[측도론] 2-9 극좌표에서의 적분

[측도론] 2-9 극좌표에서의 적분 

$\mathbb{R}^{2}$와 $\mathbb{R}^{3}$에서 가장 중요한 비선형 좌표계는 극좌표계($x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$)와 구면좌표계($x=r\sin\phi\cos\theta$, $y=r\sin\phi\sin\theta$, $z=r\cos\phi$)이다. 이 좌표계에 2.46을 적용하면 $dxdy=rdrd\theta$, $dxdydz=r^{2}\sin\phi drd\theta d\phi$를 얻는다. 

$S_{\theta}$가 원에서 반지름이 $r$이고 중심각이 $\theta$인 영역이면, $\displaystyle m(S_{\theta})=\frac{1}{2}r^{2}\theta$이다. 단위구를 $S^{n-1}=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,|x|=1\}$로 나타내고 $x\in\mathbb{R}^{n}-\{0\}$이면, $x$의 극좌표(polar coordinates)는 $$r=|x|\in(0,\,\infty),\,x'=\frac{x}{|x|}\in S^{n-1}$$ 이고 사상 $\Phi(x)=(r,\,x')$는 $\mathbb{R}^{n}-\{0\}$에서 $(0,\,\infty)\times S^{n-1}$로의 전단사 연속함수이고, 그 역함수는 $\Phi^{-1}(r,\,x')=rx'$이다. 

$\mathbb{R}^{n}$상의 르베그측도로부터 $\Phi$에 의해 유도된 $(0,\,\infty)\times S^{n-1}$상의 보렐측도를 $m_{*}$로 나타낸다. 즉 $m_{*}(E)=m(\Phi^{-1}[E])$. $(0,\,\infty)$에서의 측도 $\rho=\rho_{n}$을 $\displaystyle\rho(E)=\int_{E}{r^{n-1}dr}$로 정의한다. 

2.47 $S^{n-1}$상의 유일한 보렐측도 $\sigma=\sigma_{n-1}$이 존재해서 $m_{*}=\rho\times\sigma$이고 $f$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 보렐가측이고 $f\geq0$이거나 $f\in L^{1}(m)$이면, 다음 식이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=\int_{0}^{\infty}{\int_{S^{n-1}}{f(rx')r^{n-1}d\sigma(x')}dr}$$  

증명: $f$가 한 집합에 대한 특성함수이면($f=\chi_{E}$), 식 $m_{*}(E)=m(\Phi^{-1}[E])$가 성립하므로 $\sigma$를 건설하면 된다. 

$E\in S^{n-1}$가 보렐집합이면, $a>0$에 대하여 $$E_{a}=\Phi^{-1}[(0,\,a]\times E]=\{rx'\,|\,0<r\leq a,\,x'\in E\}$$ 라 하자. 보이고자 하는 등식이 $f=\chi_{E_{1}}$일 때 성립하려면 $$m(E_{1})=\int_{0}^{1}{\int_{E}{r^{n-1}d\rho(x')}dr}=\rho(E)\int_{0}^{1}{r^{n-1}dr}=\frac{\sigma(E)}{n}$$ 이어야 하므로 $\sigma(E)=nm(E_{1})$으로 정의한다. $E\,\mapsto\,E_{1}$은 보렐집합을 보렐집합으로 대응시키고, 합집합, 교집합, 여집합에 대해서도 같은 역할을 하므로 $\sigma$는 $S^{n-1}$에서의 보렐측도이다. 또한 $E_{a}$는 $E_{1}$의 사상 $x\,\mapsto\,ax$에 의한 상이므로 2.44에 의해 $m(E_{a})=a^{n}m(E_{1})$이고, $0<a<b$이면, 다음 식이 성립한다. $$\begin{align*}m_{*}((a,\,b]\times E)&=m(E_{b}-E_{a})=\frac{b^{n}-a^{n}}{n}\sigma(E)=\sigma(E)\int_{a}^{b}{r^{n-1}dr}\\&=(\rho\times\sigma)((a,\,b]\times E)\end{align*}$$ $E\in\mathcal{B}_{S^{n-1}}$를 고정하고 $\mathcal{A}_{E}$를 서로소인 $(a,\,b]\times E$형태의 집합들의 유한합집합들의 족이라 하자. 그러면 1.7에 의해 $\mathcal{A}_{E}$는 $(0,\,\infty)\times E$에서의 대수이고, $\sigma-$대수 $\mathcal{M}_{E}=\{A\times E\,|\,A\in\mathcal{B}_{(0,\,\infty)}\}$를 생성한다. 앞의 계싼결과로부터 $\mathcal{A}_{E}$에서 $m_{*}=\rho\times\sigma$이고, 1.13의 c에 의해 $\mathcal{M}_{E}$에서 $m_{*}=\rho\times\sigma$이다. $\displaystyle\bigcup\{\mathcal{M}_{E}\,|\,E\in\mathcal{B}_{S^{n-1}}\}$은 $(0,\,\infty)\times S^{n-1}$상의 보렐 직사각형들의 집합이므로 유일성 정리의 또 다른 적용으로부터 모든 보렐집합에서 $m_{*}=\rho\times\sigma$이다.     

2.48 $f$가 $\mathbb{R}^{n}$상의 가측함수이고 적당한 $(0,\,\infty)$상의 함수 $g$에 대하여 $f(x)=g(|x|)$이며, $f\geq0$이거나 적분가능하면, 다음 등식이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=\sigma(S^{n-1})\int_{0}^{\infty}{g(r)r^{n-1}dr}$$  

증명: 2.47에 의해 다음 등식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}&=\int_{0}^{\infty}{\int_{S^{n-1}}{f(rx')r^{n-1}d\sigma(x')}dr}=\int_{0}^{\infty}{\int_{S^{n-1}}{g(r)r^{n-1}d\sigma(x')}dr}\\&=\sigma(S^{n-1})\int_{0}^{\infty}{g(r)r^{n-1}dr}\end{align*}$$  

2.49 $c,\,C>0$을 상수라 하고 $B=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,|x|<c\}$, $f$를 $\mathbb{R}^{n}$상의 가측함수라 하자.  

a. 적당한 $a<n$에 대하여 $B$에서 $|f(x)|\leq C|x|^{-a}$이면, $f\in L^{1}(B)$이고, $B$에서 $|f(x)|\geq C|x|^{-n}$이면, $f\notin L^{1}(B)$이다.  

b. 적당한 $a>n$에 대하여 $B^{c}$에서 $|f(x)|\leq C|x|^{-a}$이면, $f\in L^{1}(B^{c})$이고, $B^{c}$에서 $|f(x)|\geq C|x|^{-n}$이면, $f\notin L^{1}(B^{c})$이다.  

증명: 2.48에 $|x|^{-a}\chi_{B}$, $|x|^{-a}\chi_{B^{c}}$를 적용한다.  

2.50 $a>0$이면, 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-a|x|^{2}}dx}=\left(\frac{\pi}{a}\right)^{\frac{n}{2}}$$  

증명: $\displaystyle I_{n}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-a|x|^{2}}dx}$라 하자. $n=2$일 때 2.48에 의해 다음의 등식이 성립한다. $$I_{2}=2\pi\int_{0}^{\infty}{re^{-ar^{2}}dr}=\frac{\pi}{a}\,(\because\,\sigma(S^{1})=2\pi)$$ $\displaystyle e^{-a|x|^{2}}=\prod_{i=1}^{n}{e^{-ax_{i}^{2}}}$이고 $I_{1}=\sqrt{I_{2}}$이므로 토넬리 정리에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-a|x|^{2}}dx}=I_{n}=I_{1}^{n}=\left(\frac{\pi}{a}\right)^{\frac{n}{2}}$$   

2.51 $\displaystyle\sigma(S^{n-1})=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$ 

증명: 2.48, 2.50과 치환 $s=r^{2}$로부터 다음 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\pi^{\frac{n}{2}}&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-|x|^{2}}dx}=\sigma(S^{n-1})\int_{0}^{\infty}{r^{n-1}e^{-r^{2}}dr}=\frac{\sigma(S^{n-1})}{2}\int_{0}^{\infty}{s^{\frac{n}{2}-1}e^{-s}ds}\\&=\frac{\sigma(S^{n-1})}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle\sigma(S^{n-1})=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$이다.  

2.52 $B^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,|x|<1\}$이면, $\displaystyle m(B^{n})=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}$이다. 

증명: $\sigma$의 정의에 의해 $\displaystyle m(B^{n})=\frac{1}{n}\sigma(S^{n-1})$이고 감마함수의 정의에 의해 $\displaystyle\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)=\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)$이므로 2.51에 의해 다음 등식이 성립한다. $$m(B^{n})=\frac{1}{n}\sigma(S^{n-1})=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}$$

2.53 $\displaystyle\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\pi}$

증명: 감마함수의 정의에 의해 $\displaystyle\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$이고, 2.50과 치환 $s=r^{2}$로부터 $$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\infty}{s^{-\frac{1}{2}}e^{-s}ds}=2\int_{0}^{\infty}{e^{-r^{2}}dr}=\sqrt{\pi}$$ 이므로 따라서 원하는 결과를 얻는다.

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Wiley