[측도론] 3-1 부호측도

[측도론] 3-1 부호측도

\((X,\,\mathcal{M})\)을 가측공간이라 하자. \((X,\,\mathcal{M})\)상의 부호측도(signed measure)는 다음 조건들을 만족하는 함수 \(\nu:\,\mathcal{M}\,\rightarrow\,[-\infty,\,\infty]\)이다.  

a. \(\nu(\phi)=0\) 

b. \(\nu\)는 기껏해야 \(\infty\), \(-\infty\)중 하나의 값만을 갖는다. 

c. \(\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}\)가 서로소이면, \(\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E_{i})}\)이고, \(\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)\)가 유한하면, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E_{i})}\)는 절대수렴한다.  

따라서 모든 측도는 부호측도이고, 2에서 다루었던 측도를 양측도(positive measure)라고 한다.  

부호측도의 예: 

(1) \(\mu_{1},\,\mu_{2}\)가 \(\mathcal{M}\)상의 측도이고 적어도 둘 중 하나가 유한하면, \(\nu=\mu_{1}-\mu_{2}\)는 부호측도이다. 

(2) \(\mu\)가 \(\mathcal{M}\)상의 측도이고 \(f:\,X\,\rightarrow\,[-\infty,\,\infty]\)가 가측함수이며 적어도 \(\displaystyle\int_{X}{f^{+}d\mu}\)와 \(\displaystyle\int_{X}{f^{-}d\mu}\)중 하나가 유한이면(이 경우, \(f\)를 확장된 \(\mu-\)적분가능한 함수(extended \(\mu-\)integrable function)라고 한다), \(\displaystyle\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}\,(E\in\mathcal{M})\)로 정의된 집합함수 \(\nu\)는 부호측도이다.  

3.1 \(\nu\)를 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 부호측도라 하자. \(\{E_{i}\}\)가 \(E_{i}\subset E_{i+1}\)이면, \(\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\nu(E_{i})}\)이고, \(E_{i+1}\subset E_{i}\)이고 \(\nu(E_{1})\)이 유한하면, \(\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\nu(E_{i})}\) 

증명: 1.8의 c, d

\(\nu\)를 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 부호측도라 하자. \(E\subset\mathcal{M}\)와 \(F\subset E\)인 모든 \(F\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\nu(F)\geq0\)이면, \(E\)를 양집합(positive set), \(\nu(F)\leq0\)이면, \(E\)를 음집합(negative set), \(\nu(F)=0\)이면, \(E\)를 영집합(null set)이라고 한다. 

3.2 임의의 양집합의 부분집합은 양집합이고, 양집합들의 가산합집합도 양집합이다.  

증명: \(\{P_{i}\}\)를 양집합들의 집합족, \(\displaystyle Q_{n}=P_{n}-\bigcup_{i=1}^{n-1}{P_{i}}\)라 하자. 그러면 \(Q_{n}\subset P_{n}\)이므로 \(Q_{n}\)은 양집합이다. 따라서 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{P_{i}}\)이면 \(\displaystyle E=E\cap\bigcup_{i=1}^{\infty}{Q_{i}}=\bigcup_{i=1}^{\infty}{(E\cap Q_{i})}\)이고 이것은 서로소인 합이므로 \(\displaystyle\nu(E)=\nu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{(E\cap Q_{i})}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E\cap Q_{i})}\geq0\)이다. 

3.3 한 분해정리(Hahn Decomposition Theorem) 

\(\nu\)를 가측공간 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 부호측도라 하자. 양집합 \(P\)와 음집합 \(N\)이 존재해서 \(P\cup N=X\), \(P\cap N=\phi\)이고, \(P'\), \(N'\)이 각각 또다른 이러한 양집합과 음집합이면, \(P\Delta P'\)과 \(N\Delta N'\)은 \(\nu\)에 대해 영집합이다.   

증명: 일반성을 잃지 않고 \(\nu\)가 \(+\infty\)를 값으로 갖지 않는다고 할 수 있다(그렇지 않은 경우, \(-\nu\)를 고려한다). \(m=\sup\{\nu(E)\,|\,E\,\text{positive}\}\)라고 하자. 그러면 양집합열 \(\{P_{i}\}\)가 존재해서 \(\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\nu(P_{i})}=m\)이다. 

\(\displaystyle P=\bigcup_{i=1}^{\infty}{P_{i}}\)라 하면, 3.1과 3.2에 의해 \(P\)는 양집합이고 \(\nu(P)=m<\infty\)이다. \(N=X-P\)가 영집합임을 보이자. 

(1) \(N\)은 영집합이 아닌 양집합을 포함하지 않는다. \(E\subset N\)이 양집합이고 \(\nu(E)>0\)이면, \(E\cup P\)는 양집합이고 \(\nu(E\cup P)=\nu(E)+\nu(P)>m\)이 되는데 이것은 \(m\)의 정의에 모순이다.  

(2) \(A\subset N\)이고 \(\nu(A)>0\)이면, \(B\subset A\)가 존재해서 \(\nu(B)>\nu(A)\)이고 \(A\)는 양집합이 아니기 때문에 \(C\subset A\)가 존재해서 \(\nu(C)<0\)이고 따라서 \(B=A-C\)이면, \(\nu(B)=\nu(A)-\nu(C)>\nu(A)\)이다.  

\(N\)이 음집합이 아니면, \(\{A_{i}\}\subset N\)와 \(\{n_{i}\}\subset\mathbb{N}\)을 다음과 같이 정의할 수 있다. 

\(n_{1}\)을 \(B\subset N\)가 존재해서 \(\displaystyle\nu(B)>\frac{1}{n_{1}}\)을 만족하는 최소의 자연수라고 하고 \(A_{1}\)을 이러한 집합이라 하자. 이 과정을 귀납적으로 반복해서 \(n_{i}\)를 \(B\subset A_{i-1}\)가 존재해서 \(\displaystyle\nu(B)>\frac{1}{n_{i}}+\nu(A_{i-1})\)을 만족하는 최소의 자연수라고 하고 \(A_{i}\)를 이러한 집합이라 하자. 

\(\displaystyle A=\bigcap_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)라고 하면, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{n_{i}}}<\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\nu(A_{i})}=\nu(A)<\infty\,\left(\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{n_{i}}=\infty\right)\)이 되는데 충분히 큰 \(i\)에 대하여 \(n<n_{i}\)이고 \(B\subset A_{i-1}\)이고 이것은 \(n_{i}\)와 \(A_{i}\)의 정의에 모순이다. 따라서 \(N\)은 음집합이어야 한다. 

마지막으로 \(P',\,N'\)이 \(P'\cup N'=X\), \(P'\cap N'=\phi\)인 양집합과 음집합이라 하자. 그러면 \(P-P'\subset P\)이고 \(P-P'\subset N'\)이므로 \(P-P'\)는 양집합이면서 음집합이고 따라서 영집합이어야 한다. 마찬가지로 \(P'-P\subset P'\)이고 \(P'-P\subset N\)이므로 \(P'-P\)도 영집합이고 따라서 \(P\Delta P'\)는 영집합이다. \(N\Delta N'\)에 대해서도 앞과 같은 방법으로 영집합임을 보일 수 있다.        

전체집합 \(X\)를 양집합 \(P\)와 음집합 \(N\)으로 분해하여 나타낸 \(X=P\cup N\)를 \(n\)에 대한 한 분해(Hahn decomposition)라고 한다. 한 분해는 유일하지 않다. 

가측공간 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 두 부호측도 \(\mu,\,\nu\)가 상호특이(mutually singular) 또는 \(\nu\)가 \(\mu\)에 대해 특이(singular with respect to \(\mu\))라는 것은 \(E,\,F\in\mathcal{M}\)가 존재해서 \(E\cap F=\phi\), \(E\cup F=X\)이며, \(\mu(E)=\nu(F)=0\)인 것이다. 이것을 기호로 \(\mu\perp\nu\)로 나타낸다.  

3.4 조르단 분해정리(Jordan Decomposition Theorem) 

\(\nu\)가 부호측도이면, 유일한 양측도 \(\nu^{+}\)와 \(\nu^{-}\)가 존재해서 \(\nu=\nu^{+}-\nu^{-}\)이고 \(\nu^{+}\perp\nu^{-}\)이다.  

증명: \(X=P\cup N\)를 \(\nu\)의 한 분해라 하고 \(\nu^{+}(E)=\nu(E\cap P)\), \(\nu^{-}(E)=-\nu(E\cap N)\)이라 하자. 그러면 분명히 \(\nu=\nu^{+}-\nu^{-}\)이고 \(\nu^{+}\perp\nu^{-}\)이다. 만약 \(\nu=\mu^{+}-\mu^{-}\)이고 \(\mu^{+}\perp\mu^{-}\)이면, \(E,\,F\in\mathcal{M}\)를 \(E\cap F=\phi\), \(E\cup F=X\), \(\mu^{+}(F)=\mu^{-}(E)=0\)이라 하자. 그러면 \(X=E\cup F\)는 \(\nu\)에 대한 또다른 한 분해이고 \(\nu(P\Delta E)=0\)이다. 그러므로 임의의 \(A\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\mu^{+}(A)=\mu^{+}(A\cap E)=\nu(A\cap E)=\nu(A\cap P)=\nu^{+}(A)\)이고 같은 방법으로 \(\nu^{-}=\mu^{-}\)임을 보일 수 있다.  

조르단 분해정리에서의 측도 \(\nu^{+}\)와 \(\nu^{-}\)를 각각 \(\nu\)의 양의 변동(positive variation), 음의 변동(negative variation)이라 하고, \(\nu=\nu^{+}-\nu^{-}\)를 \(\nu\)의 조르단분해(Jordan decomposition), \(|\nu|=\nu^{+}+\nu^{-}\)를 \(\nu\)의 전변동(total variation)이라고 한다.  

이때 \(\nu\perp\mu\,\Leftrightarrow\,|\nu|\perp\mu\,\Leftrightarrow\,\nu^{+}\perp\mu\,\perp\,\nu^{-}\perp\mu\)이고 또한 \(\nu(E)=0\,\Leftrightarrow\,|\nu|(E)=0\,(E\in\mathcal{M})\)이다. 

\(\nu\)가 \(\infty\)를 값으로 갖지 않으면, \(\nu^{+}(X)=\nu^{+}(P)<\infty\)이고 \(\nu^{+}\)는 유한측도이므로 \(\nu\)는 위로유계이다. 마찬가지로 \(\nu\)가 \(-\infty\)를 값으로 갖지 않으면, \(\nu\)는 아래로 유계이고 특히 \(\nu\)의 치역이 \(\mathbb{R}\)에 포함되어도 유계이다. 

\(X=P\cup N\)을 \(\nu\)에 대한 한 분해라 하고 \(f=\chi_{P}-\chi_{N}\), \(\mu=|\nu|\)라 하면, 임의의 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\displaystyle\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}\)로 나타낼 수 있다. 부호측도 \(\nu\)에 대하여 다음과 같이 정의하고$$\begin{align*}L^{1}(\nu)&=L^{1}(\nu^{+})\cap L^{1}(\nu^{-})\\ \int_{X}{fd\nu}&=\int_{X}{fd\nu^{+}}-\int_{X}{fd\nu^{-}}\,(f\in L^{1}(\nu))\end{align*}$$\(\nu\)가 유한하려면 \(|\nu|\)가 유한이어야 하고, \(\nu\)가 \(\sigma-\)유한이려면, \(|\nu|\)가 \(\sigma-\)유한이어야 한다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사