[측도론] 4-5 컴팩트성 정리, 스톤-바이어슈트라스 정리

[측도론] 4-5 컴팩트성 정리, 스톤-바이어슈트라스 정리

컴팩트성 정리 

4.38 티코노프 정리(Tychonoff's Theorem) 

\(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 컴팩트공간들의 족이면, \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)는 컴팩트이다. 

증명: 생략 

\(X\)를 위상공간, \(\mathcal{F}\subset C(X)\)라고 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(x\in X\)의 근방 \(U\)가 존재해서 모든 \(y\in U\), \(f\in\mathcal{F}\)에 대하여 \(|f(y)-f(x)|<\epsilon\)이면, \(\mathcal{F}\)를 \(x\in X\)에서 동등연속(equicontinuous)이라고 하고, 모든 \(x\in X\)에서 동등연속이면, \(X\)에서 동등연속이라고 한다.  

각각의 \(x\in X\)에 대하여 \(\{f(x)\,|\,f\in\mathcal{F}\}\)가 \(\mathbb{C}\)의 유계부분집합이면, \(\mathcal{F}\)를 점별유계(pointwise bounded)라고 한다.  

4.39 아젤라-아스콜리 정리(Arzela-Ascoli Theorem) 

i. \(X\)를 컴팩트 \(T_{2}\)공간이라 하자. \(\mathcal{F}\subset C(X)\)가 동등연속이고 점별유계이면, \(\mathcal{F}\)는 균등거리공간에서 전유계이고 \(C(X)\)에서 \(\overline{\mathcal{F}}\)는 컴팩트이다.  

ii. \(X\)를 \(\sigma-\)컴팩트 LCH공간이라고 하자. \(\{f_{n}\}\)이 \(C(X)\)에서 동등연속이고 점별유계이면, \(f\in C(X)\)와 \(\{f_{n}\}\)의 부분수열 \(\{f_{n_{i}}\}\)가 존재해서 \(\{f_{n_{i}}\}\)는 컴팩트집합에서 \(f\)로 균등수렴한다.  

증명: 

i: \(\epsilon>0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 동등연속이므로 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(x\)의 열린근방 \(U_{x}\)가 존재해서 모든 \(y\in U_{x}\), \(f\in\mathcal{F}\)에 대하여 \(\displaystyle|f(y)-f(x)|<\frac{1}{4}\epsilon\)이다. \(X\)가 컴팩트이므로 \(x_{1},\,x_{2},\,...,\,x_{n}\in X\)가 존재해서 \(\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{n}{U_{x_{i}}}\)이다. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 점별유계이므로 \(\{f(x_{i})\,|\,f\in\mathcal{F},\,1\leq i\leq n\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 유계부분집합이고 유한집합 \(\{z_{1},\,...,\,z_{m}\}\subset\mathbb{C}\)가 존재해서 \(\displaystyle|f(X_{i})-z_{k}|<\frac{1}{4}\epsilon\)이다.

\(A=\{x_{1},\,...,\,x_{n}\}\), \(B=\{z_{1},\,...,\,z_{m}\}\)라고 하자. 그러면 \(A\)에서 \(B\)로의 함수들의 집합 \(B^{A}\)는 유한집합이다. \(\phi\in B^{A}\)에 대하여 \(\mathcal{F}_{\phi}\)를 다음과 같이 정의하자.$$\mathcal{F}_{\phi}=\left\{f\in\mathcal{F}\,|\,|f(x_{i})-\phi(x_{i})|<\frac{1}{4}\epsilon\right\}$$그러면 \(\displaystyle\bigcup_{\phi\in B^{A}}{\mathcal{F}_{\phi}}=\mathcal{F}\)이고 \(f,\,g\in\mathcal{F}_{\phi}\)라고 하자. \(A\)에서 \(\displaystyle|f-\phi|<\frac{1}{4}\epsilon\), \(B\)에서 \(\displaystyle|g-\phi|<\frac{1}{4}\epsilon\)이므로 \(A\)에서 \(\displaystyle|f-g|<\frac{1}{2}\epsilon\)이다. 

\(x\in X\)이면, 적당한 \(i\)에 대하여 \(x\in U_{x_{i}}\)이고$$|f(x)-g(x)|\leq|f(x)-f(x_{i})|+|f(x_{i})-g(x_{i})|+|g(x_{i})-g(x)|<\frac{\epsilon}{4}+\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{4}=\epsilon$$이므로 \(\mathcal{F}\)는 전유계이다. 전유계집합의 폐포는 전유계이고 \(C(X)\)는 완비이므로 증명이 끝났다.      

ii: 4.35에 의해 열린 예비컴팩트 집합으 ㅣ열 \(\{U_{k}\}\) 가 존재해서 \(\overline{U}_{k}\subset U_{k+1}\)이고 \(\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^{\infty}{U_{k}}\)이다. i에 의해 \(\{f_{n}\}\)의 부분수열 \(\{f_{n_{i}}\}\)가 존재해서 \(\overline{U}_{1}\)에서 균등 코시수열이다. 이것을 \(\{f^{1}_{i}\}\)로 나타낸다. 귀납적으로 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\overline{U}_{k}\)에서 균등 코시수열인 \(\{f^{k-1}_{i}\}\)의 부분수열 \(\{f^{k}_{i}\}\)를 얻는다. 

\(g_{k}=f^{k}_{k}\) 라고 하자. 그러면 \(\{g_{k}\}\)는 \(\{f_{n}\}\)의 부분수열이고 모든 \(\overline{U}_{k}\)에서 균등 코시수열이다. \(\displaystyle f=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{g_{k}}\)라고 하자. 그러면 4.34, 4.36에 의해 \(f\in C(X)\)이고 컴팩트집합에서 \(g_{k}\)는 \(f\)로 균등수렴한다. 

스톤-바이어슈트라스 정리 

\(\mathcal{A}\)를 \(C(X,\,\mathbb{R})\)(또는 \(C(X)\))의 부분집합이라 하자. 모든 \(x,\,y\in X\,(x\neq y)\)에 대하여 \(f\in\mathcal{A}\)가 존재해서 \(f(x)\neq f(y)\)이면, \(\mathcal{A}\)는 점을 분리한다(separate point)고 한다.   

\(\mathcal{A}\)가 실(복소)벡터 부분공간 \(C(X,\,\mathbb{R})\)(\(C(X)\))이고 \(f,\,g\in\mathcal{A}\)일 때 \(fg\in\mathcal{A}\)이면, \(\mathcal{A}\)를 대수(algebra)라 하고, \(\mathcal{A}\subset C(X,\,\mathbb{R})\)이고 \(f,\,g\in\mathcal{A}\)일 때, \(\max\{f,\,g\},\,\min\{f,\,g\}\in\mathcal{A}\)이면, \(\mathcal{A}\)를 격자(lattice)라고 한다.  

대수와 격자의 연산은 연속이므로 \(\mathcal{A}\)가 대수이거나 격자이면, \(\overline{\mathcal{A}}\)도 균등거리에서 대수이거나 격자이다.  

4.40 \(\mathbb{R}^{2}\)에서 덧셈에 곱셈을 좌표마다 정의해서 대수라고 하자. \(\mathbb{R}^{2}\)의 부분대수는 \(\mathbb{R}^{2}\)자신, \(\{(0,\,0)\}\), \((1,\,0))\), \((0,\,1)\), \((1,\,1)\)에 의해 각각 생성된 부분공간뿐이다.   

증명: \(\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^{2}\)가 0이 아닌 대수이고 \((a,\,b)(\neq(0,\,0))\in\mathcal{A}\)이면, \((a^{2},\,b^{2})\in\mathcal{A}\)이다. \(a\neq0\), \(b\neq0\), \(a\neq b\)이면, \((a,\,b)\)와 \((a^{2},\,b^{2})\)는 선형(일차)독립이고 \(\mathcal{A}=\mathbb{R}^{2}\)이다. \(a\neq0\), \(b=0\)이면, \(\mathcal{A}\)는 \((1,\,0)\)에 의해서, \(a=0\), \(b\neq0\)이면, \(\mathcal{A}\)는 \((0,\,1)\)에 의해서, \(a=b\neq0\)이면, \(\mathcal{A}\)는 \((1,\,1)\)에 의해 생성된다. 

4.41 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\mathbb{R}\)상의 다항식 \(P\)가 존재해서 \(P(0)=0\)이고 \(x\in[-1,\,1]\)에 대하여 \(||x|-P(x)|<\epsilon\)이다.   

증명: \(\displaystyle(1-t)^{\frac{1}{2}}\)의 매클로린 급수는$$\begin{align*}(1-t)^{\frac{1}{2}}&=1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\cdots\left(\frac{2n-3}{2}\right)\frac{t^{n}}{n!}}\\&=1-\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}t^{n}}\,\left(c_{n}=\frac{1\cdot3\cdots(2n-3)}{2^{n}n!}\right)\end{align*}$$이고 비판정법에 의해 \(|t|<1\)에 대하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}t^{n}}\)은 절대수렴하고 따라서 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 \([-1,\,1]\)에서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}t^{n}}\)은 균등수렴한다. 따라서 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 매클로린급수의 부분합인 다항식 \(r(t)\)가 존재해서 \([-1,\,1]\)에서 다음과 같다.$$\left|(1-t)^{\frac{1}{2}}-r(t)\right|<\frac{\epsilon}{2}$$이 부등식에서 \(t\)대신 \(1-x^{2}\)를 대입하고 \(R(x)=r(1-x^{2})\)라고 하면 모든 \(x\in[-1,\,1]\)에 대하여 \(\displaystyle||x|-R(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(\displaystyle|R(0)|<\frac{\epsilon}{2}\)이므로 \(P(x)=R(x)-R(0)\)라고 하면 \(P(0)=0\)이고 \(x\in[-1,\,1]\)에 대하여 \(||x|-P(x)|<\epsilon\)이다.    

4.42 \(\mathcal{A}\)를 \(C(X,\,\mathbb{R})\)의 닫힌 부분대수라고 하자. \(f\in\mathcal{A}\)이면, \(|f|\in\mathcal{A}\)이고 \(\mathcal{A}\)는 격자이다. 

증명: \(f\in\mathcal{A}\,(f\neq0)\)에 대하여 \(\displaystyle h=\frac{f}{\|f\|_{u}}\)라고 하자. 그러면 \(h\)는 \(X\)에서 \([-1,\,1]\)로의 함수이고 \(\epsilon>0\), \(P\)가 4.41의 다항식이면, \(\||h|-P\circ h\|_{u}<\epsilon\)이다. \(P(0)=0\)이므로 \(P\)는 상수항을 갖지 않고 \(\mathcal{A}\)가 대수이므로 \(P\circ h\in\mathcal{A}\)이다. \(\mathcal{A}\)는 닫혀있고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(|h|\in\mathcal{A}\)이고 따라서 \(|f|=\|f\|_{u}|h|\in\mathcal{A}\)이다. 또한 두 번째 주장도 성립하는데 그 이유는 다음과 같다.$$\max\{f,\,g\}=\frac{1}{2}(f+g+|f-g|),\,\min\{f,\,g\}=\frac{1}{2}(f+g-|f-g|)$$ 

4.43 \(\mathcal{A}\)를 \(C(X,\,\mathbb{R})\)에서의 닫힌격자, \(f\in C(X,\,\mathbb{R})\)라고 하자. 모든 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(g_{xy}\in\mathcal{A}\)가 존재해서 \(g_{xy}(x)=f(x)\), \(g_{xy}(y)=f(y)\)이면, \(f\in\mathcal{A}\)이다.  

증명: 임의의 \(\epsilon>0\), \(x,\,y\in X\)에 대하여 다음과 같이 정의하자.$$U_{xy}=\{z\in X\,|\,f(z)<g_{xy}(z)+\epsilon\},\,V_{xy}=\{z\in X\,|\,f(z)>g_{xy}(z)-\epsilon\}$$이 두 집합들은 열린집합이고 \(x,\,y\)모두 포함한다. \(y\)를 고정하자. 그러면 \(\{U_{xy}\}_{x\in X}\)는 \(X\)를 덮고 유한부분덮개 \(\{U_{x_{i}y}\}_{i=1}^{n}\)을 갖는다. \(g_{y}=\max\{g_{x_{1}y},\,...,\,g_{x_{n}y}\}\)라고 하면 \(X\)에서 \(f<g_{y}+\epsilon\)이고 \(\displaystyle V_{y}=\bigcap_{i=1}^{n}{V_{x_{i}y}}\)에서 \(f>g_{y}-\epsilon\)이다. \(V_{y}\)는 \(y\)를 포함하는 열린집합이므로 \(\{V_{y}\}_{y\in X}\)는 \(X\)의 또다른 열린집합이고 유한부분덮개 \(\{V_{y_{i}}\}_{i=1}^{m}\)을 갖는다. \(g=\min\{g_{y_{1},\,...,\,g_{y_{m}}}\}\)라고 하면 \(\|f-g\|_{u}<\epsilon\)이다. \(\mathcal{A}\)가 격자이므로 \(g\in\mathcal{A}\)이고 \(\mathcal{A}\)는 닫혀있고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(f\in\mathcal{A}\)이다. 

4.44 스톤-바이어슈트라스 정리(Stone-Weirestrass Theorem)

\(X\)를 컴팩트 \(T_{2}\)공간이라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 점을 분리하는 \(C(X,\,\mathbb{R})\)의 닫힌 부분대수이면, \(\mathcal{A}=C(X,\,\mathbb{R})\)이거나 어떤 \(x_{0}\in X\)에 대하여 \(\mathcal{A}=\{f\in C(X,\,\mathbb{R})\,|\,f(x_{0})=0\}\)이다.  

\(\mathcal{A}=C(X,\,\mathbb{R})\)이 성립할 필요충분조건은 \(\mathcal{A}\)가 상수함수를 포함하는 것이다.  

증명: \(x,\,y\in X\,(x\neq y)\)에 대해 \(\mathcal{A}_{xy}=\{(f(x),\,f(y))\,|\,f\in\mathcal{A}\}\)라고 하자. 그러면 \(\mathcal{A}_{xy}\)는 대수 준동형사상(algebra homomorphism) \(f\,\mapsto\,(f(x),\,f(y))\)의 상이므로 덧셈과 곱셈이 좌표마다 정의된 대수 \(\mathbb{R}^{2}\)의 부분대수가 된다(4.40). 모든 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(\mathcal{A}_{xy}=\mathbb{R}^{2}\)이면, 4.42, 4.43에 의해 \(\mathcal{A}=C(X,\,\mathbb{R})\)이다. 

\(x,\,y\in X\)가 존재해서 \(\mathcal{A}_{xy}\)가 \(\mathbb{R}^{2}\)의 진부분대수이면 \(\mathcal{A}\)가 점을 분리하므로 \(\{(0,\,0)\}\) 또는 \((1,\,1)\)에 의해 생성된 벡터공간은 될 수 없다. 4.40에 의해 \(\mathcal{A}_{xy}\)는 \((1,\,0)\) 또는 \((0,\,1)\)에 의해 생성되는 벡터공간이다. 어느 경우든 \(x_{0}\in X\)가 존재해서 모든 \(f\in\mathcal{A}\)에 대해 \(f(x_{0})=0\)이고 \(\mathcal{A}\)가 점을 분리하기 때문에 이러한 \(x_{0}\)는 유일하다. \(x\)도 \(y\)도 \(x_{0}\)가 아니면 \(\mathcal{A}_{xy}=\mathbb{R}^{2}\)이고 \(x=x_{0}\) 또는 \(y=y_{0}\)이면, 4.42, 4.43에 의해 \(\mathcal{A}=\{f\in C(X,\,\mathbb{R})\,|\,f(x_{0})=0\}\)이다. 

마지막으로 \(\mathcal{A}\)가 상수함수를 포함하면 모든 \(f\in\mathcal{A}\)에 대하여 \(f(x_{0})=0\)인 \(x_{0}\)가 존재하지 않으므로 \(\mathcal{A}=C(X,\,\mathbb{R})\)이어야 한다.   

4.45 \(\mathcal{B}\)를 점을 분리하는 \(C(X,\,\mathbb{R})\)의 부분대수라고 하자. 모든 \(f\in\mathcal{B}\)에 대하여 \(x_{0}\in X\)가 존재해서 \(f(x_{0})=0\)이면 \(\mathcal{B}\)는 \(\{f\in C(X,\,\mathbb{R})\,|\,f(x_{0})=0\}\)에서 조밀하고 그렇지 않으면 \(C(X,\,\mathbb{R})\)에서 조밀하다.  

증명: 4.44 

4.46 \(X\)를 \(\mathbb{R}^{n}\)의 컴팩트 부분집합, \(\mathcal{B}\)를 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 실수계수 다항식들의 정의역을 \(X\)로 제한한 대수라고 하면, \(\mathcal{B}\)는 \(C(X,\,\mathbb{R})\)에서 조밀하다.  

증명: 4.44(다항식들의 집합에는 상수함수가 포함되어 있다) 

스톤-바이어슈트라스 정리는 복소함수에 대해서는 성립하지 않는다. 예를들어 1변수 복소 다항식들의 대수는 \(\mathbb{C}\)의 가장 큰 컴팩트 부분집합 \(K\)에 대하여 \(C(K)\)에서 조밀하지 않다. \(f(z)=z\)라고 하면 \(f\)는 단위원 \(\{e^{it}\,|\,0\leq t\leq2\pi\}\)에서의 다항식으로 균등근사할 수 없다. \(\displaystyle P(z)=\sum_{j=0}^{n}{a_{j}z^{j}}\)라고 하면$$\int_{0}^{2\pi}{\overline{f(e^{it})}P(e^{it})dt}=\sum_{j=0}^{n}{a_{j}\int_{0}^{2\pi}{e^{i(j+1)t}dt}}=0$$이나 단위원 위에서 \(|f|=1\)이므로$$\begin{align*}2\pi=\left|\int_{0}^{2\pi}{f\overline{f}dt}\right|&\leq\left|\int_{0}^{2\pi}{(f-P)\overline{f}dt}\right|+\left|\int_{0}^{2\pi}{\overline{f}Pdt}\right|\\&=\left|\int_{0}^{2\pi}{(f-P)\overline{f}dt}\right|\\&\leq\int_{0}^{2\pi}{|f-P|dt}\\&\leq2\pi\|f-P\|_{u}\end{align*}$$이고 따라서 임의의 다항식 \(P\)에 대해 \(\|f-P\|_{u}\geq1\)이다.     

4.47 복소 스톤-바이어슈트라스 정리(Complex Stone-Weirestrass Theorem) 

\(X\)를 컴팩트 \(T_{2}\)공간이라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 점을 분리하고 복소공액에 대해 닫혀있는 \(C(X)\)의 닫힌 복소 부분대수이면 \(\mathcal{A}=C(X)\)이거나 어떤 \(x_{0}\in X\)에 대하여 \(\mathcal{A}=\{f\in C(X)\,|\,f(x_{0})=0\}\)이다.  

증명: \(\displaystyle\text{Re}f=\frac{1}{2}(f+\overline{f})\), \(\displaystyle\text{Im}f=\frac{1}{2i}(f-\overline{f})\)이므로 \(\mathcal{A}\)상의 함수의 실수부와 허수부로 구성된 집합 \(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)은 \(C(X,\,\mathbb{R})\)의 부분대수이다. \(\mathcal{A}=\{f+ig\,|\,f,\,g\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\}\)이므로 스톤-바이어슈트라스 정리(4.44)를 \(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)과 \(C(X,\,\mathbb{R})\)에 적용하여 얻은 결과로부터 성립한다.  

*위 정리를 컴팩트가 아닌 LCH공간에 대해 적용할 수 있다.(\(C_{0}(X,\,\mathbb{R})=C_{0}(X)\cap C(X,\,\mathbb{R})\))

참고자료:   

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사