[측도론] 3-4 유클리드 공간에서의 미분

[측도론] 3-4 유클리드 공간에서의 미분

여기서는 $(X,\,\mathcal{M})=(\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{n}})$이고 $\mu=m$($\mu$는 르베그측도)인 경우에 대해서 다룰 것이다. 이때 측도 $\nu$의 $\mu$에 대한 점별도함수를 정의할 수 있다. 

$B(r,\,x)$를 반지름이 $r$이고 중심이 $x$인 $\mathbb{R}^{n}$상의 열린공이라 하자. 다음의 극한 $$F(x)=\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{\nu(B(r,\,x))}{m(B(r,\,x))}}$$ 가 존재하고 $\nu\ll m$, $d\nu=fdm$이면, $\displaystyle\frac{\nu(B(r,\,x))}{m(B(r,\,x))}$는 함수 $f$의 공 $B(r,\,x)$에서의 평균값이고, 모든 $r$, $x$에 대하여 $\nu(B(r,\,x))$가 유한하면, $F=f\,m-a.e.$이다. 

3.17 $\mathfrak{C}$를 $\mathbb{R}^{n}$상의 열린 공들을 모은 집합족이라 하고 $\displaystyle U=\bigcup_{B\in\mathfrak{C}}{B}$라 하자. $c<m(U)$이면, 서로소인 $B_{1},\,...,\,B_{k}\in\mathfrak{C}$가 존재해서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i})}>3^{-n}c$이다.  

증명: $m(U)>c$이면, 2.40에 의해 컴팩트집합 $K\subset U$가 존재해서 $m(K)>c$이고, 컴팩트집합의 정의에 의해 $K$를 덮는 유한개의 열린공 $A_{1},\,...,\,A_{k}\in\mathfrak{C}$가 존재한다. 

$B_{1}$을 $A_{i}$중 가장 큰 집합이라 하고($B_{1}$의 반지름이 가장 크다), $B_{2}$를 $B_{1}$과 서로소인 $A_{i}$중 가장 큰 집합, $B_{3}$을 $B_{1},\,B_{2}$와 서로소인 $A_{i}$중 가장 큰 집합이라 하자. 이 과정을 $A_{i}$전체가 다 사용될 때까지 계속한다. 이 건설과정으로부터 $A_{i}$중에서 어떠한 것도 $B_{i}$중 하나와 같지 않으면, 적당한 $j$가 존재해서 $A_{i}\cap B_{j}\neq\phi$이고, $j$가 이 성질을 만족하는 정수이면, $A_{i}$의 반지름은 길어봤자 $B_{j}$의 반지름보다 작다. 따라서 $A_{i}\subset B_{j}^{*}$($B_{j}^{*}(r',\,x)=B_{j}(3r,\,x)$)이고 $\displaystyle K\subset\bigcup_{i=1}^{k}{B_{i}^{*}}$이므로 다음의 부등식이 성립한다. $$c<m(K)\leq\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i}^{*})}=3^{n}\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i})}$$   

$f:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 가측함수라 하자. 임의의 유계가측집합 $K\subset\mathbb{R}^{n}$에 대하여 $\displaystyle\int_{K}{|f(x)|dx}<\infty$이면, $f$를 (르베그측도에 대해) 국소 적분가능(locally integrable)하다고 하고 국소적분가능한 함수들의 공간을 $L_{\text{loc}}^{1}$로 나타낸다. 

$f\in L^{1}_{\text{loc}}$, $x\in\mathbb{R}^{n}$, $r>0$일 때, 다음의 적분값을 $f$의 $B(r,\,x)$에서의 평균값으로 정의한다. $$A_{r}f(x)=\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{f(y)dy}$$    

3.18 $f\in L^{1}_{\text{loc}}$이면, $A_{r}f(x)\,(r>0,\,x\in\mathbb{R}^{n})$는 $r$과 $x$에 대해 연속이다.  

증명: $c=m(B(1,\,0))$이라 하면, $m(B(x,\,r))=cr^{n}$이고, $S(x,\,r)=\{y\,|\,|y-x|=r\}$이라 하면, $m(S(x,\,r))=0$이므로 $r\,\rightarrow\,r_{0}$, $x\,\rightarrow\,x_{0}$일 때, $\mathbb{R}^{n}-S(r_{0},\,x_{0})$에서 $\chi_{B(r,\,x)}$는 $\chi_{B(r_{0},\,x_{0})}$으로 수렴한다. 따라서 $\chi_{B(r,\,x)}\,\rightarrow\,\chi_{B(r_{0},\,x_{0})}\,a.e.$이고 $\displaystyle r<r_{0}+\frac{1}{2}$, $\displaystyle|x-x_{0}|<\frac{1}{2}$일 때, $|\chi_{B(r,\,x)}|\leq\chi_{B(r_{0}+1,\,x_{0})}$이다. 지배수렴정리에 의해 $\displaystyle\int_{B(r,\,x)}{f(y)dy}$는 $r$과 $x$에 대해 연속이고 따라서 $\displaystyle A_{r}f(x)=\frac{1}{cr^{n}}\int_{B(r,\,x)}{f(y)dy}$또한 $r$과 $x$에 대해 연속이다. 

$f\in L^{1}_{\text{loc}}$의 하디-리틀우드 극대함수(Hardy-Littlewood maximal function) $Hf$를 다음과 같이 정의한다. $$Hf(x)=\sup_{r>0}{A_{r}|f(x)|}=\sup_{r>0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)|dy}}$$ $Hf$는 가측함수이고, 3.18에 의해 $\displaystyle(Hf)^{-1}[(a,\,\infty)]=\bigcup_{r>0}{(A_{r}|f|)^{-1}[(a,\,\infty)]}$는 열린집합이다. 

  

3.19 극대정리(Maximal Theorem) 

상수 $C>0$가 존재해서 $f\in L^{1}_{\text{loc}},\,\alpha>0$에 대하여 다음의 부등식이 성립한다. $$m(\{x\,|\,Hf(x)>\alpha\})\leq\frac{C}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f(x)|dx}$$  

증명: $E_{\alpha}=\{x\,|\,Hf(x)>\alpha\}$라 하자. 각 $x\in E_{\alpha}$에 대하여 $A_{r_{x}}|f(x)|>\alpha$를 만족하는 $r_{x}>0$를 선택할 수 있다. 공 $B(r_{x},\,x)$들은 $E_{\alpha}$를 덮고, 3.17에 의해 $c<m(E_{\alpha})$이면, $x_{1},\,...,\,x_{k}\in E_{\alpha}$가 존재해서 $B_{j}=B(r_{x_{j}},\,x_{j})$들은 서로소이고 $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i}(r_{x_{i}},\,x_{i}))}>3^{-n}c$이다. 다음의 부등식이 성립하고 $$c<3^{n}\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i})}\leq\frac{3^{n}}{\alpha}\sum_{i=1}^{k}{\int_{B_{i}}{|f(x)|dx}}\leq\frac{3^{n}}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f(x)|dx}$$ $c\,\rightarrow\,m(E_{\alpha})$이면, 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$m(\{x\,|\,Hf(x)>\alpha\})\leq\frac{C}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f(x)|dx}\,(C=3^{n})$$  

실함수 $\phi$에 대한 상극한은 다음과 같고, $$\lim_{r\,\rightarrow\,R}{\sup{\phi(r)}}=\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0}{\sup_{0<|r-R|<\epsilon}{\phi(r)}}=\inf_{\epsilon>0}{\sup_{0<|r-R|<\epsilon}{\phi(r)}}$$ $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,R}{\phi(r)}=c$일 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,R}{\sup|\phi(r)-c|}=0$이다.   

3.20 $f\in L^{1}_{\text{loc}}$이면, $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{A_{r}f(x)}=f(x)\,(x\in\mathbb{R}^{n})\,a.e.$이다.  

증명: $N\in\mathbb{N}$에 대하여 $|x|\leq N$인 모든 $x\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{A_{r}f(x)}=f(x)\,a.e.$가 성립함을 보이면 된다. $|x|\leq N$, $r\leq1$인 $x,\,r$에 대하여 $A_{r}f(x)$는 $|y|\leq N+1$인 $f(y)$의 값의 영향을 받는다. 그러므로 $f$를 $f\chi_{B(N+1,\,0)}$으로 대치하여 $f\in L^{1}$이라고 가정할 수 있다. 

2.41에 의해 임의의 $\epsilon>0$에 대해 적분가능한 연속함수 $g$가 존재해서 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{|g(y)-f(y)|dy}<\epsilon$이고, $g$의 연속성에 의해 모든 $x\in\mathbb{R}^{n}$와 $\delta>0$에 대해 $r>0$이 존재해서 $|y-x|<r$일 때, $|g(y)-g(x)|<\delta$이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다. $$|A_{r}g(x)-g(x)|=\frac{1}{m(B(r,\,x))}\left|\int_{B(r,\,x)}{\{g(y)-g(x)\}dy}\right|<\delta$$ 그러므로 모든 $x$에 대하여 $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{A_{r}g(x)}=g(x)$이고 $$\begin{align*}\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup|A_{r}f(x)-f(x)|}&=\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup|A_{r}f(x)-A_{r}g(x)+A_{r}g(x)-g(x)+g(x)-f(x)|}\\&\leq Hf(x)-Hg(x)+0+|f(x)-g(x)|\end{align*}$$ 이므로 $$E_{\alpha}=\{x\,|\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup|A_{r}f(x)-f(x)|}>\alpha\},\,F_{\alpha}=\{x\,|\,|f(x)-g(x)|>\alpha\}$$ 라 하면, $$E_{\alpha}\subset F_{\frac{\alpha}{2}}\cup\left\{x\,|\,Hf(x)-Hg(x)>\frac{\alpha}{2}\right\}$$ 이고 $\displaystyle\frac{\alpha}{2}m(F_{\frac{\alpha}{2}})\leq\int_{F_{\frac{\alpha}{2}}}{|f(x)-g(x)|dx}<\epsilon$이므로 극대정리에 의해 다음의 부등식이 성립한다. $$m(E_{\alpha})\leq\frac{2\epsilon}{\alpha}+\frac{2C\epsilon}{\alpha}$$ $\epsilon$은 임의의 수 이므로 모든 $\alpha>0$에 대하여 $m(E_{\alpha})=0$이고, 따라서 모든 $\displaystyle x\notin\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{\frac{1}{n}}}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{A_{r}f(x)}=f(x)$이다.     

이 정리의 결과로부터 $f\in L^{1}_{\text{loc}}$이면, $a.e.\,x$에 대하여 다음 식이 성립한다. $$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{\{f(y)-f(x)\}dy}}=0$$ $f$의 르베그집합(Lebesgue set) $L_{f}$를 다음과 같이 정의한다. $$L_{f}=\left\{x\,|\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}}=0\right\}$$   

3.21 $f\in L^{1}_{\text{loc}}$이면, $m((L_{f})^{c})=0$이다.  

증명: $c\in\mathbb{C}$에 대하여 $g_{c}(x)=|f(x)-c|$를 르베그 영집합 $E_{c}$를 제외한 나머지에서 3.20에 적용하면 다음의 식이 성립한다. $$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-c|dy}}=|f(x)-c|$$ $D$를 $\mathbb{C}$의 가산조밀부분집합이라 하고 $\displaystyle E=\bigcup_{c\in D}{E_{c}}$라 하자. 그러면 $m(E)=0$이고, $x\notin E$이면 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $c\in D$를 선택해서 $|f(x)-c|<\epsilon$이 되게 할 수 있고, $|f(y)-f(x)|<|f(y)-c|+\epsilon$이므로 다음의 부등식이 성립하고 $$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}}\leq|f(x)-c|+\epsilon<2\epsilon$$ $\epsilon$은 임의의 수이므로 따라서 $m((L_{f})^{c})=0$이다.      

마지막으로 공보다 더 일반적인 집합에 대해 고려하자. $\mathbb{R}^{n}$상의 모든 보렐 부분집합들의 집합족 $\{E_{r}\}_{r>0}$이 다음 조건들을 만족하면, $x\in\mathbb{R}^{n}$으로 정확히 수축(shrink nicely)한다고 한다.  

(1) 모든 $r>0$에 대하여 $E_{r}\subset B(r,\,x)$ 

(2) 상수 $\alpha>0$가 존재해서 $r$에 관계없이 $m(E_{r})>\alpha m(B(r,\,x))$ 

$x\in E_{r}$일 필요는 없다. 예를들어 $U$가 $m(U)>0$, $U\subset B(1,\,0)$인 임의의 보렐집합이고 $E_{r}=\{x+ry\,|\,y\in U\}$이면, $\{E_{r}\}_{r>0}$은 $x$로 정확히 수축한다.   

3.22 르베그 미분정리(Lebesgue Differential Theorem) 

$f\in L^{1}_{\text{loc}}$라 하자. 모든 $x\in L_{f}$와 $x$로 정확히 수축하는 $\{E_{r}\}_{r>0}$에 대하여 다음의 두 식이 성립한다. $$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(E_{r})}\int_{E_{r}}{|f(y)-f(x)|dy}}=0,\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(E_{r})}\int_{E_{r}}{f(y)dy}}=f(x)$$  

증명: $E_{r}\subset B(r,\,x)$이므로 3.21에 의해 다음의 부등식이 성립한다. $$\begin{align*}\frac{1}{m(E_{r})}\int_{E_{r}}{|f(y)-f(x)|dy}&\leq\frac{1}{m(E_{r})}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}\\&\leq\frac{1}{\alpha m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}\,(\because\,m(E_{r})>\alpha m(B(r,\,x)))\end{align*}$$ $x\in L_{f}$이므로 $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}}=0$이고 따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(E_{r})}\int_{E_{r}}{|f(y)-f(x)|dy}}=0,\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{}m(E_{r})}\int_{E_{r}}{f(y)dy}=f(x)$$  

$\mathbb{R}^{n}$상의 보렐측도 $\nu$가 다음 조건들을 만족하면 정칙(regular)이라고 한다.  

i. 모든 컴팩트집합 $K$에 대하여 $\nu(K)<\infty$ 

ii. 모든 $E\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{n}}$에 대하여 $\nu(E)=\inf\{\nu(E)\,|\,U\,\text{open}\,E\subset U\}$ 

$n=1$인 경우는 1.15와 1.17에 의해 성립한다. i에 의해 모든 정칙측도는 $\sigma-$유한이고, 부호 또는 복소 보렐측도 $\nu$에 대하여 $|\nu|$가 정칙이면, $\nu$도 정칙이다.

예를들어 $f\in L^{+}(\mathbb{R}^{n})$이면, $fdm$이 정칙측도가 될 필요충분조건은 $f\in L^{1}_{\text{loc}}$이고, 이 조건은 i과 동치이다. 

ii는 다음과 같은 방법으로 보일 수 있다. 

$E$를 유계 보렐집합이라 하자. $\delta>0$에 대하여 2.40에 의해 유계 열린집합 $U\supset E$가 존재해서 $m(U)<m(E)+\delta$이고 따라서 $m(U-E)=m(U)-m(E)<\delta$이다. 그러나 임의의 $\epsilon>0$에 대해 3.6에 의해 열린집합 $U\supset E$가 존재해서 $\displaystyle\int_{U-E}{fdm}<\epsilon$이고 따라서 $\displaystyle\int_{U}{fdm}<\int_{E}{fdm}+\epsilon$이다. $E$가 유계집합이 아닌 경우는 $\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$($E_{i}$는 유계집합)라 하고 $\displaystyle\int_{U_{i}-E_{i}}{fdm}<2^{-i}\epsilon$인 $U_{i}\supset E_{i}$를 찾는다.     

3.23 $\nu$를 $\mathbb{R}^{n}$상의 부호 또는 복소 정칙 보렐측도라 하고, $d\nu=d\lambda+fdm$을 $\nu$의 르베그-라돈-니코딤 표현이라 하자. 그러면 $m-a.e.$ $x\in\mathbb{R}^{n}$와 $x$로 정확히 수축하는 $\{E_{r}\}_{r>0}$에 대하여 다음 등식이 성립한다. $$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{\nu(E_{r})}{m(E_{r})}}=f(x)$$  

증명: $d|\nu|=d|\lambda|+|f|dm$인 것은 분명하다. $\nu$가 정칙이므로 $f\in L^{1}_{\text{loc}}$이고 $fdm$은 정칙이다. 또한 $\lambda\perp m$이므로 $\lambda$도 정칙이다. 

르베그 미분정리에 의해 $\lambda$가 정칙이고 $\lambda\perp m$이면, $x\,(m-\,a.e.)$로 정확히 수축하는 $E_{r}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{\lambda(E_{r})}{m(E_{r})}}=0$이 성립함을 보이면 되고 이떄 $E_{r}=B(r,\,x)$, $\lambda$를 양측도라고 할 수 있다. 적당한 $\alpha>0$에 대하여 다음의 부등식이 성립한다. $$\left|\frac{\lambda(E_{r})}{m(E_{r})}\right|\leq\frac{|\lambda|(E_{r})}{m(E_{r})}\leq\frac{|\lambda|(B(r,\,x))}{m(E_{r})}\leq\frac{|\lambda|(B(r,\,x))}{\alpha m(B(r,\,x))}$$ $\lambda\geq0$, $A$를 보렐집합이라 하고 $\lambda(A)=m(A^{c})=0$, $$F_{k}=\left\{x\in A\,|\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup\frac{\lambda(B(r,\,x))}{m(B(r,\,x))}}>\frac{1}{k}\right\}$$ 라고 하자. 모든 $k$에 대하여 $m(F_{k})=0$임을 보이면 증명이 완료되고, 극대정리와 비슷한 방법으로 보일 수 있다. $\lambda$의 정칙성에 의해 $\epsilon>0$에 대하여 열린집합 $U_{\epsilon}\supset A$이 존재해서 $\lambda(U_{\epsilon})<\epsilon$이다. 

$x\in F_{k}$는 공 $B_{x}\subset U_{\epsilon}$의 중심이고 $\displaystyle\lambda(B_{x})>\frac{1}{k}m(B_{x})$이다. 3.17에 의해 $\displaystyle V_{\epsilon}=\bigcup_{x\in F_{k}}{B_{x}}$, $c<m(V_{\epsilon})$이면, $x_{1},\,...,\,x_{j}$가 존재해서 $B_{x_{1}},\,...,\,B_{x_{j}}$는 서로소이고, 다음의 부등식이 성립한다. $$c<3^{n}\sum_{j=1}^{J}{m(B_{x_{j}})}\leq3^{n}k\sum_{j=1}^{J}{\lambda(B_{x_{j}})}\leq3^{n}k\lambda(V_{\epsilon})\leq3^{n}k\lambda(U_{\epsilon})\leq3^{n}k\epsilon$$ 그러면 $m(V_{\epsilon})\leq3^{n}k\epsilon$이고 $F_{k}\subset V_{\epsilon}$, $\epsilon>0$은 임의의 수이므로 $m(F_{k})=0$이다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley