[측도론] 3-2 르베그-라돈-니코딤 정리

[측도론] 3-2 르베그-라돈-니코딤 정리

\((X,\,\mathcal{M})\)에서 \(\nu\)를 부호측도, \(\mu\)를 양측도라 하자. 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\mu(E)=0\)일 때 \(\nu(E)=0\)이면, \(\nu\)를 \(\mu\)에 대해 절대연속(absolutely continuous)이라 하고 \(\nu\ll\mu\)로 나타낸다. 

이때 \(\nu\ll\mu\,\Leftrightarrow\,|\nu|\ll\mu\,\Leftrightarrow\,\nu^{+}\ll\mu,\,\nu^{-}\ll\mu\)이다. 또한 \(\nu\perp\mu\)이고 \(\nu\ll\mu\)이면 \(\nu=0\)이고 \(E,\,F\)가 \(E\cup F=X\), \(E\cap F=\phi\), \(\mu(E)=|\nu|(F)=0\)이면 \(\nu\ll\mu\)이므로 \(|\nu|(E)=0\)이고 \(|\nu|=0\)이므로 따라서 \(\nu=0\)이다. 

3.5 \((X,\,\mathcal{M})\)에서 \(\nu\)를 부호측도, \(\mu\)를 양측도라 하자. \(\nu\ll\mu\)일 필요충분조건은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(\mu(E)<\delta\)일 때 \(|\nu(E)|<\epsilon\)이다.  

증명: \(\nu\ll\mu\,\Leftrightarrow\,|\nu|\ll\mu\)이고 \(|\nu(E)|\leq|\nu|(E)\)이므로 \(\nu=|\nu|\)를 양측도라고 가정한다.  

(\(\Rightarrow\)): 자명하다.  

(\(\Leftarrow\)): 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\epsilon>0\)과 \(E_{n}\in\mathcal{M}\)이 존재해서 \(\mu(E_{n})<2^{-n}\)이고 \(\nu(E_{n})\geq\epsilon\)이라 하자. \(\displaystyle F_{k}=\bigcup_{n=k}^{\infty}{E_{n}}\), \(\displaystyle F=\bigcap_{k=1}^{\infty}{F_{k}}\)라 하면, \(\displaystyle\mu(F_{k})<\sum_{n=k}^{\infty}{2^{-n}}=2^{1-k}\)이므로, \(\mu(F)=0\)이나 모든 \(k\)에 대해 \(\nu(F_{k})\geq\epsilon\)이고 \(\nu\)는 유한이므로 \(\displaystyle\nu(F)=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\nu(F_{k})}\geq\epsilon\)이고 따라서 \(\nu\)는 \(\mu\)에 대해 절대연속이 아니다.  

\(\mu\)가 측도이고 \(f\)가 확장된 \(\mu-\)적분가능한 함수이면, \(\displaystyle\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}\)로 정의되는 측도 \(\nu\)는 분명히 \(\mu\)에 대해 절대연속이고, \(\nu\)가 유한일 필요충분조건은 \(f\in L^{1}(\mu)\)이다.  

3.6 \(f\in L^{1}(\mu)\)이면, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(\mu(E)<\delta\)일 때 \(\displaystyle\left|\int_{E}{fd\mu}\right|<\epsilon\)이다. 

증명: \(\displaystyle\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}\)를 3.5에 적용한다. 

\(\displaystyle\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}\)를 \(d\nu=fd\mu\)로 나타낸다. 

3.7 \(\nu\)와 \(\mu\)를 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 유한측도라 하자. 그러면 \(\nu\perp\mu\)이거나 \(\epsilon>0\)과 \(E\in\mathcal{M}\)가 존재해서 \(\mu(E)>0\)이고 \(E\)에서 \(\nu\geq\epsilon\mu\)이다(\(E\)는 \(\nu-\epsilon\mu\)에 대해 양집합). 

증명: \(X=P_{n}\cup N_{n}\)를 \(\displaystyle\nu-\frac{1}{n}\mu\)에 대한 한 분해라 하고 \(\displaystyle P=\bigcup_{n=1}^{\infty}{P_{n}}\), \(\displaystyle N=\bigcap_{}n=1^{\infty}{N_{n}}=P^{c}\)라 하자. 그러면 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(N\)은 \(\displaystyle\nu-\frac{1}{n}\mu\)에 대해 음집합이고 \(0\leq\nu(N)\leq\frac{1}{n}\mu(N)\)이므로 \(\nu(N)=0\)이다. \(\mu(P)>0\)이면, 적당한 \(n\)에 대하여 \(\mu(P_{n})>0\)이고 \(P_{n}\)은 \(\displaystyle\nu-\frac{1}{n}\mu\)에 대해 양집합이다.   

3.8 \(\{\nu_{i}\}\)를 양측도열이라 하자. 모든 \(i\)에 대하여 \(\nu_{i}\perp\mu\)이면, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu_{i}}\perp\mu\)이고, \(\nu_{i}\ll\mu\)이면, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu_{i}}\ll\mu\)이다.  

증명: \(\nu_{i}\perp\mu\)라 하자. 그러면 \(E_{i},\,F_{i}\in\mathcal{M}\)가 존재해서 \(E_{i}\cup F_{i}=X\), \(E_{i}\cap F_{i}=\phi\), \(\nu(E_{i})=\mu(F_{i})=0\)이다. \(\displaystyle E=\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\), \(\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\)라 하자. 그러면 \(E\cup F=X\), \(E\cap F=\phi\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu_{i}(E)}=\mu(F)=0\)이므로 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu_{i}}\perp\mu\)이다. 

\(\nu_{i}\ll\mu\)라 하자. 그러면 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\mu(E)=0\)이면, \(\nu_{i}(E)=0\)이므로 따라서 \(\mu(E)=0\)이면 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu_{i}(E)}=0\)이고 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu_{i}}\ll\mu\)이다.

3.9 르베그-라돈-니코딤 정리(Lebsegue-Radon-Nikodym Theorem)

\((X,\,\mathcal{M})\)에서 \(\nu\)를 \(\sigma-\)유한 부호측도, \(\mu\)를 \(\sigma-\)유한 양측도라 하자. \((X,\,\mathcal{M})\)상의 \(\sigma-\)유한 부호측도 \(\lambda\), \(\rho\)가 유일하게 존재해서$$\lambda\perp\mu,\,\rho\ll\mu,\,\nu=\lambda+\rho$$이고, 확장된 \(\mu-\)적분가능한 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 존재해서 \(d\rho=fd\mu\)이다. 만약 \(g\)가 존재해서 \(d\rho=gd\mu\)이면, \(f=g\,\mu-a.e.\)이다.  

증명: 

I. \(\nu\)와 \(\mu\)를 유한 양측도라 하고$$\mathcal{F}=\left\{f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\,|\,\int_{E}{fd\mu}\leq\nu(E)\,\text{for all}\,E\in\mathcal{M}\right\}$$이라 하자. \(0\in\mathcal{F}\)이므로 \(\mathcal{F}\)는 공집합이 아니고 또한 \(f,\,g\in\mathcal{F}\)이면, \(h=\max\{f,\,g\}\in\mathcal{F}\)이고 이때 \(A=\{x\,|\,f(x)>g(x)\}\)라 하면 임의의 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.$$\int_{E}{hd\mu}=\int_{E\cap A}{fd]mu}+\int_{E\cap A^{c}}{gd\mu}\leq\nu(E\cap A)+\nu(E\cap A^{c})=\nu(E)$$\(\displaystyle a=\sup\left\{\int_{X}{fd\mu}\,|\,f\in\mathcal{F}\right\}\)라 하자. 이때 \(a\leq\nu(X)<\infty\)이고 \(\{f_{n}\}\subset\mathcal{F}\)을 선택해서$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}=a,\,g_{n}=\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\},\,\displaystyle f=\sup_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}}$$이라 하자. 그러면 \(g_{n}\in\mathcal{F}\)이고, \(g_{n}\)은 \(f\)로 증가하면서 수렴하고$$\int_{X}{g_{n}d\mu}\geq\int_{X}{f_{n}d\mu},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{g_{n}d\mu}}=a$$이므로 단조수렴정리에 의해 \(f\in\mathcal{F}\)이고 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=a\)이다. 

측도 \(d\lambda=d\nu-fd\mu\)(\(f\in\mathcal{F}\)이므로 양측도)가 \(\mu\)에 대해 상호특이임을 보이자. 그렇지 않다고 하면, 3.7에 의해 \(E\in\mathcal{M}\), \(\epsilon>0\)이 존재해서 \(\mu(E)>0\)이고 \(E\)에서 \(\lambda\geq\epsilon\mu\)이다. 그러나 \(\epsilon\chi_{E}d\mu\leq d\lambda=d\nu-fd\mu\)이므로 \((f+\epsilon\chi_{E})d\mu\leq d\nu\)이고 따라서 \(f+\epsilon\chi_{E}\in\mathcal{F}\)이고$$\int_{X}{(f+\epsilon\chi_{E})d\mu}=a+\epsilon\mu(E)>a$$가 되는데 이것은 \(a\)의 정의에 모순이다. 따라서 \(\lambda\)와 \(f\)의 존재성과 \(d\rho=fd\mu\)를 증명했다. 

(유일성): \(d\nu=d\lambda_{1}+f_{1}d\mu\)이면, \(d\lambda-d\lambda_{1}=(f_{1}-f)d\mu\)이고 3.8에 의해 \(\lambda-\lambda_{1}\perp\mu\), \((f_{1}-f)d\mu\ll d\mu\)이므로 \(d\lambda-d\lambda_{1}=(f_{1}-f)d\mu=0\이고 \(\lambda=\lambda_{1}\), \(f=f_{1}\), \(\mu-a.e.\)이다.      

II. \(\mu\)와 \(\nu\)를 \(\sigma-\)유한측도라 하자. 그러면 \(X\)는 \(\mu-\)유한집합의 서로소인 합집합이며 \(\nu-\)유한집합의 서로소인 합집합이다. 이 두 집합들의 교집합을 취해서 \(\{A_{i}\}\)를 선택할 수 있고, 이때 \(\mu(A_{i})<\infty\), \(\nu(A_{i})<\infty\), \(\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)이다. 

\(\mu_{i}(E)=\mu(E\cap A_{i})\), \(\nu_{i}(E)=\nu(E\cap A_{i})\)라 하자. I과 같은 이유로 \(d\nu_{i}=d\lambda_{i}+f_{i}d\mu_{i}\,(\lambda_{i}\perp\mu_{i})\)이고, \(\mu_{i}(A_{i}^{c})=\nu_{i}(A_{i}^{c})=0\)이므로 \(\displaystyle\lambda_{i}(A_{i}^{c})=\nu_{i}(A_{i}^{c})-\int_{A_{i}^{c}}{f_{i}d\mu_{i}}=0\)이고 \(A_{i}^{c}\)에서 \(f_{i}=0\)이라고 할 수 있다. 

\(\displaystyle\lambda=\sum_{i=1}^{\infty}{\lambda_{i}},\,f=\sum_{i=1}^{\infty}{f_{i}}\)라 하자. 그러면 \(d\nu=d\lambda+fd\mu\)이고 3.8에 의해 \(\lambda\perp\mu\), \(d\lambda\)와 \(fd\mu\)는 \(\sigma-\)유한이다. 유일성은 I에서처럼 보일 수 있다.    

일반적인 경우 \(\nu=\nu^{+}-\nu^{-}\)이므로 \(\nu^{+}\)와 \(\nu^{-}\)에 II의 결과를 적용한다. 

\(\nu=\lambda+\rho(\lambda\perp\mu,\,\rho\ll\mu)\)를 \(\nu\)의 \(\mu\)에 대한 르베그분해(Lebesgue decomposition)라고 한다. \(\nu\ll\mu\)이면, 르베그-라돈-니코딤 정리에 의해 적당한 \(f\)에 대하여 \(d\nu=fd\mu\)이고, 이 결과를 라돈-니코딤 정리(Radon-Nikodym theorem)라 하고, 함수 \(f\)를 \(\nu\)의 \(\mu\)에 대한 라돈-니코딤 도함수(Radon-Nikodym derivative)라 하고 \(\displaystyle\frac{d\nu}{d\mu}\)로 나타낸다. 즉 \(\displaystyle f=\frac{d\nu}{d\mu}\). 

\(\nu_{1}\ll\mu\), \(\nu_{2}\ll\mu\)일 때 다음 식이 성립한다.$$\frac{d}{d\mu}(\nu_{1}+\nu_{2})=\frac{d\nu_{1}}{d\mu}+\frac{d\nu_{2}}{d\mu}$$   

3.10 연쇄법칙(Chain rule) 

\((X,\,\mathcal{M})\)에서 \(\nu\)를 \(\sigma-\)유한 부호측도, \(\mu,\,\lambda\)를 \(\nu\ll\mu\)이고 \(\mu\ll\lambda\)인 \(\sigma-\)유한 부호측도라 하자.  

a. \(g\in L^{1}(\nu)\)이면, \(\displaystyle g\frac{d\nu}{d\mu}\in L^{1}(\mu)\)이고 다음 식이 성립한다.$$\int_{X}{gd\nu}=\int_{X}{g\frac{d\nu}{d\mu}d\mu}$$ 

b. \(\nu\ll\mu\)이고 다음 식이 성립한다.$$\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}\,\lambda-a.e.$$

증명: \(\nu=\nu^{+}-\nu^{-}\)이므로 \(\nu\geq0\)이라 하자.  

a. \(g=\chi_{E}\,(E\in\mathcal{M})\)일 때, 다음 식이 성립한다.$$\int_{X}{gd\nu}=\nu(E)=\int_{E}{\frac{d\nu}{d\mu}d\mu}=\int_{X}{g\frac{d\nu}{d\mu}d\mu}$$그러므로 \(g\)가 단순함수인 경우에도 성립하며 2.10 a와 단조수렴정리에 의해 \(g\geq0\)일 때도 성립하고 따라서 \(g\in L^{1}(\nu)\)일 때도 성립한다.   

b. \(\displaystyle g=\chi_{E}\frac{d\nu}{d\mu}\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\int_{X}{gd\mu}=\int_{X}{g\frac{d\mu}{d\lambda}d\lambda}\,(\because\,a)\)이므로 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여$$\nu(E)=\int_{E}{\frac{d\nu}{d\mu}d\mu}=\int_{E}{\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}d\mu}$$이고 따라서 \(\displaystyle\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}\,\lambda-a.e.\,(\because\,2.24)\)이다. 

3.11 \(\mu\ll\lambda\)이고 \(\lambda\ll\mu\)이면, \(\displaystyle\frac{d\lambda}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}=1\,\lambda-a.e.\)(또는 \(\mu-a.e.\))이다.  

증명: 3.10의 b에서 \(\nu=\lambda\)인 경우이다. 

*\((\mathbb{R},\,\mathcal{B}_{\mathbb{R}})\)에서 \(\mu\)를 르베그측도, \(\nu\)를 0에서의 점질량이라고 하자. 그러면 \(\nu\perp\mu\)이고, 라돈-니코딤 도함수 \(\displaystyle\frac{d\nu}{d\mu}\)는 존재하지 않는다.  

 

3.12 \(\mu_{1},\,...,\,\mu_{n}\)이 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 측도이면, \(\displaystyle\mu_{i}\ll\mu=\sum_{i=1}^{n}{\mu_{i}}\)이다.  

증명: 자명하다.  

3.13 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 \(\sigma-\)유한 측도공간, \(\mathcal{N}\)을 \(\mathcal{M}\)의 부분 \(\sigma-\)대수, \(\nu=\mu|_{\mathcal{N}}\)이라 하자. \(f\in L^{1}(\mu)\)이면, \(g\in L^{1}(\nu)\)(따라서 \(g\)는 \(\mathcal{N}-\)가측)가 존재해서 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{E}{fd\mu}=\int_{E}{gd\nu}\)이고, \(g_{1}\)이 이러한 또 다른 함수이면 \(g=g_{1},\,\nu-a.e.\)이다. 

(확률론에서 \(g\)를 \(f\)의 \(\mathcal{N}\)에서의 조건부기댓값(conditional expectation)이라고 한다) 

증명: 측도 \(\lambda\)를 \(d\lambda=fd\mu\)로 정의하고 그 적분을 \(E\in\mathcal{N}\)로 제한하자. 그러면 임의의 \(E\in\mathcal{N}\)에 대하여 \(\displaystyle\lambda(E)=\int_{E}{fd\mu}\)이고, \(\nu(E)=0\)이면, \(\mu(E)=0\)이므로 \(\lambda(E)=0\)이고 따라서 \(\lambda\ll\nu\)이다. 

르베그-라돈-니코딤 정리에 의해 \(\displaystyle g=\frac{d\lambda}{d\nu}\in L^{1}(\nu)\)가 존재해서 \(fd\mu=d\lambda=gd\nu\)이고 모든 \(E\in\mathcal{N}\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{E}{fd\mu}=\int_{E}{d\lambda}=\int_{E}{gd\nu}\)이다. 

\(\displaystyle\int_{E}{fd\mu}=\int_{E}{g_{1}d\nu}\)이면, \(d\lambda=g_{1}d\nu\)이고, 라돈-니코딤 도함수는 유일하기 때문에 \(g=g_{1}\,\nu-a.e.\)이다.    

참고자료:     

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley