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[측도론] 2-2 음이 아닌 함수의 적분



(X,M,μ)를 측도공간, L+={f:X[0,]|fis measurable}라고 하겠다.

φ가 표준표현이 φ=ni=1aiχEiL+상의 단순함수이면, φμ에 대한 적분(integral)을 다음과 같이 나타낸다.Xφdμ=ni=1aiμ(Ei)로 나타낸다. AM에 대하여 φχA=ni=1aiχEiA이므로 φχA도 단순함수이고 다음의 등식이 성립한다.Aφdμ=XφχAdμ=ni=1aiμ(EiA)

2.14 φ,ψL+상의 단순함수라 하자. 다음의 성질들이 성립한다. 

a. c0이면, Xcφdμ=cXφdμ 

b. X(φ+ψ)dμ=Xφdμ+Xψdμ 

c. φψ이면, XφdμXψdμ 

d. 임의의 AM에 대하여 ν(A)=AφdμM상의 측도이다. 

증명: 

a. 자명하다.  

b. φ,ψ를 다음과 같이 정의하자.φ=ni=1aiχEi,ψ=mj=1bjχFj그러면 Ei=mj=1(EiFj), Fj=ni=1(EiFj)이고 X=ni=1Ei=mj=1Fj이다. Ei,Fj들은 서로소이므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.Xφdμ+Xψdμ=i,j(ai+bj)μ(EiFj)=X(φ+ψ)dμc. φψ이면, aibj이고 이때 EiFjϕ이다. 그러므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.Xφdμ=i,jaiμ(EiFj)i,jbjμ(EiFj)=Xψdμd. {Aj}M가 서로소이고 A=j=1Aj이면,ν(A)=Aφdμ=ni=1aiμ(AEi)=i,jaiμ(AjEi)=j=1Ajφdμ=j=1ν(Aj)이므로 νM상의 측도이다.  


임의의 fL+에 대하여 적분을 다음과 같이 정의한다.Xfdμ=sup{Xφdμ|0φf,φis simple}2.14의 c에 의해 f가 단순함수이면, 위의 정의로도 적분이 정의되고, 또한 다음의 두 성질들이 성립한다. 

(1) fg이면, XfdμXgdμ 

(2) 모든 c[0,)에 대하여 Xcfdμ=cXfdμ  


2.15 단조수렴정리(Monotone Convergence Theorem)

{fn}L+이 모든 n에 대하여 fnfn+1이고, f=limnfn(=supnNfn)이면, Xfdμ=limnXfndμ  

증명: {Xfndμ}는 증가수열이므로 극한이 존재한다. 게다가 모든 n에 대하여 XfndμXfdμ이므로 limnXfndμXfdμ이다. 

α(0,1)이라 하고, φ0φf인 단순함수, En={x|fn(x)αφ(x)}라 하자. 그러면 En은 가측집합이고, EnEn+1, n=1En=X이다. XfndμEnfndμαEnφdμ이고 2.14의 d와 1.8의 c에 의해 limnEnφdμ=Xφdμ이고 따라서 limnXfndμαXφdμ이다. 모든 α<1에 대하여 성립하므로 α=1일 때도 성립하고 부등식의 양변에 최소상계를 취해주면 limnXfndμXfdμ이다. 따라서 Xfdμ=limnXfndμ이다.    


2.16 {fn}L+이고 f=n=1fn이면, Xfdμ=n=1Xfndμ이다.  

증명: f1,f2L+라 하자. 2.10에 의해 f1,f2로 수렴하는 단순함수열 {φn}, {ψn}이 존재한다. 그러면 limn(φn+ψn)=f1+f2이고 2.14의 b와 단조수렴정리에 의해 다음이 성립한다.X(f1+f2)dμ=limnX(φn+ψn)dμ=limnXφndμ+limnXψndμ=Xf1dμ+Xf2dμ수학적귀납법으로부터 유한한 N에 대해 X(Nn=1fn)dμ=Nn=1Xfndμ이고 N이라 하고 단조수렴정리를 또 한번 적용하면, X(n=1fn)dμ=n=1Xfndμ를 얻는다.  


2.17 fL+이면, Xfdμ=0일 필요충분조건은 f=0a.e.이다. 

증명: f가 단순함수일 때는 분명하다. 

f=ni=1aiχEi(ai0)이면, Xfdμ=0일 필요충분조건은 ai=0 또는 μ(Ei)=0이다. 

(): f=0a.e.이고 φ0φf인 단순함수이면, φ=0a.e.이고 따라서 XfdμsupφfXφdμ=0이다.  

(): En={x|f(x)>0}에 대하여 {x|f(x)>0}=n=1En이므로 f=0a.e.가 성립하지 않는다고 하면, 적당한 n에 대하여 μ(En)>0이고, f>1nχEn이므로 Xfdμ1nμ(En)>0이다.  


2.18 {fn}L+,fL+이고, 거의 모든 x에 대하여 fn(x)f(x)로 증가하면서 수렴하면, Xfdμ=limnXfndμ이다.  

증명: xE(μ(Ec)=0)에 대하여 fn(x)f(x)로 증가하면서 수렴하면 ffχE=0a.e.이고 fnfnχE=0a.e.이므로 단조수렴정리에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.Xfdμ=XfχEdμ=limnXfnχEdμ=limnXfndμ 

2.19 파투의 보조정리(Fatou's Lemma)

{fn}L+이면, X(limninffn)dμlimninfXfndμ이다.  

증명: k1에 대해 infnkfnfi(ik)이고 따라서 ik에 대해 XinfnkfndμinfikXfidμ이다. 

이 부등식의 양변에 극한 k을 취하고 단조수렴정리를 적용하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.X(limnfn)dμ=limkX(infnkfn)dμlimninfXfndμ  

2.20 {fn}L+, fL+이고 fnfa.e.이면, XfdμlimninfXfndμ이다. 

증명: 파투의 보조정리에서 limnfn=fa.e.인 경우이다.  


2.21 fL+이고 Xfdμ<이면, {x|f(x)=}는 영집합이고, {x|f(x)>0}σ유한이다.  

증명: En={x|f(x)n}이라 하자. 그러면 limnμ(En)=μ({x|f(x)=})이고 EnfdμEnndμ=\nμ(En)이다. EnfdμXfdμ<이므로 μ(En)1nEnfdμ1nXfdμ이고 limn1nXfdμ=0이므로limnμ(En)=μ({x|f(x)=})limn1nXfdμ=0이고 따라서 μ({x|f(x)=})=0이다. 

이제 {x|f(x)>0}σ유한임을 보이자. Fn={x|f(x)1n}이라 하면, n=1Fn={x|f(x)>0}이고 FnfdμFn1ndμ=1nμ(Fn)이므로 μ(Fn)nFnfdμnXfdμ<이고 따라서 {x|f(x)>0}σ유한이다.    


참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley  

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Posted by skywalker222