[측도론] 2-4 복소함수의 적분(2)

[측도론] 2-4 복소함수의 적분(2)

2.28 $f:\,X\times[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,(-\infty<a<b<\infty)$라 하고 $f(\cdot,\,t):\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 각 $t\in[a,\,b]$에 대해 적분가능한 함수, $\displaystyle F(t)=\int_{X}{f(x,\,t)d\mu(x)}$라 하자. 

a. $g\in L^{1}(\mu)$가 존재해서 모든 $x,\,t$에 대해 $|f(x,\,t)|\leq g(x)$라 하자. 모든 $x$에 대하여 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,t_{0}}{f(x,\,t)}=f(x,\,t_{0})$이면, $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,t_{0}}{F(t)}=F(t_{0})$이고 특히 모든 $x$에 대하여 $f(x,\,\cdot)$가 연속함수이면, $F$는 연속함수이다. 

b. $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}$와 $g\in L^{1}(\mu)$가 존재해서 모든 $x,\,t$에 대해 $\displaystyle\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)\right|\leq g(x)$라 하자. 그러면 $F$는 미분가능하고 $\displaystyle F'(t)=\int_{X}{\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)d\mu(x)}$이다. 

증명: 

a. $\{t_{n}\}\subset[a,\,b]$이 $t_{0}$로 수렴한다고 하자. 모든 $n$에 대하여 $|f(x,\,t_{n})|\leq g(x)$이므로 지배수렴정리에 의해 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,t_{0}}{F(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{F(t_{n})}=F(t_{0})$이다.  

b. $\{t_{n}\}\subset[a,\,b]$이 $t_{0}$로 수렴한다고 하자. $$\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t_{0})=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}}$$ 이므로 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}$는 가측함수이고, 평균값 정리에 의해 $$\left|\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}\right|\leq\sup_{t\in[a,\,b]}{\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t)\right|}\leq g(x)$$ 이므로 지배수렴정리에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$F'(t)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{F(t_{n})-F(t_{0})}{t_{n}-t_{0}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\frac{f(x,\,t_{n})-f(x,\,t_{0})}{t_{n}-t_{0}}d\mu}}=\int_{X}{\frac{\partial f}{\partial t}(x,\,t_{0})d\mu(x)}$$    

*이 정리의 결과를 이용하여 다음의 두 등식들이 성립함을 보일 수 있다. 

a. $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-x}dx}=n!$ 

b. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-x^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{n!4^{n}}\sqrt{\pi}$ 

a의 증명: $\displaystyle F(t)=\int_{0}^{\infty}{e^{-tx}dx}$라 하면, $\displaystyle F(t)=\frac{1}{t}$이고 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx})=-xe^{-tx}$,$\displaystyle\left|\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx})\right|=|x|e^{-tx}\leq x^{2}e^{-tx}\,(x\geq0)$, $x^{2}e^{-tx}\in L^{1}([0,\,\infty))$이므로 2.28의 b에 의해 $\displaystyle F'(t)=-\frac{1}{t^{2}}=-\int_{0}^{\infty}{xe^{-tx}dx}$이고 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{xe^{-tx}dx}=\frac{1}{t^{2}}$이다. 

수학적귀납법으로부터 $n$번 미분했을 때 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-tx}dx}=\frac{n!}{t^{n+1}}$이고, 이 적분식에 $t=1$을 대입하면 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-x}dx}=n!$이다.    

b의 증명: $\displaystyle F(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-tx^{2}}dx}$라 하면, $\displaystyle F(t)=\sqrt{\frac{\pi}{t}}$이고, $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx^{2}})=-x^{2}e^{-tx^{2}}$, $\displaystyle\left|\frac{\partial}{\partial t}(e^{-tx^{2}})\right|=x^{2}e^{-tx^{2}}\leq x^{2}e^{-t|x|}$, $x^{2}e^{-t|x|}\in L^{1}(\mathbb{R})$이므로 2.28의 b에 의해 $\displaystyle F'(t)=-\frac{1}{2}\sqrt{\pi}t^{-\frac{3}{2}}=-\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}e^{-tx^{2}}dx}$이고 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}e^{-tx^{2}}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}t^{-\frac{3}{2}}$이다. 

수학적귀납법으로부터 $n$번 미분했을 때 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-tx^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}t^{-\frac{2n+1}{2}}$이고, 이 적분식에 $t=1$을 대입하면 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}e^{-x^{2}}dx}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}$이다.   

$[a,\,b]$를 컴팩트구간, $P=\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$을 $[a,\,b]$의 분할(partition)($a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b$), $f$를 $[a\,b]$에서의 유계실함수라 하자. $[a,\,b]$의 분할 $P$에 대하여 $$S_{P}f=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}(x_{i}-x_{i-1})},\,s_{P}f=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\,\left(M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\right)$$ 로 정의하고 $\displaystyle\overline{I}_{a}^{b}(f)=\inf_{P}{S_{P}f}$, $\displaystyle\underline{I}_{a}^{b}(f)=\sup_{P}{s_{P}f}$로 정의하는데, $\overline{I}_{a}^{b}(f)=\underline{I}_{a}^{b}(f)$이면, $f$를 리만적분 가능하다(Riemann integrable)고 하고, 이 값을 리만적분(Riemann integral) $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$라고 한다.     

2.29 $f$를 $[a,\,b]$에서의 유계실함수라 하자.   

a. $f$가 리만적분가능하면, $f$는 르베그가측이고(유계이므로 $[a,\,b]$에서 적분가능하다) $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{[a,\,b]}{fdm}$이다. 

b. $f$가 리만적분가능할 필요충분조건은 $m(\{x\in[a,\,b]\,|\,f\,\text{is discontinuous at}\,x\})=0$이다.  

증명: 

a. $f$가 리만적분가능하다고 하자. $[a,\,b]$의 분할 $P$에 대하여 $$G_{P}=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\chi_{(x_{i-1},\,x_{i}]}},\,g_{P}=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\chi_{(x_{i-1},\,x_{i}]}}\,\left(M_{i}=\sup_{x\in(x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in(x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\right)$$ 이라 하자. 그러면 $$S_{P}f=\int_{[a,\,b]}{G_{p}dm},\,s_{P}f=\int_{[a,\,b]}{g_{P}dm}$$ 이고 $[a,\,b]$의 적당한 분할 $\{P_{k}\}$가 존재해서 $\displaystyle\max_{k}(x_{k}-x_{k-1})\,\rightarrow\,0$, $g_{P_{k}}$는 증가, $G_{P_{k}}$는 감소, $S_{P_{k}}f$와 $s_{P_{k}}f$는 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$로 수렴한다. 

$\displaystyle G=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{G_{P_{k}}}$, $\displaystyle g=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{g_{P_{k}}}$라 하자. 그러면 $g\leq f\leq G$이고 지배수렴정리에 의해 $$\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{gdm}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\int_{[a,\,b]}{(G-g)dm}=0$이므로 2.17에 의해 $G=g\,a.e.$이고 따라서 $G=f\,a.e.$이다. $G$는 가측함수(단순함수열의 극한)이고 르베그측도 $m$은 완비이므로 $f$는 가측이고 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\int_{[a,\,b]}{fdm}$$      

b. $\displaystyle H(x)=\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{\sup_{|x-y|\leq\delta}{f(y)}}$, $\displaystyle h(x)=\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{\inf_{|x-y|\leq\delta}{f(y)}}$라 하자. $H(x)=h(x)$일 필요충분조건은 $f$가 $x$에서 연속인 것이다. 따라서 $f$가 리만적분가능할 필요충분조건은 $H=h\,a.e.$이다. 

$H$와 $h$가 가측이면, $f$가 유계이므로 $H$와 $h$는 적분가능하고 이것은 조건 $\displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{hdm}$과 동치이다. $H$와 $h$가 가측임을 보이자. 

$\{P_{k}\}$, $G$, $g$를 a에서 정의한 것과 같다고 하자. $H,\,h$의 정의에 의해 모든 $\displaystyle x\in\left(\bigcup_{k=1}^{n}{P_{k}}\right)^{c}$에 대하여 $H(x)=G(x)$ $h(x)=g(x)$이다. 따라서 $m$이 완비이고 $G$와 $g$가 가측이므로 $H$와 $h$도 가측이고 또한 $H=G\,a.e.$, $h=g\,a.e.$이다. 

$H=G\,a.e.$이므로 $$\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{Gdm}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{S_{P_{k}}f}=\inf_{P_{k}}{S_{P_{k}}f}\geq\overline{I}_{a}^{b}(f)$$ 이고, $h=g\,a.e.$이므로 $$\int_{[a,\,b]}{hdm}=\int_{[a,\,b]}{gdm}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{s_{P_{k}}f}=\sup_{P_{k}}{s_{P_{k}}f}\leq\underline{I}_{a}^{b}(f)$$ 이다. 또한 $\displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}\leq\int_{[a,\,b]}{G_{P}dm}$이고 $\displaystyle\int_{[a,\,b]}{hdm}\geq\int_{[a,\,b]}{g_{P}dm}$이므로 $\displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}\leq\overline{I}_{a}^{b}(f)$, $\displaystyle\int_{[a,\,b]}{hdm}\geq\underline{I}_{a}^{b}(f)$이고, $$\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\overline{I}_{a}^{b}(f),\,\int_{[a,\,b]}{hdm}=\underline{I}_{a}^{b}(f)$$ 이다. 리만적분이 가능하려면 $\overline{I}_{a}^{b}(f)=\underline{I}_{a}^{b}(f)$이어야 하고, 이는 $\displaystyle\int_{[a,\,b]}{Hdm}=\int_{[a,\,b]}{hdm}$, 즉 $H=h\,a.e.$이므로 증명이 끝났다.       

리만적분 가능하면, 르베그적분 가능하고, 절대수렴하는 리만 이상적분들을 르베그적분으로 나타낼 수 있다. 그러나 다른 것들은 추가적인 조건이 필요한 경우가 있다. 예를들어 $f$가 $[0,\,b]\,(b>0)$에서 리만적분가능하고 $[0,\,\infty)$에서 르베그적분 가능하면, 지배수렴정리에 의해 $\displaystyle\int_{[0,\,\infty)}{fdm}=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{b}{f(x)dx}}$이나 이 식 우변의 극한은 $f$가 적분가능하지 않은 경우에도 존재하는데 대표적인 예가 $\displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}\chi_{(n,\,n+1]}}$, $\displaystyle g=\frac{\sin x}{x}$이다. 르베그적분을 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$로 나타내겠다.  

$f$를 $[a,\,b]$에서 유계가측함수라 하고, 편의상 $f\geq0$이라 하자. $[a,\,b]$에서 $f$의 리만적분을 구하기 위해 $[a,\,b]$의 분할된 부분구간들에서 상수인 두 함수 $G_{p},\,g_{p}$로 근사한 후, 이 두 함수에 대한 적분의 공통값으로 구한다. 반면 $f$의 르베그적분을 구하기 위해서, $f$로 증가하면서 수렴하는 단순함수열(2.10 참고)을 고르는데 $f$의 치역들의 분할 $I_{i}$에 대하여 $f^{-1}[I_{i}]$에서 상수함수가 되게 한다.  

르베그 적분이론은 리만적분과 비교했을 때 두 가지의 장점을 지닌다. 

1. 더 많은 강력한 수렴정리들을 적용시킬 수 있다.(예: 단조수렴정리, 지배수렴정리 등) 

2. 더 많은 함수들이 적분가능하다. 예를들어 $E=[0,\,1]\cap\mathbb{Q}$라 하면, $\chi_{E}$는 리만적분가능하지 않으나 르베그적분 가능하고, $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{\chi_{E}dm}=m(E)=0$이다.  

다음은 가장 흔한 초월함수인 감마함수(gamma function)를 정의하는 과정이다. 

$z\in\mathbb{C}$이고 $\text{Re}z>0$일 때, 복소함수 $f_{z}:\,(0,\,\infty)\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 $f_{z}(t)=t^{z-1}e^{-t}$로 정의한다.($t^{z-1}=e^{(z-1)\log t}$) $|t^{z-1}|=t^{\text{Re}z-1}$이므로 $|f_{z}(t)|\leq t^{\text{Re}z-1}$이고, 또한 $t\geq1$에 대하여 $\displaystyle|f_{z}(t)|\leq C_{z}e^{-\frac{t}{2}}$이다.(상수 $C_{z}$는 $t^{\text{Re}z-1}e^{-t}$를 극대화하여 얻을 수 있다) $a>-1$에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{1}{t^{a}dt}<\infty$이고, $\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{-\frac{t}{2}}dt}<\infty$이므로 $\text{Re}z>0$인 $z$에 대하여 $f_{z}\in L^{1}((0,\,\infty))$이고 $\displaystyle\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}{t^{z-1}e^{-t}dt}$로 정의한다. 부분적분법에 의해 $$\int_{\epsilon}^{N}{t^{z}e^{-t}dt}=\left[-t^{z}e^{-t}\right]_{\epsilon}^{N}+z\int_{\epsilon}^{N}{t^{z-1}e^{-t}dt}$$ 이므로 $\epsilon\,\rightarrow\,0,\,N\,\rightarrow\,\infty$일 때 등식 $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$를 얻는다. $\displaystyle\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}dt}=1$이고, $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\Gamma(n+1)=n!$이다.    

참고자료:  

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사