[측도론] 3-6 유계변동함수(2)

[측도론] 3-6 유계변동함수(2) 

다음의 정리는 \(NBV\)함수를 \(\mu\perp m\) 또는 \(\mu\ll m\)을 만족하는 측도 \(\mu\)로 대응시킬 수 있음을 보여준다. 

3.30 \(F\in NBV\)이면, \(F'\in L^{1}(m)\)이다. 게다가 \(\mu_{F}\perp m\,\Leftrightarrow\,F'=0\,a.e.\)이고 \(\displaystyle\mu_{F}\ll m\,\Leftrightarrow\,F(x)=\int_{-\infty}^{x}{F'(t)dt}\)이다.  

증명: \(E_{r}=(x,\,x+r]\)(또는 \(E_{r}=(x-r,\,x]\))에 대하여 \(\displaystyle F'(x)=\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{\mu_{F}(E_{r})}{m(E_{r})}}\)이고 \(d\mu_{F}=d\lambda+fdm\)을 \(\mu_{F}\)를 르베그-라돈-니코딤 분해라고 하면, \(F'=f\,a.e.\)이고 \(F'\in L^{1}(m)\), \(\lambda\perp m\)이다. 

\(\mu_{F}\ll m\)이면 \(\lambda\ll m\)이므로 \(\lambda=0\), 즉 \(d\mu_{F}=F'dm\)이므로 \(\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^{x}{F'(t)dt}\)이다. 역으로 임의의 반 열린구간 \((a,\,b]\)에 대해서$$\mu_{F}((a,\,b])=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}{F'(t)dt}$$이면, 3.5와 3.6에 의해 \(\mu_{F}\ll m\)이됨은 분명하다.     

조건 \(\mu_{F}\ll m\)을 함수 \(F\)를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

함수 \(F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 "임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 서로소인 구간 \(\{(a_{i},\,b_{i})\}_{i=1}^{n}\)에서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(b_{i}-a_{i})}<\delta\)이면, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|F(b_{i})-F(a_{i})|}<\epsilon\)"을 만족하면 절대연속(absolutely continuous)이라고 한다.  

일반적으로 \(F\)가 절대연속이고 \(\{(a_{i},\,b_{i})\}_{i=1}^{n}\)들이 모두 \([a,\,b]\)안에 있으면 \(F\)를 \([a,\,b]\)에서 절대연속이라고 한다. 명백히 \(F\)가 절대연속이면, \(F\)는 균등연속이다(절대연속의 정의에서 \(n=1\)). 반면에 \(F\)가 미분가능하고 \(F'\)이 유계이면, \(F\)는 절대연속이다(평균값정리에 의해).

3.31 \(F\in NBV\)이면, \(F\)가 절대연속일 필요충분조건은 \(\mu_{F}\ll m\)이다.  

증명: 

(\(\Leftarrow\)): \(\mu_{F}\ll m\)이면, \(\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i}]}\)를 3.5에 적용한다.  

(\(\Rightarrow\)): \(E\)를 \(m(E)=0\)인 보렐집합이라 하자. \(\epsilon\), \(\delta\)를 절대연속의 정의에서의 양수라고 하면 1.17에 의해 \(m(U_{1})<\delta\)(따라서 모든 \(i\)에 대해 \(m(U_{i})<\delta\))이고 \(\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu_{F}(U_{i})}=\mu_{F}(E)\)를 만족하는 열린집합 \(U_{1}\supset U_{2}\supset\cdots\supset E\)들을 찾을 수 있다. 각각의 \(U_{i}\)들은 서로소인 열린구간 \((a_{i}^{k},\,b_{i}^{k})\)들의 합집합이고 모든 \(n\)에 대하여$$\sum_{i=1}^{n}{|\mu_{F}((a_{i}^{k},\,b_{i}^{k}))|}\leq\sum_{i=1}^{n}{|F(b_{i}^{k})-F(a_{i}^{k})|}<\epsilon$$이다. \(n\,\rightarrow\,\infty\)이면 \(|\mu_{F}(U_{i})|<\epsilon\)이고 \(|\mu_{F}(E)|\leq\epsilon\)이 되는데 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\mu_{F}(E)=0\)이고 따라서 \(\mu_{F}\ll m\)이다.  

3.32 \(f\in L^{1}(m)\)이면, \(\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt}\)라고 정의한 함수는 \(NBV\)의 원소이고 절대연속이며 \(f=F'\,a.e.\)이다. 역으로 \(F\in NBV\)가 절대연속이면, \(F'\in L^{1}(m)\)이고 \(\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^{x}{F'(t)dt}\)이다.  

증명: \(\displaystyle\mu(E)=\int_{E}{f(t)dt}\)라고 하면 \(F(x)=\mu((-\infty,\,x])\)이므로 3.29에 의해 \(F\in NBV\)이고, 또한 \(f\in L^{1}(m)\)이므로 3.5와 3.6에 의해 \(\mu\ll m\)이다. 따라서 3.31에 의해 \(F\)는 절대연속이고 \(\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}{x}{F'(t)dt}\)이며 \(f=F'\,a.e.\)이다. 

역으로 \(F\in NBV\)이면, 3.30에 의해 \(F'\in L^{1}(m)\)이고, 3.30에 의해 \(F'\in L^{1}(m)\)이고, 특히 \(F\)가 절대연속이면 3.30, 3.31에 의해 \(\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^{x}{F'(t)dt}\)이다.   

3.33 \(F\)가 \([a,\,b]\)에서 절대연속이면, \(F\in BV([a,\,b])\)이다.  

증명: \(\delta\)를 절대연속의 정의에서의 양수, \(\epsilon=1\), \(\displaystyle N=\left[\frac{b-a}{\delta}+1\right]\)이라 하자(\([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 최대의 정수). \(a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b\)이면, 필요할 때 더 많은 분할점을 추가해서 최대 \(N\)개의 총 구간 길이가 \(\delta\)보다 작은 연속구간 \((x_{i-1},\,x_{i})\)들을 얻을 수 있고, 이 구간에서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\leq1\)이므로 \(T_{F}(b)-T_{F}(a)\leq N\)이고 \(F\in BV([a,\,b])\)이다.  

3.34 르베그 적분에 대한 미적분학의 기본정리(The Fundamental Theorem of Calculus for Lebesgue Integrals)  

\(-\infty<a<b<\infty\)이고 \(F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)이면, 다음 명제들은 서로 동치이다.  

a. \(F\)는 \([a,\,b]\)에서 절대연속이다.  

b. \(f\in L^{1}([a,\,b],\,m)\)가 존재해서 \(\displaystyle F(x)-F(a)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}\) 

c. \(F\)는 \(a.e.\)미분가능하고 \(F'\in L^{1}([a,\,b],\,m)\)이고 \(\displaystyle F(x)-F(a)=\int_{a}^{x}{F'(t)dt}\)이다.  

증명: 

a\(\Rightarrow\)c: \(F\)에 적당한 상수를 빼서 \(F(a)=0\)이 되게 할 수 있다. \(x<a\)에 대하여 \(F(x)=0\), \(x>b\)에 대하여 \(F(x)=F(b)\)로 설정하면 3.33에 의해 \(F\in NBV\)이고 3.32에 의해 c가 성립한다.  

c\(\Rightarrow\)b: 자명하다.  

b\(\Rightarrow\)a: \([a,\,b]\)바깥에서 \(F=0\)이라 하고 3.32를 적용한다.  

함수 \(F\)가 다음과 같이 정의되었다고 하자.$$F(x)=\begin{cases}0&\,(x=0)\\ \displaystyle x^{2}\sin\frac{1}{x^{2}}&\,(x\neq0)\end{cases}$$그러면 함수 \(F\)는 실수 전체에서 미분가능하지만 유계변동이 아니므로 절대연속이 아니다. 따라서 \(F\)는 실수 전체에서 미분가능하나 \(F'\)의 부정적분이 될 수 없다. 또한 \(F=\chi_{\{a\}}\)라고 하면 \(F'=0\,a.e.\)이나 \(F\)는 \(F'\)의 부정적분이 아니다. 

\(F\in NBV\)이면 함수 \(g\)의 \([a,\,b]\)에서 측도 \(\mu_{F}\)에 대한 적분을 \(\displaystyle\int_{[a,\,b]}{gdF}\) 또는 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dF(x)}\)로 나타내고 이러한 적분을 르베그-스틸체스 적분(Lebesgue-Stieltjes integrals)이라고 한다. 

3.35 \(F,\,G\in NBV\)이고 적어도 두 함수 중 하나가 연속이면, \(-\infty<a<b<\infty\)에 대하여 다음 식이 성립한다.$$\int_{(a,\,b]}{FdG}+\int_{(a,\,b]}{GdF}=F(b)G(b)-F(a)G(a)$$ 

증명: \(F\)와 \(G\)는 \(NBV\) 증가함수들의 선형결합이므로 3.34의 a, b와 단순계산에 의해 증가함수라고 할 수 있다. \(G\)를 연속이라하고 \(\Omega=\{(x,\,y)\,|\,a<x\leq y<b\}\)라 하자. 푸비니 정리를 이용하여 다음의 두 방법으로 계산한다.$$\begin{align*}(\mu_{F}\times\mu_{G})(\Omega)&=\int_{(a,\,b]}{\int_{(a,\,b]}{dF(y)}dG(y)}=\int_{(a,\,b]}{\{F(y)-F(a)\}dG(y)}\\&=\int_{(a,\,b]}{FdG}-F(a)\{G(b)-G(a)\}\end{align*}$$\(G(x)=G(x-)\)이므로$$\begin{align*}(\mu_{F}\times\mu_{G})(\Omega)&=\int_{(a,\,b]}{\int_{(a,\,b]}{dG(y)}dF(x)}=\int_{(a,\,b]}{\{G(b)-G(x)\}dF(x)}\\&=G(b)\{F(b)-F(a)\}-\int_{(a,\,b]}{GdF}\end{align*}$$이 두 식들을 서로 빼면 다음의 식을 얻는다.$$\int_{(a,\,b]}{FdG}+\int_{(a,\,b]}{GdF}=F(b)G(b)-F(a)G(a)$$    

3.35에서 \(F'=f\), \(G'=g\)이면$$\begin{align*}\int_{(a,\,b]}{FdG}+\int_{(a,\,b]}{GdF}&=\int_{(a,\,b]}{F(x)g(x)dx}+\int_{(a,\,b]}{g(x)F(x)dx}\\&=F(b)G(b)-F(a)G(a)\end{align*}$$이고 이것은 미적분학에서의 부분적분이다.   

함수 \(F:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,(-\infty\leq a<b\leq\infty)\)가 임의의 \(s,\,t\in(a,\,b)\)와 \(\lambda\in(0,\,1)\)에 대해 부등식$$F(\lambda s+(1-\lambda)t)\leq\lambda F(s)+(1-\lambda)F(t)$$를 만족하면 \(F\)를 볼록함수(convex function)라고 한다.  

기하학적으로 \(F\)의 그래프는 구간 \((s,\,t)\)에서 두 점 \((s,\,F(s))\), \((t,\,F(t))\)를 잇는 직선 아래에 있다.(\(s<t\))

볼록함수의 조건을 나타내는 부등식을 \(a<s<t<u<b\)에 대하여$$\frac{F(t)-F(s)}{t-s}\leq\frac{F(u)-F(t)}{u-t}$$로 나타낼 수 있고, 평균값 정리에 의해 함수 \(F\)가 \((a,\,b)\)에서 볼록함수일 필요충분조건은 \(a<s<t<b\)에 대하여 \(F'(s)\leq F'(t)\)이다.(\(F'\)이 단조증가함수) 

3.36 젠센부등식(Jensen's Inequality) 

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 \(\mu(X)=1\)인 측도공간, \(g:\,X\,\rightarrow\,(a,\,b)\), \(g\in L^{1}(\mu)\), \(F\)를 \((a,\,b)\)에서 볼록함수라 하자. 그러면 다음의 부등식이 성립한다.$$F\left(\int_{X}{gd\mu}\right)\leq\int_{X}{(F\circ g)d\mu}$$  

증명: \(\displaystyle t_{0}=\int_{X}{gd\mu}\)라고 하자. 그러면 \(a<g(x)<b\,(x\in X)\), \(\mu(X)=1\)이므로 \(a<t_{0}<b\)이다. \(\displaystyle\beta=\sup\frac{F(t)-F(s)}{t-s}\)라고 하면 임의의 \(u\in(t,\,b)\)에 대하여 \(\displaystyle\beta\leq\frac{F(u)-F(t)}{u-t}\)이고 \(\displaystyle\beta\leq\frac{F(s)-F(t)}{s-t}\)이므로 다음의 부등식이 성립한다.$$F(s)\geq F(t)+\beta(s-t)\,(a<s<b)$$\(a<g(x)<b\)이므로 위 부등식에 의해$$F(g(x))\geq F(t)+\beta(g(t)-t)\,(x\in X)$$이고 이 부등식으로부터$$F(g(x))\geq F(t)+\beta(g(x)-t)\,(x\in X)$$이고 이 부등식에서 \(t=t_{0}\)라 한 다음 양변을 측도 \(\mu\)에 대해 적분하면$$\int_{X}{(F\circ g)d\mu}\geq F(t_{0})+\beta\int_{X}{gd\mu}-\beta t_{0}=F\left(\int_{X}{gd\mu}\right)$$이고 따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$F\left(\int_{X}{gd\mu}\right)\leq\int_{X}{(F\circ g)d\mu}$$

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사