[측도론] 2-4 복소함수의 적분(2)

[측도론] 2-4 복소함수의 적분(2)

2.28 \(f:\,X\times[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,(-\infty<a<b<\infty)\)라 하고 \(f(\cdot,\,t):\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 각 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 적분가능한 함수, \(\displaystyle F(t)=\int_{X}{f(x,\,t)d\mu(x)}\)라 하자. 

a. \(g\in L^{1}(\mu)\)가 존재해서 모든 \(x,\,t\)에 대해 \(|f(x,\,t)|\leq g(x)\)라 하자. 모든 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,t_{0}}{f(x,\,t)}=f(x,\,t_{0})\)이면, \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,t_{0}}{F(t)}=F(t_{0})\)이고 특히 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x,\,\cdot)\)가 연속함수이면, \(F\)는 연속함수이다. 

b. \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}\)와 \(g\in L^{1}(\mu)\)가 존재해서 모든 \(x,\,t\)에 대해 \(\displaystyle\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)\right|\leq g(x)\)라 하자. 그러면 \(F\)는 미분가능하고 \(\displaystyle F'(t)=\int_{X}{\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)d\mu(x)}\)이다. 

증명: 

a. \(\{t_{n}\}\subset[a,\,b]\)이 \(t_{0}\)로 수렴한다고 하자. 모든 \(n\)에 대하여 \(|f(x,\,t_{n})|\leq g(x)\)이므로 지배수렴정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,t_{0}}{F(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{F(t_{n})}=F(t_{0})\)이다.  

b. \(\{t_{n}\}\subset[a,\,b]\)이 \(t_{0}\)로 수렴한다고 하자.$$\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t_{0})=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}}$$이므로 \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}\)는 가측함수이고, 평균값 정리에 의해$$\left|\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}\right|\leq\sup_{t\in[a,\,b]}{\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)\right|}\leq g(x)$$이므로 지배수렴정리에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$F'(t)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{F(t_{n})-F(t_{0})}{t_{n}-t_{0}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}d\mu}}=\int_{X}{\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t_{0})d\mu(x)}$$   

*이 정리의 결과를 이용하여 다음의 두 등식들이 성립함을 보일 수 있다. 

a. \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-x}dx}=n!\) 

b. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-x^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{n!4^{n}}\sqrt{\pi}\) 

a의 증명: \(\displaystyle F(t)=\int_{0}^{\infty}{e^{-tx}dx}\)라 하면, \(\displaystyle F(t)=\frac{1}{t}\)이고 \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx})=-xe^{-tx}\),\(\displaystyle\left|\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx})\right|=|x|e^{-tx}\leq x^{2}e^{-tx}\,(x\geq0)\), \(x^{2}e^{-tx}\in L^{1}([0,\,\infty))\)이므로 2.28의 b에 의해 \(\displaystyle F'(t)=-\frac{1}{t^{2}}=-\int_{0}^{\infty}{xe^{-tx}dx}\)이고 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{xe^{-tx}dx}=\frac{1}{t^{2}}\)이다. 

수학적귀납법으로부터 \(n\)번 미분했을 때 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-tx}dx}=\frac{n!}{t^{n+1}}\)이고, 이 적분식에 \(t=1\)을 대입하면 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-x}dx}=n!\)이다.    

b의 증명: \(\displaystyle F(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-tx^{2}}dx}\)라 하면, \(\displaystyle F(t)=\sqrt{\frac{\pi}{t}}\)이고, \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx^{2}})=-x^{2}e^{-tx^{2}}\), \(\displaystyle\left|\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx^{2}})\right|=x^{2}e^{-tx^{2}}\leq x^{2}e^{-t|x|}\), \(x^{2}e^{-t|x|}\in L^{1}(\mathbb{R})\)이므로 2.28의 b에 의해 \(\displaystyle F'(t)=-\frac{1}{2}\sqrt{\pi}t^{-\frac{3}{2}}=-\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}e^{-tx^{2}}dx}\)이고 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}e^{-tx^{2}}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}t^{-\frac{3}{2}}\)이다. 

수학적귀납법으로부터 \(n\)번 미분했을 때 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-tx^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}t^{-\frac{2n+1}{2}}\)이고, 이 적분식에 \(t=1\)을 대입하면 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-x^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}\)이다.   

\([a,\,b]\)를 컴팩트구간, \(P=\{x_{i}\}_{i=0}^{n}\)을 \([a,\,b]\)의 분할(partition)(\(a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b\)), \(f\)를 \([a\,b]\)에서의 유계실함수라 하자. \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)에 대하여$$S_{P}f=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}(x_{i}-x_{i-1})},\,s_{P}f=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\,\left(M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\right)$$로 정의하고 \(\displaystyle\overline{I}_{a}^{b}(f)=\inf_{P}{S_{P}f}\), \(\displaystyle\underline{I}_{a}^{b}(f)=\sup_{P}{s_{P}f}\)로 정의하는데, \(\overline{I}_{a}^{b}(f)=\underline{I}_{a}^{b}(f)\)이면, \(f\)를 리만적분 가능하다(Riemann integrable)고 하고, 이 값을 리만적분(Riemann integral) \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)라고 한다.     

2.29 \(f\)를 \([a,\,b]\)에서의 유계실함수라 하자.   

a. \(f\)가 리만적분가능하면, \(f\)는 르베그가측이고(유계이므로 \([a,\,b]\)에서 적분가능하다) \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{[a,\,b]}{fdm}\)이다. 

b. \(f\)가 리만적분가능할 필요충분조건은 \(m(\{x\in[a,\,b]\,|\,f\,\text{is discontinuous at}\,x\})=0\)이다.  

증명: 

a. \(f\)가 리만적분가능하다고 하자. \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)에 대하여$$G_{P}=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\chi_{(x_{i-1},\,x_{i}]}},\,g_{P}=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\chi_{(x_{i-1},\,x_{i}]}}\,\left(M_{i}=\sup_{x\in(x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in(x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\right)$$이라 하자. 그러면$$S_{P}f=\int_{[a,\,b]}{G_{p}dm},\,s_{P}f=\int_{[a,\,b]}{g_{P}dm}$$이고 \([a,\,b]\)의 적당한 분할 \(\{P_{k}\}\)가 존재해서 \(\displaystyle\max_{k}(x_{k}-x_{k-1})\,\rightarrow\,0\), \(g_{P_{k}}\)는 증가, \(G_{P_{k}}\)는 감소, \(S_{P_{k}}f\)와 \(s_{P_{k}}f\)는 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)로 수렴한다. 

\(\displaystyle G=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{G_{P_{k}}}\), \(\displaystyle g=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{g_{P_{k}}}\)라 하자. 그러면 \(g\leq f\leq G\)이고 지배수렴정리에 의해$$\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{gdm}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$이고 따라서 \(\displaystyle\int_{[a,\,b]}{(G-g)dm}=0\)이므로 2.17에 의해 \(G=g\,a.e.\)이고 따라서 \(G=f\,a.e.\)이다. \(G\)는 가측함수(단순함수열의 극한)이고 르베그측도 \(m\)은 완비이므로 \(f\)는 가측이고 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{fdm}$$     

b. \(\displaystyle H(x)=\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{\sup_{|x-y|\leq\delta}{f(y)}}\), \(\displaystyle h(x)=\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{\inf_{|x-y|\leq\delta}{f(y)}}\)라 하자. \(H(x)=h(x)\)일 필요충분조건은 \(f\)가 \(x\)에서 연속인 것이다. 따라서 \(f\)가 리만적분가능할 필요충분조건은 \(H=h\,a.e.\)이다. 

\(H\)와 \(h\)가 가측이면, \(f\)가 유계이므로 \(H\)와 \(h\)는 적분가능하고 이것은 조건 \(\displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{hdm}\)과 동치이다. \(H\)와 \(h\)가 가측임을 보이자. 

\(\{P_{k}\}\), \(G\), \(g\)를 a에서 정의한 것과 같다고 하자. \(H,\,h\)의 정의에 의해 모든 \(\displaystyle x\in\left(\bigcup_{k=1}^{n}{P_{k}}\right)^{c}\)에 대하여 \(H(x)=G(x)\) \(h(x)=g(x)\)이다. 따라서 \(m\)이 완비이고 \(G\)와 \(g\)가 가측이므로 \(H\)와 \(h\)도 가측이고 또한 \(H=G\,a.e.\), \(h=g\,a.e.\)이다. 

\(H=G\,a.e.\)이므로$$\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{S_{P_{k}}f}=\inf_{P_{k}}{S_{P_{k}}f}\geq\overline{I}_{a}^{b}(f)$$이고, \(h=g\,a.e.\)이므로$$\int_{[a,\,b]}{hdm}=\int_{[a,\,b]}{gdm}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{s_{P_{k}}f}=\sup_{P_{k}}{s_{P_{k}}f}\leq\underline{I}_{a}^{b}(f)$$이다. 또한 \(\displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}\leq\int_{[a,\,b]}{G_{P}dm}\)이고 \(\displaystyle\int_{[a,\,b]}{hdm}\geq\int_{[a,\,b]}{g_{P}dm}\)이므로 \(\displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}\leq\overline{I}_{a}^{b}(f)\), \(\displaystyle\int_{[a,\,b]}{hdm}\geq\underline{I}_{a}^{b}(f)\)이고,$$\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\overline{I}_{a}^{b}(f),\,\int_{[a,\,b]}{hdm}=\underline{I}_{a}^{b}(f)$$이다. 리만적분이 가능하려면 \(\overline{I}_{a}^{b}(f)=\underline{I}_{a}^{b}(f)\)이어야 하고, 이는 \(\displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{hdm}\), 즉 \(H=h\,a.e.\)이므로 증명이 끝났다.       

리만적분 가능하면, 르베그적분 가능하고, 절대수렴하는 리만 이상적분들을 르베그적분으로 나타낼 수 있다. 그러나 다른 것들은 추가적인 조건이 필요한 경우가 있다. 예를들어 \(f\)가 \([0,\,b]\,(b>0)\)에서 리만적분가능하고 \([0,\,\infty)\)에서 르베그적분 가능하면, 지배수렴정리에 의해 \(\displaystyle\int_{[0,\,\infty)}{fdm}=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{b}{f(x)dx}}\)이나 이 식 우변의 극한은 \(f\)가 적분가능하지 않은 경우에도 존재하는데 대표적인 예가 \(\displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}\chi_{(n,\,n+1]}}\), \(\displaystyle g=\frac{\sin x}{x}\)이다. 르베그적분을 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)로 나타내겠다.  

\(f\)를 \([a,\,b]\)에서 유계가측함수라 하고, 편의상 \(f\geq0\)이라 하자. \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만적분을 구하기 위해 \([a,\,b]\)의 분할된 부분구간들에서 상수인 두 함수 \(G_{p},\,g_{p}\)로 근사한 후, 이 두 함수에 대한 적분의 공통값으로 구한다. 반면 \(f\)의 르베그적분을 구하기 위해서, \(f\)로 증가하면서 수렴하는 단순함수열(2.10 참고)을 고르는데 \(f\)의 치역들의 분할 \(I_{i}\)에 대하여 \(f^{-1}[I_{i}]\)에서 상수함수가 되게 한다.  

르베그 적분이론은 리만적분과 비교했을 때 두 가지의 장점을 지닌다. 

1. 더 많은 강력한 수렴정리들을 적용시킬 수 있다.(예: 단조수렴정리, 지배수렴정리 등) 

2. 더 많은 함수들이 적분가능하다. 예를들어 \(E=[0,\,1]\cap\mathbb{Q}\)라 하면, \(\chi_{E}\)는 리만적분가능하지 않으나 르베그적분 가능하고, \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{\chi_{E}dm}=m(E)=0\)이다.  

다음은 가장 흔한 초월함수인 감마함수(gamma function)를 정의하는 과정이다. 

\(z\in\mathbb{C}\)이고 \(\text{Re}z>0\)일 때, 복소함수 \(f_{z}:\,(0,\,\infty)\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 \(f_{z}(t)=t^{z-1}e^{-t}\)로 정의한다.(\(t^{z-1}=e^{(z-1)\log t}\)) \(|t^{z-1}|=t^{\text{Re}z-1}\)이므로 \(|f_{z}(t)|\leq t^{\text{Re}z-1}\)이고, 또한 \(t\geq1\)에 대하여 \(\displaystyle|f_{z}(t)|\leq C_{z}e^{-\frac{t}{2}}\)이다.(상수 \(C_{z}\)는 \(t^{\text{Re}z-1}e^{-t}\)를 극대화하여 얻을 수 있다) \(a>-1\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{t^{a}dt}<\infty\)이고, \(\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{-\frac{t}{2}}dt}<\infty\)이므로 \(\text{Re}z>0\)인 \(z\)에 대하여 \(f_{z}\in L^{1}((0,\,\infty))\)이고 \(\displaystyle\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}{t^{z-1}e^{-t}dt}\)로 정의한다. 부분적분법에 의해$$\int_{\epsilon}^{N}{t^{z}e^{-t}dt}=\left[-t^{z}e^{-t}\right]_{\epsilon}^{N}+z\int_{\epsilon}^{N}{t^{z-1}e^{-t}dt}$$이므로 \(\epsilon\,\rightarrow\,0,\,N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 등식 \(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\)를 얻는다. \(\displaystyle\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}dt}=1\)이고, \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\Gamma(n+1)=n!\)이다.    

참고자료:  

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사