[측도론] 1-3 실직선 상의 보렐측도

[측도론] 1-3 실직선 상의 보렐측도

정의역을 실수 상의 보렐 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)로 갖는 측도를 실수(\(\mathbb{R}\)) 상의 보렐측도(Borel measure)라고 한다. 

\(\mu\)를 \(\mathbb{R}\)상의 보렐측도, \(F(x)=\mu((-\infty,\,x])\)라 하자. 그러면 1.8의 a에 의해 \(F\)는 증가함수이고, \(x_{n}\)이 \(x\)로 감소하는 감소수열이면, \(\displaystyle(-\infty,\,x]=\bigcap_{n=1}^{\infty}{(-\infty,\,x_{n}]}\)이므로 1.8의 d에 의해 \(F\)는 우연속이다. 게다가 \(b>a\)이면, \((-\infty,\,b]=(-\infty,\,a]\cap(-\infty,\,b]\)이므로 \(\mu((a,\,b])=F(b)-F(a)\)이다.

\(F(x)=\mu((-\infty,\,x])\)로 정의된 함수 \(F\)를 \(\mu\)의 분포함수(distribution function)라고 한다. 

\((a,\,b]\), \((a,\,\infty)\), \(\phi(-\infty\leq a<b\leq\infty)\)형태의 집합들을 h-구간(h-interval)이라고 하겠다.

명백히 두 h-구간들의 서로소인 합집합들의 집합족 \(\mathcal{A}\)는 대수이고, 1.2에 의해 \(\mathcal{A}\)에 의해 생성되는 \(\sigma-\)대수는 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)이다.        

1.14 \(F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 증가하는 우연속함수라 하자. \((a_{i},\,b_{i}](i=1,\,...,\,n)\)가 서로소인 h-구간일 때,$$\mu_{0}\left(\bigcup_{i=1}^{n}{(a_{i},\,b_{i}]}\right)=\sum_{i=1}^{n}{\{F(b_{i})-F(a_{i})\}},$$\(\mu_{0}(\phi)=0\)이라 하자. 그러면 \(\mu_{0}\)는 대수 \(\mathcal{A}\)상의 예비측도이다.    

증명: 우선 \(\mu_{0}\)가 잘 정의됨을 보인다. \(\mathcal{A}\)의 원소들이 서로소인 h-구간들의 합집합이 된다는 사실 이외에도 다른 방법으로 보일 수 있기 때문이다. 

\(\{(a_{i},\,b_{i}]\}_{i=1}^{n}\)들이 서로소이고 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{(a_{i},\,b_{i}]}=(a,\,b]\)이면, 지표 \(i\)를 \(a=a_{1}<b_{1}=a_{2}<b_{2}=\cdots<b_{n}=b\)로 재조정해서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\{F(b_{i})-F(a_{i})\}}=F(b)-F(a)\)가 되게 한다.

일반적으로 \(\{I_{i}\}_{i=1}^{n}\)과 \(\{J_{j}\}_{j=1}^{m}\)이 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{I_{i}}=\bigcup_{j=1}^{m}{J_{j}}\)인 서로소인 h-구간들의 열이면,$$\sum_{i=1}^{n}{\mu_{0}(I_{i})}=\sum_{i,\,j}{\mu_{0}(I_{i}\cap J_{j})}=\sum_{j=1}^{m}{\mu_{0}(J_{j})}$$이고 따라서 \(\mu_{0}\)는 잘 정의된다.

\(\mu_{0}\)가 \(\mathcal{A}\)에서 예비측도가 됨을 보이자. 즉 \(\{I_{i}\}\)가 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{I_{i}}\in\mathcal{A}\)인 서로소인 h-구간들의 열이면, \(\displaystyle\mu_{0}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{I_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(I_{i})}\)가 됨을 보인다.  

\(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{I_{i}}\)는 h-구간들의 유한합집합이므로 \(\{I_{i}\}\)는 유한개의 부분열들로 나누어 질 수 있고, 이 부분열들의 합집합은 단일 h-구간이다. 이러한 부분열들과 예비측도의 성질에 의해 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{I_{i}}\)를 h-구간 \(I=(a,\,b]\)로 볼 수 있고 부등식$$\mu_{0}(I)=\mu_{0}\left(\bigcup_{i=1}^{n}{I_{i}}\right)+\mu_{0}\left(\bigcup_{i=n+1}^{\infty}{I_{i}}\right)\geq\mu_{0}\left(\bigcup_{i=1}^{n}{I_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{n}{\mu_{0}(I_{i})}$$을 얻는데 \(n\,\rightarrow\,\infty\)이면 \(\displaystyle\mu_{0}(I)\geq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(I_{i})}\)이다. 이제 \(\displaystyle\mu_{0}(I)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(I_{i})}\)를 보이면 된다.

\(a,\,b\)를 유한하다고 하고 \(\epsilon>0\)이라 하자. \(F\)가 우연속이므로 \(\delta>0\)가 존재해서 \(F(a+\delta)-F(a)<\epsilon\)이고, \(I_{i}=(a_{i},\,b_{i}]\)이면, 각 \(i\)에 대해 \(\delta_{i}>0\)가 존재해서 \(\displaystyle F(b_{i}+\delta_{i})-F(b_{i})<\epsilon2^{-i}\)이다. 

열린구간 \((a_{i},\,b_{i}+\delta_{i})\)들은 컴팩트집합 \([a+\delta,\,b]\)를 덮으므로 적당한 유한부분덮개가 존재해서 \((a_{i},\,b_{i}+\delta_{i})\)중 큰 구간에 포함되는 구간을 버리고 지표 \(i\)를 재조정하여 다음과 같이 가정할 수 있고, 

i 구간 \((a_{1},\,b_{i}+\delta_{1}),\,...,\,(a_{N},\,b_{N}+\delta_{N})\)들은 \([a+\delta,\,b]\)를 덮는다. 

ii \(i=1,\,...,\,N-1\)에 대하여 \(b_{i}+\delta_{i}\in(a_{i+1},\,b_{i+1}+\delta_{i+1})\) 

다음의 부등식을 얻는다.$$\begin{align*}\mu_{0}(I)&<F(b)-F(a+\delta)+\epsilon\\&\leq F(b_{N}+\delta_{N})-F(a_{1})+\epsilon\,(\because\,\text{F is increasing})\\&=F(b_{N}+\delta_{N})-F(a_{N})+\sum_{i=1}^{N-1}{\{F(a_{i+1})-F(a_{i})\}}+\epsilon\,\left(\because\,F(a_{N})-F(a_{1})=\sum_{i=1}^{N-1}{\{F(a_{i+1})-F(a_{i})\}}\right)\\&\leq F(b_{N}+\delta_{N})-F(a_{N})+\sum_{i=1}^{N-1}{\{F(b_{i}+\delta_{i})-F(a_{i})\}}+\epsilon\,(\because\,a_{i+1}\leq b_{i}+\delta_{i})\\&<\sum_{i=1}^{N}{\{F(b_{i})+\epsilon2^{-i}-F(a_{i})\}}+\epsilon\,(\because\,F(b_{i}+\delta_{i})-F(b_{i})<\epsilon2^{-i})\\&<\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(I_{i})}+2\epsilon\end{align*}$$\(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(a,\,b\)가 유한한 경우에 대해서는 증명되었다.

\(a=-\infty\)일 때, 임의의 \(M<\infty\)에 대하여 구간 \((a_{i},\,b_{i}+\delta_{i})\)는 \([-M,\,b]\)를 덮고, 같은 이유로 \(\displaystyle F(b)-F(-M)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(I_{i})}+2\epsilon\)이고, \(b=\infty\)일 때, 임의의 \(M<\infty\)에 대하여 앞의 경우와 비슷하게 \(\displaystyle F(M)-F(a)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(I_{i})}+2\epsilon\)이다.   

이때 \(\epsilon\,\rightarrow\,0\), \(M\,\rightarrow\,\infty\)일 때 원하는 결과를 얻는다.  

              

1.15

a. \(F:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\,\mathbb{R}\)가 임의의 우연속 증가함수이면, 유일한 실수 상의 보렐측도 \(\mu_{F}\)가 존재해서 모든 \(a,\,b\)에 대하여 \(\mu_{F}((a,\,b])=F(b)-F(a)\)이다.  

b. \(G\)가 또다른 a를 만족하는 함수이면, \(\mu_{F}=\mu_{G}\)일 필요충분조건은 \(F-G\)가 상수함수가 되는 것이다. 

c. (a, b에 대해) 역으로 \(\mu\)가 유계인 보렐집합에서 유한한 \(\mathbb{R}\)상의 보렐측도이고$$F(x)=\begin{cases}\mu((0,\,x])&\,(x>0)\\0&\,(x=0)\\-\mu((x,\,0])&\,(x<0)\end{cases}$$라 하면, \(F\)는 우연속 증가함수이고 \(\mu=\mu_{F}\)이다.     

증명: 

a, b. 1.14에 의해 \(F\)는 \(\mathcal{A}\)상의 예비측도를 유도하고, \(F\)와 \(G\)가 같은 예비측도를 유도할 필요충분조건이 \(F-G\)가 상수라는 사실로부터 명백하며 이러한 예비측도들은 \(\sigma-\)유한이다.\(\displaystyle\because\,\mathbb{R}=\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}{(i,\,i+1]}\)  

c. \(\mu\)의 단조성에 의해 \(F\)는 단조함수이고, 1.8의 c, d에 의해 \(x\geq0\)과 \(x<0\)에 대해 \(F\)는 우연속이다. \(\mathcal{A}\)에서 \(\mu=\mu_{F}\)임은 명백하고 따라서 1.13의 c에 의해 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)에서 \(\mu=\mu_{F}\)이다.

*

1. 이 이론은 \([a,\,b)\)형태의 구간과 좌연속함수 \(F\)를 이용하여 전개할 수 있다. 

2. \(\mu\)가 \(\mathbb{R}\)에서의 유한 보렐측도이면, \(\mu=\mu_{F}\)이고 \(F(x)=\mu((-\infty,\,x])\)는 \(\mu\)의 누적분포함수(cumulative distribution function)이고, 이 정리의 c에서의 \(F\)와 다른 함수이다. (\(\because\,F(0)\neq0\))

3. \(\overline{\mu}_{F}\)는 정의역 \(\mathcal{M}_{\mu}\)가 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)을 포함하는 \(\mu_{F}\)의 완비측도이다. 이 완비측도를 \(\mu_{F}\)로 나타내고 \(F\)에 대한 르베그-스틸체스 측도(Lebesgue-Stieltjes measure)라고 한다.  

르베그-스틸체스 측도는 정칙성을 증명하는데 유용하다. 여기서부터 우연속 증가함수 \(F\)에 대한 \(\mathbb{R}\)상에서의 완비 르베그-스틸체스 측도를 \(\mu\)로 나타내고, \(\mu\)의 정의역을 \(\mathcal{M}_{\mu}\)로 나타낸다. 따라서 임의의 \(E\in\mathcal{M}_{\mu}\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mu(E)&=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\{F(b_{i})-F(a_{i})\}}\,|\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i}]}\right\}\\&=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu((a_{i},\,b_{i}])}\,|\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i}]}\right\}\end{align*}$$다음의 정리는 위의 \(\mu(E)\)에서 h-구간 대신 열린구간으로 나타낼 수 있음을 보여준다.  

 

1.16 임의의 \(E\in\mathcal{M}_{\mu}\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\mu(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu((a_{i},\,b_{i}))\,|\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i})}}\right\}$$  

증명: \(\nu\)를 다음과 같이 정의하자.$$\nu(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu((a_{i},\,b_{i}))}\,|\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i})}\right\}$$\(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i})}\)라 하고 여기서 \((a_{i},\,b_{i})\)들은 h-구간 \(I_{i}^{k}=(c_{i}^{k},\,c_{i}^{k+1}]\)들의 가산합집합이고, \(\{c_{i}^{k}\}\)는 \(c_{i}^{1}=a_{i}\), \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{c_{i}^{k}}=b_{i}\)인 증가수열이다. 따라서 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i,\,k=1}^{\infty}{I_{i}^{k}}\)이므로$$\sum_{i=1}^{\infty}{\mu((a_{i},\,b_{i}))}=\sum_{i,\,k=1}^{\infty}{\mu(I_{i}^{k})}\geq\mu(E)$$이고 따라서 \(\nu(E)\geq\mu(E)\)이다. 

\(\epsilon>0\)에 대하여 \(\{(a_{i},\,b_{i}]\}\)에 대하여 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i}]}\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\mu((a_{i},\,b_{i}])}\leq\mu(E)+\epsilon\)이고, 각 \(i\)에 대하여 \(\delta_{i}\)가 존재해서 \(F(b_{i}+\delta_{i})-F(b_{i})<\epsilon2^{-i}\)이다. 그러면 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i}+\delta_{i})}\)이고$$\sum_{i=1}^{\infty}{\mu((a_{i},\,b_{i}+\delta_{i}))}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu((a_{i},\,b_{i}])}+\epsilon\leq\mu(E)+2\epsilon$$이므로 \(\nu(E)\leq\mu(E)\)이다. 

따라서 \(\mu(E)=\nu(E)\)이다. 

1.17 \(E\in\mathcal{M}_{\mu}\)이면 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mu(E)&=\inf\{\mu(U)\,|\,E\subset U,\,U\,\text{is open}\}\\&=\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset E,\,K\,\text{is compact}\}\end{align*}$$ 

증명: 1.16에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\{(a_{i},\,b_{i})\}\)가 존재해서 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i})}\)이고 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\mu((a_{i},\,b_{i}))}\leq\mu(E)+\epsilon\)이다. \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{(a_{i},\,b_{i})}\)라 하면, \(U\)는 열린집합이고 \(E\subset U\), \(\mu(U)\leq\mu(E)+\epsilon\)이다. \(E\subset U\)이므로 \(\mu(E)\leq\mu(U)\)이고 따라서 다음과 같이 첫 번째 등식이 성립한다.$$\mu(E)=\inf\{\mu(U)\,|\,E\subset U,\,U\,\text{is open}\}$$\(E\)를 유계집합이라 하자. \(E\)가 닫힌집합이면 컴팩트집합이므로 다음과 같이 두 번째 등식이 성립한다.$$\mu(E)=\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset E,\,K\,\text{is compact}\}$$\(E\)가 닫힌집합이 아니면 \(\epsilon>0\)에 대하여 열린집합 \(U\)가 존재해서 \(\overline{E}-E\subset U\)이고 \(\mu(U)\leq\mu(\overline{E}-E)+\epsilon\)이다. 여기서 \(K=\overline{E}-U\)라고 하면 \(K\)는 컴팩트집합이고 다음의 부등식이 성립한다.$$\begin{align*}\mu(K)&=\mu(E)-\mu(E\cap U)=\mu(E)-\{\mu(U)-\mu(U-E)\}\\&\geq\mu(E)-\mu(U)+\mu(\overline{E}-E)\\&\geq\mu(E)-\epsilon\end{align*}$$\(E\)가 유계집합이 아니면 \(E_{i}=E\cap(i,\,i+1]\)이라 하자. 앞의 결과에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 컴팩트집합 \(K_{i}\)가 존재해서 \(K_{i}\subset E_{i}\)이고 \(\displaystyle\mu(K_{i})\geq\mu(E_{i})-\frac{2^{-|i|}}{3}\epsilon\)이다. \(\displaystyle H_{n}=\bigcup_{i=-n}^{n}{K_{i}}\)라 하자. 그러면 \(H_{n}\)은 컴팩트집합이고 \(H_{n}\subset E\), \(\displaystyle\mu(H_{n})\geq\mu\left(\bigcup_{i=-n}^{n}{E_{i}}\right)-\epsilon\), \(\displaystyle\mu(E)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu\left(\bigcup_{i=-n}^{n}{E_{i}}\right)}\)이므로 원하는 결과를 얻는다. 

  

1.18 \(E\subset\mathbb{R}\)이면 다음 명제들은 서로 동치이다.

a. \(E\in\mathcal{M}_{\mu}\) 

b. \(E=V-N_{1}\)(\(V\)는 \(G_{\delta}\)집합이고 \(\mu(N_{1})=0\))

c. \(E=H\cup N_{2}\)(\(H\)는 \(F_{\sigma}\)집합이고 \(\mu(N_{2})=0\)) 

증명:

\(\mu\)는 \(\mathcal{M}_{\mu}\)에서 완비이므로 분명히 b, c이면 a이다.

\(E\in\mathcal{M}_{\mu}\), \(\mu(E)<\infty\)라 하자. 1.17에 의해 각 \(i\)에 대하여 열린집합 \(U_{i}\)와 컴팩트집합 \(K_{i}\)가 존재해서 다음의 부등식이 성립한다.$$\mu(U_{i})-2^{i}\leq\mu(E)\leq\mu(K_{i})+2^{i}$$\(\displaystyle V=\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\), \(H=\bigcup_{i=1}^{\infty}{K_{i}}\)라 하자. 그러면 \(H\subset E\subset V\)이고 \(\mu(H)=\mu(E)=\mu(V)<\infty\)이므로 따라서 \(\mu(V-E)=\mu(E-H)=0\)이다.

\(E\in\mathcal{M}_{\mu}\), \(\mu(E)=\infty\)라 하고 \(\mu\)는 \(\sigma-\)유한이므로 \(\{A_{i}\}\)를 \(\mu(A_{i})<\infty\), \(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}=\mathbb{R}\)이라 하자. 1.17에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 열린집합 \(U_{\epsilon,\,i}\)가 존재해서 \(E\cap A_{i}\subset U_{\epsilon,\,i}\)이고 \(\mu(U_{\epsilon,\,i})-\mu(E\cap A_{i})<\epsilon2^{-i}\)이다. \(\displaystyle U_{\epsilon}=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{\epsilon,\,i}}\)라 하자. 그러면$$\mu(U_{\epsilon}-E)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{(U_{\epsilon,\,i}-E)\cap A_{i}}\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{\epsilon,\,i}-(E\cap A_{i}))}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\epsilon2^{-i}}=\epsilon$$이고 \(\displaystyle\epsilon=\frac{1}{n}\)일 때 \(\displaystyle V=\bigcap_{n=1}^{\infty}{U_{\frac{1}{n}}}\)이라 하면 \(V\)는 \(G_{\delta}\)집합이고 \(\mu(V-E)=0\)이다. 

\(E\in\mathcal{M}_{\mu}\)이므로 \(E^{c}\in\mathcal{M}_{\mu}\)이고 \(E^{c}=V-N_{1}\)(\(V\)는 \(G_{\delta}\)집합, \(\mu(N_{1})=0\))이므로 \(E=V^{c}\cup N_{1}\)이고 이때 \(V^{c}\)는 \(F_{\sigma}\)집합이므로 \(H=V^{c}\), \(N_{2}=N_{1}\)이라 하면 \(E=H\cup N_{2}\)이다.      

1.19 \(E\in\mathcal{M}_{\mu}\)이고 \(\mu(E)<\infty\)이면, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 열린구간들의 유한합집합 \(A\)가 존재해서 \(\mu(E\Delta A)<\epsilon\)이다.(\(E\Delta A)=(E-A)\cup(A-E)\))   

증명: \(E\in\mathcal{M}_{\mu}\), \(\mu(E)<\infty\)라 하자. 1.16에 의해 열린집합 \(U\in\mathcal{M}_{\mu}\)가 존재해서 \(E\subset U\)이고 \(\displaystyle\mu(U)\leq\mu(E)+\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(\{I_{i}\}\)를 서로소인 열린구간들의 열이라 하고 \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{I_{i}}\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(I_{i})}=\mu(U)<\infty\)이므로 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\displaystyle\sum_{i=N+1}^{\infty}{\mu(I_{i})}<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^{N}{I_{i}}\)라 하면 다음의 부등식으로부터 원하는 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\mu(E\Delta A)&=\mu(E-A)+\mu(A-E)\\&\leq\mu(U-A)+\mu(U-E)\,(\because\,A\subset U,\,E\subset U)\\&=\mu\left(\bigcup_{i=N+1}^{\infty}{I_{i}}\right)+(\mu(U)+\mu(E))\,(\because\,\mu(E)<\infty)\\&\leq\sum_{i=N+1}^{\infty}{\mu(I_{i})}+\frac{\epsilon}{2}\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$\(\mathbb{R}\)상의 르베그 측도(Lebesgue measure)는 \(F(x)=x\)인 완비측도 \(\mu_{F}\)이다. 르베그 측도를 \(m\)으로 나타내고 \(m\)의 정의역을 르베그 가측집합(Lebesgue measurable sets)들의 집합족(또는 \(\sigma-\)대수)이라 하고 \(\mathfrak{L}\)로 나타낸다. 또한 \(m\)을 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)로 제한한 것도 르베그 측도라고 하겠다. 

\(E\subset\mathbb{R}\), \(s,\,r\in\mathbb{R}\)일 때, \(E+s=\{x+s\,|\,x\in E\}\), \(rE=\{rx\,|\,x\in E\}\)로 정의한다.  

1.20 \(E\in\mathfrak{L}\)이면, \(E+s,\,rE\in\mathfrak{L}\,(s,\,r\in\mathbb{R})\)이고, \(m(E+s)=m(E)\), \(m(rE)=|r|m(E)\)이다.  

증명: 열린집합은 평행이동을 하거나 확대를 해도 열린집합이므로 이 사실들은 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)에서도 참이다. 

\(E\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)에 대하여 \(m_{s}(E)=m(E+s)\), \(m^{r}(E)=m(rE)\)라 하자. 그러면 열린구간의 유한합집합에 대해 \(m_{s}=m\), \(m^{r}=|r|m\)이고, 1.13에 의해 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)에서도 참이다. 특히 \(E\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\), \(m(E)=0\)이면, \(m(E+s)=0\), \(m(rE)=0\)이다. 이 사실들은 르베그 측도가 0인 집합도 평행이동을 하거나 확대를 해도 똑같이 르베그 측도가 0임을 뜻한다. 이 사실로부터 \(\mathfrak{L}\)(보렐집합과 르베그 영집합의 합집합들의 집합족)의 원소를 평행이동하거나 확대를 해도 \(\mathfrak{L}\)의 원소가 되고 따라서 모든 \(E\in\mathfrak{L}\)에 대하여 \(m(E+s)=m(E)\), \(m(rE)=|r|m(E)\)이다. 

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사