[측도론] 2-2 음이 아닌 함수의 적분
(X,M,μ)를 측도공간, L+={f:X→[0,∞]|fis measurable}라고 하겠다.
φ가 표준표현이 φ=n∑i=1aiχEi인 L+상의 단순함수이면, φ의 μ에 대한 적분(integral)을 다음과 같이 나타낸다.∫Xφdμ=n∑i=1aiμ(Ei)로 나타낸다. A∈M에 대하여 φχA=n∑i=1aiχEi∩A이므로 φχA도 단순함수이고 다음의 등식이 성립한다.∫Aφdμ=∫XφχAdμ=n∑i=1aiμ(Ei∩A)
2.14 φ,ψ를 L+상의 단순함수라 하자. 다음의 성질들이 성립한다.
a. c≥0이면, ∫Xcφdμ=c∫Xφdμ
b. ∫X(φ+ψ)dμ=∫Xφdμ+∫Xψdμ
c. φ≤ψ이면, ∫Xφdμ≤∫Xψdμ
d. 임의의 A∈M에 대하여 ν(A)=∫Aφdμ는 M상의 측도이다.
증명:
a. 자명하다.
b. φ,ψ를 다음과 같이 정의하자.φ=n∑i=1aiχEi,ψ=m∑j=1bjχFj그러면 Ei=m⋃j=1(Ei∩Fj), Fj=n⋃i=1(Ei∩Fj)이고 X=n⋃i=1Ei=m⋃j=1Fj이다. Ei,Fj들은 서로소이므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.∫Xφdμ+∫Xψdμ=∑i,j(ai+bj)μ(Ei∩Fj)=∫X(φ+ψ)dμc. φ≤ψ이면, ai≤bj이고 이때 Ei∩Fj≠ϕ이다. 그러므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.∫Xφdμ=∑i,jaiμ(Ei∩Fj)≤∑i,jbjμ(Ei∩Fj)=∫Xψdμd. {Aj}⊂M가 서로소이고 A=∞⋃j=1Aj이면,ν(A)=∫Aφdμ=n∑i=1aiμ(A∩Ei)=∑i,jaiμ(Aj∩Ei)=∞∑j=1∫Ajφdμ=∞∑j=1ν(Aj)이므로 ν는 M상의 측도이다.
임의의 f∈L+에 대하여 적분을 다음과 같이 정의한다.∫Xfdμ=sup{∫Xφdμ|0≤φ≤f,φis simple}2.14의 c에 의해 f가 단순함수이면, 위의 정의로도 적분이 정의되고, 또한 다음의 두 성질들이 성립한다.
(1) f≤g이면, ∫Xfdμ≤∫Xgdμ
(2) 모든 c∈[0,∞)에 대하여 ∫Xcfdμ=c∫Xfdμ
2.15 단조수렴정리(Monotone Convergence Theorem)
{fn}⊂L+이 모든 n에 대하여 fn≤fn+1이고, f=limn→∞fn(=supn∈Nfn)이면, ∫Xfdμ=limn→∞∫Xfndμ
증명: {∫Xfndμ}는 증가수열이므로 극한이 존재한다. 게다가 모든 n에 대하여 ∫Xfndμ≤∫Xfdμ이므로 limn→∞∫Xfndμ≤∫Xfdμ이다.
α∈(0,1)이라 하고, φ를 0≤φ≤f인 단순함수, En={x|fn(x)≥αφ(x)}라 하자. 그러면 En은 가측집합이고, En⊂En+1, ∞⋃n=1En=X이다. ∫Xfndμ≥∫Enfndμ≥α∫Enφdμ이고 2.14의 d와 1.8의 c에 의해 limn→∞∫Enφdμ=∫Xφdμ이고 따라서 limn→∞∫Xfndμ≥α∫Xφdμ이다. 모든 α<1에 대하여 성립하므로 α=1일 때도 성립하고 부등식의 양변에 최소상계를 취해주면 limn→∞∫Xfndμ≥∫Xfdμ이다. 따라서 ∫Xfdμ=limn→∞∫Xfndμ이다.
2.16 {fn}⊂L+이고 f=∞∑n=1fn이면, ∫Xfdμ=∑n=1∞∫Xfndμ이다.
증명: f1,f2∈L+라 하자. 2.10에 의해 f1,f2로 수렴하는 단순함수열 {φn}, {ψn}이 존재한다. 그러면 limn→∞(φn+ψn)=f1+f2이고 2.14의 b와 단조수렴정리에 의해 다음이 성립한다.∫X(f1+f2)dμ=limn→∞∫X(φn+ψn)dμ=limn→∞∫Xφndμ+limn→∞∫Xψndμ=∫Xf1dμ+∫Xf2dμ수학적귀납법으로부터 유한한 N에 대해 ∫X(N∑n=1fn)dμ=N∑n=1∫Xfndμ이고 N→∞이라 하고 단조수렴정리를 또 한번 적용하면, ∫X(∞∑n=1fn)dμ=∞∑n=1∫Xfndμ를 얻는다.
2.17 f∈L+이면, ∫Xfdμ=0일 필요충분조건은 f=0a.e.이다.
증명: f가 단순함수일 때는 분명하다.
f=n∑i=1aiχEi(ai≥0)이면, ∫Xfdμ=0일 필요충분조건은 ai=0 또는 μ(Ei)=0이다.
(⇐): f=0a.e.이고 φ가 0≤φ≤f인 단순함수이면, φ=0a.e.이고 따라서 ∫Xfdμ≤supφ≤f∫Xφdμ=0이다.
(⇒): En={x|f(x)>0}에 대하여 {x|f(x)>0}=∞⋃n=1En이므로 f=0a.e.가 성립하지 않는다고 하면, 적당한 n에 대하여 μ(En)>0이고, f>1nχEn이므로 ∫Xfdμ≥1nμ(En)>0이다.
2.18 {fn}⊂L+,f∈L+이고, 거의 모든 x에 대하여 fn(x)가 f(x)로 증가하면서 수렴하면, ∫Xfdμ=limn→∞∫Xfndμ이다.
증명: x∈E(μ(Ec)=0)에 대하여 fn(x)가 f(x)로 증가하면서 수렴하면 f−fχE=0a.e.이고 fn−fnχE=0a.e.이므로 단조수렴정리에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.∫Xfdμ=∫XfχEdμ=limn→∞∫XfnχEdμ=limn→∞∫Xfndμ
2.19 파투의 보조정리(Fatou's Lemma)
{fn}⊂L+이면, ∫X(limn→∞inffn)dμ≤limn→∞inf∫Xfndμ이다.
증명: k≥1에 대해 infn≥kfn≤fi(i≥k)이고 따라서 i≥k에 대해 ∫Xinfn≥kfndμ≤infi≥k∫Xfidμ이다.
이 부등식의 양변에 극한 k→∞을 취하고 단조수렴정리를 적용하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.∫X(limn→∞fn)dμ=limk→∞∫X(infn≥kfn)dμ≤limn→∞inf∫Xfndμ
2.20 {fn}⊂L+, f∈L+이고 fn→fa.e.이면, ∫Xfdμ≤limn→∞inf∫Xfndμ이다.
증명: 파투의 보조정리에서 limn→∞fn=fa.e.인 경우이다.
2.21 f∈L+이고 ∫Xfdμ<∞이면, {x|f(x)=∞}는 영집합이고, {x|f(x)>0}은 σ−유한이다.
증명: En={x|f(x)≥n}이라 하자. 그러면 limn→∞μ(En)=μ({x|f(x)=∞})이고 ∫Enfdμ≥∫Enndμ=\nμ(En)이다. ∫Enfdμ≤∫Xfdμ<∞이므로 μ(En)≤1n∫Enfdμ≤1n∫Xfdμ이고 limn→∞1n∫Xfdμ=0이므로limn→∞μ(En)=μ({x|f(x)=∞})≤limn→∞1n∫Xfdμ=0이고 따라서 μ({x|f(x)=∞})=0이다.
이제 {x|f(x)>0}이 σ−유한임을 보이자. Fn={x|f(x)≥1n}이라 하면, ∞⋃n=1Fn={x|f(x)>0}이고 ∫Fnfdμ≥∫Fn1ndμ=1nμ(Fn)이므로 μ(Fn)≤n∫Fnfdμ≤n∫Xfdμ<∞이고 따라서 {x|f(x)>0}은 σ−유한이다.
참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley
'실변수 함수론 > 측도론' 카테고리의 다른 글
[측도론] 2-4 복소함수의 적분(2) (0) | 2019.12.14 |
---|---|
[측도론] 2-3 복소함수의 적분(1) (0) | 2019.12.13 |
[측도론] 2-1 가측함수 (0) | 2019.12.11 |
[측도론] 1-4 칸토어집합과 칸토어-르베그 함수 (0) | 2019.12.10 |
[측도론] 1-3 실직선 상의 보렐측도 (0) | 2019.12.09 |