[측도론] 2-8 n차원 르베그 적분(2)

[측도론] 2-8 n차원 르베그 적분(2)

선형변환에서의 르베그 적분에 대해 알아보도록 하자. \(T:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)를 \((T_{ij})=(e_{i}\cdot T(e_{j}))\)(행렬)인 선형변환이라 하자. 여기서 \(e_{j}\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 표준기저(\(n\times1\)행렬)이다. 이 행렬의 판별식을 \(\det T\)로 나타내고 이때 선형변화 \(T,\,S\)에 대하여 \(\det(T\circ S)=(\det T)(\det S)\)이다. 

일반선형군 \(GL(n,\,\mathbb{R})\)을 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 가역 선형변환들의 군(group)이라 하겠다. 선형대수학에서 선형변환 \(T\in GL(n,\,\mathbb{R})\)는 다음의 기본적인 3가지 종류의 선형변환들의 곱으로 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}T_{1}(x_{1},\,...,\,x_{i},\,...,\,x_{n})&=(x_{1},\,...,\,cx_{i},\,...,\,x_{n})\,(c\neq0)\\T_{2}(x_{1},\,...,\,x_{i},\,...,\,x_{n})&=(x_{1},\,...,\,x_{i}+cx_{k},\,...,\,x_{n})\,(k\neq i)\\T_{3}(x_{1},\,...,\,x_{i},\,...,\,x_{j},\,...,\,x_{n})&=(x_{1},\,...,\,x_{j},\,...,\,x_{i},\,...,\,x_{n})\end{align*}$$\(GL(n,\,\mathbb{R})\)상의 모든 가역 선형변환들을 위 세종류의 선형변환들의 곱이고, 이 세 종류의 선형변환은 단위행렬에서 기본 행연산을 한 것들이다.

2.44 \(T\in GL(n,\,\mathbb{R})\)이라 하자.  

a. \(f\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 르베그가측함수이면, \(f\circ T\)도 르베그가측함수이고, \(f\geq0\) 또는 \(f\in L^{1}(m)\)이면 다음 등식이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=|\det T|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ T)(x)dx}$$b. \(E\in\mathfrak{L}^{n}\)이면, \(T[E]\in\mathfrak{L}^{n}\)이고 \(m(T[E])=|\det T|m(E)\)이다. 

증명: 

a. \(f\)를 보렐가측함수라고 하자. 그러면 \(T\)가 연속이므로 \(f\circ T\)도 보렐가측함수이다. \(T,\,S\in GL(n,\,\mathbb{R})\)에 대하여$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=|\det T|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ T)(x)dx},\,\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=|\det S|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ S)(x)dx}$$이므로 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}&=|\det T|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ T)(x)dx}\\&=|\det T||\det S|\int_{\mathbb{R}^{n}}{((f\circ T)\circ S)(x)dx}\\&=|\det(T\circ S)|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ(T\circ S))(x)dx}\end{align*}$$그러므로 선형변환 \(T\)가 앞의 \(T_{1},\,T_{2},\,T_{3}\)인 경우에 대해서만 증명하면 된다. 이것은 푸비니-토넬리 정리의 단순한 결과이므로 \(T_{3}\)에 대해서 변수 \(x_{i}\)와 \(x_{j}\)의 적분순서를 바꾸고, \(T_{1},\,T_{2}\)에 대하여 먼저 \(x_{i}\)에 대해 적분하고 1차원에서의 적분공식$$\int_{\mathbb{R}}{f(t)dt}=|c|\int_{\mathbb{R}}{f(ct)dt},\,\int_{\mathbb{R}}{f(t+a)dt}=\int_{\mathbb{R}}{f(t)dt}$$를 이용한다.(1.20에 의해 성립한다) 또한$$\det T_{1}=c,\,\det T_{2}=1,\,\det T_{3}=-1$$이므로 a의 증명은 끝났다.    

b. \(E\)가 보렐집합이면, \(T\)는 연속이므로 \(T[E]\)는 보렐집합이다. a에서 \(f=\chi_{E}\)를 대입하면 등식 \(m(T[E])=|\det T|m(E)\)를 얻는다. 특히 보렐 영집합은 \(T\)와 \(T^{-1}\)에 대해 불변이고 따라서 \(\mathfrak{L}^{n}\)의 원소가 된다. 르베그 가측함수 및 집합에 대한 이 결과는 2.42의 증명에 의해 성립한다.   

2.45 르베그측도는 회전에 대해 불변이다.  

증명: 회전은 \(TT^{*}=I\)인 선형사상(\(T^{*}\)는 \(T\)의 전치행렬)이고, \(\det T=\det T^{*}\)이므로 \(|\det T|=1\)이다.  

\(G=(g_{1},\,...,\,g_{n})\)를 열린집합 \(\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\)에서 \(\mathbb{R}^{n}\)으로의 사상, \(g_{i}\)들은 \(C^{(1)}\)함수(연속인 1계 편도함수를 갖는 함수)라 하자. \(D_{x}(G)\)를 \(x\)에서 \(G\)의 성분들의 편도함수, 즉 \(\displaystyle D_{x}(G)=\left(\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{j}}(x)\right)\)라 하자. 여기서 \(G\)가 선형이면, 모든 \(x\)에 대하여 \(D_{x}(G)=G\)이다. \(G\)가 전단사이고 모든 \(x\in\Omega\)에 대하여 \(D_{x}(G)\) 가 가역이면, \(G\)를 \(C^{(1)}\)미분동형사상(diffeomorphism)이라고 한다. 이 경우, 역함수정리에 의해 \(G^{-1}:\,G[\Omega]\,\rightarrow\,\Omega\)도 \(C^{(1)}\)미분동형사상이다.  

2.46 \(\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\)를 열린집합, \(G:\,\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)를 \(C^{(1)}\)미분동형사상이라고 하자.  

a. \(f\)가 \(G[\Omega]\)에서 르베그가측이면, \(f\circ G\)는 \(\Omega\)에서 르베그가측이고, \(f\geq0\) 또는 \(f\in L^{1}(G[\Omega],\,m)\)이면, 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\int_{G}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}$$b. \(E\subset\Omega\)이고 \(E\in\mathfrak{L}^{n}\)이면, \(G[E]\in\mathfrak{L}^{n}\)이고 \(\displaystyle m(G[E])=\int_{E}{|\det D_{x}G|dx}\)이다.   

증명: 

a. \(G\)와 \(G^{-1}\)모두 연속이므로 보렐가측함수와 보렐집합에 대해 성립함을 보이면 된다. 일반적인 경우는 2.42의 증명과정으로부터 성립하고 따라서 \(f\circ G\)는 \(\Omega\)에서 르베그가측이다. 

* \(x\in\mathbb{R}^{n}\)와 \(T=(T_{ij})\in GL(n,\,\mathbb{R})\)에 대하여 다음과 같이 정의하자.$$\|x\|=\max_{1\leq i\leq n}{|x_{i}|},\,\|T\|=\max_{1\leq i\leq n}{\sum_{j=1}^{n}{|T_{ij}|}}$$

그러면 \(\|Tx\|\leq\|T\| \|x\|\)이고 \(\{x\,|\,\|x-a\|\leq h\}\)는 변의 길이가 \(2h\)이고 중심이 \(a\)인 정육면체이다. \(Q=\{x\,|\,||x-a||\leq h\}\subset\Omega\)라 하자. 평균값 정리에 의해 \(x\)와 \(a\)를 잇는 선분에서 \(y\)가 존재해 \(\displaystyle g_{j}(x)-g_{j}(a)=\sum_{k=1}^{n}{(x_{k}-a_{k})\left(\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{k}}\right)(y)}\)이고 \(x\in Q\)에 대하여 \(\displaystyle\|G(x)-G(a)\|\leq h\left(\sup_{y\in Q}{\|D_{y}G\|}\right)\), 즉 \(\displaystyle G[\Omega]\subset\left\{x\,|\,\|x-a\|\leq h\left(\sup_{y\in Q}{\|D_{y}G\|}\right)\right\}\)이므로 2.44에 의해$$\begin{align*}m(G[\Omega])&=|\det T|m(T^{-1}[G[\Omega]])\\&\leq|\det T|\left(\sup_{y\in Q}{\|T^{-1}D_{y}G\|}\right)^{n}m(Q)\,(*)\end{align*}$$이고 \(D_{y}G\)는 \(y\)에서 연속이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(y,\,z\in Q\)이고 \(\|y-z\|\leq\delta\)일 때 \((\|(D_{z}G)^{-1}D_{y}G\|)^{n}\leq1+\epsilon\)이다.

\(Q\)를 \(N\)개의 \(Q_{1},\,...,\,Q_{N}\)으로 분할하고 변의 길이는 최대 \(\delta\), 중심은 \(x_{1},\,...,\,x_{N}\)이라 하자. 식 (*)에서 \(Q\)를 \(Q_{j}\)로, \(T=D_{x_{j}}G\)라 하면,$$\begin{align*}m(G[Q])&\leq\sum_{j=1}^{N}{m(G[Q_{j}])}\\&\leq\sum_{j=}^{N}{|\det D_{x_{j}}G|\left(\sup_{y\in Q_{j}}{\|(D_{x_{j}}G)^{-1}D_{y}G\|}\right)^{n}}m(Q_{j})\\&\leq(1+\epsilon)\sum_{j=1}^{N}{|\det D_{x_{j}}G|m(Q_{j})}\end{align*}$$이고 식 \(\displaystyle\sum_{j=1}^{N}{|\det D_{x_{j}}G|m(Q_{j})}\left(=\sum_{j=1}^{N}{\int_{Q}{|\det D_{x_{j}}G|\chi_{Q_{j}}(x)dx}}\right)\)는 \(\delta\,\rightarrow\,0\)일 때, \(\displaystyle\int_{Q}{|\det D_{x}G|dx}\)로 균등수렴한다. \(D_{x}G\)는 연속이므로 따라서 \(\delta\,\rightarrow\,0,\,\epsilon\,\rightarrow\,0\)일때 다음의 부등식이 성립한다.$$m(G[Q])\leq\int_{Q}{|\det D_{x}G|dx}$$이제 \(\Omega\)상의 임의의 보렐집합에 대해서 성립함을 보이자. \(U\subset\Omega\)가 열린집합이면, 2.43에 의해 \(\displaystyle U=\bigcup_{j=1}^{\infty}{Q_{j}}\)(\(Q_{j}\)는 서로소인 내부를 갖는(내부가 겹치지 않는) 정육면체)로 나타낼 수 있고, 정육면체의 경계의 르베그측도는 0이므로 다음의 부등식을 얻는다.$$m(G[U])\leq\sum_{j=1}^{\infty}{m(G[Q_{j}])}\leq\sum_{j=1}^{\infty}{\int_{Q_{j}}{|\det D_{x}G|dx}}=\int_{U}{|\det D_{x}G|dx}$$그 다음으로 \(W_{K}=\Omega\cap\{x\,|\,|x|<K,\,|\det D_{x}G|<K\}\)라 하자. \(E\subset K\)가 보렐집합이면, 2.40에 의해 \(\{U_{j}\}\subset W_{k+1}\)가 존재해서 \(U_{j+1}\subset U_{j}\)인 열린집합열이고 \(\displaystyle E\subset\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\), \(\displaystyle m\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}-E\right)=0\)이다. 앞의 결과와 지배수렴정리에 의해 다음의 부등식이 성립한다.$$m(G[E])\leq m\left(G\left[\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{j}}\right]\right)=\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{m(G[U_{j}])}\leq\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{\int_{U_{j}}{|\det D_{x}G|dx}}=\int_{E}{|\det D_{x}G|dx}$$마지막으로 \(E\)가 \(\Omega\)상의 임의의 보렐집합이면, 앞의 결과에서 \(E\)를 \(E\cap W_{K}\)로 대치하고 \(K\,\rightarrow\,\infty\)라 한 다음 단조수렴정리로부터 부등식 \(\displaystyle m(G[E])\leq\int_{E}{|\det D_{x}G|dx}\)를 얻는다. 

지금까지의 과정은 보렐집합 \(E\)에 대하여 \(f=\chi_{E}\)일 때 부등식 \(\displaystyle\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}\leq\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}\)가 성립함을 보인 것이다. 

\(\displaystyle f=\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\chi_{A_{j}}}\)가 \(G[\Omega]\)상의 음이 아닌 단순함수이면, 다음의 부등식이 성립하고,$$\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\sum_{j=1}^{n}{a_{j}m(A_{j})}\leq\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\int_{G^{-1}[A]}{|\det D_{x}G|dx}}=\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}$$\(f\)가 음이 아닌 가측함수이면 2.10의 a와 단조수렴정리, 앞의 결과로부터 다음의 부등식을 얻는데$$\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}\leq\int_{\Omega}{(f\circ g)(x)|\det D_{x}G|dx}$$이 부등식에서 \(G\)를 \(G^{-1}\)로, \(f(x)\)를 \((f\circ G)(x)|\det D_{x}G|\)로 대체하면$$\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}\leq\int_{G[\Omega]}{(f\circ G\circ G^{-1})(x)|\det D_{x}G||\det D_{x}G^{-1}|dx}=\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}$$이므로 등식 \(\displaystyle\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}\)가 성립한다.

\(f\)가 실함수이면 \(f=f^{+}-f^{-}\), \(f\)가 복소함수이면 \(f=\text{Re}f+i\text{Im}f\)이므로 \(a\)의 증명은 완료되었다.              

b. a에서 \(f=\chi_{G[E]}\)인 경우이다. 

*이 정리에서 

1차원일 때 \(G=g(x)\), \(|\det D_{x}G|=g'(x)\), \(G[\Omega]=(a,\,b)\), \(\Omega=(\alpha,\,\beta)\)이고 다음과 같이 일변수 미적분학에서의 치환적분이다.$$\int_{a}{b}{f(x)dx}=\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$ 

2차원일 때 \(\Omega\)는 \(uv\)평면상의 영역 \(S\), \(G=T(x,\,y)=T(g(u,\,v),\,h(u,\,v))\), \(\displaystyle|\det D_{x}G|=\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|=\det\begin{pmatrix}g_{u}&g_{v}\\h_{u}&h_{v}\end{pmatrix}\), \(G[\Omega]\)는 \(xy\)평면 위의 영역 \(G[S]=R\)이고 다음과 같이 이중적분의 변수변환이다.$$\iint_{R}{f(x,\,y)dxdy}=\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}=\iint_{S}{f(g(u,\,v),\,h(u,\,v))\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|dudv}$$

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley