[측도론] 4-3 컴팩트공간

[측도론] 4-3 컴팩트공간

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(E\subset X\)이고 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\)들을 모은 집합족이면, \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 \(E\)의 덮개(cover)라 하고, \(E\)는 \(U_{\alpha}\)들로 덮힌다고 한다. 

\(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 열린덮개(open cover)이고 \(A\)의 유한부분집합 \(B\)가 존재해서 \(\displaystyle X=\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\)이면, \(X\)를 컴팩트공간(compact space)이라고 한다.(\(X\)의 모든 열린덮개들이 유한부분덮개를 가지면 컴팩트이다)  

\(Y\)가 위상공간 \(X\)의 부분집합이고, 상대위상에 대해 컴팩트이면, \(Y\)는 컴팩트이고 따라서 \(Y\subset X\)가 컴팩트일 필요충분조건은 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 \(\displaystyle Y\subset\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\)를 만족하는 \(X\)의 열린 부분집합들의 집합족이면, 유한집합 \(B\subset A\)가 존재해서 \(\displaystyle Y\subset\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\)이다. 또한 \(\overline{Y}\)가 컴팩트이면, \(Y\)를 예비컴팩트(precompact)라고 한다.   

드 모르간 법칙으로부터 닫힌집합들에 대한 컴팩트성을 정의할 수 있다. \(X\)의 부분집합족 \(\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)와 모든 유한집합 \(B\subset A\)에 대하여 \(\displaystyle\bigcap_{\alpha\in A}{F_{\alpha}}\neq\phi\)이면, \(\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)는 유한상교성(finite intersection property)을 갖는다고 한다.  

*쉽게 말하자면 어떤 집합이 컴팩트라는 것은 유한개의 열린덮개로 그 집합을 덮을 수 있다는 것이다.   

4.21 위상공간 \(X\)가 컴팩트일 필요충분조건은 \(\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 유한상교성을 만족하는 닫힌집합들의 집합족이다.  

증명: \(U_{\alpha}=(F_{\alpha})^{c}\)라고 하자. 그러면 \(U_{\alpha}\)는 열린집합이고 \(\displaystyle\bigcap_{\alpha\in A}{F_{\alpha}}\neq\phi\,\Leftrightarrow\,\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\neq X\)와 동치이므로 \(\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 유한상교성을 만족할 필요충분조건은 "\(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)의 어떠한 유한개의 부분족도 \(X\)를 덮지 못한다"이므로 이 명제는 성립한다.   

4.22 컴팩트공간의 닫핀 부분집합은 컴팩트이다.  

증명: \(X\)를 컴팩트공간, \(F\subset X\)를 닫힌집합, \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 \(\displaystyle F\subset\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\)인 \(X\)상의 열린집합족이라고 하자. 그러면 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\cup F^{c}\)는 \(X\)의 한 열린덮개이고 유한부분덮개를 갖는다. 필요할 때 \(F^{c}\)를 제거하면 \(F\)를 덮는 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)의 유한부분덮개를 얻고 따라서 이 명제는 성립한다.  

4.23 \(F\)가 \(T_{2}\)공간 \(X\)의 컴팩트부분집합이고, \(x\notin F\)이면, 서로소인 열린집합 \(U\), \(V\)가 존재해서 \(x\in U\), \(F\subset V\)이다.   

증명: 각 \(y\in F\)에 대하여 \(x\in U_{y}\), \(y\in V_{y}\)인 서로소인 열린집합 \(U_{y}\), \(V_{y}\)를 고르자. 그러면 \(\{V_{y}\}_{y\in F}\)는 \(F\)의 한 열린덮개이고, \(F\)가 컴팩트이므로 유한부분덮개 \(\{V_{y_{i}}\}_{i=1}^{n}\)을 갖는다. \(\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{n}{U_{y_{i}}}\), \(\displaystyle V=\bigcup_{i=1}^{n}{V_{y_{i}}}\)라고 하면 \(x\in U\), \(F\subset V\)이다.  

4.24 모든 \(T_{2}\)공간의 컴팩트부분집합은 닫힌집합이다.  

증명: 4.23에 의해 \(F\)가 컴팩트집합이면, \(F^{c}\)는 \(F^{c}\)의 각 점들의 근방이 되고 따라서 열린집합이다.  

4.25 모든 컴팩트 \(T_{2}\)공간은 \(T_{4}\)공간이다.  

증명: \(X\)를 컴팩트 \(T_{2}\)공간, \(E\), \(F\)를 서로소인 \(X\)의 닫힌 부분집합이라 하자. 4.23에 의해 각 \(x\in E\)에 대하여 서로소인 열린집합 \(U_{x}\), \(V_{x}\)가 존재해서 \(x\in U_{x}\), \(F\subset V_{x}\)이다. 4.22에 의해 \(E\)는 컴팩트이고 \(\{U_{x}\}_{x\in E}\)는 \(E\)의 한 열린덮개이므로 유한부분덮개 \(\{U_{x_{i}}\}_{i=1}^{n}\)을 갖는다. \(\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{n}{U_{x_{i}}}\), \(\displaystyle V=\bigcup_{i=1}^{n}{V_{x_{i}}}\)라고 하면, \(U\), \(V\)는 서로소인 열린집합이고 \(E\subset U\), \(F\subset V\)이다.  

4.26 \(X\)가 컴팩트공간이고, \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 연속함수이면, \(f[X]\)도 컴팩트집합이다.  

증명: \(\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 \(Y\)에서의 \(f[X]\)의 열린덮개라 하자. 그러면 \(\{f^{-1}[V_{\alpha}]\}_{\alpha\in A}\)는 \(X\)의 열린덮개이고 \(X\)는 컴팩트이므로 유한부분덮개 \(\{f^{-1}[V_{\alpha_{i}}]\}_{i=1}^{n}\)를 갖고 따라서 \(\{V_{\alpha_{i}}\}_{i=1}^{n}\)은 \(f[X]\)의 유한부분덮개이다.  

4.26으로부터 \(X\)가 컴팩트이면, \(C(X)=BC(X)\)이다.  

4.27 \(X\)가 컴팩트공간, \(Y\)가 \(T_{2}\)공간이면, 임의의 전단사 연속함수 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)는 위상동형사상이다.  

증명: \(E\subset X\)가 닫힌집합이면, 4.22에 의해 \(E\)는 컴팩트이고 4.26에 의해 \(f[E]\)는 컴팩트이므로 4.24에 의해 닫힌집합이다. 이것은 \(f^{-1}[E]\)가 연속임을 뜻하고 따라서 \(f\)는 위상동형이다.  

위상공간 \(X\)의 가산개의 열린덮개들이 유한부분덮개를 가지면 \(X\)를 가산컴팩트(countably compact)라고 하고, \(X\)상의 모든 수열이 수렴하는 부분수열을 가지면 \(X\)를 수열컴팩트(sequential compact)라고 한다.  

모든 컴팩트공간은 가산컴팩트이고, 거리공간에서 컴팩트성과 가산컴팩트성, 수열컴팩트성은 서로 동치이다.(일반적인 위상공간에서는 성립하지 않음) 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley