[측도론] 2-2 음이 아닌 함수의 적분

[측도론] 2-2 음이 아닌 함수의 적분

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 측도공간, \(L^{+}=\{f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\,|\,f\,\text{is measurable}\}\)라고 하겠다.

\(\varphi\)가 표준표현이 \(\displaystyle\varphi=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\)인 \(L^{+}\)상의 단순함수이면, \(\varphi\)의 \(\mu\)에 대한 적분(integral)을 다음과 같이 나타낸다.$$\int_{X}{\varphi d\mu}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mu(E_{i})}$$로 나타낸다. \(A\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\displaystyle\varphi\chi_{A}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}\cap A}}\)이므로 \(\varphi\chi_{A}\)도 단순함수이고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{A}{\varphi d\mu}=\int_{X}{\varphi\chi_{A}d\mu}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mu(E_{i}\cap A)}$$

2.14 \(\varphi,\,\psi\)를 \(L^{+}\)상의 단순함수라 하자. 다음의 성질들이 성립한다. 

a. \(c\geq0\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{c\varphi d\mu}=c\int_{X}{\varphi d\mu}\) 

b. \(\displaystyle\int_{X}{(\varphi+\psi)d\mu}=\int_{X}{\varphi d\mu}+\int_{X}{\psi d\mu}\) 

c. \(\varphi\leq\psi\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{\varphi d\mu}\leq\int_{X}{\psi d\mu}\) 

d. 임의의 \(A\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\displaystyle\nu(A)=\int_{A}{\varphi d\mu}\)는 \(\mathcal{M}\)상의 측도이다. 

증명: 

a. 자명하다.  

b. \(\varphi,\,\psi\)를 다음과 같이 정의하자.$$\varphi=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}},\,\psi=\sum_{j=1}^{m}{b_{j}\chi_{F_{j}}}$$그러면 \(\displaystyle E_{i}=\bigcup_{j=1}^{m}{(E_{i}\cap F_{j})}\), \(\displaystyle F_{j}=\bigcup_{i=1}^{n}{(E_{i}\cap F_{j})}\)이고 \(\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}=\bigcup_{j=1}^{m}{F_{j}}\)이다. \(E_{i},\,F_{j}\)들은 서로소이므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\int_{X}{\varphi d\mu}+\int_{X}{\psi d\mu}=\sum_{i,\,j}{(a_{i}+b_{j})\mu(E_{i}\cap F_{j})}=\int_{X}{(\varphi+\psi)d\mu}$$c. \(\varphi\leq\psi\)이면, \(a_{i}\leq b_{j}\)이고 이때 \(E_{i}\cap F_{j}\neq\phi\)이다. 그러므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\int_{X}{\varphi d\mu}=\sum_{i,\,j}{a_{i}\mu(E_{i}\cap F_{j})}\leq\sum_{i,\,j}{b_{j}\mu(E_{i}\cap F_{j})}=\int_{X}{\psi d\mu}$$d. \(\{A_{j}\}\subset\mathcal{M}\)가 서로소이고 \(\displaystyle A=\bigcup_{j=1}^{\infty}{A_{j}}\)이면,$$\nu(A)=\int_{A}{\varphi d\mu}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mu(A\cap E_{i})}=\sum_{i,\,j}{a_{i}\mu(A_{j}\cap E_{i})}=\sum_{j=1}^{\infty}{\int_{A_{j}}{\varphi d\mu}}=\sum_{j=1}^{\infty}{\nu(A_{j})}$$이므로 \(\nu\)는 \(\mathcal{M}\)상의 측도이다.  

임의의 \(f\in L^{+}\)에 대하여 적분을 다음과 같이 정의한다.$$\int_{X}{fd\mu}=\sup\left\{\int_{X}{\varphi d\mu}\,|\,0\leq\varphi\leq f,\,\varphi\,\text{is simple}\right\}$$2.14의 c에 의해 \(f\)가 단순함수이면, 위의 정의로도 적분이 정의되고, 또한 다음의 두 성질들이 성립한다. 

(1) \(f\leq g\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\leq\int_{X}{gd\mu}\) 

(2) 모든 \(c\in[0,\,\infty)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{X}{cfd\mu}=c\int_{X}{fd\mu}\)  

2.15 단조수렴정리(Monotone Convergence Theorem)

\(\{f_{n}\}\subset L^{+}\)이 모든 \(n\)에 대하여 \(f_{n}\leq f_{n+1}\)이고, \(\displaystyle f=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}}\left(=\sup_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}}\right)\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)  

증명: \(\displaystyle\left\{\int_{X}{f_{n}d\mu}\right\}\)는 증가수열이므로 극한이 존재한다. 게다가 모든 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{X}{f_{n}d\mu}\leq\int_{X}{fd\mu}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\leq\int_{X}{fd\mu}\)이다. 

\(\alpha\in(0,\,1)\)이라 하고, \(\varphi\)를 \(0\leq\varphi\leq f\)인 단순함수, \(E_{n}=\{x\,|\,f_{n}(x)\geq\alpha\varphi(x)\}\)라 하자. 그러면 \(E_{n}\)은 가측집합이고, \(E_{n}\subset E_{n+1}\), \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}=X\)이다. \(\displaystyle\int_{X}{f_{n}d\mu}\geq\int_{E_{n}}{f_{n}d\mu}\geq\alpha\int_{E_{n}}{\varphi d\mu}\)이고 2.14의 d와 1.8의 c에 의해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{\varphi d\mu}}=\int_{X}{\varphi d\mu}\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\geq\alpha\int_{X}{\varphi d\mu}\)이다. 모든 \(\alpha<1\)에 대하여 성립하므로 \(\alpha=1\)일 때도 성립하고 부등식의 양변에 최소상계를 취해주면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\geq\int_{X}{fd\mu}\)이다. 따라서 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)이다.    

2.16 \(\{f_{n}\}\subset L^{+}\)이고 \(\displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\sum_{n=1}{\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)이다.  

증명: \(f_{1},\,f_{2}\in L^{+}\)라 하자. 2.10에 의해 \(f_{1},\,f_{2}\)로 수렴하는 단순함수열 \(\{\varphi_{n}\}\), \(\{\psi_{n}\}\)이 존재한다. 그러면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(\varphi_{n}+\psi_{n})}=f_{1}+f_{2}\)이고 2.14의 b와 단조수렴정리에 의해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{X}{(f_{1}+f_{2})d\mu}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{(\varphi_{n}+\psi_{n})d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\varphi_{n}d\mu}}+\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\psi_{n}d\mu}}\\&=\int_{X}{f_{1}d\mu}+\int_{X}{f_{2}d\mu}\end{align*}$$수학적귀납법으로부터 유한한 \(N\)에 대해 \(\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{N}{f_{n}}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{N}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)이고 \(N\,\rightarrow\,\infty\)이라 하고 단조수렴정리를 또 한번 적용하면, \(\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)를 얻는다.  

2.17 \(f\in L^{+}\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=0\)일 필요충분조건은 \(f=0\,a.e.\)이다. 

증명: \(f\)가 단순함수일 때는 분명하다. 

\(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\,(a_{i}\geq0)\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=0\)일 필요충분조건은 \(a_{i}=0\) 또는 \(\mu(E_{i})=0\)이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(f=0\,a.e.\)이고 \(\varphi\)가 \(0\leq\varphi\leq f\)인 단순함수이면, \(\varphi=0\,a.e.\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\leq\sup_{\varphi\leq f}{\int_{X}{\varphi d\mu}}=0\)이다.  

(\(\Rightarrow\)): \(E_{n}=\{x\,|\,f(x)>0\}\)에 대하여 \(\displaystyle\{x\,|\,f(x)>0\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)이므로 \(f=0\,a.e.\)가 성립하지 않는다고 하면, 적당한 \(n\)에 대하여 \(\mu(E_{n})>0\)이고, \(\displaystyle f>\frac{1}{n}\chi_{E_{n}}\)이므로 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\geq\frac{1}{n}\mu(E_{n})>0\)이다.  

2.18 \(\{f_{n}\}\subset L^{+},\,f\in L^{+}\)이고, 거의 모든 \(x\)에 대하여 \(f_{n}(x)\)가 \(f(x)\)로 증가하면서 수렴하면, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)이다.  

증명: \(x\in E\,(\mu(E^{c})=0)\)에 대하여 \(f_{n}(x)\)가 \(f(x)\)로 증가하면서 수렴하면 \(f-f\chi_{E}=0\,a.e.\)이고 \(f_{n}-f_{n}\chi_{E}=0\,a.e.\)이므로 단조수렴정리에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{f\chi_{E}d\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}\chi_{E}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$$ 

2.19 파투의 보조정리(Fatou's Lemma)

\(\{f_{n}\}\subset L^{+}\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf f_{n}}\right)d\mu}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)이다.  

증명: \(k\geq1\)에 대해 \(\displaystyle\inf_{n\geq k}{f_{n}}\leq f_{i}\,(i\geq k)\)이고 따라서 \(i\geq k\)에 대해 \(\displaystyle\int_{X}{\inf_{n\geq k}{f_{n}}d\mu}\leq\inf_{i\geq k}{\int_{X}{f_{i}d\mu}}\)이다. 

이 부등식의 양변에 극한 \(k\,\rightarrow\,\infty\)을 취하고 단조수렴정리를 적용하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\int_{X}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}}\right)d\mu}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{\left(\inf_{n\geq k}{f_{n}}\right)d\mu}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}$$  

2.20 \(\{f_{n}\}\subset L^{+}\), \(f\in L^{+}\)이고 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.\)이면, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)이다. 

증명: 파투의 보조정리에서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}}=f\,a.e.\)인 경우이다.  

2.21 \(f\in L^{+}\)이고 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}<\infty\)이면, \(\{x\,|\,f(x)=\infty\}\)는 영집합이고, \(\{x\,|\,f(x)>0\}\)은 \(\sigma-\)유한이다.  

증명: \(E_{n}=\{x\,|\,f(x)\geq n\}\)이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{n})}=\mu(\{x\,|\,f(x)=\infty\})\)이고 \(\displaystyle\int_{E_{n}}{fd\mu}\geq\int_{E_{n}}{nd\mu}=\n\mu(E_{n})\)이다. \(\displaystyle\int_{E_{n}}{fd\mu}\leq\int_{X}{fd\mu}<\infty\)이므로 \(\displaystyle\mu(E_{n})\leq\frac{1}{n}\int_{E_{n}}{fd\mu}\leq\frac{1}{n}\int_{X}{fd\mu}\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\int_{X}{fd\mu}}=0\)이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{n})}=\mu(\{x\,|\,f(x)=\infty\})\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\int_{X}{fd\mu}}=0$$이고 따라서 \(\mu(\{x\,|\,f(x)=\infty\})=0\)이다. 

이제 \(\{x\,|\,f(x)>0\}\)이 \(\sigma-\)유한임을 보이자. \(\displaystyle F_{n}=\left\{x\,|\,f(x)\geq\frac{1}{n}\right\}\)이라 하면, \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{F_{n}}=\{x\,|\,f(x)>0\}\)이고 \(\displaystyle\int_{F_{n}}{fd\mu}\geq\int_{F_{n}}{\frac{1}{n}d\mu}=\frac{1}{n}\mu(F_{n})\)이므로 \(\displaystyle\mu(F_{n})\leq n\int_{F_{n}}{fd\mu}\leq n\int_{X}{fd\mu}<\infty\)이고 따라서 \(\{x\,|\,f(x)>0\}\)은 \(\sigma-\)유한이다.    

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley