[측도론] 2-6 곱측도

[측도론] 2-6 곱측도

$(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$와 $(Y,\,\mathcal{N},\,\nu)$를 측도공간이라 하자. (가측)직사각형((measurable) rectangle)을 $A\in\mathcal{M}$, $B\in\mathcal{N}$에 대하여 $A\times B$형태의 집합으로 정의하고, 이때 다음 성질들이 성립한다. $$(A\times B)\cap(E\times F)=(A\cap E)\times(B\cap F),\,(A\times B)^{c}=(A\times B^{c})\cup(A^{c}\times B)$$ 그러므로 1.7에 ㅡ이해 서로소인 직사각형들의 유한합집합들을 모은 $\mathcal{A}$는 대수이고 $\sigma-$대수가 되는데 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$을 생성한다. 

$A\times B$를 서로소인 직사각형 $A_{i}\times B_{i}$들의 (유한 또는 가산)합집합이라 하자. 그러면 $x\in X,\,y\in Y$에 대하여 $$\chi_{A}(x)\chi_{B}(y)=\chi_{A\times B}{(x,\,y)}=\sum_{i}{\chi_{A_{i}\times B_{i}}(x,\,y)}=\sum_{i}{\chi_{A_{i}}(x)\chi_{B_{i}}(y)}$$ 이고, 이 식을 $x$에 대해 적분하면 $$\mu(A)\chi_{B}(y)=\int_{X}{\chi_{A}(x)\chi_{B}(y)d\mu(x)}=\sum_{i}{\int_{X}{\chi_{A_{i}}(x)\chi_{B_{i}}(y)}d\mu(x)}=\sum_{i}{\mu(A_{i})\chi_{B_{i}}(y)}$$ 이다. 같은 방법으로 $y$에 대해 적분하면 $\displaystyle\mu(A)\nu(B)=\sum_{i}{\mu(A_{i})\nu(B_{i})}$이므로 $E\in\mathcal{A}$가 서로소인 직사각형 $A_{1}\times B_{1},\,...,\,A_{n}\times B_{n}$이므로 $\displaystyle\pi(E)=\sum_{i}{\mu(A_{i})\nu(B_{i})}$라 하면, $\pi$는 $\mathcal{A}$에서 잘 정의되고 예비측도이다. 1.13의 a에 의해 $\pi$는 $X\times Y$상의 외측도를 생성하고, 그 외측도를 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$으로 제한한 측도는 $\pi$를 확장한다. 이 측도를 $\mu$와 $\nu$의 곱측도(product measure)라 하고, $\mu\times\nu$로 나타낸다. 

$\mu$와 $\nu$가 $\sigma-$유한$\displaystyle\left(X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}},\,Y=\bigcup_{j=1}^{\infty}{B_{j}},\,\mu(A_{i})<\infty,\,\nu(B_{j})<\infty\right)$이면, $\displaystyle X\times Y=\bigcup_{i,\,j}{A_{i}\times B_{j}}$이고, $(\mu\times\nu)(A_{i}\times B_{j})<\infty$이므로 $\mu\times\nu$도 $\sigma-$유한이다. 이 경우, 1.13의 c에 의해 $\mu\times\nu$는 모든 직사각형 $A\times B$에 대하여 $(\mu\times\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$인 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$상의 유일한 측도이다. 

$(X_{i},\,\mathcal{M}_{i},\,\mu_{i})\,(i=1,\,...,\,n)$을 측도공간이라 하자. 직사각형을 $A_{i}\in\mathcal{M}_{i}$에 대하여 $A_{1}\times\cdots\times A_{n}$형태의 집합으로 정의하면, 서로소인 직사각형들의 유한합집합들을 모은 $\mathcal{A}$는 대수이고, $$(\mu_{1}\times\cdots\times\mu_{n})(A_{1}\times\cdots\times A_{n})=\prod_{i=1}^{n}{\mu_{i}(A_{i})}$$ 인 $\mathcal{M}_{1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{M}_{n}$상의 측도 $(\mu_{1}\times\cdots\times\mu_{n})$을 얻는다. 게다가 $\mu_{i}$들이 $\sigma-$유한이면, $\mathcal{A}$에서 $\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{M}_{i}}$으로의 확장은 유일하게 결정되고 결합법칙이 성립한다. 예를들어 $X_{1}\times X_{2}\times X_{3}=(X_{1}\times X_{2})\times X_{3}$이라 하면, $\mathcal{M}_{1}\otimes\mathcal{M}_{2}\otimes\mathcal{M}_{3}=(\mathcal{M}_{1}\otimes\mathcal{M}_{2})\otimes\mathcal{M}_{3}$이고 $\mu_{1}\times\mu_{2}\times\mu_{3}=(\mu_{1}\times\mu_{2})\times\mu_{3}$이다.(이후로 편의상 $n=2$인 경우에 대해서만 다루겠다)

두 측도공간 $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$, $(Y,\,\mathcal{N},\,\nu)$에 대하여 $E\subset X\times Y$이면, $x\in X$와 $y\in Y$에 대하여 $E$의 $x-$절단($x-$section) $E_{x}$와 $y-$절단($y-$section) $E^{y}$를 각각 $$E_{x}=\{y\in Y\,|\,(x,\,y)\in E\},\,E^{y}=\{x\in X\,|\,(x,\,y)\in E\}$$ 로 정의하고, 또한 $f$가 $X\times Y$상의 함수이면, $f$의 $x-$절단 $f_{x}$와 $y-$절단 $f^{y}$를 $$f_{x}(y)=f^{y}(x)=f(x,\,y)$$ 로 정의한다. 따라서 예를들면 $(\chi_{E})_{x}=\chi_{E_{x}}$, $(\chi_{E})^{y}=\chi_{E^{y}}$이다. 

2.35 

a. $E\in\mathcal{N}\otimes\mathcal{M}$이면, 모든 $x\in X$에 대하여 $E_{x}\in\mathcal{N}$이고, 모든 $y\in Y$에 대하여 $E^{y}\in\mathcal{M}$이다.  

b. $f$가 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-$가측이면, 모든 $x\in X$에 대하여 $f_{x}$는 $\mathcal{N}-$가측이고, 모든 $y\in Y$에 대하여 $f^{y}$는 $\mathcal{M}-$가측이다.  

증명: 

a. $\mathcal{R}=\{E\subset X\times Y\,|\,E_{x}\in\mathcal{N},\,E^{y}\in\mathcal{M}\}$이라 하자. 그러면 $\mathcal{R}$은 모든 직사각형들을 포함한다($x\in A$일 때 $(A\times B)_{x}=B$이고 나머지 경우는 $(A\times B)_{x}=\phi$). $\displaystyle\left(\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\right)_{x}=\bigcup_{i=1}^{n}{(E_{i})_{x}}$, $(E^{c})_{x}=(E_{x})^{c}$이고, $\displaystyle\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)^{y}=\bigcup_{i=1}^{\infty}{(E_{i})^{y}}$, $(E^{c})^{y}=(E^{y})^{c}$이므로 $\mathcal{R}$은 $\sigma-$대수이다. 그러므로 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\subset\mathcal{R}$이고 a의 증명은 완료되었다.

b. $(f_{x})^{-1}[B]=(f^{-1}[B])_{x}$이고 $(f^{y})^{-1}[B]=(f^{-1}[B])^{y}$이므로 a로부터 성립한다.

공간 $X$상의 단조류(monotone class) $\mathfrak{C}$를 다음 성질들을 만족하는 $2^{X}$의 부분집합으로 정의한다. 

i. $E_{i}\in\mathfrak{C}$이고 $E_{1}\subset E_{2}\subset\cdots$이면, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\in\mathfrak{C}$ 

ii. $F_{i}\in\mathfrak{C}$이고 $F_{1}\supset F_{2}\supset\cdots$이면, $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\in\mathfrak{C}$ 

분명히 모든 $\sigma-$대수는 단조류이고, 임의의 단조류 상의 집합들의 교집합도 단조류이다. 그래서 임의의 $\mathcal{E}\subset2^{X}$에 대하여 $\mathcal{E}$를 포함하는 최소의 단조류가 유일하게 존재하고, 이 단조류를 $\mathcal{E}$에 의해 생성된(generated) 단조류라고 한다.   

2.36 단조류 보조정리(Monotone Class Lemma)

$\mathcal{A}$가 $X$의 부분집합들의 대수이면, $\mathcal{A}$에 의해 생성된 단조류 $\mathfrak{C}$는 $\mathcal{A}$에 의해 생성된 $\sigma-$대수 $\mathcal{M}$과 일치한다.  

증명: $\mathcal{M}$은 단조류이므로 $\mathfrak{C}\subset\mathcal{M}$이고, $\mathfrak{C}$가 $\sigma-$대수이면, $\mathcal{M}\subset\mathfrak{C}$가 성립한다. $E\in\mathfrak{C}$에 대하여 $$\mathfrak{C}(E)=\{F\in\mathfrak{C}\,|\,E-F,\,F-E,\,E\cap F\in\mathfrak{C}\}$$ 라 하자. 분명히 $\phi,\,E\in\mathfrak{C}(E)$이고, $E\in\mathfrak{C}(F)$일 필요충분조건은 $F\in\mathfrak{C}(E)$이다. 또한 $\mathfrak{C}(E)$는 단조류이다. $E\in\mathcal{A}$이면, 모든 $F\in\mathcal{A}$에 대하여 $F\in\mathfrak{C}$($\because$ $\mathcal{A}$는 대수, 즉 $A\subset\mathfrak{C}(E)$)이므로 $\mathfrak{C}\subset\mathfrak{C}(E)$이다. 그러므로 $F\in\mathfrak{C}$이면, 모든 $E\in\mathcal{A}$에 대하여 $F\in\mathfrak{C}$이고 이것은 모든 $E\in\mathcal{A}$에 대하여 $E\in\mathfrak{C}(F)$를 뜻하므로 $\mathcal{A}\subset\mathfrak{C}(F)$이고 따라서 $\mathfrak{C}\subset\mathfrak{C}(F)$이다.  

결론: $E,\,F\in\mathfrak{C}$이면, $E-F,\,E\cap F\in\mathfrak{C}$이다. $X\in\mathcal{A}\subset\mathfrak{C}$이므로 $\mathfrak{C}$는 대수이고 $\{E_{i}\}\subset\mathfrak{C}$이면, 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\in\mathfrak{C}$이고 모든 $E_{i}\in\mathfrak{C}$에 대하여 $E_{i}\subset E_{i+1}$이면 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\in\mathfrak{C}$이므로 $\mathfrak{C}$는 $\sigma-$대수이고 $\mathcal{M}\subset\mathfrak{C}$이므로 $\mathcal{M}=\mathfrak{C}$이다.    

2.37 $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$와 $(Y,\,\mathcal{N},\,\nu)$를 $\sigma-$유한 측도공간이라 하자. $E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$이면, 함수 $x\,\mapsto\,\nu(E_{x})$와 $y\,\mapsto\,\mu(E^{y})$는 각각 $X$와 $Y$에서 가측이고, 다음 식이 성립한다. $$(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x})d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}$$ 증명: 우선 $\mu$와 $\nu$를 유한, $\mathfrak{C}$를 이 정리의 결론이 참이 되게 하는 $E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$들의 집합이라 하자. $E=\in A\times B$이면, $\nu(E_{x})=\chi_{A}(x)\nu(B)$이고 $\mu(E^{y})=\mu(A)\chi_{B}(y)$이므로 $E\in\mathfrak{C}$이다. 

서로소인 직사각형들의 유한합집합은 $\mathfrak{C}$의 원소이고, 단조류 보조정리에 의해 $\mathfrak{C}$가 단조류임을 보이면 된다. $\{E_{n}\}\subset\mathfrak{C}$이 $E_{n}\subset E_{n+1}$이고 $\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$이면, 함수 $f_{n}(y)\mu((E_{n})^{y})$는 가측이고 $f(y)=\mu(E^{y})$로 증가하면서 점별수렴하므로, 따라서 $f$는 가측이고 단조수렴정리에 의해 다음의 식이 성립한다. $$\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{Y}{\mu((E_{n})^{y})d\nu(y)}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(\mu\times\nu)(E_{n})}=(\mu\times\nu)(E)$$ 같은 방법으로 $f_{n}(x)=\nu((E_{n})_{x})$가 $f(x)=\nu(E_{x})$로 증가하면서 점별수렴함을 이용하여 등식 $\displaystyle(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x}d\mu(x))}$가 성립함을 보일 수 있다. 그러므로 $E\in\mathfrak{C}$이다. 

비슷하게 $\{E_{n}\}\subset\mathfrak{C}$이 $E_{n+1}\subset E_{n}$이고 $\displaystyle E=\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{n}}$이면, $\mu((E_{1})^{y})\leq\mu(X)<\infty$이고 $\nu(Y)<\infty$이므로 함수 $y\,\mapsto\,\mu((E_{1})^{y})$는 $L^{1}(\nu)$의 원소이다. 그러므로 지배수렴정리를 이용하여 $E\in\mathfrak{C}$임을 보일 수 있고 따라서 유한측도공간에서 $\mathfrak{C}$는 단조류이다. 

마지막으로 $\mu$와 $\nu$가 $\sigma-$유한이면, $X\times Y$를 $(X_{n}\times Y_{n})\subset(X_{n+1}\times Y_{n+1})$을 만족하는 유한측도를 갖는 가측직사각형 $\{X_{n}\times Y_{n}\}$들의 합집합으로 나타낼 수 있다. $E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$이면, 유한측도에 대한 경우에서 $E$대신 각 $i$에 대하여 $E\cap(X_{i}\times Y_{i})$를 대입하면 다음의 식을 얻고 $$(\mu\times\nu)(E\cap(X_{i}\times Y_{i}))=\int_{X}{\chi_{X_{i}}(x)\nu(E_{x}\cap Y_{i})d\mu(x)}=\int_{Y}{\chi_{Y_{i}}(y)\mu(E^{y}\cap X_{i})d\nu(y)}$$ 마지막으로 단조수렴정리를 적용하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x})d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}$$     

2.38 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli Theorem)

$(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$와 $(Y,\,\mathcal{N},\,\nu)$를 $\sigma-$유한 측도공간이라 하자.  

a.(토넬리) $f\in L^{+}(X\times Y)$이면, $\displaystyle g(x)=\int_{Y}{f_{x}d\nu}\in L^{+}(X)$, $\displaystyle h(y)=\int_{X}{f^{y}d\mu}\in L^{+}(Y)$이고, 다음 등식이 성립한다. $$\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}=\int_{X}{\left\{\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right\}d\mu(x)}=\int_{Y}{\left\{\int_{X}{f(x,\,y)d\mu(x)}\right\}d\nu(y)}$$  

b.(푸비니) $f\in L^{1}(\mu\times\nu)$이면, $f_{x}\in L^{1}(\nu)\,(a.e.\,x\in X)$, $f^{y}\in L^{1}(\mu)\,(a.e.\,y\in Y)$이고 a.e. 정의된 함수 $\displaystyle g(x)=\int_{Y}{f_{x}d\nu}$, $\displaystyle h(y)=\int_{X}{f^{y}d\mu}$는 각각 $L^{1}(\nu)$, $L^{1}(\mu)$의 원소이며, 다음 등식이 성립한다. $$\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}=\int_{X}{\left\{\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right\}d\mu(x)}=\int_{Y}{\left\{\right\}d\nu(y)}$$   

증명: 

a. 토넬리정리는 $f$가 특성함수인 경우, 2.37에 의해 증명되었기 때문에, 적분의 선형성으로부터 음이 아닌 단순함수에 대해 성립한다. $f\in L^{+}(X\times Y)$이면, $\{f_{n}\}$을 $f$로 수렴하는 2.10 a의 단순함수열이라 하자. 다음과 같이 정의된 $g_{n}$, $h_{n}$이 $$g_{n}(x)=\int_{Y}{(f_{x})_{n}d\nu},\,h_{n}(y)=\int_{X}{(f^{y})_{n}d\mu}$$ 각각 $g,\,h$로 증가하며 수렴하는 가측함수열이면, 단조수렴정리에 의해 다음의 식들이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{X}{gd\mu}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{g_{n}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X\times Y}{f_{n}d(\mu\times\nu)}}=\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}\\ \int_{Y}{hd\nu}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{Y}{h_{n}d\nu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}d(\mu\times\nu)}=\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}\end{align*}$$ 이렇게 토넬리정리의 증명을 완료했고, $f\in L^{+}(X\times Y)$이고 $\displaystyle\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}<\infty$이면, $g<\infty,\,h<\infty\,a.e.$이다.  

b. $f\in L^{1}(\mu\times\nu)$일 때 $f$가 실함수이면, $f^{+}$와 $f^{-}$에 대해 a의 결과를 적용하면 되고, $f$가 복소함수이면 $\text{Re}f$와 $\text{Im}f$에 적용한다.  

*참고 

1. 다음과 같이 중적분으로 나타낸다. $$\int_{Y}{\left\{\int_{X}{f(x,\,y)d\mu(x)}\right\}d\nu(y)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\mu(x)d\nu(y)}=\int_{X\times Y}{fd\mu d\nu}$$   

2. 가측공간은 반드시 $\sigma-$유한이어야 한다. 

$X=Y=[0,\,1]$, $\mathcal{M}=\mathcal{N}=\mathcal{B}_{[0,\,1]}$, $\mu$를 르베그측도, $\nu$를 셈측도라 하자. $D=\{(x,\,x)\,|\,x\in[0,\,1]\}$라 하면 $$\begin{align*}\iint_{X\times Y}{\chi_{D}d\mu d\nu}&=\int_{Y}{\left\{\int_{X}{\chi_{D}(x,\,y)}\right\}d\nu(y)}=\int_{Y}{0d\nu}=0\\ \iint_{X\times Y}{\chi_{D}d\nu d\mu}&=\int_{X}{1d\mu}=1,\,\int_{X\times Y}{\chi_{D}d(\mu\times\nu)}=(\mu\times\nu)(D)=\infty\end{align*}$$   

3. 조건 $f\in L^{+}(X\times Y)$ 또는 $f\in L^{1}(\mu\times\nu)$는 필수적이다.  

(1) $f_{x},\,f^{y}$가 $x\in X,\,y\in Y$에 대하여 가측이나 $f$가 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-$가측이 아니더라도 적분 $\displaystyle\iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}$와 $\iint_{X\times Y}{fd\nu d\mu}$가 존재할 수 있으나 일반적으로 이 두 값은 같지 않다.  

(2) $f$가 음이 아닌 함수가 아니면, $f_{x},\,f^{y}$가 $x\in X,\,y\in Y$에 대하여 적분가능하고 $\displaystyle\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}=\infty$이더라도 적분 $\displaystyle\iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}$와 $\displaystyle\iint_{X\times Y}{fd\nu d\mu}$의 값이 존재할 수 있으나 일반적으로 같지 않다. 

$X=Y=\mathbb{N}$, $\mathcal{M}=\mathcal{N}=2^{\mathbb{N}}$, $\mu,\,\nu$를 셈측도라 하고, 함수 $f$를 $$f(m,\,n)=\begin{cases}1&\,(m=n)\\-1&\,(m=n+1)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ 로 정의하면 다음과 같은 결과를 얻는다. $$\begin{align*}\int_{X\times Y}{|f|d(\mu\times\nu)}&=\sum_{m,\,n}{|f(m,\,n)|}=\infty\\ \iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}&=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sum_{m=1}^{\infty}{f(m,\,n)}\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{\{f(1,\,n)+f(2,\,n)+\cdots\}}=1-1=0\\ \iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}&=\sum_{m=1}^{\infty}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f(m,\,n)}\right)}=\sum_{m=1}^{\infty}{\{f(m,\,1)+f(m,\,2)+\cdots\}}=1\end{align*}$$ *참고: 다음의 표는 $m$과 $n$의 값에 따른 함수 $f(m,\,n)$의 함숫값이다.

$m$＼$n$	1	2	3	$\cdots$
1	1	0	0
2	-1	1	0
3	0	-1	1
$\vdots$

   

2.39 완비측도에 대한 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli Theorem for Complete Measure) 

$(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$와 $(Y,\,\mathcal{N},\,\nu)$를 $\sigma-$유한 측도공간, $X\times Y,\,\mathfrak{L},\,\lambda$를 $(X\times Y,\,\mathcal{M}\otimes\mathcal{N},\,\mu\times\nu)$의 완비화라 하자. $f$가 $\mathfrak{L}-$가측이고 (a) $f\geq0$ 또는 (b) $f\in L^{1}(\lambda)$이면, $a.e.\,x$에 대하여 $f_{x}$는 $\mathcal{N}-$가측이고 $a.e.\,y$에 대하여 $f^{y}$는 $\mathcal{M}-$가측이며 (b)의 경우, $f_{x}$와 $f^{y}$는 $a.e.\,x,\,y$에 대하여 적분가능하다. 게다가 $\displaystyle x\,\mapsto\,\int_{Y}{f_{x}d\nu}$와 $\displaystyle y\,\mapsto\,\int_{X}{f^{y}d\mu}$는 가측함수이고, (b)의 경우, 적분가능하며 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{X\times Y}{fd\lambda}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\mu(x)d\nu(y)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\nu(y)d\mu(x)}$$  

증명: $f=0\,\lambda-a.e.$라 하자. $D=\{(x,\,y)\,|\,f(x,\,y)\neq0\}$이라 하면 $\lambda(D)=0$이므로 $E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$가 존재해서 $D\subset E$이고 $(\mu\times\nu)(E)=0$이다. 2.37에 의해 $$(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x})d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}$$ 이므로 $\nu(E_{x})=0\,\mu-a.e.$이고 $\mu(E^{y})\,\nu-a.e.$이다. $D_{x}\subset E_{x}$, $D^{y}\subset E^{y}$이므로 $\mu$와 $\nu$의 완비성에 의해 $D_{x}\in\mathcal{N}$, $D^{y}\in\mathcal{M}$이다. 따라서 $a.e.\,x$에 대하여 $f_{x}=0\,\nu-a.e.$이고, $a.e.\,y$에 대하여 $f^{y}=0\,\mu-a.e.$이므로 $a.e.\,x,\,y$에 대하여 $f_{x}$는 $\mathcal{N}-$가측, $f^{y}$는 $\mathcal{M}-$가측이며 $\displaystyle\int_{Y}{f_{x}d\nu}=\int_{X}{f^{y}d\mu}=0$이다. 

$f$를 $\mathfrak{L}-$가측이라 하면 2.12에 의해 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-$가측함수 $g$가 존재해서 $f=g\,\lambda-a.e.$이다. $h=f-g$라 하고 앞에서 얻은 결과와 2.35, 푸비니-토넬리 정리(2.38)에 의해 등식 $$\int_{X\times Y}{gd\lambda}=\iint_{X\times Y}{g(x,\,y)d\mu(x)d\nu(y)}=\iint_{X\times Y}{g(x,\,y)d\nu(y)d\mu(x)}$$ 가 성립하므로($\because\,f_{x}=g_{x}\,\nu-a.e.$, $f^{y}=g^{y}\,\mu-a.e.$) 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\int_{X\times Y}{fd\lambda}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\mu(x)d\nu(y)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\nu(y)d\mu(x)}$$      

*$x>0$에 대하여 식 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-xt}dt}=\frac{1}{x}$과 푸비니-토넬리 정리를 이용하여 다음과 같이 적분 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}$의 값을 구할 수 있다. $$\begin{align*}\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}&=\int_{0}^{\infty}{\sin x\left(\int_{0}^{\infty}{e^{-xt}dt}\right)dx}=\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-tx}\sin xdt}dx}=\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-tx}\sin xdx}dt}\\&=\int_{0}^{\infty}{\left[\frac{-t\sin x-\cos x}{1+t^{2}}e^{-tx}\right]_{0}^{\infty}dt}=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{1+t^{2}}dt}\\&=\frac{\pi}{2}\end{align*}$$

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사