[측도론] 2-2 음이 아닌 함수의 적분

[측도론] 2-2 음이 아닌 함수의 적분

$(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 측도공간, $L^{+}=\{f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\,|\,f\,\text{is measurable}\}$라고 하겠다.

$\varphi$가 표준표현이 $\displaystyle\varphi=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}$인 $L^{+}$상의 단순함수이면, $\varphi$의 $\mu$에 대한 적분(integral)을 다음과 같이 나타낸다. $$\int_{X}{\varphi d\mu}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mu(E_{i})}$$ 로 나타낸다. $A\in\mathcal{M}$에 대하여 $\displaystyle\varphi\chi_{A}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}\cap A}}$이므로 $\varphi\chi_{A}$도 단순함수이고 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{A}{\varphi d\mu}=\int_{X}{\varphi\chi_{A}d\mu}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mu(E_{i}\cap A)}$$

2.14 $\varphi,\,\psi$를 $L^{+}$상의 단순함수라 하자. 다음의 성질들이 성립한다. 

a. $c\geq0$이면, $\displaystyle\int_{X}{c\varphi d\mu}=c\int_{X}{\varphi d\mu}$ 

b. $\displaystyle\int_{X}{(\varphi+\psi)d\mu}=\int_{X}{\varphi d\mu}+\int_{X}{\psi d\mu}$ 

c. $\varphi\leq\psi$이면, $\displaystyle\int_{X}{\varphi d\mu}\leq\int_{X}{\psi d\mu}$ 

d. 임의의 $A\in\mathcal{M}$에 대하여 $\displaystyle\nu(A)=\int_{A}{\varphi d\mu}$는 $\mathcal{M}$상의 측도이다. 

증명: 

a. 자명하다.  

b. $\varphi,\,\psi$를 다음과 같이 정의하자. $$\varphi=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}},\,\psi=\sum_{j=1}^{m}{b_{j}\chi_{F_{j}}}$$ 그러면 $\displaystyle E_{i}=\bigcup_{j=1}^{m}{(E_{i}\cap F_{j})}$, $\displaystyle F_{j}=\bigcup_{i=1}^{n}{(E_{i}\cap F_{j})}$이고 $\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}=\bigcup_{j=1}^{m}{F_{j}}$이다. $E_{i},\,F_{j}$들은 서로소이므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\int_{X}{\varphi d\mu}+\int_{X}{\psi d\mu}=\sum_{i,\,j}{(a_{i}+b_{j})\mu(E_{i}\cap F_{j})}=\int_{X}{(\varphi+\psi)d\mu}$$ c. $\varphi\leq\psi$이면, $a_{i}\leq b_{j}$이고 이때 $E_{i}\cap F_{j}\neq\phi$이다. 그러므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\int_{X}{\varphi d\mu}=\sum_{i,\,j}{a_{i}\mu(E_{i}\cap F_{j})}\leq\sum_{i,\,j}{b_{j}\mu(E_{i}\cap F_{j})}=\int_{X}{\psi d\mu}$$ d. $\{A_{j}\}\subset\mathcal{M}$가 서로소이고 $\displaystyle A=\bigcup_{j=1}^{\infty}{A_{j}}$이면, $$\nu(A)=\int_{A}{\varphi d\mu}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mu(A\cap E_{i})}=\sum_{i,\,j}{a_{i}\mu(A_{j}\cap E_{i})}=\sum_{j=1}^{\infty}{\int_{A_{j}}{\varphi d\mu}}=\sum_{j=1}^{\infty}{\nu(A_{j})}$$ 이므로 $\nu$는 $\mathcal{M}$상의 측도이다.  

임의의 $f\in L^{+}$에 대하여 적분을 다음과 같이 정의한다. $$\int_{X}{fd\mu}=\sup\left\{\int_{X}{\varphi d\mu}\,|\,0\leq\varphi\leq f,\,\varphi\,\text{is simple}\right\}$$ 2.14의 c에 의해 $f$가 단순함수이면, 위의 정의로도 적분이 정의되고, 또한 다음의 두 성질들이 성립한다. 

(1) $f\leq g$이면, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\leq\int_{X}{gd\mu}$ 

(2) 모든 $c\in[0,\,\infty)$에 대하여 $\displaystyle\int_{X}{cfd\mu}=c\int_{X}{fd\mu}$  

2.15 단조수렴정리(Monotone Convergence Theorem)

$\{f_{n}\}\subset L^{+}$이 모든 $n$에 대하여 $f_{n}\leq f_{n+1}$이고, $\displaystyle f=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}}\left(=\sup_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}}\right)$이면, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$  

증명: $\displaystyle\left\{\int_{X}{f_{n}d\mu}\right\}$는 증가수열이므로 극한이 존재한다. 게다가 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle\int_{X}{f_{n}d\mu}\leq\int_{X}{fd\mu}$이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\leq\int_{X}{fd\mu}$이다. 

$\alpha\in(0,\,1)$이라 하고, $\varphi$를 $0\leq\varphi\leq f$인 단순함수, $E_{n}=\{x\,|\,f_{n}(x)\geq\alpha\varphi(x)\}$라 하자. 그러면 $E_{n}$은 가측집합이고, $E_{n}\subset E_{n+1}$, $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}=X$이다. $\displaystyle\int_{X}{f_{n}d\mu}\geq\int_{E_{n}}{f_{n}d\mu}\geq\alpha\int_{E_{n}}{\varphi d\mu}$이고 2.14의 d와 1.8의 c에 의해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{\varphi d\mu}}=\int_{X}{\varphi d\mu}$이고 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\geq\alpha\int_{X}{\varphi d\mu}$이다. 모든 $\alpha<1$에 대하여 성립하므로 $\alpha=1$일 때도 성립하고 부등식의 양변에 최소상계를 취해주면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\geq\int_{X}{fd\mu}$이다. 따라서 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$이다.    

2.16 $\{f_{n}\}\subset L^{+}$이고 $\displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$이면, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\sum_{n=1}{\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$이다.  

증명: $f_{1},\,f_{2}\in L^{+}$라 하자. 2.10에 의해 $f_{1},\,f_{2}$로 수렴하는 단순함수열 $\{\varphi_{n}\}$, $\{\psi_{n}\}$이 존재한다. 그러면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(\varphi_{n}+\psi_{n})}=f_{1}+f_{2}$이고 2.14의 b와 단조수렴정리에 의해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{X}{(f_{1}+f_{2})d\mu}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{(\varphi_{n}+\psi_{n})d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\varphi_{n}d\mu}}+\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\psi_{n}d\mu}}\\&=\int_{X}{f_{1}d\mu}+\int_{X}{f_{2}d\mu}\end{align*}$$ 수학적귀납법으로부터 유한한 $N$에 대해 $\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{N}{f_{n}}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{N}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$이고 $N\,\rightarrow\,\infty$이라 하고 단조수렴정리를 또 한번 적용하면, $\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$를 얻는다.  

2.17 $f\in L^{+}$이면, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=0$일 필요충분조건은 $f=0\,a.e.$이다. 

증명: $f$가 단순함수일 때는 분명하다. 

$\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\,(a_{i}\geq0)$이면, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=0$일 필요충분조건은 $a_{i}=0$ 또는 $\mu(E_{i})=0$이다. 

($\Leftarrow$): $f=0\,a.e.$이고 $\varphi$가 $0\leq\varphi\leq f$인 단순함수이면, $\varphi=0\,a.e.$이고 따라서 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\leq\sup_{\varphi\leq f}{\int_{X}{\varphi d\mu}}=0$이다.  

($\Rightarrow$): $E_{n}=\{x\,|\,f(x)>0\}$에 대하여 $\displaystyle\{x\,|\,f(x)>0\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$이므로 $f=0\,a.e.$가 성립하지 않는다고 하면, 적당한 $n$에 대하여 $\mu(E_{n})>0$이고, $\displaystyle f>\frac{1}{n}\chi_{E_{n}}$이므로 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\geq\frac{1}{n}\mu(E_{n})>0$이다.  

2.18 $\{f_{n}\}\subset L^{+},\,f\in L^{+}$이고, 거의 모든 $x$에 대하여 $f_{n}(x)$가 $f(x)$로 증가하면서 수렴하면, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$이다.  

증명: $x\in E\,(\mu(E^{c})=0)$에 대하여 $f_{n}(x)$가 $f(x)$로 증가하면서 수렴하면 $f-f\chi_{E}=0\,a.e.$이고 $f_{n}-f_{n}\chi_{E}=0\,a.e.$이므로 단조수렴정리에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{f\chi_{E}d\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}\chi_{E}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$$  

2.19 파투의 보조정리(Fatou's Lemma)

$\{f_{n}\}\subset L^{+}$이면, $\displaystyle\int_{X}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf f_{n}}\right)d\mu}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}$이다.  

증명: $k\geq1$에 대해 $\displaystyle\inf_{n\geq k}{f_{n}}\leq f_{i}\,(i\geq k)$이고 따라서 $i\geq k$에 대해 $\displaystyle\int_{X}{\inf_{n\geq k}{f_{n}}d\mu}\leq\inf_{i\geq k}{\int_{X}{f_{i}d\mu}}$이다. 

이 부등식의 양변에 극한 $k\,\rightarrow\,\infty$을 취하고 단조수렴정리를 적용하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\int_{X}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}}\right)d\mu}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\left(\inf_{n\geq k}{f_{n}}\right)d\mu}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}$$   

2.20 $\{f_{n}\}\subset L^{+}$, $f\in L^{+}$이고 $f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.$이면, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}$이다. 

증명: 파투의 보조정리에서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}}=f\,a.e.$인 경우이다.  

2.21 $f\in L^{+}$이고 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}<\infty$이면, $\{x\,|\,f(x)=\infty\}$는 영집합이고, $\{x\,|\,f(x)>0\}$은 $\sigma-$유한이다.  

증명: $E_{n}=\{x\,|\,f(x)\geq n\}$이라 하자. 그러면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{n})}=\mu(\{x\,|\,f(x)=\infty\})$이고 $\displaystyle\int_{E_{n}}{fd\mu}\geq\int_{E_{n}}{nd\mu}=\n\mu(E_{n})$이다. $\displaystyle\int_{E_{n}}{fd\mu}\leq\int_{X}{fd\mu}<\infty$이므로 $\displaystyle\mu(E_{n})\leq\frac{1}{n}\int_{E_{n}}{fd\mu}\leq\frac{1}{n}\int_{X}{fd\mu}$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\int_{X}{fd\mu}}=0$이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{n})}=\mu(\{x\,|\,f(x)=\infty\})\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\int_{X}{fd\mu}}=0$$ 이고 따라서 $\mu(\{x\,|\,f(x)=\infty\})=0$이다. 

이제 $\{x\,|\,f(x)>0\}$이 $\sigma-$유한임을 보이자. $\displaystyle F_{n}=\left\{x\,|\,f(x)\geq\frac{1}{n}\right\}$이라 하면, $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{F_{n}}=\{x\,|\,f(x)>0\}$이고 $\displaystyle\int_{F_{n}}{fd\mu}\geq\int_{F_{n}}{\frac{1}{n}d\mu}=\frac{1}{n}\mu(F_{n})$이므로 $\displaystyle\mu(F_{n})\leq n\int_{F_{n}}{fd\mu}\leq n\int_{X}{fd\mu}<\infty$이고 따라서 $\{x\,|\,f(x)>0\}$은 $\sigma-$유한이다.    

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley