[측도론] 3-4 유클리드 공간에서의 미분

[측도론] 3-4 유클리드 공간에서의 미분

여기서는 \((X,\,\mathcal{M})=(\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{n}})\)이고 \(\mu=m\)(\(\mu\)는 르베그측도)인 경우에 대해서 다룰 것이다. 이때 측도 \(\nu\)의 \(\mu\)에 대한 점별도함수를 정의할 수 있다. 

\(B(r,\,x)\)를 반지름이 \(r\)이고 중심이 \(x\)인 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 열린공이라 하자. 다음의 극한$$F(x)=\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{\nu(B(r,\,x))}{m(B(r,\,x))}}$$가 존재하고 \(\nu\ll m\), \(d\nu=fdm\)이면, \(\displaystyle\frac{\nu(B(r,\,x))}{m(B(r,\,x))}\)는 함수 \(f\)의 공 \(B(r,\,x)\)에서의 평균값이고, 모든 \(r\), \(x\)에 대하여 \(\nu(B(r,\,x))\)가 유한하면, \(F=f\,m-a.e.\)이다. 

3.17 \(\mathfrak{C}\)를 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 열린 공들을 모은 집합족이라 하고 \(\displaystyle U=\bigcup_{B\in\mathfrak{C}}{B}\)라 하자. \(c<m(U)\)이면, 서로소인 \(B_{1},\,...,\,B_{k}\in\mathfrak{C}\)가 존재해서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i})}>3^{-n}c\)이다.  

증명: \(m(U)>c\)이면, 2.40에 의해 컴팩트집합 \(K\subset U\)가 존재해서 \(m(K)>c\)이고, 컴팩트집합의 정의에 의해 \(K\)를 덮는 유한개의 열린공 \(A_{1},\,...,\,A_{k}\in\mathfrak{C}\)가 존재한다. 

\(B_{1}\)을 \(A_{i}\)중 가장 큰 집합이라 하고(\(B_{1}\)의 반지름이 가장 크다), \(B_{2}\)를 \(B_{1}\)과 서로소인 \(A_{i}\)중 가장 큰 집합, \(B_{3}\)을 \(B_{1},\,B_{2}\)와 서로소인 \(A_{i}\)중 가장 큰 집합이라 하자. 이 과정을 \(A_{i}\)전체가 다 사용될 때까지 계속한다. 이 건설과정으로부터 \(A_{i}\)중에서 어떠한 것도 \(B_{i}\)중 하나와 같지 않으면, 적당한 \(j\)가 존재해서 \(A_{i}\cap B_{j}\neq\phi\)이고, \(j\)가 이 성질을 만족하는 정수이면, \(A_{i}\)의 반지름은 길어봤자 \(B_{j}\)의 반지름보다 작다. 따라서 \(A_{i}\subset B_{j}^{*}\)(\(B_{j}^{*}(r',\,x)=B_{j}(3r,\,x)\))이고 \(\displaystyle K\subset\bigcup_{i=1}^{k}{B_{i}^{*}}\)이므로 다음의 부등식이 성립한다.$$c<m(K)\leq\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i}^{*})}=3^{n}\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i})}$$  

\(f:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 가측함수라 하자. 임의의 유계가측집합 \(K\subset\mathbb{R}^{n}\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{K}{|f(x)|dx}<\infty\)이면, \(f\)를 (르베그측도에 대해) 국소 적분가능(locally integrable)하다고 하고 국소적분가능한 함수들의 공간을 \(L_{\text{loc}}^{1}\)로 나타낸다. 

\(f\in L^{1}_{\text{loc}}\), \(x\in\mathbb{R}^{n}\), \(r>0\)일 때, 다음의 적분값을 \(f\)의 \(B(r,\,x)\)에서의 평균값으로 정의한다.$$A_{r}f(x)=\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{f(y)dy}$$   

3.18 \(f\in L^{1}_{\text{loc}}\)이면, \(A_{r}f(x)\,(r>0,\,x\in\mathbb{R}^{n})\)는 \(r\)과 \(x\)에 대해 연속이다.  

증명: \(c=m(B(1,\,0))\)이라 하면, \(m(B(x,\,r))=cr^{n}\)이고, \(S(x,\,r)=\{y\,|\,|y-x|=r\}\)이라 하면, \(m(S(x,\,r))=0\)이므로 \(r\,\rightarrow\,r_{0}\), \(x\,\rightarrow\,x_{0}\)일 때, \(\mathbb{R}^{n}-S(r_{0},\,x_{0})\)에서 \(\chi_{B(r,\,x)}\)는 \(\chi_{B(r_{0},\,x_{0})}\)으로 수렴한다. 따라서 \(\chi_{B(r,\,x)}\,\rightarrow\,\chi_{B(r_{0},\,x_{0})}\,a.e.\)이고 \(\displaystyle r<r_{0}+\frac{1}{2}\), \(\displaystyle|x-x_{0}|<\frac{1}{2}\)일 때, \(|\chi_{B(r,\,x)}|\leq\chi_{B(r_{0}+1,\,x_{0})}\)이다. 지배수렴정리에 의해 \(\displaystyle\int_{B(r,\,x)}{f(y)dy}\)는 \(r\)과 \(x\)에 대해 연속이고 따라서 \(\displaystyle A_{r}f(x)=\frac{1}{cr^{n}}\int_{B(r,\,x)}{f(y)dy}\)또한 \(r\)과 \(x\)에 대해 연속이다. 

\(f\in L^{1}_{\text{loc}}\)의 하디-리틀우드 극대함수(Hardy-Littlewood maximal function) \(Hf\)를 다음과 같이 정의한다.$$Hf(x)=\sup_{r>0}{A_{r}|f(x)|}=\sup_{r>0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)|dy}}$$\(Hf\)는 가측함수이고, 3.18에 의해 \(\displaystyle(Hf)^{-1}[(a,\,\infty)]=\bigcup_{r>0}{(A_{r}|f|)^{-1}[(a,\,\infty)]}\)는 열린집합이다. 

  

3.19 극대정리(Maximal Theorem) 

상수 \(C>0\)가 존재해서 \(f\in L^{1}_{\text{loc}},\,\alpha>0\)에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.$$m(\{x\,|\,Hf(x)>\alpha\})\leq\frac{C}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f(x)|dx}$$ 

증명: \(E_{\alpha}=\{x\,|\,Hf(x)>\alpha\}\)라 하자. 각 \(x\in E_{\alpha}\)에 대하여 \(A_{r_{x}}|f(x)|>\alpha\)를 만족하는 \(r_{x}>0\)를 선택할 수 있다. 공 \(B(r_{x},\,x)\)들은 \(E_{\alpha}\)를 덮고, 3.17에 의해 \(c<m(E_{\alpha})\)이면, \(x_{1},\,...,\,x_{k}\in E_{\alpha}\)가 존재해서 \(B_{j}=B(r_{x_{j}},\,x_{j})\)들은 서로소이고 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i}(r_{x_{i}},\,x_{i}))}>3^{-n}c\)이다. 다음의 부등식이 성립하고$$c<3^{n}\sum_{i=1}^{k}{m(B_{i})}\leq\frac{3^{n}}{\alpha}\sum_{i=1}^{k}{\int_{B_{i}}{|f(x)|dx}}\leq\frac{3^{n}}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f(x)|dx}$$\(c\,\rightarrow\,m(E_{\alpha})\)이면, 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$m(\{x\,|\,Hf(x)>\alpha\})\leq\frac{C}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f(x)|dx}\,(C=3^{n})$$ 

실함수 \(\phi\)에 대한 상극한은 다음과 같고,$$\lim_{r\,\rightarrow\,R}{\sup{\phi(r)}}=\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0}{\sup_{0<|r-R|<\epsilon}{\phi(r)}}=\inf_{\epsilon>0}{\sup_{0<|r-R|<\epsilon}{\phi(r)}}$$\(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,R}{\phi(r)}=c\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,R}{\sup|\phi(r)-c|}=0\)이다.   

3.20 \(f\in L^{1}_{\text{loc}}\)이면, \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{A_{r}f(x)}=f(x)\,(x\in\mathbb{R}^{n})\,a.e.\)이다.  

증명: \(N\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(|x|\leq N\)인 모든 \(x\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{A_{r}f(x)}=f(x)\,a.e.\)가 성립함을 보이면 된다. \(|x|\leq N\), \(r\leq1\)인 \(x,\,r\)에 대하여 \(A_{r}f(x)\)는 \(|y|\leq N+1\)인 \(f(y)\)의 값의 영향을 받는다. 그러므로 \(f\)를 \(f\chi_{B(N+1,\,0)}\)으로 대치하여 \(f\in L^{1}\)이라고 가정할 수 있다. 

2.41에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 적분가능한 연속함수 \(g\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{|g(y)-f(y)|dy}<\epsilon\)이고, \(g\)의 연속성에 의해 모든 \(x\in\mathbb{R}^{n}\)와 \(\delta>0\)에 대해 \(r>0\)이 존재해서 \(|y-x|<r\)일 때, \(|g(y)-g(x)|<\delta\)이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다.$$|A_{r}g(x)-g(x)|=\frac{1}{m(B(r,\,x))}\left|\int_{B(r,\,x)}{\{g(y)-g(x)\}dy}\right|<\delta$$그러므로 모든 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{A_{r}g(x)}=g(x)\)이고$$\begin{align*}\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup|A_{r}f(x)-f(x)|}&=\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup|A_{r}f(x)-A_{r}g(x)+A_{r}g(x)-g(x)+g(x)-f(x)|}\\&\leq Hf(x)-Hg(x)+0+|f(x)-g(x)|\end{align*}$$이므로$$E_{\alpha}=\{x\,|\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup|A_{r}f(x)-f(x)|}>\alpha\},\,F_{\alpha}=\{x\,|\,|f(x)-g(x)|>\alpha\}$$라 하면,$$E_{\alpha}\subset F_{\frac{\alpha}{2}}\cup\left\{x\,|\,Hf(x)-Hg(x)>\frac{\alpha}{2}\right\}$$이고 \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}m(F_{\frac{\alpha}{2}})\leq\int_{F_{\frac{\alpha}{2}}}{|f(x)-g(x)|dx}<\epsilon\)이므로 극대정리에 의해 다음의 부등식이 성립한다.$$m(E_{\alpha})\leq\frac{2\epsilon}{\alpha}+\frac{2C\epsilon}{\alpha}$$\(\epsilon\)은 임의의 수 이므로 모든 \(\alpha>0\)에 대하여 \(m(E_{\alpha})=0\)이고, 따라서 모든 \(\displaystyle x\notin\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{\frac{1}{n}}}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{A_{r}f(x)}=f(x)\)이다.     

이 정리의 결과로부터 \(f\in L^{1}_{\text{loc}}\)이면, \(a.e.\,x\)에 대하여 다음 식이 성립한다.$$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{\{f(y)-f(x)\}dy}}=0$$\(f\)의 르베그집합(Lebesgue set) \(L_{f}\)를 다음과 같이 정의한다.$$L_{f}=\left\{x\,|\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}}=0\right\}$$  

3.21 \(f\in L^{1}_{\text{loc}}\)이면, \(m((L_{f})^{c})=0\)이다.  

증명: \(c\in\mathbb{C}\)에 대하여 \(g_{c}(x)=|f(x)-c|\)를 르베그 영집합 \(E_{c}\)를 제외한 나머지에서 3.20에 적용하면 다음의 식이 성립한다.$$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-c|dy}}=|f(x)-c|$$\(D\)를 \(\mathbb{C}\)의 가산조밀부분집합이라 하고 \(\displaystyle E=\bigcup_{c\in D}{E_{c}}\)라 하자. 그러면 \(m(E)=0\)이고, \(x\notin E\)이면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(c\in D\)를 선택해서 \(|f(x)-c|<\epsilon\)이 되게 할 수 있고, \(|f(y)-f(x)|<|f(y)-c|+\epsilon\)이므로 다음의 부등식이 성립하고$$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}}\leq|f(x)-c|+\epsilon<2\epsilon$$\(\epsilon\)은 임의의 수이므로 따라서 \(m((L_{f})^{c})=0\)이다.      

마지막으로 공보다 더 일반적인 집합에 대해 고려하자. \(\mathbb{R}^{n}\)상의 모든 보렐 부분집합들의 집합족 \(\{E_{r}\}_{r>0}\)이 다음 조건들을 만족하면, \(x\in\mathbb{R}^{n}\)으로 정확히 수축(shrink nicely)한다고 한다.  

(1) 모든 \(r>0\)에 대하여 \(E_{r}\subset B(r,\,x)\) 

(2) 상수 \(\alpha>0\)가 존재해서 \(r\)에 관계없이 \(m(E_{r})>\alpha m(B(r,\,x))\) 

\(x\in E_{r}\)일 필요는 없다. 예를들어 \(U\)가 \(m(U)>0\), \(U\subset B(1,\,0)\)인 임의의 보렐집합이고 \(E_{r}=\{x+ry\,|\,y\in U\}\)이면, \(\{E_{r}\}_{r>0}\)은 \(x\)로 정확히 수축한다.   

3.22 르베그 미분정리(Lebesgue Differential Theorem) 

\(f\in L^{1}_{\text{loc}}\)라 하자. 모든 \(x\in L_{f}\)와 \(x\)로 정확히 수축하는 \(\{E_{r}\}_{r>0}\)에 대하여 다음의 두 식이 성립한다.$$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(E_{r})}\int_{E_{r}}{|f(y)-f(x)|dy}}=0,\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(E_{r})}\int_{E_{r}}{f(y)dy}}=f(x)$$ 

증명: \(E_{r}\subset B(r,\,x)\)이므로 3.21에 의해 다음의 부등식이 성립한다.$$\begin{align*}\frac{1}{m(E_{r})}\int_{E_{r}}{|f(y)-f(x)|dy}&\leq\frac{1}{m(E_{r})}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}\\&\leq\frac{1}{\alpha m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}\,(\because\,m(E_{r})>\alpha m(B(r,\,x)))\end{align*}$$\(x\in L_{f}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(B(r,\,x))}\int_{B(r,\,x)}{|f(y)-f(x)|dy}}=0\)이고 따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{m(E_{r})}\int_{E_{r}}{|f(y)-f(x)|dy}}=0,\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{}m(E_{r})}\int_{E_{r}}{f(y)dy}=f(x)$$ 

\(\mathbb{R}^{n}\)상의 보렐측도 \(\nu\)가 다음 조건들을 만족하면 정칙(regular)이라고 한다.  

i. 모든 컴팩트집합 \(K\)에 대하여 \(\nu(K)<\infty\) 

ii. 모든 \(E\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{n}}\)에 대하여 \(\nu(E)=\inf\{\nu(E)\,|\,U\,\text{open}\,E\subset U\}\) 

\(n=1\)인 경우는 1.15와 1.17에 의해 성립한다. i에 의해 모든 정칙측도는 \(\sigma-\)유한이고, 부호 또는 복소 보렐측도 \(\nu\)에 대하여 \(|\nu|\)가 정칙이면, \(\nu\)도 정칙이다.

예를들어 \(f\in L^{+}(\mathbb{R}^{n})\)이면, \(fdm\)이 정칙측도가 될 필요충분조건은 \(f\in L^{1}_{\text{loc}}\)이고, 이 조건은 i과 동치이다. 

ii는 다음과 같은 방법으로 보일 수 있다. 

\(E\)를 유계 보렐집합이라 하자. \(\delta>0\)에 대하여 2.40에 의해 유계 열린집합 \(U\supset E\)가 존재해서 \(m(U)<m(E)+\delta\)이고 따라서 \(m(U-E)=m(U)-m(E)<\delta\)이다. 그러나 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 3.6에 의해 열린집합 \(U\supset E\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{U-E}{fdm}<\epsilon\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{U}{fdm}<\int_{E}{fdm}+\epsilon\)이다. \(E\)가 유계집합이 아닌 경우는 \(\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)(\(E_{i}\)는 유계집합)라 하고 \(\displaystyle\int_{U_{i}-E_{i}}{fdm}<2^{-i}\epsilon\)인 \(U_{i}\supset E_{i}\)를 찾는다.     

3.23 \(\nu\)를 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 부호 또는 복소 정칙 보렐측도라 하고, \(d\nu=d\lambda+fdm\)을 \(\nu\)의 르베그-라돈-니코딤 표현이라 하자. 그러면 \(m-a.e.\) \(x\in\mathbb{R}^{n}\)와 \(x\)로 정확히 수축하는 \(\{E_{r}\}_{r>0}\)에 대하여 다음 등식이 성립한다.$$\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{\nu(E_{r})}{m(E_{r})}}=f(x)$$ 

증명: \(d|\nu|=d|\lambda|+|f|dm\)인 것은 분명하다. \(\nu\)가 정칙이므로 \(f\in L^{1}_{\text{loc}}\)이고 \(fdm\)은 정칙이다. 또한 \(\lambda\perp m\)이므로 \(\lambda\)도 정칙이다. 

르베그 미분정리에 의해 \(\lambda\)가 정칙이고 \(\lambda\perp m\)이면, \(x\,(m-\,a.e.)\)로 정확히 수축하는 \(E_{r}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\frac{\lambda(E_{r})}{m(E_{r})}}=0\)이 성립함을 보이면 되고 이떄 \(E_{r}=B(r,\,x)\), \(\lambda\)를 양측도라고 할 수 있다. 적당한 \(\alpha>0\)에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.$$\left|\frac{\lambda(E_{r})}{m(E_{r})}\right|\leq\frac{|\lambda|(E_{r})}{m(E_{r})}\leq\frac{|\lambda|(B(r,\,x))}{m(E_{r})}\leq\frac{|\lambda|(B(r,\,x))}{\alpha m(B(r,\,x))}$$\(\lambda\geq0\), \(A\)를 보렐집합이라 하고 \(\lambda(A)=m(A^{c})=0\),$$F_{k}=\left\{x\in A\,|\,\lim_{r\,\rightarrow\,0}{\sup\frac{\lambda(B(r,\,x))}{m(B(r,\,x))}}>\frac{1}{k}\right\}$$라고 하자. 모든 \(k\)에 대하여 \(m(F_{k})=0\)임을 보이면 증명이 완료되고, 극대정리와 비슷한 방법으로 보일 수 있다. \(\lambda\)의 정칙성에 의해 \(\epsilon>0\)에 대하여 열린집합 \(U_{\epsilon}\supset A\)이 존재해서 \(\lambda(U_{\epsilon})<\epsilon\)이다. 

\(x\in F_{k}\)는 공 \(B_{x}\subset U_{\epsilon}\)의 중심이고 \(\displaystyle\lambda(B_{x})>\frac{1}{k}m(B_{x})\)이다. 3.17에 의해 \(\displaystyle V_{\epsilon}=\bigcup_{x\in F_{k}}{B_{x}}\), \(c<m(V_{\epsilon})\)이면, \(x_{1},\,...,\,x_{j}\)가 존재해서 \(B_{x_{1}},\,...,\,B_{x_{j}}\)는 서로소이고, 다음의 부등식이 성립한다.$$c<3^{n}\sum_{j=1}^{J}{m(B_{x_{j}})}\leq3^{n}k\sum_{j=1}^{J}{\lambda(B_{x_{j}})}\leq3^{n}k\lambda(V_{\epsilon})\leq3^{n}k\lambda(U_{\epsilon})\leq3^{n}k\epsilon$$그러면 \(m(V_{\epsilon})\leq3^{n}k\epsilon\)이고 \(F_{k}\subset V_{\epsilon}\), \(\epsilon>0\)은 임의의 수이므로 \(m(F_{k})=0\)이다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley