[측도론] 2-6 곱측도

[측도론] 2-6 곱측도

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)와 \((Y,\,\mathcal{N},\,\nu)\)를 측도공간이라 하자. (가측)직사각형((measurable) rectangle)을 \(A\in\mathcal{M}\), \(B\in\mathcal{N}\)에 대하여 \(A\times B\)형태의 집합으로 정의하고, 이때 다음 성질들이 성립한다.$$(A\times B)\cap(E\times F)=(A\cap E)\times(B\cap F),\,(A\times B)^{c}=(A\times B^{c})\cup(A^{c}\times B)$$그러므로 1.7에 ㅡ이해 서로소인 직사각형들의 유한합집합들을 모은 \(\mathcal{A}\)는 대수이고 \(\sigma-\)대수가 되는데 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\)을 생성한다. 

\(A\times B\)를 서로소인 직사각형 \(A_{i}\times B_{i}\)들의 (유한 또는 가산)합집합이라 하자. 그러면 \(x\in X,\,y\in Y\)에 대하여$$\chi_{A}(x)\chi_{B}(y)=\chi_{A\times B}{(x,\,y)}=\sum_{i}{\chi_{A_{i}\times B_{i}}(x,\,y)}=\sum_{i}{\chi_{A_{i}}(x)\chi_{B_{i}}(y)}$$이고, 이 식을 \(x\)에 대해 적분하면$$\mu(A)\chi_{B}(y)=\int_{X}{\chi_{A}(x)\chi_{B}(y)d\mu(x)}=\sum_{i}{\int_{X}{\chi_{A_{i}}(x)\chi_{B_{i}}(y)}d\mu(x)}=\sum_{i}{\mu(A_{i})\chi_{B_{i}}(y)}$$이다. 같은 방법으로 \(y\)에 대해 적분하면 \(\displaystyle\mu(A)\nu(B)=\sum_{i}{\mu(A_{i})\nu(B_{i})}\)이므로 \(E\in\mathcal{A}\)가 서로소인 직사각형 \(A_{1}\times B_{1},\,...,\,A_{n}\times B_{n}\)이므로 \(\displaystyle\pi(E)=\sum_{i}{\mu(A_{i})\nu(B_{i})}\)라 하면, \(\pi\)는 \(\mathcal{A}\)에서 잘 정의되고 예비측도이다. 1.13의 a에 의해 \(\pi\)는 \(X\times Y\)상의 외측도를 생성하고, 그 외측도를 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\)으로 제한한 측도는 \(\pi\)를 확장한다. 이 측도를 \(\mu\)와 \(\nu\)의 곱측도(product measure)라 하고, \(\mu\times\nu\)로 나타낸다. 

\(\mu\)와 \(\nu\)가 \(\sigma-\)유한\(\displaystyle\left(X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}},\,Y=\bigcup_{j=1}^{\infty}{B_{j}},\,\mu(A_{i})<\infty,\,\nu(B_{j})<\infty\right)\)이면, \(\displaystyle X\times Y=\bigcup_{i,\,j}{A_{i}\times B_{j}}\)이고, \((\mu\times\nu)(A_{i}\times B_{j})<\infty\)이므로 \(\mu\times\nu\)도 \(\sigma-\)유한이다. 이 경우, 1.13의 c에 의해 \(\mu\times\nu\)는 모든 직사각형 \(A\times B\)에 대하여 \((\mu\times\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B)\)인 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\)상의 유일한 측도이다. 

\((X_{i},\,\mathcal{M}_{i},\,\mu_{i})\,(i=1,\,...,\,n)\)을 측도공간이라 하자. 직사각형을 \(A_{i}\in\mathcal{M}_{i}\)에 대하여 \(A_{1}\times\cdots\times A_{n}\)형태의 집합으로 정의하면, 서로소인 직사각형들의 유한합집합들을 모은 \(\mathcal{A}\)는 대수이고,$$(\mu_{1}\times\cdots\times\mu_{n})(A_{1}\times\cdots\times A_{n})=\prod_{i=1}^{n}{\mu_{i}(A_{i})}$$인 \(\mathcal{M}_{1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{M}_{n}\)상의 측도 \((\mu_{1}\times\cdots\times\mu_{n})\)을 얻는다. 게다가 \(\mu_{i}\)들이 \(\sigma-\)유한이면, \(\mathcal{A}\)에서 \(\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{M}_{i}}\)으로의 확장은 유일하게 결정되고 결합법칙이 성립한다. 예를들어 \(X_{1}\times X_{2}\times X_{3}=(X_{1}\times X_{2})\times X_{3}\)이라 하면, \(\mathcal{M}_{1}\otimes\mathcal{M}_{2}\otimes\mathcal{M}_{3}=(\mathcal{M}_{1}\otimes\mathcal{M}_{2})\otimes\mathcal{M}_{3}\)이고 \(\mu_{1}\times\mu_{2}\times\mu_{3}=(\mu_{1}\times\mu_{2})\times\mu_{3}\)이다.(이후로 편의상 \(n=2\)인 경우에 대해서만 다루겠다)

두 측도공간 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\), \((Y,\,\mathcal{N},\,\nu)\)에 대하여 \(E\subset X\times Y\)이면, \(x\in X\)와 \(y\in Y\)에 대하여 \(E\)의 \(x-\)절단(\(x-\)section) \(E_{x}\)와 \(y-\)절단(\(y-\)section) \(E^{y}\)를 각각$$E_{x}=\{y\in Y\,|\,(x,\,y)\in E\},\,E^{y}=\{x\in X\,|\,(x,\,y)\in E\}$$로 정의하고, 또한 \(f\)가 \(X\times Y\)상의 함수이면, \(f\)의 \(x-\)절단 \(f_{x}\)와 \(y-\)절단 \(f^{y}\)를$$f_{x}(y)=f^{y}(x)=f(x,\,y)$$로 정의한다. 따라서 예를들면 \((\chi_{E})_{x}=\chi_{E_{x}}\), \((\chi_{E})^{y}=\chi_{E^{y}}\)이다. 

2.35 

a. \(E\in\mathcal{N}\otimes\mathcal{M}\)이면, 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(E_{x}\in\mathcal{N}\)이고, 모든 \(y\in Y\)에 대하여 \(E^{y}\in\mathcal{M}\)이다.  

b. \(f\)가 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-\)가측이면, 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(f_{x}\)는 \(\mathcal{N}-\)가측이고, 모든 \(y\in Y\)에 대하여 \(f^{y}\)는 \(\mathcal{M}-\)가측이다.  

증명: 

a. \(\mathcal{R}=\{E\subset X\times Y\,|\,E_{x}\in\mathcal{N},\,E^{y}\in\mathcal{M}\}\)이라 하자. 그러면 \(\mathcal{R}\)은 모든 직사각형들을 포함한다(\(x\in A\)일 때 \((A\times B)_{x}=B\)이고 나머지 경우는 \((A\times B)_{x}=\phi\)). \(\displaystyle\left(\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\right)_{x}=\bigcup_{i=1}^{n}{(E_{i})_{x}}\), \((E^{c})_{x}=(E_{x})^{c}\)이고, \(\displaystyle\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)^{y}=\bigcup_{i=1}^{\infty}{(E_{i})^{y}}\), \((E^{c})^{y}=(E^{y})^{c}\)이므로 \(\mathcal{R}\)은 \(\sigma-\)대수이다. 그러므로 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\subset\mathcal{R}\)이고 a의 증명은 완료되었다.

b. \((f_{x})^{-1}[B]=(f^{-1}[B])_{x}\)이고 \((f^{y})^{-1}[B]=(f^{-1}[B])^{y}\)이므로 a로부터 성립한다.

공간 \(X\)상의 단조류(monotone class) \(\mathfrak{C}\)를 다음 성질들을 만족하는 \(2^{X}\)의 부분집합으로 정의한다. 

i. \(E_{i}\in\mathfrak{C}\)이고 \(E_{1}\subset E_{2}\subset\cdots\)이면, \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\in\mathfrak{C}\) 

ii. \(F_{i}\in\mathfrak{C}\)이고 \(F_{1}\supset F_{2}\supset\cdots\)이면, \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\in\mathfrak{C}\) 

분명히 모든 \(\sigma-\)대수는 단조류이고, 임의의 단조류 상의 집합들의 교집합도 단조류이다. 그래서 임의의 \(\mathcal{E}\subset2^{X}\)에 대하여 \(\mathcal{E}\)를 포함하는 최소의 단조류가 유일하게 존재하고, 이 단조류를 \(\mathcal{E}\)에 의해 생성된(generated) 단조류라고 한다.   

2.36 단조류 보조정리(Monotone Class Lemma)

\(\mathcal{A}\)가 \(X\)의 부분집합들의 대수이면, \(\mathcal{A}\)에 의해 생성된 단조류 \(\mathfrak{C}\)는 \(\mathcal{A}\)에 의해 생성된 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{M}\)과 일치한다.  

증명: \(\mathcal{M}\)은 단조류이므로 \(\mathfrak{C}\subset\mathcal{M}\)이고, \(\mathfrak{C}\)가 \(\sigma-\)대수이면, \(\mathcal{M}\subset\mathfrak{C}\)가 성립한다. \(E\in\mathfrak{C}\)에 대하여$$\mathfrak{C}(E)=\{F\in\mathfrak{C}\,|\,E-F,\,F-E,\,E\cap F\in\mathfrak{C}\}$$라 하자. 분명히 \(\phi,\,E\in\mathfrak{C}(E)\)이고, \(E\in\mathfrak{C}(F)\)일 필요충분조건은 \(F\in\mathfrak{C}(E)\)이다. 또한 \(\mathfrak{C}(E)\)는 단조류이다. \(E\in\mathcal{A}\)이면, 모든 \(F\in\mathcal{A}\)에 대하여 \(F\in\mathfrak{C}\)(\(\because\) \(\mathcal{A}\)는 대수, 즉 \(A\subset\mathfrak{C}(E)\))이므로 \(\mathfrak{C}\subset\mathfrak{C}(E)\)이다. 그러므로 \(F\in\mathfrak{C}\)이면, 모든 \(E\in\mathcal{A}\)에 대하여 \(F\in\mathfrak{C}\)이고 이것은 모든 \(E\in\mathcal{A}\)에 대하여 \(E\in\mathfrak{C}(F)\)를 뜻하므로 \(\mathcal{A}\subset\mathfrak{C}(F)\)이고 따라서 \(\mathfrak{C}\subset\mathfrak{C}(F)\)이다.  

결론: \(E,\,F\in\mathfrak{C}\)이면, \(E-F,\,E\cap F\in\mathfrak{C}\)이다. \(X\in\mathcal{A}\subset\mathfrak{C}\)이므로 \(\mathfrak{C}\)는 대수이고 \(\{E_{i}\}\subset\mathfrak{C}\)이면, 모든 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\in\mathfrak{C}\)이고 모든 \(E_{i}\in\mathfrak{C}\)에 대하여 \(E_{i}\subset E_{i+1}\)이면 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\in\mathfrak{C}\)이므로 \(\mathfrak{C}\)는 \(\sigma-\)대수이고 \(\mathcal{M}\subset\mathfrak{C}\)이므로 \(\mathcal{M}=\mathfrak{C}\)이다.    

2.37 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)와 \((Y,\,\mathcal{N},\,\nu)\)를 \(\sigma-\)유한 측도공간이라 하자. \(E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\)이면, 함수 \(x\,\mapsto\,\nu(E_{x})\)와 \(y\,\mapsto\,\mu(E^{y})\)는 각각 \(X\)와 \(Y\)에서 가측이고, 다음 식이 성립한다.$$(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x})d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}$$증명: 우선 \(\mu\)와 \(\nu\)를 유한, \(\mathfrak{C}\)를 이 정리의 결론이 참이 되게 하는 \(E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\)들의 집합이라 하자. \(E=\in A\times B\)이면, \(\nu(E_{x})=\chi_{A}(x)\nu(B)\)이고 \(\mu(E^{y})=\mu(A)\chi_{B}(y)\)이므로 \(E\in\mathfrak{C}\)이다. 

서로소인 직사각형들의 유한합집합은 \(\mathfrak{C}\)의 원소이고, 단조류 보조정리에 의해 \(\mathfrak{C}\)가 단조류임을 보이면 된다. \(\{E_{n}\}\subset\mathfrak{C}\)이 \(E_{n}\subset E_{n+1}\)이고 \(\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)이면, 함수 \(f_{n}(y)\mu((E_{n})^{y})\)는 가측이고 \(f(y)=\mu(E^{y})\)로 증가하면서 점별수렴하므로, 따라서 \(f\)는 가측이고 단조수렴정리에 의해 다음의 식이 성립한다.$$\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{Y}{\mu((E_{n})^{y})d\nu(y)}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(\mu\times\nu)(E_{n})}=(\mu\times\nu)(E)$$같은 방법으로 \(f_{n}(x)=\nu((E_{n})_{x})\)가 \(f(x)=\nu(E_{x})\)로 증가하면서 점별수렴함을 이용하여 등식 \(\displaystyle(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x}d\mu(x))}\)가 성립함을 보일 수 있다. 그러므로 \(E\in\mathfrak{C}\)이다. 

비슷하게 \(\{E_{n}\}\subset\mathfrak{C}\)이 \(E_{n+1}\subset E_{n}\)이고 \(\displaystyle E=\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{n}}\)이면, \(\mu((E_{1})^{y})\leq\mu(X)<\infty\)이고 \(\nu(Y)<\infty\)이므로 함수 \(y\,\mapsto\,\mu((E_{1})^{y})\)는 \(L^{1}(\nu)\)의 원소이다. 그러므로 지배수렴정리를 이용하여 \(E\in\mathfrak{C}\)임을 보일 수 있고 따라서 유한측도공간에서 \(\mathfrak{C}\)는 단조류이다. 

마지막으로 \(\mu\)와 \(\nu\)가 \(\sigma-\)유한이면, \(X\times Y\)를 \((X_{n}\times Y_{n})\subset(X_{n+1}\times Y_{n+1})\)을 만족하는 유한측도를 갖는 가측직사각형 \(\{X_{n}\times Y_{n}\}\)들의 합집합으로 나타낼 수 있다. \(E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\)이면, 유한측도에 대한 경우에서 \(E\)대신 각 \(i\)에 대하여 \(E\cap(X_{i}\times Y_{i})\)를 대입하면 다음의 식을 얻고$$(\mu\times\nu)(E\cap(X_{i}\times Y_{i}))=\int_{X}{\chi_{X_{i}}(x)\nu(E_{x}\cap Y_{i})d\mu(x)}=\int_{Y}{\chi_{Y_{i}}(y)\mu(E^{y}\cap X_{i})d\nu(y)}$$마지막으로 단조수렴정리를 적용하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x})d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}$$    

2.38 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli Theorem)

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)와 \((Y,\,\mathcal{N},\,\nu)\)를 \(\sigma-\)유한 측도공간이라 하자.  

a.(토넬리) \(f\in L^{+}(X\times Y)\)이면, \(\displaystyle g(x)=\int_{Y}{f_{x}d\nu}\in L^{+}(X)\), \(\displaystyle h(y)=\int_{X}{f^{y}d\mu}\in L^{+}(Y)\)이고, 다음 등식이 성립한다.$$\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}=\int_{X}{\left\{\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right\}d\mu(x)}=\int_{Y}{\left\{\int_{X}{f(x,\,y)d\mu(x)}\right\}d\nu(y)}$$ 

b.(푸비니) \(f\in L^{1}(\mu\times\nu)\)이면, \(f_{x}\in L^{1}(\nu)\,(a.e.\,x\in X)\), \(f^{y}\in L^{1}(\mu)\,(a.e.\,y\in Y)\)이고 a.e. 정의된 함수 \(\displaystyle g(x)=\int_{Y}{f_{x}d\nu}\), \(\displaystyle h(y)=\int_{X}{f^{y}d\mu}\)는 각각 \(L^{1}(\nu)\), \(L^{1}(\mu)\)의 원소이며, 다음 등식이 성립한다.$$\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}=\int_{X}{\left\{\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right\}d\mu(x)}=\int_{Y}{\left\{\right\}d\nu(y)}$$  

증명: 

a. 토넬리정리는 \(f\)가 특성함수인 경우, 2.37에 의해 증명되었기 때문에, 적분의 선형성으로부터 음이 아닌 단순함수에 대해 성립한다. \(f\in L^{+}(X\times Y)\)이면, \(\{f_{n}\}\)을 \(f\)로 수렴하는 2.10 a의 단순함수열이라 하자. 다음과 같이 정의된 \(g_{n}\), \(h_{n}\)이$$g_{n}(x)=\int_{Y}{(f_{x})_{n}d\nu},\,h_{n}(y)=\int_{X}{(f^{y})_{n}d\mu}$$각각 \(g,\,h\)로 증가하며 수렴하는 가측함수열이면, 단조수렴정리에 의해 다음의 식들이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{X}{gd\mu}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{g_{n}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X\times Y}{f_{n}d(\mu\times\nu)}}=\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}\\ \int_{Y}{hd\nu}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{Y}{h_{n}d\nu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}d(\mu\times\nu)}=\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}\end{align*}$$이렇게 토넬리정리의 증명을 완료했고, \(f\in L^{+}(X\times Y)\)이고 \(\displaystyle\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}<\infty\)이면, \(g<\infty,\,h<\infty\,a.e.\)이다.  

b. \(f\in L^{1}(\mu\times\nu)\)일 때 \(f\)가 실함수이면, \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)에 대해 a의 결과를 적용하면 되고, \(f\)가 복소함수이면 \(\text{Re}f\)와 \(\text{Im}f\)에 적용한다.  

*참고 

1. 다음과 같이 중적분으로 나타낸다.$$\int_{Y}{\left\{\int_{X}{f(x,\,y)d\mu(x)}\right\}d\nu(y)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\mu(x)d\nu(y)}=\int_{X\times Y}{fd\mu d\nu}$$  

2. 가측공간은 반드시 \(\sigma-\)유한이어야 한다. 

\(X=Y=[0,\,1]\), \(\mathcal{M}=\mathcal{N}=\mathcal{B}_{[0,\,1]}\), \(\mu\)를 르베그측도, \(\nu\)를 셈측도라 하자. \(D=\{(x,\,x)\,|\,x\in[0,\,1]\}\)라 하면$$\begin{align*}\iint_{X\times Y}{\chi_{D}d\mu d\nu}&=\int_{Y}{\left\{\int_{X}{\chi_{D}(x,\,y)}\right\}d\nu(y)}=\int_{Y}{0d\nu}=0\\ \iint_{X\times Y}{\chi_{D}d\nu d\mu}&=\int_{X}{1d\mu}=1,\,\int_{X\times Y}{\chi_{D}d(\mu\times\nu)}=(\mu\times\nu)(D)=\infty\end{align*}$$  

3. 조건 \(f\in L^{+}(X\times Y)\) 또는 \(f\in L^{1}(\mu\times\nu)\)는 필수적이다.  

(1) \(f_{x},\,f^{y}\)가 \(x\in X,\,y\in Y\)에 대하여 가측이나 \(f\)가 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-\)가측이 아니더라도 적분 \(\displaystyle\iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}\)와 \(\iint_{X\times Y}{fd\nu d\mu}\)가 존재할 수 있으나 일반적으로 이 두 값은 같지 않다.  

(2) \(f\)가 음이 아닌 함수가 아니면, \(f_{x},\,f^{y}\)가 \(x\in X,\,y\in Y\)에 대하여 적분가능하고 \(\displaystyle\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}=\infty\)이더라도 적분 \(\displaystyle\iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}\)와 \(\displaystyle\iint_{X\times Y}{fd\nu d\mu}\)의 값이 존재할 수 있으나 일반적으로 같지 않다. 

\(X=Y=\mathbb{N}\), \(\mathcal{M}=\mathcal{N}=2^{\mathbb{N}}\), \(\mu,\,\nu\)를 셈측도라 하고, 함수 \(f\)를$$f(m,\,n)=\begin{cases}1&\,(m=n)\\-1&\,(m=n+1)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$로 정의하면 다음과 같은 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\int_{X\times Y}{|f|d(\mu\times\nu)}&=\sum_{m,\,n}{|f(m,\,n)|}=\infty\\ \iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}&=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sum_{m=1}^{\infty}{f(m,\,n)}\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{\{f(1,\,n)+f(2,\,n)+\cdots\}}=1-1=0\\ \iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}&=\sum_{m=1}^{\infty}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f(m,\,n)}\right)}=\sum_{m=1}^{\infty}{\{f(m,\,1)+f(m,\,2)+\cdots\}}=1\end{align*}$$*참고: 다음의 표는 \(m\)과 \(n\)의 값에 따른 함수 \(f(m,\,n)\)의 함숫값이다.

\(m\)＼\(n\)	1	2	3	\(\cdots\)
1	1	0	0
2	-1	1	0
3	0	-1	1
\(\vdots\)

   

2.39 완비측도에 대한 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli Theorem for Complete Measure) 

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)와 \((Y,\,\mathcal{N},\,\nu)\)를 \(\sigma-\)유한 측도공간, \(X\times Y,\,\mathfrak{L},\,\lambda\)를 \((X\times Y,\,\mathcal{M}\otimes\mathcal{N},\,\mu\times\nu)\)의 완비화라 하자. \(f\)가 \(\mathfrak{L}-\)가측이고 (a) \(f\geq0\) 또는 (b) \(f\in L^{1}(\lambda)\)이면, \(a.e.\,x\)에 대하여 \(f_{x}\)는 \(\mathcal{N}-\)가측이고 \(a.e.\,y\)에 대하여 \(f^{y}\)는 \(\mathcal{M}-\)가측이며 (b)의 경우, \(f_{x}\)와 \(f^{y}\)는 \(a.e.\,x,\,y\)에 대하여 적분가능하다. 게다가 \(\displaystyle x\,\mapsto\,\int_{Y}{f_{x}d\nu}\)와 \(\displaystyle y\,\mapsto\,\int_{X}{f^{y}d\mu}\)는 가측함수이고, (b)의 경우, 적분가능하며 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{X\times Y}{fd\lambda}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\mu(x)d\nu(y)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\nu(y)d\mu(x)}$$ 

증명: \(f=0\,\lambda-a.e.\)라 하자. \(D=\{(x,\,y)\,|\,f(x,\,y)\neq0\}\)이라 하면 \(\lambda(D)=0\)이므로 \(E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\)가 존재해서 \(D\subset E\)이고 \((\mu\times\nu)(E)=0\)이다. 2.37에 의해$$(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x})d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}$$이므로 \(\nu(E_{x})=0\,\mu-a.e.\)이고 \(\mu(E^{y})\,\nu-a.e.\)이다. \(D_{x}\subset E_{x}\), \(D^{y}\subset E^{y}\)이므로 \(\mu\)와 \(\nu\)의 완비성에 의해 \(D_{x}\in\mathcal{N}\), \(D^{y}\in\mathcal{M}\)이다. 따라서 \(a.e.\,x\)에 대하여 \(f_{x}=0\,\nu-a.e.\)이고, \(a.e.\,y\)에 대하여 \(f^{y}=0\,\mu-a.e.\)이므로 \(a.e.\,x,\,y\)에 대하여 \(f_{x}\)는 \(\mathcal{N}-\)가측, \(f^{y}\)는 \(\mathcal{M}-\)가측이며 \(\displaystyle\int_{Y}{f_{x}d\nu}=\int_{X}{f^{y}d\mu}=0\)이다. 

\(f\)를 \(\mathfrak{L}-\)가측이라 하면 2.12에 의해 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-\)가측함수 \(g\)가 존재해서 \(f=g\,\lambda-a.e.\)이다. \(h=f-g\)라 하고 앞에서 얻은 결과와 2.35, 푸비니-토넬리 정리(2.38)에 의해 등식$$\int_{X\times Y}{gd\lambda}=\iint_{X\times Y}{g(x,\,y)d\mu(x)d\nu(y)}=\iint_{X\times Y}{g(x,\,y)d\nu(y)d\mu(x)}$$가 성립하므로(\(\because\,f_{x}=g_{x}\,\nu-a.e.\), \(f^{y}=g^{y}\,\mu-a.e.\)) 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\int_{X\times Y}{fd\lambda}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\mu(x)d\nu(y)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)d\nu(y)d\mu(x)}$$     

*\(x>0\)에 대하여 식 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-xt}dt}=\frac{1}{x}\)과 푸비니-토넬리 정리를 이용하여 다음과 같이 적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}\)의 값을 구할 수 있다.$$\begin{align*}\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}&=\int_{0}^{\infty}{\sin x\left(\int_{0}^{\infty}{e^{-xt}dt}\right)dx}=\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-tx}\sin xdt}dx}=\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-tx}\sin xdx}dt}\\&=\int_{0}^{\infty}{\left[\frac{-t\sin x-\cos x}{1+t^{2}}e^{-tx}\right]_{0}^{\infty}dt}=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{1+t^{2}}dt}\\&=\frac{\pi}{2}\end{align*}$$

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사