[측도론] 4-3 컴팩트공간

[측도론] 4-3 컴팩트공간

$X$를 위상공간이라 하자. $E\subset X$이고 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 $\displaystyle E\subset\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}$들을 모은 집합족이면, $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$를 $E$의 덮개(cover)라 하고, $E$는 $U_{\alpha}$들로 덮힌다고 한다. 

$\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 열린덮개(open cover)이고 $A$의 유한부분집합 $B$가 존재해서 $\displaystyle X=\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}$이면, $X$를 컴팩트공간(compact space)이라고 한다.($X$의 모든 열린덮개들이 유한부분덮개를 가지면 컴팩트이다)  

$Y$가 위상공간 $X$의 부분집합이고, 상대위상에 대해 컴팩트이면, $Y$는 컴팩트이고 따라서 $Y\subset X$가 컴팩트일 필요충분조건은 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 $\displaystyle Y\subset\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}$를 만족하는 $X$의 열린 부분집합들의 집합족이면, 유한집합 $B\subset A$가 존재해서 $\displaystyle Y\subset\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}$이다. 또한 $\overline{Y}$가 컴팩트이면, $Y$를 예비컴팩트(precompact)라고 한다.   

드 모르간 법칙으로부터 닫힌집합들에 대한 컴팩트성을 정의할 수 있다. $X$의 부분집합족 $\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$와 모든 유한집합 $B\subset A$에 대하여 $\displaystyle\bigcap_{\alpha\in A}{F_{\alpha}}\neq\phi$이면, $\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$는 유한상교성(finite intersection property)을 갖는다고 한다.  

*쉽게 말하자면 어떤 집합이 컴팩트라는 것은 유한개의 열린덮개로 그 집합을 덮을 수 있다는 것이다.   

4.21 위상공간 $X$가 컴팩트일 필요충분조건은 $\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 유한상교성을 만족하는 닫힌집합들의 집합족이다.  

증명: $U_{\alpha}=(F_{\alpha})^{c}$라고 하자. 그러면 $U_{\alpha}$는 열린집합이고 $\displaystyle\bigcap_{\alpha\in A}{F_{\alpha}}\neq\phi\,\Leftrightarrow\,\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\neq X$와 동치이므로 $\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 유한상교성을 만족할 필요충분조건은 "$\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$의 어떠한 유한개의 부분족도 $X$를 덮지 못한다"이므로 이 명제는 성립한다.   

4.22 컴팩트공간의 닫핀 부분집합은 컴팩트이다.  

증명: $X$를 컴팩트공간, $F\subset X$를 닫힌집합, $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$를 $\displaystyle F\subset\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}$인 $X$상의 열린집합족이라고 하자. 그러면 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\cup F^{c}$는 $X$의 한 열린덮개이고 유한부분덮개를 갖는다. 필요할 때 $F^{c}$를 제거하면 $F$를 덮는 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$의 유한부분덮개를 얻고 따라서 이 명제는 성립한다.  

4.23 $F$가 $T_{2}$공간 $X$의 컴팩트부분집합이고, $x\notin F$이면, 서로소인 열린집합 $U$, $V$가 존재해서 $x\in U$, $F\subset V$이다.   

증명: 각 $y\in F$에 대하여 $x\in U_{y}$, $y\in V_{y}$인 서로소인 열린집합 $U_{y}$, $V_{y}$를 고르자. 그러면 $\{V_{y}\}_{y\in F}$는 $F$의 한 열린덮개이고, $F$가 컴팩트이므로 유한부분덮개 $\{V_{y_{i}}\}_{i=1}^{n}$을 갖는다. $\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{n}{U_{y_{i}}}$, $\displaystyle V=\bigcup_{i=1}^{n}{V_{y_{i}}}$라고 하면 $x\in U$, $F\subset V$이다.  

4.24 모든 $T_{2}$공간의 컴팩트부분집합은 닫힌집합이다.  

증명: 4.23에 의해 $F$가 컴팩트집합이면, $F^{c}$는 $F^{c}$의 각 점들의 근방이 되고 따라서 열린집합이다.  

4.25 모든 컴팩트 $T_{2}$공간은 $T_{4}$공간이다.  

증명: $X$를 컴팩트 $T_{2}$공간, $E$, $F$를 서로소인 $X$의 닫힌 부분집합이라 하자. 4.23에 의해 각 $x\in E$에 대하여 서로소인 열린집합 $U_{x}$, $V_{x}$가 존재해서 $x\in U_{x}$, $F\subset V_{x}$이다. 4.22에 의해 $E$는 컴팩트이고 $\{U_{x}\}_{x\in E}$는 $E$의 한 열린덮개이므로 유한부분덮개 $\{U_{x_{i}}\}_{i=1}^{n}$을 갖는다. $\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{n}{U_{x_{i}}}$, $\displaystyle V=\bigcup_{i=1}^{n}{V_{x_{i}}}$라고 하면, $U$, $V$는 서로소인 열린집합이고 $E\subset U$, $F\subset V$이다.  

4.26 $X$가 컴팩트공간이고, $f:X\,\rightarrow\,Y$가 연속함수이면, $f[X]$도 컴팩트집합이다.  

증명: $\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$를 $Y$에서의 $f[X]$의 열린덮개라 하자. 그러면 $\{f^{-1}[V_{\alpha}]\}_{\alpha\in A}$는 $X$의 열린덮개이고 $X$는 컴팩트이므로 유한부분덮개 $\{f^{-1}[V_{\alpha_{i}}]\}_{i=1}^{n}$를 갖고 따라서 $\{V_{\alpha_{i}}\}_{i=1}^{n}$은 $f[X]$의 유한부분덮개이다.  

4.26으로부터 $X$가 컴팩트이면, $C(X)=BC(X)$이다.  

4.27 $X$가 컴팩트공간, $Y$가 $T_{2}$공간이면, 임의의 전단사 연속함수 $f:X\,\rightarrow\,Y$는 위상동형사상이다.  

증명: $E\subset X$가 닫힌집합이면, 4.22에 의해 $E$는 컴팩트이고 4.26에 의해 $f[E]$는 컴팩트이므로 4.24에 의해 닫힌집합이다. 이것은 $f^{-1}[E]$가 연속임을 뜻하고 따라서 $f$는 위상동형이다.  

위상공간 $X$의 가산개의 열린덮개들이 유한부분덮개를 가지면 $X$를 가산컴팩트(countably compact)라고 하고, $X$상의 모든 수열이 수렴하는 부분수열을 가지면 $X$를 수열컴팩트(sequential compact)라고 한다.  

모든 컴팩트공간은 가산컴팩트이고, 거리공간에서 컴팩트성과 가산컴팩트성, 수열컴팩트성은 서로 동치이다.(일반적인 위상공간에서는 성립하지 않음) 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley