[측도론] 2-8 n차원 르베그 적분(2)

[측도론] 2-8 n차원 르베그 적분(2)

선형변환에서의 르베그 적분에 대해 알아보도록 하자. $T:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$를 $(T_{ij})=(e_{i}\cdot T(e_{j}))$(행렬)인 선형변환이라 하자. 여기서 $e_{j}$는 $\mathbb{R}^{n}$상의 표준기저($n\times1$행렬)이다. 이 행렬의 판별식을 $\det T$로 나타내고 이때 선형변화 $T,\,S$에 대하여 $\det(T\circ S)=(\det T)(\det S)$이다. 

일반선형군 $GL(n,\,\mathbb{R})$을 $\mathbb{R}^{n}$상의 가역 선형변환들의 군(group)이라 하겠다. 선형대수학에서 선형변환 $T\in GL(n,\,\mathbb{R})$는 다음의 기본적인 3가지 종류의 선형변환들의 곱으로 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}T_{1}(x_{1},\,...,\,x_{i},\,...,\,x_{n})&=(x_{1},\,...,\,cx_{i},\,...,\,x_{n})\,(c\neq0)\\T_{2}(x_{1},\,...,\,x_{i},\,...,\,x_{n})&=(x_{1},\,...,\,x_{i}+cx_{k},\,...,\,x_{n})\,(k\neq i)\\T_{3}(x_{1},\,...,\,x_{i},\,...,\,x_{j},\,...,\,x_{n})&=(x_{1},\,...,\,x_{j},\,...,\,x_{i},\,...,\,x_{n})\end{align*}$$ $GL(n,\,\mathbb{R})$상의 모든 가역 선형변환들을 위 세종류의 선형변환들의 곱이고, 이 세 종류의 선형변환은 단위행렬에서 기본 행연산을 한 것들이다.

2.44 $T\in GL(n,\,\mathbb{R})$이라 하자.  

a. $f$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 르베그가측함수이면, $f\circ T$도 르베그가측함수이고, $f\geq0$ 또는 $f\in L^{1}(m)$이면 다음 등식이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=|\det T|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ T)(x)dx}$$ b. $E\in\mathfrak{L}^{n}$이면, $T[E]\in\mathfrak{L}^{n}$이고 $m(T[E])=|\det T|m(E)$이다. 

증명: 

a. $f$를 보렐가측함수라고 하자. 그러면 $T$가 연속이므로 $f\circ T$도 보렐가측함수이다. $T,\,S\in GL(n,\,\mathbb{R})$에 대하여 $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=|\det T|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ T)(x)dx},\,\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=|\det S|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ S)(x)dx}$$ 이므로 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}&=|\det T|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ T)(x)dx}\\&=|\det T||\det S|\int_{\mathbb{R}^{n}}{((f\circ T)\circ S)(x)dx}\\&=|\det(T\circ S)|\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ(T\circ S))(x)dx}\end{align*}$$ 그러므로 선형변환 $T$가 앞의 $T_{1},\,T_{2},\,T_{3}$인 경우에 대해서만 증명하면 된다. 이것은 푸비니-토넬리 정리의 단순한 결과이므로 $T_{3}$에 대해서 변수 $x_{i}$와 $x_{j}$의 적분순서를 바꾸고, $T_{1},\,T_{2}$에 대하여 먼저 $x_{i}$에 대해 적분하고 1차원에서의 적분공식 $$\int_{\mathbb{R}}{f(t)dt}=|c|\int_{\mathbb{R}}{f(ct)dt},\,\int_{\mathbb{R}}{f(t+a)dt}=\int_{\mathbb{R}}{f(t)dt}$$ 를 이용한다.(1.20에 의해 성립한다) 또한 $$\det T_{1}=c,\,\det T_{2}=1,\,\det T_{3}=-1$$ 이므로 a의 증명은 끝났다.    

b. $E$가 보렐집합이면, $T$는 연속이므로 $T[E]$는 보렐집합이다. a에서 $f=\chi_{E}$를 대입하면 등식 $m(T[E])=|\det T|m(E)$를 얻는다. 특히 보렐 영집합은 $T$와 $T^{-1}$에 대해 불변이고 따라서 $\mathfrak{L}^{n}$의 원소가 된다. 르베그 가측함수 및 집합에 대한 이 결과는 2.42의 증명에 의해 성립한다.   

2.45 르베그측도는 회전에 대해 불변이다.  

증명: 회전은 $TT^{*}=I$인 선형사상($T^{*}$는 $T$의 전치행렬)이고, $\det T=\det T^{*}$이므로 $|\det T|=1$이다.  

$G=(g_{1},\,...,\,g_{n})$를 열린집합 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{n}$으로의 사상, $g_{i}$들은 $C^{(1)}$함수(연속인 1계 편도함수를 갖는 함수)라 하자. $D_{x}(G)$를 $x$에서 $G$의 성분들의 편도함수, 즉 $\displaystyle D_{x}(G)=\left(\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{j}}(x)\right)$라 하자. 여기서 $G$가 선형이면, 모든 $x$에 대하여 $D_{x}(G)=G$이다. $G$가 전단사이고 모든 $x\in\Omega$에 대하여 $D_{x}(G)$ 가 가역이면, $G$를 $C^{(1)}$미분동형사상(diffeomorphism)이라고 한다. 이 경우, 역함수정리에 의해 $G^{-1}:\,G[\Omega]\,\rightarrow\,\Omega$도 $C^{(1)}$미분동형사상이다.  

2.46 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$를 열린집합, $G:\,\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$를 $C^{(1)}$미분동형사상이라고 하자.  

a. $f$가 $G[\Omega]$에서 르베그가측이면, $f\circ G$는 $\Omega$에서 르베그가측이고, $f\geq0$ 또는 $f\in L^{1}(G[\Omega],\,m)$이면, 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\int_{G}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}$$ b. $E\subset\Omega$이고 $E\in\mathfrak{L}^{n}$이면, $G[E]\in\mathfrak{L}^{n}$이고 $\displaystyle m(G[E])=\int_{E}{|\det D_{x}G|dx}$이다.   

증명: 

a. $G$와 $G^{-1}$모두 연속이므로 보렐가측함수와 보렐집합에 대해 성립함을 보이면 된다. 일반적인 경우는 2.42의 증명과정으로부터 성립하고 따라서 $f\circ G$는 $\Omega$에서 르베그가측이다. 

* $x\in\mathbb{R}^{n}$와 $T=(T_{ij})\in GL(n,\,\mathbb{R})$에 대하여 다음과 같이 정의하자. $$\|x\|=\max_{1\leq i\leq n}{|x_{i}|},\,\|T\|=\max_{1\leq i\leq n}{\sum_{j=1}^{n}{|T_{ij}|}}$$

그러면 $\|Tx\|\leq\|T\| \|x\|$이고 $\{x\,|\,\|x-a\|\leq h\}$는 변의 길이가 $2h$이고 중심이 $a$인 정육면체이다. $Q=\{x\,|\,||x-a||\leq h\}\subset\Omega$라 하자. 평균값 정리에 의해 $x$와 $a$를 잇는 선분에서 $y$가 존재해 $\displaystyle g_{j}(x)-g_{j}(a)=\sum_{k=1}^{n}{(x_{k}-a_{k})\left(\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{k}}\right)(y)}$이고 $x\in Q$에 대하여 $\displaystyle\|G(x)-G(a)\|\leq h\left(\sup_{y\in Q}{\|D_{y}G\|}\right)$, 즉 $\displaystyle G[\Omega]\subset\left\{x\,|\,\|x-a\|\leq h\left(\sup_{y\in Q}{\|D_{y}G\|}\right)\right\}$이므로 2.44에 의해 $$\begin{align*}m(G[\Omega])&=|\det T|m(T^{-1}[G[\Omega]])\\&\leq|\det T|\left(\sup_{y\in Q}{\|T^{-1}D_{y}G\|}\right)^{n}m(Q)\,(*)\end{align*}$$ 이고 $D_{y}G$는 $y$에서 연속이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $y,\,z\in Q$이고 $\|y-z\|\leq\delta$일 때 $(\|(D_{z}G)^{-1}D_{y}G\|)^{n}\leq1+\epsilon$이다.

$Q$를 $N$개의 $Q_{1},\,...,\,Q_{N}$으로 분할하고 변의 길이는 최대 $\delta$, 중심은 $x_{1},\,...,\,x_{N}$이라 하자. 식 (*)에서 $Q$를 $Q_{j}$로, $T=D_{x_{j}}G$라 하면, $$\begin{align*}m(G[Q])&\leq\sum_{j=1}^{N}{m(G[Q_{j}])}\\&\leq\sum_{j=}^{N}{|\det D_{x_{j}}G|\left(\sup_{y\in Q_{j}}{\|(D_{x_{j}}G)^{-1}D_{y}G\|}\right)^{n}}m(Q_{j})\\&\leq(1+\epsilon)\sum_{j=1}^{N}{|\det D_{x_{j}}G|m(Q_{j})}\end{align*}$$ 이고 식 $\displaystyle\sum_{j=1}^{N}{|\det D_{x_{j}}G|m(Q_{j})}\left(=\sum_{j=1}^{N}{\int_{Q}{|\det D_{x_{j}}G|\chi_{Q_{j}}(x)dx}}\right)$는 $\delta\,\rightarrow\,0$일 때, $\displaystyle\int_{Q}{|\det D_{x}G|dx}$로 균등수렴한다. $D_{x}G$는 연속이므로 따라서 $\delta\,\rightarrow\,0,\,\epsilon\,\rightarrow\,0$일때 다음의 부등식이 성립한다. $$m(G[Q])\leq\int_{Q}{|\det D_{x}G|dx}$$ 이제 $\Omega$상의 임의의 보렐집합에 대해서 성립함을 보이자. $U\subset\Omega$가 열린집합이면, 2.43에 의해 $\displaystyle U=\bigcup_{j=1}^{\infty}{Q_{j}}$($Q_{j}$는 서로소인 내부를 갖는(내부가 겹치지 않는) 정육면체)로 나타낼 수 있고, 정육면체의 경계의 르베그측도는 0이므로 다음의 부등식을 얻는다. $$m(G[U])\leq\sum_{j=1}^{\infty}{m(G[Q_{j}])}\leq\sum_{j=1}^{\infty}{\int_{Q_{j}}{|\det D_{x}G|dx}}=\int_{U}{|\det D_{x}G|dx}$$ 그 다음으로 $W_{K}=\Omega\cap\{x\,|\,|x|<K,\,|\det D_{x}G|<K\}$라 하자. $E\subset K$가 보렐집합이면, 2.40에 의해 $\{U_{j}\}\subset W_{k+1}$가 존재해서 $U_{j+1}\subset U_{j}$인 열린집합열이고 $\displaystyle E\subset\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}$, $\displaystyle m\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}-E\right)=0$이다. 앞의 결과와 지배수렴정리에 의해 다음의 부등식이 성립한다. $$m(G[E])\leq m\left(G\left[\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{j}}\right]\right)=\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{m(G[U_{j}])}\leq\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{\int_{U_{j}}{|\det D_{x}G|dx}}=\int_{E}{|\det D_{x}G|dx}$$ 마지막으로 $E$가 $\Omega$상의 임의의 보렐집합이면, 앞의 결과에서 $E$를 $E\cap W_{K}$로 대치하고 $K\,\rightarrow\,\infty$라 한 다음 단조수렴정리로부터 부등식 $\displaystyle m(G[E])\leq\int_{E}{|\det D_{x}G|dx}$를 얻는다. 

지금까지의 과정은 보렐집합 $E$에 대하여 $f=\chi_{E}$일 때 부등식 $\displaystyle\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}\leq\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}$가 성립함을 보인 것이다. 

$\displaystyle f=\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\chi_{A_{j}}}$가 $G[\Omega]$상의 음이 아닌 단순함수이면, 다음의 부등식이 성립하고, $$\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\sum_{j=1}^{n}{a_{j}m(A_{j})}\leq\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\int_{G^{-1}[A]}{|\det D_{x}G|dx}}=\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}$$ $f$가 음이 아닌 가측함수이면 2.10의 a와 단조수렴정리, 앞의 결과로부터 다음의 부등식을 얻는데 $$\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}\leq\int_{\Omega}{(f\circ g)(x)|\det D_{x}G|dx}$$ 이 부등식에서 $G$를 $G^{-1}$로, $f(x)$를 $(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|$로 대체하면 $$\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}\leq\int_{G[\Omega]}{(f\circ G\circ G^{-1})(x)|\det D_{x}G||\det D_{x}G^{-1}|dx}=\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}$$ 이므로 등식 $\displaystyle\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}$가 성립한다.

$f$가 실함수이면 $f=f^{+}-f^{-}$, $f$가 복소함수이면 $f=\text{Re}f+i\text{Im}f$이므로 $a$의 증명은 완료되었다.              

b. a에서 $f=\chi_{G[E]}$인 경우이다. 

*이 정리에서 

1차원일 때 $G=g(x)$, $|\det D_{x}G|=g'(x)$, $G[\Omega]=(a,\,b)$, $\Omega=(\alpha,\,\beta)$이고 다음과 같이 일변수 미적분학에서의 치환적분이다. $$\int_{a}{b}{f(x)dx}=\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$  

2차원일 때 $\Omega$는 $uv$평면상의 영역 $S$, $G=T(x,\,y)=T(g(u,\,v),\,h(u,\,v))$, $\displaystyle|\det D_{x}G|=\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|=\det\begin{pmatrix}g_{u}&g_{v}\\h_{u}&h_{v}\end{pmatrix}$, $G[\Omega]$는 $xy$평면 위의 영역 $G[S]=R$이고 다음과 같이 이중적분의 변수변환이다. $$\iint_{R}{f(x,\,y)dxdy}=\int_{G[\Omega]}{f(x)dx}=\int_{\Omega}{(f\circ G)(x)|\det D_{x}G|dx}=\iint_{S}{f(g(u,\,v),\,h(u,\,v))\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|dudv}$$

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley