[측도론] 5-1 노름벡터공간

[측도론] 5-1 노름벡터공간 

\(K\)를 \(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\), \(X\)를 \(K\)상의 벡터공간, \(0\)을 영벡터라고 하자. 부분공간(subspace)을 벡터부분공간으로 간주한다. \(x\in X\)이면, \(Kx\)를 \(x\)에 의해 생성된 1차원 부분공간이라 하고, \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{N}\)이 \(X\)의 부분공간이면, \(\mathcal{M}+\mathcal{N}\)은 부분공간 \(\{x+y\,|\,x\in\mathcal{M},\,y\in\mathcal{N}\}\)을 나타낸다.  

\(X\)상의 반 노름(semi norm)은 다음 조건들을 만족하는 \(X\)에서 \([0,\,\infty)\)로의 함수 \(x\,\mapsto\,\|x\|\)이다.  

i 모든 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|\)(삼각부등식)  

ii 모든 \(x\in X\)와 \(\lambda\in K\)에 대하여 \(\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|\) 

ii에 의해 \(\|0\|=0\)이다. 조건 \(\|x\|=0\,\Leftrightarrow\,x=0\)을 만족하는 반 노름을 노름(norm)이라 하고, 노름을 갖춘 벡터공간을 노름벡터공간(normed vector space)(또는 선형노름공간, normed linear space)이라고 한다.   

\(X\)가 노름벡터공간이면, \(\rho(x,\,y)=\|x-y\|\)는 \(X\)상의 거리이다. 왜냐하면$$\|x-y\|=\|(-1)(y-x)\|,\,\|x-z\|\leq\|x-y\|+\|y-z\|$$이기 때문이다. 

노름거리에 의해 유도된 위상을 \(X\)상의 노름위상(norm topology)이라고 한다. \(C_{1},\,C_{2}>0\)가 존재해서 다음이 성립하면, \(X\)상의 두 노름 \(\|\cdot\|_{1}\), \(\|\cdot\|_{2}\)를 동치(equivalent)라고 한다.$$C_{1}\|x\|_{1}\leq\|x\|_{2}\leq C_{1}\|x\|_{1}$$동치노름은 동치거리를 정의하고 따라서 같은 위상과 같은 코시수열을 만들 수 있다. 노름거리에 대해 완비인 노름벡터공간을 바나흐공간(Banach space)라고 한다.  

노름벡터공간 \(X\)상의 수열 \(\{x_{n}\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{n=1}^{N}{x_{n}}}=x\)이면, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}}\)은 \(x\)로 수렴(converge)한다고 하고, 이때 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\|x_{n}\|}<\infty\)이면, 절대수렴(absolutely convergent)한다고 한다.    

5.1 노름벡터공간 \(X\)가 완비일 필요충분조건은 \(X\)상의 모든 절대수렴하는 급수들이 수렴하는 것이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(X\)를 완비, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\|x_{n}\|}<\infty\), \(\displaystyle S_{N}=\sum_{n=1}^{N}{x_{n}}\)이라고 하자. 그러면 \(N>M\)에 대하여 \(\displaystyle\|S_{N}-S_{M}\|\leq\sum_{n=M+1}^{N}{\|x_{n}\|}\)이고, \(M,\,N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\sum_{n=M+1}^{N}{\|x_{n}\|}\,\rightarrow\,\infty\)이므로 \(\{S_{N}\}\)은 코시수열이고 따라서 수렴한다.  

(\(\Leftarrow\)): 모든 절대수렴하는 급수들이 수렴한다고 하고 \(\{x_{n}\}\)을 코시수열이라고 하자. \(n_{1}<n_{2}<\cdots\)들을 선택해서 모든 \(m,\,n\geq n_{i}\)에 대하여 \(\|x_{n}-x_{m}\|<2^{-i}\)가 되게 할 수 있다. \(y_{1}=x_{n_{1}}\), \(y_{i}=x_{n_{i}}-x_{n_{i-1}}\,(i>1)\)라고 하자. 그러면 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{y_{i}}=x_{n_{k}}\)이고$$\sum_{i=1}^{\infty}{\|y_{i}\|}\leq\|y_{1}\|+\sum_{i=1}^{n}{2^{-i}}=\|y_{1}\|+1<\infty$$이므로 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{k}}}=\sum_{i=1}^{\infty}{y_{i}}\)가 존재한다. \(\{x_{n}\}\)은 코시수열이므로 \(\{x_{n}\}\)과 \(\{x_{n_{k}}\}\)는 같은 극한을 갖는다.   

바나흐공간들의 예: 

i. \(X\)가 위상공간이면, \(B(X)\)와 \(BC(X)\)는 균등노름 \(\displaystyle\|f\|_{u}=\sup_{x\in X}{|f(x)|}\)를 갖는 바나흐공간이다.  

ii. \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)가 측도공간이면, \(L^{1}(\mu)\)는 \(L^{1}\)노름 \(\displaystyle\|f\|_{1}=\int_{X}{|f|d\mu}\)를 갖는 바나흐공간이다. 2.26과 5.1에 의해 \(L^{1}(\mu)\)는 완비인데 그 이유는 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\|f_{n}\|_{1}}<\infty\)이면, 2.26에 의해 \(\displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)이 a.e.존재하고 \(\displaystyle\int_{X}{\left|f-\sum_{n=1}^{N}{f_{n}}\right|d\mu}\leq\sum_{n=N+1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}\)이며 \(\displaystyle\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{n=N+1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}}=0\)이기 때문이다. 

\(X,\,Y\)를 노름공간이라고 하자. \(X\times Y\)가 곱 노름(product norm) \(\|(x,\,y)\|=\max\{\|x\|,\,\|y\|\}\)를 갖추고 있으면, \(X\times Y\)는 노름벡터공간이 된다.(\(\|x\|\)는 \(X\)상의 노름, \(\|y\|\)는 \(Y\)상의 노름)  

위의 곱 노름과 동치인 \(\|(x,\,y)\|=\|x\|+\|y\|\), \(\|(x,\,y)\|=\sqrt{\|x\|^{2}+\|y\|^{2}}\)로 대체할 수 있다.  

\(M\)을 벡터공간 \(X\)의 부분공간이라고 하면, \(M\)은 \(X\)상의 동치관계 \(x\sim y\,\Leftrightarrow\,x-y\in M\)를 정의할 수 있다. \(x\in X\)의 동치류를 \(x+M\)으로 나타내고, 동치류들의 집합인 상공간(quotient space) \(X/M\)은 다음과 같은 벡터연산을 갖춘 벡터공간이다.$$(x+M)+(y+M)=(x+y)+M,\,\lambda(x+M)=(\lambda x)+M$$ 

5.2 \(X\)를 노름벡터공간, \(M\)을 \(X\)의 닫힌부분공간(부분공간이 닫힌집합)이라고 하자.  

a. \(\displaystyle\|x+M\|=\inf_{y\in M}{\|x+y\|}\)는 \(X/M\)상의 노름이다.  

b. \(X\)가 완비이면, \(X/M\)도 완비이다.  

증명: 

a: \(x\in M\)이면, \(\|x+M\|=\|0+M\|=0\)이고, \(\|x+M\|=0\)이면, \(x\in\overline{M}\)이고 \(M\)이 닫혀있으므로 \(x\in M\)이다.(\(M\)이 닫혀있다는 조건이 없으면 \(\|x+M\|\)은 반 노름이다) 스칼라 \(\lambda\)에 대하여 \(\|\lambda(x+M)\|=|\lambda|\|x+M\|\)이 되는 것은 분명하고 \(m_{1},\,m_{2}\in M\)에 대하여$$\|x+y+M\|\leq\|x+y+m_{1}\|\leq\|x+(m_{1}-m_{2})\|+\|y+m_{2}\|$$이므로 \(\inf\)의 정의에 의해 다음의 부등식이 성립한다.$$\|(x+M)+(y+M)\|\leq\|x+M\|+\|y+M\|$$따라서 \(\|x+M\|\)은 \(X/M\)상의 노름이다.    

b: \(\{x_{n}+M\}\)을 \(X/M\)상의 코시수열이라고 하자. 그러면 \(\{x_{n}+M\}\)의 부분열 \(\{x_{n_{i}}+M\}\)이 존재해서$$\|(x_{n_{i}}+M)-(x_{n_{i+1}}+M)\|=\|(x_{n_{i}}-x_{n_{i+1}})+M\|<2^{-i}$$이다. 

\(y_{1}=0\)이라 하고 \(y_{2}\in M\)를 선택하여 조건 \(\|x_{n_{1}}-(x_{n_{1}}+y_{2})\|\leq\|(x_{n_{1}}-x_{n_{2}})+M\|+2^{-1}<2\cdot2^{-1}\)을 만족하게 한다.

\(y_{3}\in M\)을 선택하여 조건 \(\|(x_{n_{2}}+y_{2})-(x_{n_{3}}+y_{3})\|\leq\|(x_{n_{2}}-x_{n_{3}})+M\|+2^{-2}<2\cdot2^{-2}\)가 되게 선택한다. 

귀납적으로 \(\{y_{i}\}\subset M\)을 선택하여 조건 \(\|(x_{n_{i}}+y_{i})-(x_{n_{i+1}}+y_{i+1})\|\leq2\cdot2^{-i}\,(i\in\mathbb{N})\)가 되게 선택한다. 그러면 \(\{x_{n_{i}}+y_{i}\}\)는 \(X\)상의 코시수열이고 \(X\)가 완비이므로 \(x\in X\)가 존재해서 \(\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{(x_{n_{i}}+y_{i})}=x\)이다. \(X\)에서 \(X/M\)으로의 사영 \(\pi(x)=x+M\)은 연속이므로 \(\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\pi(x_{n_{i}}+y_{i})}=\pi(x)\)이고 \(\{x_{n}+M\}\)이 코시수열이므로 \(X/M\)에서 \(x+M\)으로 수렴한다.        

\(X,\,Y\)를 노름벡터공간, \(T:X\,\rightarrow\,Y\)를 선형사상이라고 하자. \(C\geq0\)가 존재해서 모든 \(x\in X\)에 대해 \(\|Tx\|\leq C\|x\|\)이면, \(T\)를 유계(bounded)라고 한다.  

이 정의는 한 집합 상의 함수의 유계성과는 다르다. 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(\|Tx\|\leq C\,(C\geq0)\)를 만족하는 0이 아닌 선형사상은 존재하지 않는다. 그 이유는 모든 스칼라 \(\lambda\)에 대하여 \(T(\lambda x)=\lambda T(x)\)이기 때문이다. 따라서 이 정의는 \(T\)가 \(X\)의 유계부분집합에서 유계임을 의미한다. 

5.3 \(X,\,Y\)를 노름벡터공간, \(T:X\,\rightarrow\,Y\)를 선형사상이라고 하자. 다음 명제들은 서로 동치이다.  

a. \(T\)는 연속이다.  

b. \(T\)는 \(0\)에서 연속이다. 

c. \(T\)는 유계이다. 

증명: 

a\(\Rightarrow\)b: 자명하다.  

b\(\Rightarrow\)c: \(T\)가 \(0\in X\)에서 연속이면, \(0\)의 근방 \(U\)가 존재해서 \(T[U]\subset\{y\in Y\,|\,\|y\|\leq1\}\)이고 \(U\)는 \(0\)이 중심인 공 \(B=\{x\in X\,|\,\|x\|\leq\delta\}\)를 포함해야 한다. 따라서 \(\|x\|\leq\delta\)일 때 \(\|Tx\|\leq1\)이다. \(T\)는 스칼라곱에 대해 교환법칙이 성립해야 하므로 \(\|x\|\leq a\)일 때 \(\|Tx\|\leq a\delta^{-1}\), 즉 \(\|Tx\|\leq\delta^{-1}\|x\|\)이다. 

c\(\Rightarrow\)a: \(\|Tx\|\leq C\|x\|\,(x\in X)\), \(\|x_{1}-x_{2}\|\leq C^{-1}\epsilon\)이면, \(\|Tx_{1}-Tx_{2}\|=\|T(x_{1}-x_{2})\|\leq\epsilon\)이므로 \(T\)는 연속이다.  

\(X,\,Y\)를 노름벡터공간이라고 하자. \(X\)에서 \(Y\)로의 유계선형사상들의 공간을 \(L(X,\,Y)\)로 나타내고 \(L(X,\,Y)\)는 벡터공간이다.  

다음과 같이 정의되는 함수 \(T\,\mapsto\,\|T\|\)는 \(L(X,\,Y)\)상의 노름이고 연산자노름(operator norm)이라고 한다.$$\begin{align*}\|T\|&=\sup_{\|x\|=1}{\|Tx\|}\\&=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}\\&=\inf\{C\geq0\,|\,\|Tx\|\leq C\|x\|\,\text{for all}\,x\in X\}\end{align*}$$*\(\|x\|=a\), \(\displaystyle y=\frac{1}{a}x\,(x\neq0)\)라고 하면 \(\displaystyle\|y\|=\frac{\|x\|}{a}=1\)이고 \(T\)가 선형이므로 $$\|T\|=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{a}}=\sup_{x\neq0}{\left\| T\left(\frac{1}{a}x\right)\right\|}=\sup_{\|y\|=1}{\|Ty\|}$$이고 \(\displaystyle\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}=\sup_{\|x\|=1}{\|Tx\|}\)이다. 

\(I_{1}\)과 \(I_{2}\)를 다음과 같이 정의하자.$$I_{1}=\inf\{C\geq0\,|\,\|Tx\|\leq C\|x\|\,\text{for all}\,x\in X\},\,I_{2}=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}$$\(\|Tx\|\leq I_{2}\|x\|\)이므로 \(I_{1}\leq I_{2}\)이고 \(\sup\)의 정의에 의해 수열 \(\{x_{n}\}\)이 존재해서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\displaystyle\frac{\|Tx_{n}\|}{\|x_{n}\|}\geq I_{2}-\frac{1}{n}\)이고 \(I_{1}\)의 정의에 의해 \(\displaystyle I_{1}\geq\frac{\|Tx_{n}\|}{\|x_{n}\|}\)이고 \(I_{1}\geq I_{2}\)이다. 따라서 \(I_{1}=I_{2}\), 즉 다음이 성립한다.$$\inf\{C\geq0\,|\,\|Tx\|\leq C\|x\|\,\text{for all}\,x\in X\}=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}$$  

*\(\|T\|=0\)이면 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(Tx=0\)이므로 \(T=0\)이다. 다음에 의해 \(T\)에 대한 \(\|T\|\)는 노름이다.$$\begin{align*}\sup_{\|x\|=1}{\|\alpha Tx\|}&=\sup_{\|x\|=1}{|\alpha|\|Tx\|}=|\alpha|\sup_{\|x\|=1}{\|Tx\|}\\ \sup_{\|x\|=1}{\|(T_{1}+T_{2})x\|}&=\sup_{\|x\|=1}{\|T_{1}x+T_{2}x\|}\leq\sup_{\|x\|=1}{\|T_{1}x\|}+\sup_{\|x\|=1}{\|T_{2}x\|}\end{align*}$$ 

5.4 \(Y\)가 완비이면 \(L(X,\,Y)\)도 완비이다.  

증명: \(\{T_{n}\}\)을 \(L(X,\,Y)\)상의 코시수열이라고 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N_{\epsilon}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 모든 \(m,\,n\geq N_{\epsilon}\)에 대해 \(\|T_{m}-T_{n}\|<\epsilon\)이고 이때 \(\epsilon=1\), \(C=1+\max\{\|T_{1}\|,\,\|T_{2}\|,\,...,\,\|T_{N_{i}}\|\}\)라 하면, 모든 \(n\geq1\)에 대해 \(\|T_{n}\|\leq C\)이고 따라서 모든 \(x\in X\), \(m,\,n\geq N_{\epsilon}\)에 대하여 \(\|T_{m}x-T_{n}x\|\leq\epsilon\|x\|\)이고 따라서 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(\{T_{n}x\}\)는 코시수열이고 \(Y\)가 완비이므로 \(\{T_{n}x\}\)는 수렴한다. 

\(T:X\,\rightarrow\,Y\)를 \(Tx=\lim_{n\,\rightarrow\,}{T_{n}x}\)로 정의하면 \(\|Tx\|\leq C\|x\|\)이고 \(T\)는 선형이므로 \(T\)는 연속이다. \(n\geq N_{\epsilon}\)을 고정하고 \(m\,\rightarrow\,\infty\)이라 하면 모든 \(x\in X\), \(n\geq N_{\epsilon}\)에 대하여 \(\|T_{n}x-Tx\|\leq\epsilon\|x\|\)이고 모든 \(n\geq N_{\epsilon}\)에 대하여 \(\|T_{n}-T\|\leq\epsilon\)이므로 따라서 \(\{T_{n}\}\)은 \(T\)로 수렴한다. 

\(T\in L(X,\,Y)\), \(S\in L(Y,\,Z)\)이면$$\|STx\|\leq\|S\|\|Tx\|\leq\|S\|\|T\|\|x\|$$이므로 \(ST\in L(X,\,Z)\)이고 \(\|ST\|\leq\|S\|\|T\|\)이다. 특히 \(L(X,\,X)\)는 대수이고 \(X\)가 완비이면, \(L(X,\,X)\)는 바나흐대수(Banach algebra)이다.  

(\(L(X,\,X)\)가 대수라는 것은 \(f,\,g\in L(X,\,X)\)일 때, \(fg\in L(X,\,X)\)이고 \(\|fg\|\leq\|f\|\|g\|\)인 것이다)

곱이 점별수렴하고 균등노름을 가진 \(BC(X)\)(\(X\)는 위상공간)는 바나흐공간이다.  

\(T\in L(X,\,Y)\)라고 하자. \(T\)가 전단사이고 \(T^{-1}\)가 유계(어떤 \(C\geq0\)에 대하여 \(\|Tx\|\geq C\|x\|\))이면, \(T\)를 가역(invertible) 또는 동형사상(isomorphism)이라 하고, 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(\|Tx\|=\|x\|\)이면, \(T\)를 등거리(isometry)라고 한다.  

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사