[측도론] 3-5 유계변동함수(1)

[측도론] 3-5 유계변동함수(1) 

\(F\)를 \(\mathbb{R}\)에서의 우연속 증가함수, \(\mu_{F}\)를 \(\mu_{F}((a,\,b])=F(b)-F(a)\)인 보렐측도라 하자. 여기서 '거의 어디서나'는 르베그 측도 \(m\)에 대해 거의 어디서나(\(m-a.e.\))이다. 

3.24 \(F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 증가함수, \(G(x)=F(x+)\)라고 하자.  

a. \(F\)는 가산개의 불연속점을 갖는다.  

b. \(F\)와 \(G\)는 \(a.e.\)미분가능하고 \(F'=G'\,a.e.\)이다.  

증명: 

a. \(F\)는 증가함수이므로 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \((F(x-),\,F(x+))\)들은 서로소이고 \(|x|<N\)에 대하여 \((F(-N),\,F(N))\)상에 있다. 따라서$$\sum_{|x|<N}{\{F(x+)-F(x-)\}}\leq F(N)-F(-N)<\epsilon$$이므로 집합 \(\{x\in(-N,\,N)\,|\,F(x-)\neq F(x+)\}\)는 가산집합이고 모든 \(N\in\mathbb{N}\)에 대하여 참이므로 a는 증명되었다.  

b. \(G\)는 우연속 증가함수이고, \(F\)의 연속인 점에서 \(F=G\)이다. 게다가$$G(x+h)-G(x)=\begin{cases}\mu_{G}((x,\,x+h]),\,h>0\\-\mu_{G}((x+h,\,x]),\,h<0\end{cases}$$이고 집합족 \(\{(x-r,\,x]\}_{r\geq0}\), \(\{[x,\,x+r)\}_{r\geq0}\)은 \(r=|h|\,\rightarrow\,0\)일 때 \(x\)로 정확히 수축한다. 따라서 \(\mu_{G}\)(1.17에 의해 정칙)를 3.23에 적용하면 거의 모든 \(x\)에 대해 \(G'(x)\)가 존재한다. 증명을 완성하기 위해 \(H=G-F\)에 대해 거의 어디서나 \(H'\)이 존재하고 \(H'=0\)임을 보이자. 

\(\{x_{i}\}\)를 \(H'\neq0\)인 점들의 집합이라고 하자. 그러면 \(H(x_{0})>0\)이고, \(N\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{\{i\,|\,|x_{i}|<N\}}{H(x_{i})}<\infty\)를 얻는다. \(\delta_{i}\)를 \(x_{i}\)에서의 점질량이라 하고, \(\displaystyle\mu=\sum_{i}{H(x_{i})\delta_{i}}\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\sum_{\{i\,|\,|x_{i}|<N\}}{H(x_{i})}<\infty\)이므로 \(\mu\)는 컴팩트집합에서 유한하고 1.15, 1.17에 의해 정칙이다. 또한 \(E=\{x_{i}\}\)에서 \(m(E)=\mu(E^{c})=0\)이므로 \(\mu\perp m\)이다.$$\left|\frac{H(x+h)-H(x)}{h}\right|\leq\frac{H(x+h)+H(x)}{|h|}\leq4\frac{\mu((x-2|h|,\,x+2|h|))}{4|h|}$$이고, 3.23에 의해$$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{4\frac{\mu((x-2|h|,\,x+2|h|))}{4|h|}}=0\,a.e.$$이므로 \(H'=0\,a.e.\)이다.      

실수 상의 양측도가 증가함수와 관련되어 있다면, 실수 상의 복소측도는 유계변동함수와 관련되어 있다. 

직관적으로 \(F(t)\)가 시간 \(t\)에서의 한 입자의 직선상의 위치를 나타내면, 구간 \([a,\,b]\)에서의 \(F\)의 전변동은 주행거리계에 나타나는 시간 \(t=a\)에서 시간 \(t=b\)까지 이동한 거리이다. 만약 \(F\)가 연속도함수를 가지면, 앞에서 언급한 전변동은 입자의 속도 \(|F'(t)|\)의 적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{|F'(t)|dt}\)이다. 

매끄럽다고 하지 않고 \(F\)의 전변동을 구하기 위해, 구간 \([a,\,b]\)를 부분구간 \([t_{i-1},\,t_{i}]\)들로 분할한다. 그 다음에는 \([t_{i-1},\,t_{i}]\)상의 점 \((t_{i-1},\,F(t_{i-1}))\)과 점 \((t_{i},\,F(t_{i}))\)를 잇는 직선함수를 \(F\)로 근사한다. 먼저 \(a=-\infty\)로 높고 전변동을 \(b\)에 대한 함수라고 생각한다. 

\(F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\), \(x\in\mathbb{R}\)일 때, 함수 \(F\)의 전변동(total variation) \(T_{F}\)를 다음과 같이 정의한다.$$T_{F}(x)=\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|\,n\in\mathbb{N},\,-\infty<x_{0}<\cdots<x_{n}=x}\right\}$$분할점의 수가 많아질수록 전변동의 값은 커진다. \(a<b\)일 때$$T_{F}(b)=T_{F}(a)+\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|\,|\,n\in\mathbb{N},\,a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b}\right\}$$이므로 따라서 \(T_{F}\)는 \([0,\,\infty]\)에서 값을 갖는 증가함수이고, \(\displaystyle T_{F}(\infty)=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{T_{F}(x)}<\infty\)이면, \(F\)를 \(\mathbb{R}\)상의 유계변동(bounded variation)이라고 하고, 이러한 함수 \(F\)들의 공간을 \(BV\)로 나타낸다. 즉 \(BV=\{F\,|\,T_{F}(\infty)<\infty\}\)

일반적으로 다음의 식$$\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\,|\,n\in\mathbb{N}\,|\,a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b\right\}$$을 \(F\)의 \([a,\,b]\)에서의 전변동이라고 한다. 전변동은 \([a,\,b]\)에서의 \(F\)의 값에만 의존하기 때문에 \(BV([a,\,b])\)를 \([a,\,b]\)에서 전변동이 유한한(유계변동) 함수들의 집합으로 정의할 수 있다. \(F\in BV\)이면 모든 \(a,\,b\)에 대하여 \(F|_{[a,\,b]}\in BV([a,\,b])\)이고 \(F|_{[a,\,b]}\)의 전변동은 \(T_{F}(b)-T_{F}(a)\)이다. 거꾸로 \(F\in BV([a,\,b])\)이고 \(x<a\)일 때 \(F(x)=F(a)\), \(x>b\)일 때 \(F(x)=F(b)\)로 설정하면 \(F\in BV\)이다. 

3.25 

a. \(F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 유계 증가함수이면, \(F\in BV\)이다. 

b. \(F,\,G\in BV\)이면, 임의의 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{C}\)에 대하여 \(\alpha F+\beta G\in BV\)이다. 

c. \(F\)가 \(\mathbb{R}\)상에서 미분가능하고 \(F'\)이 유계이면, \(F\in BV([a,\,b])\,(-\infty<a<b<\infty)\)이다. 

증명: 

a. \(F\)가 \(\mathbb{R}\)에서 유계증가하므로 \(T_{F}(x)=F(x)-F(-\infty)\)이고$$|F(-\infty)|=\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{|F(x)|}<\infty,\,|F(\infty)|=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{|F(x)|}<\infty$$이므로 \(\displaystyle T_{F}(\infty)=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{T_{F}(x)}<\infty\)이고 따라서 \(F\in BV\)이다.  

b. \(F,\,G\in BV\)이므로$$T_{F}(\infty)=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{T_{F}(x)}<\infty,\,T_{G}(\infty)=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{T_{G}(x)}<\infty$$이고, 삼각부등식에 의해$$T_{\alpha F+\beta G}(x)\leq|\alpha|T_{F}(x)+|\beta|T_{G}(x)<\infty$$이므로 따라서 \(\alpha F+\beta G\in BV\)이다.   

c. \(F\)가 \(\mathbb{R}\)에서 미분가능하므로 \([a,\,b]\)의 한 분할구간 \([x_{i-1},\,x_{i}]\)에 대해 평균값의 정리에 의해 \(c_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]\)가 존재해서 \(F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\)이다. \(F'\)이 \(\mathbb{R}\)에서 유계이므로 \(\displaystyle M=\sup_{x\in[a,\,b]}{|F'(x)|}\)라 하자. 그러면$$\begin{align*}T_{F}(b)-T_{F}(a)&=\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x)|\,|\,n\in\mathbb{N},\,a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b}\right\}\\&\leq M\sum_{i=1}^{n}{M(x_{i}-x_{i-1})}\\&=M(b-a)<\infty\end{align*}$$이므로 \(F\in BV([a,\,b])\)이다.   

*

-\(F(x)=\sin x\)이면, \(F\in BV([a,\,b])\)이나 \(F\notin BV\)이다. \(|F'(x)|=|\cos x|\leq1\)이므로 3.25의 c에 의해 \(F\in BV([a,\,b])\)이지만 \(\displaystyle\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})}|\,n\in\mathbb{N},\,x_{n}=\frac{n\pi}{2}\right\}=n\)이므로 \(F\notin BV\)이다.  

-함수 \(F\)를 다음과 같이 정의하자.$$F(x)=\begin{cases}0,\,(x=0)\\x\sin\frac{1}{x},\,(x\neq0)\end{cases}$$\(x_{0}=0\), \(\displaystyle x_{n}=\frac{2}{n\pi}\), \(\displaystyle[a,\,b]=\left[0,\,\frac{2}{n\pi}\right]\)라고 하면$$\begin{align*}\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\,|\,n\in\mathbb{N},\,x_{0}<\cdots<x_{n}\right\}&=0+\frac{2}{2\pi}+0+\frac{2}{4\pi}+\cdots+0+\frac{2}{2n\pi}\\&=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\end{align*}$$이므로 \(F\notin BV\)이다. 

3.26 \(F\in BV\)가 실함수이면, \(T_{F}+F\)와 \(T_{F}-F\)는 증가함수이다.  

증명: \(x<y\), \(\epsilon>0\)이라 하자. \(T_{F}\)의 정의에 의해 분할 \(x_{0}<\cdots<x_{n}=x\)가 존재해서$$\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\geq T_{F}(x)-\epsilon$$이다. 그러면$$T_{F}(y)\geq\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}+|F(y)-F(x)|$$이고 \(F(y)=\{F(y)-F(x)\}+F(x)\)이므로$$\begin{align*}T_{F}(y)\pm F(y)&\geq\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}+|F(y)-F(x)|\pm\{F(y)-F(x)\}\pm F(x)\\&\geq T_{F}(x)-\epsilon\pm F(x)\end{align*}$$이고 \(\epsilon>0\)은 임의의 수이므로 따라서 \(T_{F}(y)\pm F(y)\geq T_{F}(x)\pm F(x)\)이고 \(T_{F}+F\)와 \(T_{F}-F\)는 증가함수이다.    

3.27 

a. \(F\in BV\)일 필요충분조건은 \(\text{Re}F,\,\text{Im}F\in BV\)이다.  

b. \(F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)이면, \(F\in BV\)일 필요충분조건은 \(F\)가 두 증가함수의 차로 나타나는 것이다.  

c. \(F\in BV\)이면, 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\displaystyle F(x+)=\lim_{y\,\rightarrow\,x+}{F(y)}\), \(\displaystyle F(x-)=\lim_{y\,\rightarrow\,x-}{F(y)}\)가 존재하고 \(\displaystyle F(\pm\infty)=\lim_{y\,\rightarrow\,\pm\infty}{F(y)}\)도 존재한다. 

d. \(F\in BV\)이면, \(F\)는 가산개의 불연속점을 갖는다.  

e. \(F\in BV\)이고 \(G(x)=F(x+)\)이면, \(F'\)과 \(G'\)은 존재하고 \(F'=G'\,a.e.\)이다.  

증명: 

a. 명백하다. 

b. 

(\(\Rightarrow\)): 3.25의 a, b

(\(\Leftarrow\)): 3.26에 의해 \(\displaystyle\frac{1}{2}(T_{F}+F)\)와 \(\displaystyle\frac{1}{2}(T_{F}-F)\)는 증가함수이고 \(\displaystyle T=\frac{1}{2}(T_{F}+F)-\frac{1}{2}(T_{F}-F)\)이다. 

c. \(y>x\)일 때 부등식 \(T_{F}(y)\pm F(y)\geq T_{F}(x)\pm F(x)\)에 의해$$|F(y)-F(x)|\leq T_{F}(y)-T_{F}(x)\leq T_{F}(\infty)-T_{F}(-\infty)<\infty$$이므로 \(F\)와 \(T_{F}\pm F\)는 유계이고 a, b와 3.24에 의해 성립한다.   

d, e: a, b와 3.24로부터 성립한다. 

실함수 \(F\in BV\)의 표현 \(\displaystyle F=\frac{1}{2}(T_{F}+F)-\frac{1}{2}(T_{F}-F)\)를 \(F\)의 조르단 분해(Jordan decomposition)이라 하고 \(\displaystyle\frac{1}{2}(T_{F}+F)\)와 \(\displaystyle\frac{1}{2}(T_{F}-F)\)를 각각 \(F\)의 양변동(positive variation), 음변동(negative variation)이라고 한다.     

\(x\in\mathbb{R}\)에 대하여$$x^{+}=\max\{x,\,0\}=\frac{1}{2}(|x|+x),\,x^{-}=\min\{x,\,0\}(=\max\{-x,\,0\})=\frac{1}{2}(|x|-x)$$이므로 다음의 등식이 성립한다.$$\frac{1}{2}\{T_{F}(x)\pm F(x)\}=\sup\left\{\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|^{\pm}}\,|\,x_{0}<\cdots<x_{n}=x\right\}\pm\frac{1}{2}F(-\infty)$$  

정리 3.27의 a, b는 \(BV\)와 \(\mathbb{R}\)에서의 복소 보렐측도들의 공간 사이의 관계를 나타낸다. 

정규화된 유계변동함수들의 공간(space of normalized bounded variation) \(NBV\)를 다음과 같이 정의한다.$$NBV=\{F\in BV\,|\,F\,\text{is right continuous and}\,F(-\infty)=0\}$$\(F\in BV\)이면 \(G(x)=F(x+)-F(-\infty)\in NBV\)이고 \(G'=F'\,a.e.\)이다.  

3.28 \(F\in BV\)이면, \(T_{F}(-\infty)=0\)이고, \(F\)가 우연속이면, \(T_{F}\)도 우연속이다.  

증명: \(\epsilon>0\), \(x\in\mathbb{R}\)이라 하자. \(x_{0}<\cdots<x_{n}\)을 선택하여 다음의 부등식이 성립하게 하자.$$\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\geq T_{F}(x)-\epsilon$$그러면 전변동의 정의에 의해 \(T_{F}(x)-T_{F}(x_{0})\geq T_{F}(x)-\epsilon\)이고, 모든 \(y\leq x_{0}\)에 대하여 \(T_{F}(y)\leq\epsilon\)이므로 \(T_{F}(-\infty)=0\)이다.    

\(F\)를 우연속 함수라고 하자. \(\epsilon>0\)과 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\alpha=T_{F}(x+)-T_{F}(x)\)라 하고 \(\delta>0\)를 선택해서 \(0<h<\delta\)일 때 \(|F(x+h)-F(x)|<\epsilon\), \(T_{F}(x+h)-T_{F}(x+)<\epsilon\)이 되게 하자. 이러한 임의의 \(h\)에 대하여 전변동의 정의에 의해 \(x=x_{0}<\cdots<x_{n}=x+h\)가 존재해서$$\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\geq\frac{3}{4}\{T_{F}(x+h)-T_{F}(x)\}\geq\frac{3}{4}\alpha$$이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다.$$\sum_{i=2}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}\geq\frac{3}{4}\{T_{F}(x+h)-T_{F}(x)\}-|F(x_{1})-F(x_{0})|\geq\frac{3}{4}\alpha-\epsilon$$비슷한 방법으로 \(x=t_{0}<\cdots<t_{m}=x_{1}\)이 존재해서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{|F(t_{i})-F(t_{i-1})|}\geq\frac{3}{4}\alpha\)이므로$$\begin{align*}\alpha+\epsilon&>T_{F}(x+h)-T_{F}(x)\\&\geq\sum_{i=1}^{m}{|F(t_{i})-F(t_{i-1})|}+\sum_{i=2}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i})|}\\&\geq\frac{3}{2}\alpha-\epsilon\end{align*}$$이고 \(\alpha<4\epsilon\)이 되는데 \(\epsilon>0\)은 임의의 수이므로 \(\alpha=0\)이다. 

3.29 \(\mu\)가 \(\mathbb{R}\)상의 임의의 보렐측도이고, \(F(x)=\mu((-\infty,\,x])\)이면, \(F\in NBV\)이다. 역으로 \(F\in NBV\)이면, 유일한 복소 보렐측도 \(\mu_{F}\)가 존재해서 \(F(x)=\mu_{F}((-\infty,\,x])\)이고 \(|\mu_{F}|=\mu_{T_{F}}\)이다.  

증명: \(\mu\)가 복소측도이면, \(\mu=\mu_{1}^{+}-\mu_{1}^{-}+i(\mu_{2}^{+}-\mu_{2}^{-})\)이고 여기서 \(\mu_{i}^{\pm}\)들은 유한측도이다. \(F_{i}^{\pm}(x)=\mu_{i}^{\pm}((-\infty,\,x])\)이면, \(F_{i}^{\pm}\)는 우연속 증가함수이고 \(F_{i}^{\pm}(-\infty)=0\), \(F_{i}^{\pm}(\infty)=\mu_{i}^{\pm}(\mathbb{R})<\infty\)이므로 3.27의 a, b에 의해 함수 \(F=F_{1}^{+}-F_{1}^{-}+i(F_{2}^{+}-F_{2}^{-})\)로 나타낼 수 있고, 여기서 \(F_{i}^{\pm}\)는 증가함수이고 \(NBV\)의 원소이다. 

역으로 3.27, 3.28에 의해 임의의 \(F\in NBV\)는 \(F=F_{1}^{+}-F_{1}^{-}+i(F_{2}^{+}-F_{2}^{-})\)로 나타낼 수 있고 여기서 \(F_{i}^{\pm}\)는 증가함수이고 \(NBV\)의 원소이다. 각각의 \(F_{i}^{\pm}\)들은 1.15에 의해 \(F_{i}^{\pm}=\mu_{i}^{\pm}((-\infty,\,x])\)로 나타낼 수 있고, \(F(x)=\mu_{F}((-\infty,\,x])\,(\mu_{F}=\mu_{1}^{+}-\mu_{1}^{-}+i(\mu_{2}^{+}-\mu_{2}^{-}))\)이다. 

\(|\mu_{F}|=\mu_{F}\)임을 보이자. \(F\in NBV\), \(G(x)=|\mu_{F}|((-\infty,\,x])\)라 하면, \(|\mu_{F}|\)와 \(T_{F}\)의 정의에 의해 \(T_{F}\leq G\)이고 \(E=(a,\,b]\), \(a=x_{0}<\cdots<x_{n}=b\)라고 하면$$|\mu_{F}(E)|=|F(b)-F(a)|\leq\sum_{i=1}^{n}{|F(x_{i})-F(x_{i-1})|}$$이므로 이 부등식의 우변에 최소상계를 취하면 \(|\mu_{F}(E)|\leq\mu_{T_{F}}(E)\)이고 \(E\)가 임의의 보렐집합인 경우에도 이 부등식이 성립하므로 \(|\mu_{F}|\leq\mu_{T_{F}}\)이고 \(G\leq T_{F}\)이다. 

임의의 \((a,\,b]\)에 대하여$$|\mu_{F}|((a,\,b])=G(b)-G(a)=T_{F}(b)-T_{F}(a)=\mu_{T_{F}}((a,\,b])$$이므로 모든 보렐집합 \(E\)에 대해 \(|\mu_{F}|(E)=\mu_{T_{F}}(E)\)이다.     

참고자료:  

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사