[측도론] 3-1 부호측도

[측도론] 3-1 부호측도

$(X,\,\mathcal{M})$을 가측공간이라 하자. $(X,\,\mathcal{M})$상의 부호측도(signed measure)는 다음 조건들을 만족하는 함수 $\nu:\,\mathcal{M}\,\rightarrow\,[-\infty,\,\infty]$이다.  

a. $\nu(\phi)=0$ 

b. $\nu$는 기껏해야 $\infty$, $-\infty$중 하나의 값만을 갖는다. 

c. $\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}$가 서로소이면, $\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E_{i})}$이고, $\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)$가 유한하면, $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E_{i})}$는 절대수렴한다.  

따라서 모든 측도는 부호측도이고, 2에서 다루었던 측도를 양측도(positive measure)라고 한다.  

부호측도의 예: 

(1) $\mu_{1},\,\mu_{2}$가 $\mathcal{M}$상의 측도이고 적어도 둘 중 하나가 유한하면, $\nu=\mu_{1}-\mu_{2}$는 부호측도이다. 

(2) $\mu$가 $\mathcal{M}$상의 측도이고 $f:\,X\,\rightarrow\,[-\infty,\,\infty]$가 가측함수이며 적어도 $\displaystyle\int_{X}{f^{+}d\mu}$와 $\displaystyle\int_{X}{f^{-}d\mu}$중 하나가 유한이면(이 경우, $f$를 확장된 $\mu-$적분가능한 함수(extended $\mu-$integrable function)라고 한다), $\displaystyle\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}\,(E\in\mathcal{M})$로 정의된 집합함수 $\nu$는 부호측도이다.  

3.1 $\nu$를 $(X,\,\mathcal{M})$상의 부호측도라 하자. $\{E_{i}\}$가 $E_{i}\subset E_{i+1}$이면, $\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\nu(E_{i})}$이고, $E_{i+1}\subset E_{i}$이고 $\nu(E_{1})$이 유한하면, $\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\nu(E_{i})}$ 

증명: 1.8의 c, d

$\nu$를 $(X,\,\mathcal{M})$상의 부호측도라 하자. $E\subset\mathcal{M}$와 $F\subset E$인 모든 $F\in\mathcal{M}$에 대하여 $\nu(F)\geq0$이면, $E$를 양집합(positive set), $\nu(F)\leq0$이면, $E$를 음집합(negative set), $\nu(F)=0$이면, $E$를 영집합(null set)이라고 한다. 

3.2 임의의 양집합의 부분집합은 양집합이고, 양집합들의 가산합집합도 양집합이다.  

증명: $\{P_{i}\}$를 양집합들의 집합족, $\displaystyle Q_{n}=P_{n}-\bigcup_{i=1}^{n-1}{P_{i}}$라 하자. 그러면 $Q_{n}\subset P_{n}$이므로 $Q_{n}$은 양집합이다. 따라서 $\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{P_{i}}$이면 $\displaystyle E=E\cap\bigcup_{i=1}^{\infty}{Q_{i}}=\bigcup_{i=1}^{\infty}{(E\cap Q_{i})}$이고 이것은 서로소인 합이므로 $\displaystyle\nu(E)=\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{(E\cap Q_{i})}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E\cap Q_{i})}\geq0$이다. 

3.3 한 분해정리(Hahn Decomposition Theorem) 

$\nu$를 가측공간 $(X,\,\mathcal{M})$상의 부호측도라 하자. 양집합 $P$와 음집합 $N$이 존재해서 $P\cup N=X$, $P\cap N=\phi$이고, $P'$, $N'$이 각각 또다른 이러한 양집합과 음집합이면, $P\Delta P'$과 $N\Delta N'$은 $\nu$에 대해 영집합이다.   

증명: 일반성을 잃지 않고 $\nu$가 $+\infty$를 값으로 갖지 않는다고 할 수 있다(그렇지 않은 경우, $-\nu$를 고려한다). $m=\sup\{\nu(E)\,|\,E\,\text{positive}\}$라고 하자. 그러면 양집합열 $\{P_{i}\}$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\nu(P_{i})}=m$이다. 

$\displaystyle P=\bigcup_{i=1}^{\infty}{P_{i}}$라 하면, 3.1과 3.2에 의해 $P$는 양집합이고 $\nu(P)=m<\infty$이다. $N=X-P$가 영집합임을 보이자. 

(1) $N$은 영집합이 아닌 양집합을 포함하지 않는다. $E\subset N$이 양집합이고 $\nu(E)>0$이면, $E\cup P$는 양집합이고 $\nu(E\cup P)=\nu(E)+\nu(P)>m$이 되는데 이것은 $m$의 정의에 모순이다.  

(2) $A\subset N$이고 $\nu(A)>0$이면, $B\subset A$가 존재해서 $\nu(B)>\nu(A)$이고 $A$는 양집합이 아니기 때문에 $C\subset A$가 존재해서 $\nu(C)<0$이고 따라서 $B=A-C$이면, $\nu(B)=\nu(A)-\nu(C)>\nu(A)$이다.  

$N$이 음집합이 아니면, $\{A_{i}\}\subset N$와 $\{n_{i}\}\subset\mathbb{N}$을 다음과 같이 정의할 수 있다. 

$n_{1}$을 $B\subset N$가 존재해서 $\displaystyle\nu(B)>\frac{1}{n_{1}}$을 만족하는 최소의 자연수라고 하고 $A_{1}$을 이러한 집합이라 하자. 이 과정을 귀납적으로 반복해서 $n_{i}$를 $B\subset A_{i-1}$가 존재해서 $\displaystyle\nu(B)>\frac{1}{n_{i}}+\nu(A_{i-1})$을 만족하는 최소의 자연수라고 하고 $A_{i}$를 이러한 집합이라 하자. 

$\displaystyle A=\bigcap_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$라고 하면, $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{n_{i}}}<\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\nu(A_{i})}=\nu(A)<\infty\,\left(\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{n_{i}}=\infty\right)$이 되는데 충분히 큰 $i$에 대하여 $n<n_{i}$이고 $B\subset A_{i-1}$이고 이것은 $n_{i}$와 $A_{i}$의 정의에 모순이다. 따라서 $N$은 음집합이어야 한다. 

마지막으로 $P',\,N'$이 $P'\cup N'=X$, $P'\cap N'=\phi$인 양집합과 음집합이라 하자. 그러면 $P-P'\subset P$이고 $P-P'\subset N'$이므로 $P-P'$는 양집합이면서 음집합이고 따라서 영집합이어야 한다. 마찬가지로 $P'-P\subset P'$이고 $P'-P\subset N$이므로 $P'-P$도 영집합이고 따라서 $P\Delta P'$는 영집합이다. $N\Delta N'$에 대해서도 앞과 같은 방법으로 영집합임을 보일 수 있다.        

전체집합 $X$를 양집합 $P$와 음집합 $N$으로 분해하여 나타낸 $X=P\cup N$를 $n$에 대한 한 분해(Hahn decomposition)라고 한다. 한 분해는 유일하지 않다. 

가측공간 $(X,\,\mathcal{M})$상의 두 부호측도 $\mu,\,\nu$가 상호특이(mutually singular) 또는 $\nu$가 $\mu$에 대해 특이(singular with respect to $\mu$)라는 것은 $E,\,F\in\mathcal{M}$가 존재해서 $E\cap F=\phi$, $E\cup F=X$이며, $\mu(E)=\nu(F)=0$인 것이다. 이것을 기호로 $\mu\perp\nu$로 나타낸다.  

3.4 조르단 분해정리(Jordan Decomposition Theorem) 

$\nu$가 부호측도이면, 유일한 양측도 $\nu^{+}$와 $\nu^{-}$가 존재해서 $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$이고 $\nu^{+}\perp\nu^{-}$이다.  

증명: $X=P\cup N$를 $\nu$의 한 분해라 하고 $\nu^{+}(E)=\nu(E\cap P)$, $\nu^{-}(E)=-\nu(E\cap N)$이라 하자. 그러면 분명히 $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$이고 $\nu^{+}\perp\nu^{-}$이다. 만약 $\nu=\mu^{+}-\mu^{-}$이고 $\mu^{+}\perp\mu^{-}$이면, $E,\,F\in\mathcal{M}$를 $E\cap F=\phi$, $E\cup F=X$, $\mu^{+}(F)=\mu^{-}(E)=0$이라 하자. 그러면 $X=E\cup F$는 $\nu$에 대한 또다른 한 분해이고 $\nu(P\Delta E)=0$이다. 그러므로 임의의 $A\in\mathcal{M}$에 대하여 $\mu^{+}(A)=\mu^{+}(A\cap E)=\nu(A\cap E)=\nu(A\cap P)=\nu^{+}(A)$이고 같은 방법으로 $\nu^{-}=\mu^{-}$임을 보일 수 있다.  

조르단 분해정리에서의 측도 $\nu^{+}$와 $\nu^{-}$를 각각 $\nu$의 양의 변동(positive variation), 음의 변동(negative variation)이라 하고, $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$를 $\nu$의 조르단분해(Jordan decomposition), $|\nu|=\nu^{+}+\nu^{-}$를 $\nu$의 전변동(total variation)이라고 한다.  

이때 $\nu\perp\mu\,\Leftrightarrow\,|\nu|\perp\mu\,\Leftrightarrow\,\nu^{+}\perp\mu\,\perp\,\nu^{-}\perp\mu$이고 또한 $\nu(E)=0\,\Leftrightarrow\,|\nu|(E)=0\,(E\in\mathcal{M})$이다. 

$\nu$가 $\infty$를 값으로 갖지 않으면, $\nu^{+}(X)=\nu^{+}(P)<\infty$이고 $\nu^{+}$는 유한측도이므로 $\nu$는 위로유계이다. 마찬가지로 $\nu$가 $-\infty$를 값으로 갖지 않으면, $\nu$는 아래로 유계이고 특히 $\nu$의 치역이 $\mathbb{R}$에 포함되어도 유계이다. 

$X=P\cup N$을 $\nu$에 대한 한 분해라 하고 $f=\chi_{P}-\chi_{N}$, $\mu=|\nu|$라 하면, 임의의 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 $\displaystyle\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}$로 나타낼 수 있다. 부호측도 $\nu$에 대하여 다음과 같이 정의하고 $$\begin{align*}L^{1}(\nu)&=L^{1}(\nu^{+})\cap L^{1}(\nu^{-})\\ \int_{X}{fd\nu}&=\int_{X}{fd\nu^{+}}-\int_{X}{fd\nu^{-}}\,(f\in L^{1}(\nu))\end{align*}$$ $\nu$가 유한하려면 $|\nu|$가 유한이어야 하고, $\nu$가 $\sigma-$유한이려면, $|\nu|$가 $\sigma-$유한이어야 한다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사