힌 부분대수이면, $\mathcal{A}=C(X,\,\mathbb{R})$이거나 어떤 $x_{0}\in X$에 대하여 $\mathcal{A}=\{f\in C(X,\,\mathbb{R})\,|\,f(x_{0})=0\}$이다.  

$\mathcal{A}=C(X,\,\mathbb{R})$이 성립할 필요충분조건은 $\mathcal{A}$가 상수함수를 포함하는 것이다.  

증명: $x,\,y\in X\,(x\neq y)$에 대해 $\mathcal{A}_{xy}=\{(f(x),\,f(y))\,|\,f\in\mathcal{A}\}$라고 하자. 그러면 $\mathcal{A}_{xy}$는 대수 준동형사상(algebra homomorphism) $f\,\mapsto\,(f(x),\,f(y))$의 상이므로 덧셈과 곱셈이 좌표마다 정의된 대수 $\mathbb{R}^{2}$의 부분대수가 된다(4.40). 모든 $x,\,y\in X$에 대하여 $\mathcal{A}_{xy}=\mathbb{R}^{2}$이면, 4.42, 4.43에 의해 $\mathcal{A}=C(X,\,\mathbb{R})$이다. 

$x,\,y\in X$가 존재해서 $\mathcal{A}_{xy}$가 $\mathbb{R}^{2}$의 진부분대수이면 $\mathcal{A}$가 점을 분리하므로 $\{(0,\,0)\}$ 또는 $(1,\,1)$에 의해 생성된 벡터공간은 될 수 없다. 4.40에 의해 $\mathcal{A}_{xy}$는 $(1,\,0)$ 또는 $(0,\,1)$에 의해 생성되는 벡터공간이다. 어느 경우든 $x_{0}\in X$가 존재해서 모든 $f\in\mathcal{A}$에 대해 $f(x_{0})=0$이고 $\mathcal{A}$가 점을 분리하기 때문에 이러한 $x_{0}$는 유일하다. $x$도 $y$도 $x_{0}$가 아니면 $\mathcal{A}_{xy}=\mathbb{R}^{2}$이고 $x=x_{0}$ 또는 $y=y_{0}$이면, 4.42, 4.43에 의해 $\mathcal{A}=\{f\in C(X,\,\mathbb{R})\,|\,f(x_{0})=0\}$이다. 

마지막으로 $\mathcal{A}$가 상수함수를 포함하면 모든 $f\in\mathcal{A}$에 대하여 $f(x_{0})=0$인 $x_{0}$가 존재하지 않으므로 $\mathcal{A}=C(X,\,\mathbb{R})$이어야 한다.   

4.45 $\mathcal{B}$를 점을 분리하는 $C(X,\,\mathbb{R})$의 부분대수라고 하자. 모든 $f\in\mathcal{B}$에 대하여 $x_{0}\in X$가 존재해서 $f(x_{0})=0$이면 $\mathcal{B}$는 $\{f\in C(X,\,\mathbb{R})\,|\,f(x_{0})=0\}$에서 조밀하고 그렇지 않으면 $C(X,\,\mathbb{R})$에서 조밀하다.  

증명: 4.44 

4.46 $X$를 $\mathbb{R}^{n}$의 컴팩트 부분집합, $\mathcal{B}$를 $\mathbb{R}^{n}$상의 실수계수 다항식들의 정의역을 $X$로 제한한 대수라고 하면, $\mathcal{B}$는 $C(X,\,\mathbb{R})$에서 조밀하다.  

증명: 4.44(다항식들의 집합에는 상수함수가 포함되어 있다) 

스톤-바이어슈트라스 정리는 복소함수에 대해서는 성립하지 않는다. 예를들어 1변수 복소 다항식들의 대수는 $\mathbb{C}$의 가장 큰 컴팩트 부분집합 $K$에 대하여 $C(K)$에서 조밀하지 않다. $f(z)=z$라고 하면 $f$는 단위원 $\{e^{it}\,|\,0\leq t\leq2\pi\}$에서의 다항식으로 균등근사할 수 없다. $\displaystyle P(z)=\sum_{j=0}^{n}{a_{j}z^{j}}$라고 하면 $$\int_{0}^{2\pi}{\overline{f(e^{it})}P(e^{it})dt}=\sum_{j=0}^{n}{a_{j}\int_{0}^{2\pi}{e^{i(j+1)t}dt}}=0$$ 이나 단위원 위에서 $|f|=1$이므로 $$\begin{align*}2\pi=\left|\int_{0}^{2\pi}{f\overline{f}dt}\right|&\leq\left|\int_{0}^{2\pi}{(f-P)\overline{f}dt}\right|+\left|\int_{0}^{2\pi}{\overline{f}Pdt}\right|\\&=\left|\int_{0}^{2\pi}{(f-P)\overline{f}dt}\right|\\&\leq\int_{0}^{2\pi}{|f-P|dt}\\&\leq2\pi\|f-P\|_{u}\end{align*}$$ 이고 따라서 임의의 다항식 $P$에 대해 $\|f-P\|_{u}\geq1$이다.     

4.47 복소 스톤-바이어슈트라스 정리(Complex Stone-Weirestrass Theorem) 

$X$를 컴팩트 $T_{2}$공간이라고 하자. $\mathcal{A}$가 점을 분리하고 복소공액에 대해 닫혀있는 $C(X)$의 닫힌 복소 부분대수이면 $\mathcal{A}=C(X)$이거나 어떤 $x_{0}\in X$에 대하여 $\mathcal{A}=\{f\in C(X)\,|\,f(x_{0})=0\}$이다.  

증명: $\displaystyle\text{Re}f=\frac{1}{2}(f+\overline{f})$, $\displaystyle\text{Im}f=\frac{1}{2i}(f-\overline{f})$이므로 $\mathcal{A}$상의 함수의 실수부와 허수부로 구성된 집합 $\mathcal{A}_{\mathbb{R}}$은 $C(X,\,\mathbb{R})$의 부분대수이다. $\mathcal{A}=\{f+ig\,|\,f,\,g\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\}$이므로 스톤-바이어슈트라스 정리(4.44)를 $\mathcal{A}_{\mathbb{R}}$과 $C(X,\,\mathbb{R})$에 적용하여 얻은 결과로부터 성립한다.  

*위 정리를 컴팩트가 아닌 LCH공간에 대해 적용할 수 있다.($C_{0}(X,\,\mathbb{R})=C_{0}(X)\cap C(X,\,\mathbb{R})$)

참고자료:   

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사