[측도론] 5-1 노름벡터공간

[측도론] 5-1 노름벡터공간 

$K$를 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$, $X$를 $K$상의 벡터공간, $0$을 영벡터라고 하자. 부분공간(subspace)을 벡터부분공간으로 간주한다. $x\in X$이면, $Kx$를 $x$에 의해 생성된 1차원 부분공간이라 하고, $\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$이 $X$의 부분공간이면, $\mathcal{M}+\mathcal{N}$은 부분공간 $\{x+y\,|\,x\in\mathcal{M},\,y\in\mathcal{N}\}$을 나타낸다.  

$X$상의 반 노름(semi norm)은 다음 조건들을 만족하는 $X$에서 $[0,\,\infty)$로의 함수 $x\,\mapsto\,\|x\|$이다.  

i 모든 $x,\,y\in X$에 대하여 $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$(삼각부등식)  

ii 모든 $x\in X$와 $\lambda\in K$에 대하여 $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$ 

ii에 의해 $\|0\|=0$이다. 조건 $\|x\|=0\,\Leftrightarrow\,x=0$을 만족하는 반 노름을 노름(norm)이라 하고, 노름을 갖춘 벡터공간을 노름벡터공간(normed vector space)(또는 선형노름공간, normed linear space)이라고 한다.   

$X$가 노름벡터공간이면, $\rho(x,\,y)=\|x-y\|$는 $X$상의 거리이다. 왜냐하면 $$\|x-y\|=\|(-1)(y-x)\|,\,\|x-z\|\leq\|x-y\|+\|y-z\|$$ 이기 때문이다. 

노름거리에 의해 유도된 위상을 $X$상의 노름위상(norm topology)이라고 한다. $C_{1},\,C_{2}>0$가 존재해서 다음이 성립하면, $X$상의 두 노름 $\|\cdot\|_{1}$, $\|\cdot\|_{2}$를 동치(equivalent)라고 한다. $$C_{1}\|x\|_{1}\leq\|x\|_{2}\leq C_{1}\|x\|_{1}$$ 동치노름은 동치거리를 정의하고 따라서 같은 위상과 같은 코시수열을 만들 수 있다. 노름거리에 대해 완비인 노름벡터공간을 바나흐공간(Banach space)라고 한다.  

노름벡터공간 $X$상의 수열 $\{x_{n}\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{n=1}^{N}{x_{n}}}=x$이면, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}}$은 $x$로 수렴(converge)한다고 하고, 이때 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\|x_{n}\|}<\infty$이면, 절대수렴(absolutely convergent)한다고 한다.    

5.1 노름벡터공간 $X$가 완비일 필요충분조건은 $X$상의 모든 절대수렴하는 급수들이 수렴하는 것이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): $X$를 완비, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\|x_{n}\|}<\infty$, $\displaystyle S_{N}=\sum_{n=1}^{N}{x_{n}}$이라고 하자. 그러면 $N>M$에 대하여 $\displaystyle\|S_{N}-S_{M}\|\leq\sum_{n=M+1}^{N}{\|x_{n}\|}$이고, $M,\,N\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\sum_{n=M+1}^{N}{\|x_{n}\|}\,\rightarrow\,\infty$이므로 $\{S_{N}\}$은 코시수열이고 따라서 수렴한다.  

($\Leftarrow$): 모든 절대수렴하는 급수들이 수렴한다고 하고 $\{x_{n}\}$을 코시수열이라고 하자. $n_{1}<n_{2}<\cdots$들을 선택해서 모든 $m,\,n\geq n_{i}$에 대하여 $\|x_{n}-x_{m}\|<2^{-i}$가 되게 할 수 있다. $y_{1}=x_{n_{1}}$, $y_{i}=x_{n_{i}}-x_{n_{i-1}}\,(i>1)$라고 하자. 그러면 $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{y_{i}}=x_{n_{k}}$이고 $$\sum_{i=1}^{\infty}{\|y_{i}\|}\leq\|y_{1}\|+\sum_{i=1}^{n}{2^{-i}}=\|y_{1}\|+1<\infty$$ 이므로 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{k}}}=\sum_{i=1}^{\infty}{y_{i}}$가 존재한다. $\{x_{n}\}$은 코시수열이므로 $\{x_{n}\}$과 $\{x_{n_{k}}\}$는 같은 극한을 갖는다.   

바나흐공간들의 예: 

i. $X$가 위상공간이면, $B(X)$와 $BC(X)$는 균등노름 $\displaystyle\|f\|_{u}=\sup_{x\in X}{|f(x)|}$를 갖는 바나흐공간이다.  

ii. $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$가 측도공간이면, $L^{1}(\mu)$는 $L^{1}$노름 $\displaystyle\|f\|_{1}=\int_{X}{|f|d\mu}$를 갖는 바나흐공간이다. 2.26과 5.1에 의해 $L^{1}(\mu)$는 완비인데 그 이유는 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\|f_{n}\|_{1}}<\infty$이면, 2.26에 의해 $\displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$이 a.e.존재하고 $\displaystyle\int_{X}{\left|f-\sum_{n=1}^{N}{f_{n}}\right|d\mu}\leq\sum_{n=N+1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}$이며 $\displaystyle\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{n=N+1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}}=0$이기 때문이다. 

$X,\,Y$를 노름공간이라고 하자. $X\times Y$가 곱 노름(product norm) $\|(x,\,y)\|=\max\{\|x\|,\,\|y\|\}$를 갖추고 있으면, $X\times Y$는 노름벡터공간이 된다.($\|x\|$는 $X$상의 노름, $\|y\|$는 $Y$상의 노름)  

위의 곱 노름과 동치인 $\|(x,\,y)\|=\|x\|+\|y\|$, $\|(x,\,y)\|=\sqrt{\|x\|^{2}+\|y\|^{2}}$로 대체할 수 있다.  

$M$을 벡터공간 $X$의 부분공간이라고 하면, $M$은 $X$상의 동치관계 $x\sim y\,\Leftrightarrow\,x-y\in M$를 정의할 수 있다. $x\in X$의 동치류를 $x+M$으로 나타내고, 동치류들의 집합인 상공간(quotient space) $X/M$은 다음과 같은 벡터연산을 갖춘 벡터공간이다. $$(x+M)+(y+M)=(x+y)+M,\,\lambda(x+M)=(\lambda x)+M$$  

5.2 $X$를 노름벡터공간, $M$을 $X$의 닫힌부분공간(부분공간이 닫힌집합)이라고 하자.  

a. $\displaystyle\|x+M\|=\inf_{y\in M}{\|x+y\|}$는 $X/M$상의 노름이다.  

b. $X$가 완비이면, $X/M$도 완비이다.  

증명: 

a: $x\in M$이면, $\|x+M\|=\|0+M\|=0$이고, $\|x+M\|=0$이면, $x\in\overline{M}$이고 $M$이 닫혀있으므로 $x\in M$이다.($M$이 닫혀있다는 조건이 없으면 $\|x+M\|$은 반 노름이다) 스칼라 $\lambda$에 대하여 $\|\lambda(x+M)\|=|\lambda|\|x+M\|$이 되는 것은 분명하고 $m_{1},\,m_{2}\in M$에 대하여 $$\|x+y+M\|\leq\|x+y+m_{1}\|\leq\|x+(m_{1}-m_{2})\|+\|y+m_{2}\|$$ 이므로 $\inf$의 정의에 의해 다음의 부등식이 성립한다. $$\|(x+M)+(y+M)\|\leq\|x+M\|+\|y+M\|$$ 따라서 $\|x+M\|$은 $X/M$상의 노름이다.    

b: $\{x_{n}+M\}$을 $X/M$상의 코시수열이라고 하자. 그러면 $\{x_{n}+M\}$의 부분열 $\{x_{n_{i}}+M\}$이 존재해서 $$\|(x_{n_{i}}+M)-(x_{n_{i+1}}+M)\|=\|(x_{n_{i}}-x_{n_{i+1}})+M\|<2^{-i}$$ 이다. 

$y_{1}=0$이라 하고 $y_{2}\in M$를 선택하여 조건 $\|x_{n_{1}}-(x_{n_{1}}+y_{2})\|\leq\|(x_{n_{1}}-x_{n_{2}})+M\|+2^{-1}<2\cdot2^{-1}$을 만족하게 한다.

$y_{3}\in M$을 선택하여 조건 $\|(x_{n_{2}}+y_{2})-(x_{n_{3}}+y_{3})\|\leq\|(x_{n_{2}}-x_{n_{3}})+M\|+2^{-2}<2\cdot2^{-2}$가 되게 선택한다. 

귀납적으로 $\{y_{i}\}\subset M$을 선택하여 조건 $\|(x_{n_{i}}+y_{i})-(x_{n_{i+1}}+y_{i+1})\|\leq2\cdot2^{-i}\,(i\in\mathbb{N})$가 되게 선택한다. 그러면 $\{x_{n_{i}}+y_{i}\}$는 $X$상의 코시수열이고 $X$가 완비이므로 $x\in X$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{(x_{n_{i}}+y_{i})}=x$이다. $X$에서 $X/M$으로의 사영 $\pi(x)=x+M$은 연속이므로 $\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\pi(x_{n_{i}}+y_{i})}=\pi(x)$이고 $\{x_{n}+M\}$이 코시수열이므로 $X/M$에서 $x+M$으로 수렴한다.        

$X,\,Y$를 노름벡터공간, $T:X\,\rightarrow\,Y$를 선형사상이라고 하자. $C\geq0$가 존재해서 모든 $x\in X$에 대해 $\|Tx\|\leq C\|x\|$이면, $T$를 유계(bounded)라고 한다.  

이 정의는 한 집합 상의 함수의 유계성과는 다르다. 모든 $x\in X$에 대하여 $\|Tx\|\leq C\,(C\geq0)$를 만족하는 0이 아닌 선형사상은 존재하지 않는다. 그 이유는 모든 스칼라 $\lambda$에 대하여 $T(\lambda x)=\lambda T(x)$이기 때문이다. 따라서 이 정의는 $T$가 $X$의 유계부분집합에서 유계임을 의미한다. 

5.3 $X,\,Y$를 노름벡터공간, $T:X\,\rightarrow\,Y$를 선형사상이라고 하자. 다음 명제들은 서로 동치이다.  

a. $T$는 연속이다.  

b. $T$는 $0$에서 연속이다. 

c. $T$는 유계이다. 

증명: 

a$\Rightarrow$b: 자명하다.  

b$\Rightarrow$c: $T$가 $0\in X$에서 연속이면, $0$의 근방 $U$가 존재해서 $T[U]\subset\{y\in Y\,|\,\|y\|\leq1\}$이고 $U$는 $0$이 중심인 공 $B=\{x\in X\,|\,\|x\|\leq\delta\}$를 포함해야 한다. 따라서 $\|x\|\leq\delta$일 때 $\|Tx\|\leq1$이다. $T$는 스칼라곱에 대해 교환법칙이 성립해야 하므로 $\|x\|\leq a$일 때 $\|Tx\|\leq a\delta^{-1}$, 즉 $\|Tx\|\leq\delta^{-1}\|x\|$이다. 

c$\Rightarrow$a: $\|Tx\|\leq C\|x\|\,(x\in X)$, $\|x_{1}-x_{2}\|\leq C^{-1}\epsilon$이면, $\|Tx_{1}-Tx_{2}\|=\|T(x_{1}-x_{2})\|\leq\epsilon$이므로 $T$는 연속이다.  

$X,\,Y$를 노름벡터공간이라고 하자. $X$에서 $Y$로의 유계선형사상들의 공간을 $L(X,\,Y)$로 나타내고 $L(X,\,Y)$는 벡터공간이다.  

다음과 같이 정의되는 함수 $T\,\mapsto\,\|T\|$는 $L(X,\,Y)$상의 노름이고 연산자노름(operator norm)이라고 한다. $$\begin{align*}\|T\|&=\sup_{\|x\|=1}{\|Tx\|}\\&=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}\\&=\inf\{C\geq0\,|\,\|Tx\|\leq C\|x\|\,\text{for all}\,x\in X\}\end{align*}$$ *$\|x\|=a$, $\displaystyle y=\frac{1}{a}x\,(x\neq0)$라고 하면 $\displaystyle\|y\|=\frac{\|x\|}{a}=1$이고 $T$가 선형이므로 $$\|T\|=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{a}}=\sup_{x\neq0}{\left\| T\left(\frac{1}{a}x\right)\right\|}=\sup_{\|y\|=1}{\|Ty\|}$$ 이고 $\displaystyle\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}=\sup_{\|x\|=1}{\|Tx\|}$이다. 

$I_{1}$과 $I_{2}$를 다음과 같이 정의하자. $$I_{1}=\inf\{C\geq0\,|\,\|Tx\|\leq C\|x\|\,\text{for all}\,x\in X\},\,I_{2}=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}$$ $\|Tx\|\leq I_{2}\|x\|$이므로 $I_{1}\leq I_{2}$이고 $\sup$의 정의에 의해 수열 $\{x_{n}\}$이 존재해서 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle\frac{\|Tx_{n}\|}{\|x_{n}\|}\geq I_{2}-\frac{1}{n}$이고 $I_{1}$의 정의에 의해 $\displaystyle I_{1}\geq\frac{\|Tx_{n}\|}{\|x_{n}\|}$이고 $I_{1}\geq I_{2}$이다. 따라서 $I_{1}=I_{2}$, 즉 다음이 성립한다. $$\inf\{C\geq0\,|\,\|Tx\|\leq C\|x\|\,\text{for all}\,x\in X\}=\sup_{x\neq0}{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}}$$   

*$\|T\|=0$이면 모든 $x\in X$에 대하여 $Tx=0$이므로 $T=0$이다. 다음에 의해 $T$에 대한 $\|T\|$는 노름이다. $$\begin{align*}\sup_{\|x\|=1}{\|\alpha Tx\|}&=\sup_{\|x\|=1}{|\alpha|\|Tx\|}=|\alpha|\sup_{\|x\|=1}{\|Tx\|}\\ \sup_{\|x\|=1}{\|(T_{1}+T_{2})x\|}&=\sup_{\|x\|=1}{\|T_{1}x+T_{2}x\|}\leq\sup_{\|x\|=1}{\|T_{1}x\|}+\sup_{\|x\|=1}{\|T_{2}x\|}\end{align*}$$  

5.4 $Y$가 완비이면 $L(X,\,Y)$도 완비이다.  

증명: $\{T_{n}\}$을 $L(X,\,Y)$상의 코시수열이라고 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N_{\epsilon}\in\mathbb{N}$이 존재해서 모든 $m,\,n\geq N_{\epsilon}$에 대해 $\|T_{m}-T_{n}\|<\epsilon$이고 이때 $\epsilon=1$, $C=1+\max\{\|T_{1}\|,\,\|T_{2}\|,\,...,\,\|T_{N_{i}}\|\}$라 하면, 모든 $n\geq1$에 대해 $\|T_{n}\|\leq C$이고 따라서 모든 $x\in X$, $m,\,n\geq N_{\epsilon}$에 대하여 $\|T_{m}x-T_{n}x\|\leq\epsilon\|x\|$이고 따라서 모든 $x\in X$에 대하여 $\{T_{n}x\}$는 코시수열이고 $Y$가 완비이므로 $\{T_{n}x\}$는 수렴한다. 

$T:X\,\rightarrow\,Y$를 $Tx=\lim_{n\,\rightarrow\,}{T_{n}x}$로 정의하면 $\|Tx\|\leq C\|x\|$이고 $T$는 선형이므로 $T$는 연속이다. $n\geq N_{\epsilon}$을 고정하고 $m\,\rightarrow\,\infty$이라 하면 모든 $x\in X$, $n\geq N_{\epsilon}$에 대하여 $\|T_{n}x-Tx\|\leq\epsilon\|x\|$이고 모든 $n\geq N_{\epsilon}$에 대하여 $\|T_{n}-T\|\leq\epsilon$이므로 따라서 $\{T_{n}\}$은 $T$로 수렴한다. 

$T\in L(X,\,Y)$, $S\in L(Y,\,Z)$이면 $$\|STx\|\leq\|S\|\|Tx\|\leq\|S\|\|T\|\|x\|$$ 이므로 $ST\in L(X,\,Z)$이고 $\|ST\|\leq\|S\|\|T\|$이다. 특히 $L(X,\,X)$는 대수이고 $X$가 완비이면, $L(X,\,X)$는 바나흐대수(Banach algebra)이다.  

($L(X,\,X)$가 대수라는 것은 $f,\,g\in L(X,\,X)$일 때, $fg\in L(X,\,X)$이고 $\|fg\|\leq\|f\|\|g\|$인 것이다)

곱이 점별수렴하고 균등노름을 가진 $BC(X)$($X$는 위상공간)는 바나흐공간이다.  

$T\in L(X,\,Y)$라고 하자. $T$가 전단사이고 $T^{-1}$가 유계(어떤 $C\geq0$에 대하여 $\|Tx\|\geq C\|x\|$)이면, $T$를 가역(invertible) 또는 동형사상(isomorphism)이라 하고, 모든 $x\in X$에 대하여 $\|Tx\|=\|x\|$이면, $T$를 등거리(isometry)라고 한다.  

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사