[측도론] 3-5 유계변동함수(1)

[측도론] 3-5 유계변동함수(1) 

$F$를 $\mathbb{R}$에서의 우연속 증가함수, $\mu_{F}$를 $\mu_{F}((a,\,b])=F(b)-F(a)$인 보렐측도라 하자. 여기서 '거의 어디서나'는 르베그 측도 $m$에 대해 거의 어디서나($m-a.e.$)이다. 

3.24 $F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 증가함수, $G(x)=F(x+)$라고 하자.  

a. $F$는 가산개의 불연속점을 갖는다.  

b. $F$와 $G$는 $a.e.$미분가능하고 $F'=G'\,a.e.$이다.  

증명: 

a. $F$는 증가함수이므로 모든 $x\in\mathbb{R}$에 대하여 $(F(x-),\,F(x+))$들은 서로소이고 $|x|<N$에 대하여 $(F(-N),\,F(N))$상에 있다. 따라서 $$\sum_{|x|<N}{\{F(x+)-F(x-)\}}\leq F(N)-F(-N)<\epsilon$$ 이므로 집합 $\{x\in(-N,\,N)\,|\,F(x-)\neq F(x+)\}$는 가산집합이고 모든 $N\in\mathbb{N}$에 대하여 참이므로 a는 증명되었다.  

b. $G$는 우연속 증가함수이고, $F$의 연속인 점에서 $F=G$이다. 게다가 $$G(x+h)-G(x)=\begin{cases}\mu_{G}((x,\,x+h]),\,h>0\\-\mu_{G}((x+h,\,x]),\,h<0\end{cases}$$ 이고 집합족 $\{(x-r,\,x]\}_{r\geq0}$, $\{[x,\,x+r)\}_{r\geq0}$은 $r=|h|\,\rightarrow\,0$일 때 $x$로 정확히 수축한다. 따라서 $\mu_{G}$(1.17에 의해 정칙)를 3.23에 적용하면 거의 모든 $x$에 대해 $G'(x)$가 존재한다. 증명을 완성하기 위해 $H=G-F$에 대해 거의 어디서나 $H'$이 존재하고 $H'=0$임을 보이자. 

$\{x_{i}\}$를 $H'\neq0$인 점들의 집합이라고 하자. 그러면 $H(x_{0})>0$이고, $N\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{\{i\,|\,|x_{i}|<N\}}{H(x_{i})}<\infty$를 얻는다. $\delta_{i}$를 $x_{i}$에서의 점질량이라 하고, $\displaystyle\mu=\sum_{i}{H(x_{i})\delta_{i}}$라 하자. 그러면 $\displaystyle\sum_{\{i\,|\,|x_{i}|<N\}}{H(x_{i})}<\infty$이므로 $\mu$는 컴팩트집합에서 유한하고 1.15, 1.17에 의해 정칙이다. 또한 $E=\{x_{i}\}$에서 $m(E)=\mu(E^{c})=0$이므로 $\mu\perp m$이다. $$\left|\frac{H(x+h)-H(x)}{h}\right|\leq\frac{H(x+h)+H(x)}{|h|}\leq4\frac{\mu((x-2|h|,\,x+2|h|))}{4|h|}$$ 이고, 3.23에 의해 $$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{4\frac{\mu((x-2|h|,\,x+2|h|))}{4|h|}}=0\,a.e.$$ 이므로 $H'=0\,a.e.$이다.      

실수 상의 양측도가 증가함수와 관련되어 있다면, 실수 상의 복소측도는 유계변동함수와 관련되어 있다. 

직관적으로 $F(t)$가 시간 $t$에서의 한 입자의 직선상의 위치를 나타내면, 구간 $[a,\,b]$에서의 $F$의 전변동은 주행거리계에 나타나는 시간 $t=a$에서 시간 $t=b$까지 이동한 거리이다. 만약 $F$가 연속도함수를 가지면, 앞에서 언급한 전변동은 입자의 속도 $|F'(t)|$의 적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{|F'(t)|dt}$이다. 

매끄럽다고 하지 않고 $F$의 전변동을 구하기 위해, 구간 $[a,\,b]$를 부분구간 $[t_{i-1},\,t_{i}]$들로 분할한다. 그 다음에는 $[t_{i-1},\,t_{i}]$상의 점 $(t_{i-1},\,F(t_{i-1}))$과 점 $(t_{i},\,F(t_{i}))$를 잇는 직선함수를 $F$로 근사한다. 먼저 $a=-\infty$로 높고 전변동을 $b$에 대한 함수라고 생각한다. 

$F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$, $x\in\mathbb{R}$일 때, 함수 $F$의 전변동(total variation) $T_{F}$를 다음과 같이 정의한다. $$T_{F}(x)=\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|\,n\in\mathbb{N},\,-\infty<x_{0}<\cdots<x_{n}=x}\right\}$$ 분할점의 수가 많아질수록 전변동의 값은 커진다. $a<b$일 때 $$T_{F}(b)=T_{F}(a)+\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|\,|\,n\in\mathbb{N},\,a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b}\right\}$$ 이므로 따라서 $T_{F}$는 $[0,\,\infty]$에서 값을 갖는 증가함수이고, $\displaystyle T_{F}(\infty)=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{T_{F}(x)}<\infty$이면, $F$를 $\mathbb{R}$상의 유계변동(bounded variation)이라고 하고, 이러한 함수 $F$들의 공간을 $BV$로 나타낸다. 즉 $BV=\{F\,|\,T_{F}(\infty)<\infty\}$

일반적으로 다음의 식 $$\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\,|\,n\in\mathbb{N}\,|\,a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b\right\}$$ 을 $F$의 $[a,\,b]$에서의 전변동이라고 한다. 전변동은 $[a,\,b]$에서의 $F$의 값에만 의존하기 때문에 $BV([a,\,b])$를 $[a,\,b]$에서 전변동이 유한한(유계변동) 함수들의 집합으로 정의할 수 있다. $F\in BV$이면 모든 $a,\,b$에 대하여 $F|_{[a,\,b]}\in BV([a,\,b])$이고 $F|_{[a,\,b]}$의 전변동은 $T_{F}(b)-T_{F}(a)$이다. 거꾸로 $F\in BV([a,\,b])$이고 $x<a$일 때 $F(x)=F(a)$, $x>b$일 때 $F(x)=F(b)$로 설정하면 $F\in BV$이다. 

3.25 

a. $F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 유계 증가함수이면, $F\in BV$이다. 

b. $F,\,G\in BV$이면, 임의의 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{C}$에 대하여 $\alpha F+\beta G\in BV$이다. 

c. $F$가 $\mathbb{R}$상에서 미분가능하고 $F'$이 유계이면, $F\in BV([a,\,b])\,(-\infty<a<b<\infty)$이다. 

증명: 

a. $F$가 $\mathbb{R}$에서 유계증가하므로 $T_{F}(x)=F(x)-F(-\infty)$이고 $$|F(-\infty)|=\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{|F(x)|}<\infty,\,|F(\infty)|=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{|F(x)|}<\infty$$ 이므로 $\displaystyle T_{F}(\infty)=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{T_{F}(x)}<\infty$이고 따라서 $F\in BV$이다.  

b. $F,\,G\in BV$이므로 $$T_{F}(\infty)=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{T_{F}(x)}<\infty,\,T_{G}(\infty)=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{T_{G}(x)}<\infty$$ 이고, 삼각부등식에 의해 $$T_{\alpha F+\beta G}(x)\leq|\alpha|T_{F}(x)+|\beta|T_{G}(x)<\infty$$ 이므로 따라서 $\alpha F+\beta G\in BV$이다.   

c. $F$가 $\mathbb{R}$에서 미분가능하므로 $[a,\,b]$의 한 분할구간 $[x_{i-1},\,x_{i}]$에 대해 평균값의 정리에 의해 $c_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]$가 존재해서 $F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})$이다. $F'$이 $\mathbb{R}$에서 유계이므로 $\displaystyle M=\sup_{x\in[a,\,b]}{|F'(x)|}$라 하자. 그러면 $$\begin{align*}T_{F}(b)-T_{F}(a)&=\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x)|\,|\,n\in\mathbb{N},\,a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b}\right\}\\&\leq M\sum_{i=1}^{n}{M(x_{i}-x_{i-1})}\\&=M(b-a)<\infty\end{align*}$$ 이므로 $F\in BV([a,\,b])$이다.   

*

-$F(x)=\sin x$이면, $F\in BV([a,\,b])$이나 $F\notin BV$이다. $|F'(x)|=|\cos x|\leq1$이므로 3.25의 c에 의해 $F\in BV([a,\,b])$이지만 $\displaystyle\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})}|\,n\in\mathbb{N},\,x_{n}=\frac{n\pi}{2}\right\}=n$이므로 $F\notin BV$이다.  

-함수 $F$를 다음과 같이 정의하자. $$F(x)=\begin{cases}0,\,(x=0)\\x\sin\frac{1}{x},\,(x\neq0)\end{cases}$$ $x_{0}=0$, $\displaystyle x_{n}=\frac{2}{n\pi}$, $\displaystyle[a,\,b]=\left[0,\,\frac{2}{n\pi}\right]$라고 하면 $$\begin{align*}\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\,|\,n\in\mathbb{N},\,x_{0}<\cdots<x_{n}\right\}&=0+\frac{2}{2\pi}+0+\frac{2}{4\pi}+\cdots+0+\frac{2}{2n\pi}\\&=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\end{align*}$$ 이므로 $F\notin BV$이다. 

3.26 $F\in BV$가 실함수이면, $T_{F}+F$와 $T_{F}-F$는 증가함수이다.  

증명: $x<y$, $\epsilon>0$이라 하자. $T_{F}$의 정의에 의해 분할 $x_{0}<\cdots<x_{n}=x$가 존재해서 $$\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\geq T_{F}(x)-\epsilon$$ 이다. 그러면 $$T_{F}(y)\geq\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}+|F(y)-F(x)|$$ 이고 $F(y)=\{F(y)-F(x)\}+F(x)$이므로 $$\begin{align*}T_{F}(y)\pm F(y)&\geq\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}+|F(y)-F(x)|\pm\{F(y)-F(x)\}\pm F(x)\\&\geq T_{F}(x)-\epsilon\pm F(x)\end{align*}$$ 이고 $\epsilon>0$은 임의의 수이므로 따라서 $T_{F}(y)\pm F(y)\geq T_{F}(x)\pm F(x)$이고 $T_{F}+F$와 $T_{F}-F$는 증가함수이다.    

3.27 

a. $F\in BV$일 필요충분조건은 $\text{Re}F,\,\text{Im}F\in BV$이다.  

b. $F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$이면, $F\in BV$일 필요충분조건은 $F$가 두 증가함수의 차로 나타나는 것이다.  

c. $F\in BV$이면, 모든 $x\in\mathbb{R}$에 대하여 $\displaystyle F(x+)=\lim_{y\,\rightarrow\,x+}{F(y)}$, $\displaystyle F(x-)=\lim_{y\,\rightarrow\,x-}{F(y)}$가 존재하고 $\displaystyle F(\pm\infty)=\lim_{y\,\rightarrow\,\pm\infty}{F(y)}$도 존재한다. 

d. $F\in BV$이면, $F$는 가산개의 불연속점을 갖는다.  

e. $F\in BV$이고 $G(x)=F(x+)$이면, $F'$과 $G'$은 존재하고 $F'=G'\,a.e.$이다.  

증명: 

a. 명백하다. 

b. 

($\Rightarrow$): 3.25의 a, b

($\Leftarrow$): 3.26에 의해 $\displaystyle\frac{1}{2}(T_{F}+F)$와 $\displaystyle\frac{1}{2}(T_{F}-F)$는 증가함수이고 $\displaystyle T=\frac{1}{2}(T_{F}+F)-\frac{1}{2}(T_{F}-F)$이다. 

c. $y>x$일 때 부등식 $T_{F}(y)\pm F(y)\geq T_{F}(x)\pm F(x)$에 의해 $$|F(y)-F(x)|\leq T_{F}(y)-T_{F}(x)\leq T_{F}(\infty)-T_{F}(-\infty)<\infty$$ 이므로 $F$와 $T_{F}\pm F$는 유계이고 a, b와 3.24에 의해 성립한다.   

d, e: a, b와 3.24로부터 성립한다. 

실함수 $F\in BV$의 표현 $\displaystyle F=\frac{1}{2}(T_{F}+F)-\frac{1}{2}(T_{F}-F)$를 $F$의 조르단 분해(Jordan decomposition)이라 하고 $\displaystyle\frac{1}{2}(T_{F}+F)$와 $\displaystyle\frac{1}{2}(T_{F}-F)$를 각각 $F$의 양변동(positive variation), 음변동(negative variation)이라고 한다.     

$x\in\mathbb{R}$에 대하여 $$x^{+}=\max\{x,\,0\}=\frac{1}{2}(|x|+x),\,x^{-}=\min\{x,\,0\}(=\max\{-x,\,0\})=\frac{1}{2}(|x|-x)$$ 이므로 다음의 등식이 성립한다. $$\frac{1}{2}\{T_{F}(x)\pm F(x)\}=\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|^{\pm}}\,|\,x_{0}<\cdots<x_{n}=x\right\}\pm\frac{1}{2}F(-\infty)$$   

정리 3.27의 a, b는 $BV$와 $\mathbb{R}$에서의 복소 보렐측도들의 공간 사이의 관계를 나타낸다. 

정규화된 유계변동함수들의 공간(space of normalized bounded variation) $NBV$를 다음과 같이 정의한다. $$NBV=\{F\in BV\,|\,F\,\text{is right continuous and}\,F(-\infty)=0\}$$ $F\in BV$이면 $G(x)=F(x+)-F(-\infty)\in NBV$이고 $G'=F'\,a.e.$이다.  

3.28 $F\in BV$이면, $T_{F}(-\infty)=0$이고, $F$가 우연속이면, $T_{F}$도 우연속이다.  

증명: $\epsilon>0$, $x\in\mathbb{R}$이라 하자. $x_{0}<\cdots<x_{n}$을 선택하여 다음의 부등식이 성립하게 하자. $$\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\geq T_{F}(x)-\epsilon$$ 그러면 전변동의 정의에 의해 $T_{F}(x)-T_{F}(x_{0})\geq T_{F}(x)-\epsilon$이고, 모든 $y\leq x_{0}$에 대하여 $T_{F}(y)\leq\epsilon$이므로 $T_{F}(-\infty)=0$이다.    

$F$를 우연속 함수라고 하자. $\epsilon>0$과 $x\in\mathbb{R}$에 대하여 $\alpha=T_{F}(x+)-T_{F}(x)$라 하고 $\delta>0$를 선택해서 $0<h<\delta$일 때 $|F(x+h)-F(x)|<\epsilon$, $T_{F}(x+h)-T_{F}(x+)<\epsilon$이 되게 하자. 이러한 임의의 $h$에 대하여 전변동의 정의에 의해 $x=x_{0}<\cdots<x_{n}=x+h$가 존재해서 $$\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\geq\frac{3}{4}\{T_{F}(x+h)-T_{F}(x)\}\geq\frac{3}{4}\alpha$$ 이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다. $$\sum_{i=2}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\geq\frac{3}{4}\{T_{F}(x+h)-T_{F}(x)\}-|F(x_{1})-F(x_{0})|\geq\frac{3}{4}\alpha-\epsilon$$ 비슷한 방법으로 $x=t_{0}<\cdots<t_{m}=x_{1}$이 존재해서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{|F(t_{i})-F(t_{i-1})|}\geq\frac{3}{4}\alpha$이므로 $$\begin{align*}\alpha+\epsilon&>T_{F}(x+h)-T_{F}(x)\\&\geq\sum_{i=1}^{m}{|F(t_{i})-F(t_{i-1})|}+\sum_{i=2}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i})|}\\&\geq\frac{3}{2}\alpha-\epsilon\end{align*}$$ 이고 $\alpha<4\epsilon$이 되는데 $\epsilon>0$은 임의의 수이므로 $\alpha=0$이다. 

3.29 $\mu$가 $\mathbb{R}$상의 임의의 보렐측도이고, $F(x)=\mu((-\infty,\,x])$이면, $F\in NBV$이다. 역으로 $F\in NBV$이면, 유일한 복소 보렐측도 $\mu_{F}$가 존재해서 $F(x)=\mu_{F}((-\infty,\,x])$이고 $|\mu_{F}|=\mu_{T_{F}}$이다.  

증명: $\mu$가 복소측도이면, $\mu=\mu_{1}^{+}-\mu_{1}^{-}+i(\mu_{2}^{+}-\mu_{2}^{-})$이고 여기서 $\mu_{i}^{\pm}$들은 유한측도이다. $F_{i}^{\pm}(x)=\mu_{i}^{\pm}((-\infty,\,x])$이면, $F_{i}^{\pm}$는 우연속 증가함수이고 $F_{i}^{\pm}(-\infty)=0$, $F_{i}^{\pm}(\infty)=\mu_{i}^{\pm}(\mathbb{R})<\infty$이므로 3.27의 a, b에 의해 함수 $F=F_{1}^{+}-F_{1}^{-}+i(F_{2}^{+}-F_{2}^{-})$로 나타낼 수 있고, 여기서 $F_{i}^{\pm}$는 증가함수이고 $NBV$의 원소이다. 

역으로 3.27, 3.28에 의해 임의의 $F\in NBV$는 $F=F_{1}^{+}-F_{1}^{-}+i(F_{2}^{+}-F_{2}^{-})$로 나타낼 수 있고 여기서 $F_{i}^{\pm}$는 증가함수이고 $NBV$의 원소이다. 각각의 $F_{i}^{\pm}$들은 1.15에 의해 $F_{i}^{\pm}=\mu_{i}^{\pm}((-\infty,\,x])$로 나타낼 수 있고, $F(x)=\mu_{F}((-\infty,\,x])\,(\mu_{F}=\mu_{1}^{+}-\mu_{1}^{-}+i(\mu_{2}^{+}-\mu_{2}^{-}))$이다. 

$|\mu_{F}|=\mu_{F}$임을 보이자. $F\in NBV$, $G(x)=|\mu_{F}|((-\infty,\,x])$라 하면, $|\mu_{F}|$와 $T_{F}$의 정의에 의해 $T_{F}\leq G$이고 $E=(a,\,b]$, $a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b$라고 하면 $$|\mu_{F}(E)|=|F(b)-F(a)|\leq\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}$$ 이므로 이 부등식의 우변에 최소상계를 취하면 $|\mu_{F}(E)|\leq\mu_{T_{F}}(E)$이고 $E$가 임의의 보렐집합인 경우에도 이 부등식이 성립하므로 $|\mu_{F}|\leq\mu_{T_{F}}$이고 $G\leq T_{F}$이다. 

임의의 $(a,\,b]$에 대하여 $$|\mu_{F}|((a,\,b])=G(b)-G(a)=T_{F}(b)-T_{F}(a)=\mu_{T_{F}}((a,\,b])$$ 이므로 모든 보렐집합 $E$에 대해 $|\mu_{F}|(E)=\mu_{T_{F}}(E)$이다.     

참고자료:  

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사