[측도론] 2-9 극좌표에서의 적분

[측도론] 2-9 극좌표에서의 적분 

\(\mathbb{R}^{2}\)와 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 가장 중요한 비선형 좌표계는 극좌표계(\(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\))와 구면좌표계(\(x=r\sin\phi\cos\theta\), \(y=r\sin\phi\sin\theta\), \(z=r\cos\phi\))이다. 이 좌표계에 2.46을 적용하면 \(dxdy=rdrd\theta\), \(dxdydz=r^{2}\sin\phi drd\theta d\phi\)를 얻는다. 

\(S_{\theta}\)가 원에서 반지름이 \(r\)이고 중심각이 \(\theta\)인 영역이면, \(\displaystyle m(S_{\theta})=\frac{1}{2}r^{2}\theta\)이다. 단위구를 \(S^{n-1}=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,|x|=1\}\)로 나타내고 \(x\in\mathbb{R}^{n}-\{0\}\)이면, \(x\)의 극좌표(polar coordinates)는$$r=|x|\in(0,\,\infty),\,x'=\frac{x}{|x|}\in S^{n-1}$$이고 사상 \(\Phi(x)=(r,\,x')\)는 \(\mathbb{R}^{n}-\{0\}\)에서 \((0,\,\infty)\times S^{n-1}\)로의 전단사 연속함수이고, 그 역함수는 \(\Phi^{-1}(r,\,x')=rx'\)이다. 

\(\mathbb{R}^{n}\)상의 르베그측도로부터 \(\Phi\)에 의해 유도된 \((0,\,\infty)\times S^{n-1}\)상의 보렐측도를 \(m_{*}\)로 나타낸다. 즉 \(m_{*}(E)=m(\Phi^{-1}[E])\). \((0,\,\infty)\)에서의 측도 \(\rho=\rho_{n}\)을 \(\displaystyle\rho(E)=\int_{E}{r^{n-1}dr}\)로 정의한다. 

2.47 \(S^{n-1}\)상의 유일한 보렐측도 \(\sigma=\sigma_{n-1}\)이 존재해서 \(m_{*}=\rho\times\sigma\)이고 \(f\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 보렐가측이고 \(f\geq0\)이거나 \(f\in L^{1}(m)\)이면, 다음 식이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=\int_{0}^{\infty}{\int_{S^{n-1}}{f(rx')r^{n-1}d\sigma(x')}dr}$$ 

증명: \(f\)가 한 집합에 대한 특성함수이면(\(f=\chi_{E}\)), 식 \(m_{*}(E)=m(\Phi^{-1}[E])\)가 성립하므로 \(\sigma\)를 건설하면 된다. 

\(E\in S^{n-1}\)가 보렐집합이면, \(a>0\)에 대하여$$E_{a}=\Phi^{-1}[(0,\,a]\times E]=\{rx'\,|\,0<r\leq a,\,x'\in E\}$$라 하자. 보이고자 하는 등식이 \(f=\chi_{E_{1}}\)일 때 성립하려면$$m(E_{1})=\int_{0}^{1}{\int_{E}{r^{n-1}d\rho(x')}dr}=\rho(E)\int_{0}^{1}{r^{n-1}dr}=\frac{\sigma(E)}{n}$$이어야 하므로 \(\sigma(E)=nm(E_{1})\)으로 정의한다. \(E\,\mapsto\,E_{1}\)은 보렐집합을 보렐집합으로 대응시키고, 합집합, 교집합, 여집합에 대해서도 같은 역할을 하므로 \(\sigma\)는 \(S^{n-1}\)에서의 보렐측도이다. 또한 \(E_{a}\)는 \(E_{1}\)의 사상 \(x\,\mapsto\,ax\)에 의한 상이므로 2.44에 의해 \(m(E_{a})=a^{n}m(E_{1})\)이고, \(0<a<b\)이면, 다음 식이 성립한다.$$\begin{align*}m_{*}((a,\,b]\times E)&=m(E_{b}-E_{a})=\frac{b^{n}-a^{n}}{n}\sigma(E)=\sigma(E)\int_{a}^{b}{r^{n-1}dr}\\&=(\rho\times\sigma)((a,\,b]\times E)\end{align*}$$\(E\in\mathcal{B}_{S^{n-1}}\)를 고정하고 \(\mathcal{A}_{E}\)를 서로소인 \((a,\,b]\times E\)형태의 집합들의 유한합집합들의 족이라 하자. 그러면 1.7에 의해 \(\mathcal{A}_{E}\)는 \((0,\,\infty)\times E\)에서의 대수이고, \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{M}_{E}=\{A\times E\,|\,A\in\mathcal{B}_{(0,\,\infty)}\}\)를 생성한다. 앞의 계싼결과로부터 \(\mathcal{A}_{E}\)에서 \(m_{*}=\rho\times\sigma\)이고, 1.13의 c에 의해 \(\mathcal{M}_{E}\)에서 \(m_{*}=\rho\times\sigma\)이다. \(\displaystyle\bigcup\{\mathcal{M}_{E}\,|\,E\in\mathcal{B}_{S^{n-1}}\}\)은 \((0,\,\infty)\times S^{n-1}\)상의 보렐 직사각형들의 집합이므로 유일성 정리의 또 다른 적용으로부터 모든 보렐집합에서 \(m_{*}=\rho\times\sigma\)이다.     

2.48 \(f\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 가측함수이고 적당한 \((0,\,\infty)\)상의 함수 \(g\)에 대하여 \(f(x)=g(|x|)\)이며, \(f\geq0\)이거나 적분가능하면, 다음 등식이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}=\sigma(S^{n-1})\int_{0}^{\infty}{g(r)r^{n-1}dr}$$ 

증명: 2.47에 의해 다음 등식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)dx}&=\int_{0}^{\infty}{\int_{S^{n-1}}{f(rx')r^{n-1}d\sigma(x')}dr}=\int_{0}^{\infty}{\int_{S^{n-1}}{g(r)r^{n-1}d\sigma(x')}dr}\\&=\sigma(S^{n-1})\int_{0}^{\infty}{g(r)r^{n-1}dr}\end{align*}$$ 

2.49 \(c,\,C>0\)을 상수라 하고 \(B=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,|x|<c\}\), \(f\)를 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 가측함수라 하자.  

a. 적당한 \(a<n\)에 대하여 \(B\)에서 \(|f(x)|\leq C|x|^{-a}\)이면, \(f\in L^{1}(B)\)이고, \(B\)에서 \(|f(x)|\geq C|x|^{-n}\)이면, \(f\notin L^{1}(B)\)이다.  

b. 적당한 \(a>n\)에 대하여 \(B^{c}\)에서 \(|f(x)|\leq C|x|^{-a}\)이면, \(f\in L^{1}(B^{c})\)이고, \(B^{c}\)에서 \(|f(x)|\geq C|x|^{-n}\)이면, \(f\notin L^{1}(B^{c})\)이다.  

증명: 2.48에 \(|x|^{-a}\chi_{B}\), \(|x|^{-a}\chi_{B^{c}}\)를 적용한다.  

2.50 \(a>0\)이면, 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-a|x|^{2}}dx}=\left(\frac{\pi}{a}\right)^{\frac{n}{2}}$$ 

증명: \(\displaystyle I_{n}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-a|x|^{2}}dx}\)라 하자. \(n=2\)일 때 2.48에 의해 다음의 등식이 성립한다.$$I_{2}=2\pi\int_{0}^{\infty}{re^{-ar^{2}}dr}=\frac{\pi}{a}\,(\because\,\sigma(S^{1})=2\pi)$$\(\displaystyle e^{-a|x|^{2}}=\prod_{i=1}^{n}{e^{-ax_{i}^{2}}}\)이고 \(I_{1}=\sqrt{I_{2}}\)이므로 토넬리 정리에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-a|x|^{2}}dx}=I_{n}=I_{1}^{n}=\left(\frac{\pi}{a}\right)^{\frac{n}{2}}$$  

2.51 \(\displaystyle\sigma(S^{n-1})=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\) 

증명: 2.48, 2.50과 치환 \(s=r^{2}\)로부터 다음 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\pi^{\frac{n}{2}}&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-|x|^{2}}dx}=\sigma(S^{n-1})\int_{0}^{\infty}{r^{n-1}e^{-r^{2}}dr}=\frac{\sigma(S^{n-1})}{2}\int_{0}^{\infty}{s^{\frac{n}{2}-1}e^{-s}ds}\\&=\frac{\sigma(S^{n-1})}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\sigma(S^{n-1})=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\)이다.  

2.52 \(B^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,|x|<1\}\)이면, \(\displaystyle m(B^{n})=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\)이다. 

증명: \(\sigma\)의 정의에 의해 \(\displaystyle m(B^{n})=\frac{1}{n}\sigma(S^{n-1})\)이고 감마함수의 정의에 의해 \(\displaystyle\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)=\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\)이므로 2.51에 의해 다음 등식이 성립한다.$$m(B^{n})=\frac{1}{n}\sigma(S^{n-1})=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}$$

2.53 \(\displaystyle\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\pi}\)

증명: 감마함수의 정의에 의해 \(\displaystyle\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\)이고, 2.50과 치환 \(s=r^{2}\)로부터$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\infty}{s^{-\frac{1}{2}}e^{-s}ds}=2\int_{0}^{\infty}{e^{-r^{2}}dr}=\sqrt{\pi}$$이므로 따라서 원하는 결과를 얻는다.

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Wiley