[측도론] 2-4 복소함수의 적분(2)
2.28 f:X×[a,b]→C(−∞<a<b<∞)라 하고 f(⋅,t):X→C를 각 t∈[a,b]에 대해 적분가능한 함수, F(t)=∫Xf(x,t)dμ(x)라 하자.
a. g∈L1(μ)가 존재해서 모든 x,t에 대해 |f(x,t)|≤g(x)라 하자. 모든 x에 대하여 lim이면, \displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,t_{0}}{F(t)}=F(t_{0})이고 특히 모든 x에 대하여 f(x,\,\cdot)가 연속함수이면, F는 연속함수이다.
b. \displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}와 g\in L^{1}(\mu)가 존재해서 모든 x,\,t에 대해 \displaystyle\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)\right|\leq g(x)라 하자. 그러면 F는 미분가능하고 \displaystyle F'(t)=\int_{X}{\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)d\mu(x)}이다.
증명:
a. \{t_{n}\}\subset[a,\,b]이 t_{0}로 수렴한다고 하자. 모든 n에 대하여 |f(x,\,t_{n})|\leq g(x)이므로 지배수렴정리에 의해 \displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,t_{0}}{F(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{F(t_{n})}=F(t_{0})이다.
b. \{t_{n}\}\subset[a,\,b]이 t_{0}로 수렴한다고 하자.\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t_{0})=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}}이므로 \displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}는 가측함수이고, 평균값 정리에 의해\left|\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}\right|\leq\sup_{t\in[a,\,b]}{\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)\right|}\leq g(x)이므로 지배수렴정리에 의해 다음의 결과를 얻는다.F'(t)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{F(t_{n})-F(t_{0})}{t_{n}-t_{0}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}d\mu}}=\int_{X}{\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t_{0})d\mu(x)}
*이 정리의 결과를 이용하여 다음의 두 등식들이 성립함을 보일 수 있다.
a. \displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-x}dx}=n!
b. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-x^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{n!4^{n}}\sqrt{\pi}
a의 증명: \displaystyle F(t)=\int_{0}^{\infty}{e^{-tx}dx}라 하면, \displaystyle F(t)=\frac{1}{t}이고 \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx})=-xe^{-tx},\displaystyle\left|\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx})\right|=|x|e^{-tx}\leq x^{2}e^{-tx}\,(x\geq0), x^{2}e^{-tx}\in L^{1}([0,\,\infty))이므로 2.28의 b에 의해 \displaystyle F'(t)=-\frac{1}{t^{2}}=-\int_{0}^{\infty}{xe^{-tx}dx}이고 \displaystyle\int_{0}^{\infty}{xe^{-tx}dx}=\frac{1}{t^{2}}이다.
수학적귀납법으로부터 n번 미분했을 때 \displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-tx}dx}=\frac{n!}{t^{n+1}}이고, 이 적분식에 t=1을 대입하면 \displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-x}dx}=n!이다.
b의 증명: \displaystyle F(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-tx^{2}}dx}라 하면, \displaystyle F(t)=\sqrt{\frac{\pi}{t}}이고, \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx^{2}})=-x^{2}e^{-tx^{2}}, \displaystyle\left|\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx^{2}})\right|=x^{2}e^{-tx^{2}}\leq x^{2}e^{-t|x|}, x^{2}e^{-t|x|}\in L^{1}(\mathbb{R})이므로 2.28의 b에 의해 \displaystyle F'(t)=-\frac{1}{2}\sqrt{\pi}t^{-\frac{3}{2}}=-\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}e^{-tx^{2}}dx}이고 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}e^{-tx^{2}}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}t^{-\frac{3}{2}}이다.
수학적귀납법으로부터 n번 미분했을 때 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-tx^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}t^{-\frac{2n+1}{2}}이고, 이 적분식에 t=1을 대입하면 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-x^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}이다.
[a,\,b]를 컴팩트구간, P=\{x_{i}\}_{i=0}^{n}을 [a,\,b]의 분할(partition)(a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b), f를 [a\,b]에서의 유계실함수라 하자. [a,\,b]의 분할 P에 대하여S_{P}f=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}(x_{i}-x_{i-1})},\,s_{P}f=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\,\left(M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\right)로 정의하고 \displaystyle\overline{I}_{a}^{b}(f)=\inf_{P}{S_{P}f}, \displaystyle\underline{I}_{a}^{b}(f)=\sup_{P}{s_{P}f}로 정의하는데, \overline{I}_{a}^{b}(f)=\underline{I}_{a}^{b}(f)이면, f를 리만적분 가능하다(Riemann integrable)고 하고, 이 값을 리만적분(Riemann integral) \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}라고 한다.
2.29 f를 [a,\,b]에서의 유계실함수라 하자.
a. f가 리만적분가능하면, f는 르베그가측이고(유계이므로 [a,\,b]에서 적분가능하다) \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{[a,\,b]}{fdm}이다.
b. f가 리만적분가능할 필요충분조건은 m(\{x\in[a,\,b]\,|\,f\,\text{is discontinuous at}\,x\})=0이다.
증명:
a. f가 리만적분가능하다고 하자. [a,\,b]의 분할 P에 대하여G_{P}=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\chi_{(x_{i-1},\,x_{i}]}},\,g_{P}=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\chi_{(x_{i-1},\,x_{i}]}}\,\left(M_{i}=\sup_{x\in(x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in(x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\right)이라 하자. 그러면S_{P}f=\int_{[a,\,b]}{G_{p}dm},\,s_{P}f=\int_{[a,\,b]}{g_{P}dm}이고 [a,\,b]의 적당한 분할 \{P_{k}\}가 존재해서 \displaystyle\max_{k}(x_{k}-x_{k-1})\,\rightarrow\,0, g_{P_{k}}는 증가, G_{P_{k}}는 감소, S_{P_{k}}f와 s_{P_{k}}f는 \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}로 수렴한다.
\displaystyle G=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{G_{P_{k}}}, \displaystyle g=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{g_{P_{k}}}라 하자. 그러면 g\leq f\leq G이고 지배수렴정리에 의해\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{gdm}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}이고 따라서 \displaystyle\int_{[a,\,b]}{(G-g)dm}=0이므로 2.17에 의해 G=g\,a.e.이고 따라서 G=f\,a.e.이다. G는 가측함수(단순함수열의 극한)이고 르베그측도 m은 완비이므로 f는 가측이고 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{fdm}
b. \displaystyle H(x)=\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{\sup_{|x-y|\leq\delta}{f(y)}}, \displaystyle h(x)=\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{\inf_{|x-y|\leq\delta}{f(y)}}라 하자. H(x)=h(x)일 필요충분조건은 f가 x에서 연속인 것이다. 따라서 f가 리만적분가능할 필요충분조건은 H=h\,a.e.이다.
H와 h가 가측이면, f가 유계이므로 H와 h는 적분가능하고 이것은 조건 \displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{hdm}과 동치이다. H와 h가 가측임을 보이자.
\{P_{k}\}, G, g를 a에서 정의한 것과 같다고 하자. H,\,h의 정의에 의해 모든 \displaystyle x\in\left(\bigcup_{k=1}^{n}{P_{k}}\right)^{c}에 대하여 H(x)=G(x) h(x)=g(x)이다. 따라서 m이 완비이고 G와 g가 가측이므로 H와 h도 가측이고 또한 H=G\,a.e., h=g\,a.e.이다.
H=G\,a.e.이므로\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{S_{P_{k}}f}=\inf_{P_{k}}{S_{P_{k}}f}\geq\overline{I}_{a}^{b}(f)이고, h=g\,a.e.이므로\int_{[a,\,b]}{hdm}=\int_{[a,\,b]}{gdm}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{s_{P_{k}}f}=\sup_{P_{k}}{s_{P_{k}}f}\leq\underline{I}_{a}^{b}(f)이다. 또한 \displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}\leq\int_{[a,\,b]}{G_{P}dm}이고 \displaystyle\int_{[a,\,b]}{hdm}\geq\int_{[a,\,b]}{g_{P}dm}이므로 \displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}\leq\overline{I}_{a}^{b}(f), \displaystyle\int_{[a,\,b]}{hdm}\geq\underline{I}_{a}^{b}(f)이고,\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\overline{I}_{a}^{b}(f),\,\int_{[a,\,b]}{hdm}=\underline{I}_{a}^{b}(f)이다. 리만적분이 가능하려면 \overline{I}_{a}^{b}(f)=\underline{I}_{a}^{b}(f)이어야 하고, 이는 \displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{hdm}, 즉 H=h\,a.e.이므로 증명이 끝났다.
리만적분 가능하면, 르베그적분 가능하고, 절대수렴하는 리만 이상적분들을 르베그적분으로 나타낼 수 있다. 그러나 다른 것들은 추가적인 조건이 필요한 경우가 있다. 예를들어 f가 [0,\,b]\,(b>0)에서 리만적분가능하고 [0,\,\infty)에서 르베그적분 가능하면, 지배수렴정리에 의해 \displaystyle\int_{[0,\,\infty)}{fdm}=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{b}{f(x)dx}}이나 이 식 우변의 극한은 f가 적분가능하지 않은 경우에도 존재하는데 대표적인 예가 \displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}\chi_{(n,\,n+1]}}, \displaystyle g=\frac{\sin x}{x}이다. 르베그적분을 \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}로 나타내겠다.
f를 [a,\,b]에서 유계가측함수라 하고, 편의상 f\geq0이라 하자. [a,\,b]에서 f의 리만적분을 구하기 위해 [a,\,b]의 분할된 부분구간들에서 상수인 두 함수 G_{p},\,g_{p}로 근사한 후, 이 두 함수에 대한 적분의 공통값으로 구한다. 반면 f의 르베그적분을 구하기 위해서, f로 증가하면서 수렴하는 단순함수열(2.10 참고)을 고르는데 f의 치역들의 분할 I_{i}에 대하여 f^{-1}[I_{i}]에서 상수함수가 되게 한다.
르베그 적분이론은 리만적분과 비교했을 때 두 가지의 장점을 지닌다.
1. 더 많은 강력한 수렴정리들을 적용시킬 수 있다.(예: 단조수렴정리, 지배수렴정리 등)
2. 더 많은 함수들이 적분가능하다. 예를들어 E=[0,\,1]\cap\mathbb{Q}라 하면, \chi_{E}는 리만적분가능하지 않으나 르베그적분 가능하고, \displaystyle\int_{\mathbb{R}}{\chi_{E}dm}=m(E)=0이다.
다음은 가장 흔한 초월함수인 감마함수(gamma function)를 정의하는 과정이다.
z\in\mathbb{C}이고 \text{Re}z>0일 때, 복소함수 f_{z}:\,(0,\,\infty)\,\rightarrow\,\mathbb{C}를 f_{z}(t)=t^{z-1}e^{-t}로 정의한다.(t^{z-1}=e^{(z-1)\log t}) |t^{z-1}|=t^{\text{Re}z-1}이므로 |f_{z}(t)|\leq t^{\text{Re}z-1}이고, 또한 t\geq1에 대하여 \displaystyle|f_{z}(t)|\leq C_{z}e^{-\frac{t}{2}}이다.(상수 C_{z}는 t^{\text{Re}z-1}e^{-t}를 극대화하여 얻을 수 있다) a>-1에 대하여 \displaystyle\int_{0}^{1}{t^{a}dt}<\infty이고, \displaystyle\int_{0}^{1}{e^{-\frac{t}{2}}dt}<\infty이므로 \text{Re}z>0인 z에 대하여 f_{z}\in L^{1}((0,\,\infty))이고 \displaystyle\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}{t^{z-1}e^{-t}dt}로 정의한다. 부분적분법에 의해\int_{\epsilon}^{N}{t^{z}e^{-t}dt}=\left[-t^{z}e^{-t}\right]_{\epsilon}^{N}+z\int_{\epsilon}^{N}{t^{z-1}e^{-t}dt}이므로 \epsilon\,\rightarrow\,0,\,N\,\rightarrow\,\infty일 때 등식 \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)를 얻는다. \displaystyle\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}dt}=1이고, n\in\mathbb{N}에 대하여 \Gamma(n+1)=n!이다.
참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley
실해석&함수해석학, 방현수, 교우사
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