[측도론] 0-2 기초(확장실수계와 거리공간)

[측도론] 0-2 기초(확장실수계와 거리공간)

확장실수계(extended real number system)

실수 \(\mathbb{R}\)에 대하여 \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\,\infty\}\)를 확장실수계라고 한다. 이때 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(-\infty<x<\infty\)이고, \(\mathbb{R}\)의 완비성으로부터 \(\overline{R}\)의 모든 부분집합 \(A\)가 최소상계(supremum)와 최대하계(infimum)를 갖는다.

집합 \(A\subset\overline{\mathbb{R}}\)의 최소상계 \(M=\sup A\)와 최대하계 \(m=\inf A\)의 정의는 다음과 같다.

(1) \(M\)은 \(A\)의 상계이다. 

(2) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(x\in A\)가 존재해서 \(M-\epsilon<x\leq M\)

위의 (1), (2)를 만족하는 \(M\)이 \(A\)의 최소상계이고 \(M=\sup A\)이다.  

(1') \(m\)은 \(A\)의 하계이다. 

(2') 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(x\in A\)가 존재해서 \(m\leq x<m+\epsilon\)

위의 (1'), (2')를 만족하는 \(m\)이 \(A\)의 최대하계이고 \(m=\inf A\)이다.   

완비성으로부터 \(\overline{\mathbb{R}}\)상의 모든 수열 \(\{x_{n}\}\)은 상극한(limit superior)과 하극한(limit inferior)을 갖고, 다음과 같이 정의된다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup x_{n}}=\inf_{k\geq 1}{\left(\sup_{n\geq k}{x_{n}}\right)},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf x_{n}}=\sup_{k\geq1}{\left(\inf_{n\geq k}{x_{n}}\right)}$$수열 \(\{x_{n}\}\)이 실수로 수렴할 필요충분조건은 이 수열의 상극한과 하극한이 같고 유한한 것이다.

위의 방법으로 함수 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}\)의 상극한과 하극한을 다음과 같이 정의할 수 있다.$$\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\sup f(x)}=\inf_{\delta>0}{\left(\sup_{0<|x-a|<\delta}{f(x)}\right)},\,\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\inf f(x)}=\sup_{\delta>0}{\left(\inf_{0<|x-a|<\delta}{f(x)}\right)}$$\(\mathbb{R}\)에서의 산술적 연산을 다음과 같이 부분적으로 \(\overline{\mathbb{R}}\)로 확장할 수 있다.$$x\pm\infty=\pm\infty(x\in\mathbb{R}),\,\infty+\infty=\infty,\,-\infty-\infty=-\infty,\\x(\pm\infty)=\pm\infty(x>0),\,0(\pm\infty)=0,\,x(\pm\infty)=\mp\infty(x<0)$$\(\overline{\mathbb{R}}\)상의 구간을 다음과 같이 정의한다: \(-\infty\leq a<b\leq\infty\)일 때$$(a,\,b)=\{x\,|\,a<x<b\},\,[a,\,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\},\,(a,\,b]=\{x\,|\,a<x\leq b\},\,[a,\,b)=\{x\,|\,a\leq x<b\}$$임의의 집합 \(X\)와 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{x\in X}{f(x)}\)를 다음과 같이 정의한다.$$\sum_{x\in X}{f(x)}=\sup\left\{\sup_{x\in F}{f(x)}\,|\,F\subset X,\,F\,\text{finite}\right\}$$함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)에 대하여 \(A=\{x\,|\,f(x)>0\}\)라 하자. \(A\)가 비가산집합이면 \(\displaystyle\sum_{x\in X}{f(x)}=\infty\)이고, \(A\)가 가산집합이면 \(\displaystyle\sum_{x\in X}{f(x)}=\sum_{n=1}^{\infty}{f(g(n))}\)이고 여기서 \(g:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,A\)는 임의의 전단사이다.

증명: \(\displaystyle A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\)이고 여기서 \(\displaystyle A_{n}=\left\{x\,|\,f(x)>\frac{1}{n}\right\}\)이다. \(A\)가 비가산집합이면 적당한 \(A_{n}\)은 비가산집합이어야 하고, \(A_{n}\)의 유한부분집합 \(F\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{x\in X}{f(x)}>\frac{\text{card}(F)}{n}\)이므로 \(\displaystyle\sum_{x\in X}{f(x)}=\infty\)이다.

\(A\)가 가산집합이면 \(g:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,A\)는 전단사, \(B_{N}=g[\{1,\,2,\,...,\,N\}]\)이라 하자. 그러면 \(A\)의 유한부분집합 \(F\)는 적당한 \(B_{N}\)에 포함되고$$\sum_{x\in F}{f(x)}\leq\sum_{n=1}^{N}{f(g(n))}\leq\sum_{x\in X}{f(x)}$$이다. \(N\)에 대해 최소상계를 취하면$$\sum_{x\in F}{f(x)}\leq\sum_{n=1}^{\infty}{f(g(n))}\leq\sum_{x\in X}{f(x)}$$이고, 여기서 집합 \(F\)에 대해 최소상계를 취하면 \(\displaystyle\sum_{x\in X}{f(x)}=\sum_{n=1}^{\infty}{f(g(n))}\)이다. 

\(f\leq g\)를 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x)\leq g(x)\)로, \(\max(f,\,g)\)를 모든 \(x\)에 대하여 \(\max\{f(x),\,g(x)\}\)로 정의한다. 

\(X\subset\overline{\mathbb{R}}\)이고 \(f:\,X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}\)이라 하자. \(x\leq y\)일 때 \(f(x)\leq f(y)\)이면, \(f\)를 증가(increasing), \(f(x)<f(y)\)이면, 순증가(strictly increasing)라고 한다. 같은 방법으로 \(x\leq y\)일 때 \(f(x)\geq f(y)\)이면, \(f\)를 감소(decreasing), \(f(x)>f(y)\)이면, 순감소(strictly decreasing)라고 한다. 증가하거나 감소하는 함수를 단조(monotone)함수라고 한다. 

\(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 증가함수이면, \(f\)의 각 점에서 좌극한(left-hand limit)과 우극한(right-hand limit)을 갖고$$f(a+)=\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=\inf_{x>a}{f(x)},\,f(a-)=\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}=\sup_{x<a}{f(x)}$$이고 또한 \(\displaystyle f(\infty)=\sup_{a\in\mathbb{R}}{f(x)}\), \(\displaystyle f(-\infty)=\inf_{a\in\mathbb{R}}{f(x)}\)이다.

모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f(a)=f(a+)\)이면, \(f\)를 우연속(right continuous), \(f(a)=f(a-)\)이면, \(f\)를 좌연속(left continuous)이라고 한다.   

실수 또는 복소수 \(x\)에 대하여 \(|x|\)를 \(x\)의 절댓값(absolute value, modulus)이라 하고, \(|a+ib|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)이다. \(\mathbb{R}^{n}\) 또는 \(\mathbb{C}^{n}\)위의 점 \(x=(x_{1},\,...,\,x_{n})\)에 대하여 \(|x|\)는 \(\displaystyle|x|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|^{2}}}\)인 유클리드 노름이다.       

모든 \(x\in U\subset\mathbb{R}\)에 대하여 \(U\)가 \(x\)를 중심으로 하는 한 구간을 포함하면, \(U\)를 열린집합(open set)이라고 한다.

\(\mathbb{R}\)상의 모든 열린집합은 서로소인 열린구간들의 가산합집합이다.

증명: \(U\)를 열린집합이라 하고 \(x\in U\)에 대하여 \(\mathcal{J}_{x}=\{I\,|\,x\in I\subset U,\,I\,\text{open interval}\}\)라고 하자. 그러면 \(\displaystyle J_{x}=\bigcup_{I\in\mathcal{J}_{x}}{I}\)는 열린구간이고 \(\mathcal{J}_{x}\)의 극대원소이다. \(x,\,y\in U\)이면, \(J_{x}=J_{y}\)이거나 \(J_{x}\cap J_{y}=\phi\)이고, 그렇지 않으면 \(J_{x}\cup J_{y}\)는 \(\mathcal{J}_{x}\)에서의 \(J_{x}\)보다 큰 열린구간이다. 따라서 \(\mathcal{J}=\{J_{x}\,|\,x\in U\}\)라 하면 \(\mathcal{J}\)의 서로 다른 원소들은 서로소이고, \(\displaystyle U=\bigcup_{J\in\mathcal{J}}{J}\)이다. \(J\in\mathcal{J}\)에 대하여 유리수 \(f(J)\in J\)를 선택하자. 함수 \(f:\,\mathcal{J}\,\rightarrow\,\mathbb{Q}\)는 단사함수이고 \(J,\,J'\in\mathcal{J}\)에 대하여 \(J\neq J'\)이면, \(J\cap J'=\phi\)이므로 \(\mathcal{J}\)는 가산집합이다. 

거리공간(metric space)

집합 \(X\)상의 거리(metric)는 다음 조건들을 만족하는 함수 \(\rho:\,X\times X\,\rightarrow\,[0,\,\infty)\)이다.

i) \(\rho(x,\,y)=0\)일 필요충분조건은 \(x=y\)

ii) 모든 \(x,\,y\)에 대하여 \(\rho(x,\,y)=\rho(y,\,x)\) 

iii) 모든 \(x,\,y\,\,z\in X\)에 대하여 \(\rho(x,\,z)\leq\rho(x,\,y)+\rho(y,\,z)\)(삼각부등식, triangle inequality)

거리를 갖춘 집합을 거리공간이라고 한다. 다음은 모두 거리공간이다.

i 유클리드 거리 \(\rho(x,\,y)=|x-y|\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 거리이다. 

ii 다음과 같이 정의된 거리 \(\rho_{1},\,\rho_{2}\)는 \(C([a,\,b])=\{f:\,[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,|\,f\,\text{is continuous}\}\)에서의 거리이다.$$\begin{align*}\rho_{1}(f,\,g)&=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx}\\ \rho_{2}(f,\,g)&=\sup_{x\in[a,\,b]}{|f(x)-g(x)|}\end{align*}$$ 

iii \(\rho\)가 \(X\)상의 거리이고 \(A\subset X\)이면, \(\rho|_{A\times A}\)는 \(A\)에서의 거리이다.  

iv \((X_{1},\,\rho_{1})\), \((X_{2},\,\rho_{2})\)를 거리공간이라 하자. \(X_{1}\times X_{2}\)상의 곱거리(product metric) \(\rho_{a},\,\rho_{b},\,\rho_{c}\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}\rho_{a}((x_{1},\,x_{2}),\,(y_{1},\,y_{2}))&=\max\{\rho_{1}(x_{1},\,y_{1}),\,\rho_{2}(x_{2},\,y_{2})\}\\ \rho_{b}((x_{1},\,x_{2}),\,(y_{1},\,y_{2}))&=\rho_{1}(x_{1},\,y_{1})+\rho_{2}(x_{2},\,y_{2})\\ \rho_{3}((x_{1},\,x_{2}),\,(y_{1},\,y_{2}))&=\sqrt{\{\rho_{1}(x_{1},\,y_{1})\}^{2}+\{\rho_{2}(x_{2},\,y_{2})\}^{2}}\end{align*}$$  

\((X,\,\rho)\) 거리공간이라 하자. \(x\in X,\,r>0\)에 대하여 반지름이 \(r\)이고 중심이 \(x\)인 (열린)공((open) ball) \(B(r,\,x)\)를 다음과 같이 정의한다.$$B(r,\,x)=\{y\in X\,|\,\rho(x,\,y)<r\}$$집합 \(E\subset X\)가 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(r>0\)이 존재해서 \(B(r,\,x)\subset E\)이면, \(E\)를 열린집합(open set)이라 하고, 여집합이 열린집합인 집합을 닫힌집합(closed set)이라고 한다. 예를들어 \(y\in B(r,\,x)\), \(\rho(x,\,y)=s\)에 대하여 \(B(r-s,\,y)\subset B(r,\,x)\)이므로 모든 공 \(B(r,\,x)\)들은 열린집합이다. 또한 \(X\)(전체집합), \(\rho\)는 열린집합이면서 닫힌집합이고, 열린집합의 임의의 합집합과 유한교집합은 열린집합이다(닫힌집합의 임의의 교집합과 유한합집합은 닫힌집합이다).

\(E\subset X\)일 때 \(E\)에 포함되는 모든 열린집합들의 합집합은 \(E\)에 포함되는 가장 큰 열린집합이고, 이 집합을 \(E\)의 내부(interior)라고 하고 \(E^{\circ}\)로 나타낸다. 같은 방법으로 \(E\)를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합은 \(E\)를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이고, 이 집합을 \(E\)의 폐포(closure)라 하고 \(\overline{E}\)로 나타낸다. \(\overline{E}=X\)이면, \(E\)는 \(X\)에서 조밀(dense)하다고 하고, \((\overline{E})^{\circ}=\phi\)이면, \(E\)는 \(X\)에서 희박(nowhere dense)하다고 한다. \(X\)가 가산개의 조밀부분집합을 가지면, 가분(separable)이라 하고, \(X\)상의 수열 \(\{x_{n}\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\rho(x_{n},\,x)}=0\)이면, 수열 \(\{x_{n}\}\)은 \(x\)로 수렴(converges)한다고 하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x\) 또는 \(x_{n}\,\rightarrow\,x\)로 나타낸다. 

\(X\)를 거리공간, \(E\subset X\), \(x\in X\)라 하자. 다음의 명제들은 서로 동치이다. 

a. \(x\in\overline{E}\) 

b. 모든 \(r>0\)에 대하여 \(B(r,\,x)\cap E\neq\phi\) 

c. \(E\)에서 \(x\)로 수렴하는 수열 \(\{x_{n}\}\)이 존재한다.  

증명: 

a\(\Rightarrow\)b: \(B(r,\,x)\cap E=\phi\)이면, \(B(r,\,x)^{c}\)는 \(E\)를 포함하는 닫힌집합이지만 \(x\)를 포함하지 않으므로 \(x\notin\overline{E}\)이다. 

b\(\Rightarrow\)a: \(x\notin\overline{E}\)이면, \((\overline{E})^{c}\)는 열린집합이므로 \(r>0\)이 존재해서 \(B(r,\,x)\subset(\overline{E})^{c}\subset E^{c}\)이고 따라서 \(B(r,\,x)\cap E\phi\)이다. 

b\(\Rightarrow\)c: 모든 \(r>0\)에 대하여 \(B(r,\,x)\cap E\neq\phi\)라 하자. 그러면 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle x_{n}\in B\left(\frac{1}{n},\,x\right)\cap E\)가 존재해서 \(x_{n}\,\rightarrow\,x\)이다.  

c\(\Rightarrow\)b: \(B(r,\,x)\cap E=\phi\), 모든 \(y\in E\)에 대하여 \(\rho(y,\,x)\geq r\)이고 따라서 \(E\)상의 어떠한 수열도 \(x\)로 수렴하지 않는다. 

\((X_{1},\,\rho_{1}),\,(X_{2},\,\rho_{2})\)를 거리공간이라 하자. 함수 \(f:\,X_{1}\,\rightarrow\,X_{2}\)가 \(x\in X_{1}\)에서 연속(continuous)이라는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(\rho_{1}(x,\,y)<\delta\)이면 \(\rho_{2}(f(x),\,f(y))<\epsilon\)인 것이다. 다시말하면 \(B(\delta,\,x)\subset f^{-1}[B(\epsilon,\,f(x))]\)이다.

함수 \(f\)가 모든 \(x\in X_{1}\)에서 연속이면, \(f\)를 연속(continous)이라 하고, 임의의 \(\epsilon>0\)과 \(x,\,y\in X_{1}\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(\rho_{1}(x,\,y)<\delta\)이면, \(\rho_{2}(f(x),\,f(y))<\epsilon\)일 때, \(f\)를 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다. 

\(f:\,X_{1}\,\rightarrow\,X_{2}\)가 연속일 필요충분조건은 \(X_{2}\)상의 모든 열린집합 \(U\)에 대하여 \(f^{-1}[U]\)가 \(X_{1}\)에서 열린집합인 것이다.

증명: 

(\(\Leftarrow\)): \(X_{2}\)상의 모든 열린집합 \(U\)에 대하여 \(f^{-1}[U]\)가 \(X_{1}\)에서 열린집합이라 하자. 그러면 모든 \(x\in X_{1}\)과 \(\epsilon>0\)에 대해 \(f^{-1}[B(\epsilon,\,f(x))]\)는 열린집합이고 \(x\)를 포함하므로 \(x\)에 대한 적당한 공을 포함한다. 즉 \(f\)는 \(x\in X_{1}\)에서 연속이다. 

(\(\Rightarrow\)): \(f\)를 연속함수, \(U\)를 \(X_{2}\)에서 열린집합이라 하자. \(y\in U\)에 대하여 \(\epsilon_{y}>0\)가 존재해서 \(B(\epsilon_{y},\,y)\subset U\)이고, \(x\in f^{-1}[\{y\}]\)에 대하여 \(\delta_{x}>0\)가 존재해서 \(B(\delta_{x},\,x)\subset f^{-1}[B(\epsilon_{y},\,y)]\subset f^{-1}[U]\)이므로 따라서 \(\displaystyle f^{-1}[U]=\bigcup_{x\in f^{-1}[U]}{B(\delta_{x},\,x)}\)는 열린집합이다.

거리공간 \((X,\,\rho)\)상의 수열 \(\{x_{n}\}\)이 \(n,\,m\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\rho(x_{n},\,x_{m})\,\rightarrow\,0\)이면, 코시수열(cauchy sequence)이라고 한다. \(E\subset X\)에 대하여 \(E\)상의 모든 코시수열이 \(E\)상의 점으로 수렴하면, \(E\)를 완비(complete)라고 한다. 예를들어 \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}^{n}\)(유클리드 공간)은 완비이나 \(\mathbb{Q}\)는 아니다(무리수로 수렴하는 유리수열이 존재하기 때문).                 

완비거리공간의 닫힌부분집합은 완비이고, 임의의 거리공간의 완비부분집합은 닫힌집합이다.

증명: \(X\)가 완비이고 \(E\subset X\)가 닫힌집합, \(\{x_{n}\}\)이 \(E\)에서 코시수열이면, \(\{x_{n}\}\)은 \(X\)에서 극한을 갖고 \(x\in E=\overline{E}\)이다. 

\(E\subset X\)가 완비이고 \(x\in\overline{E}\)이면, \(E\)상의 수열 \(\{x_{n}\}\)이 존재해서 \(x\)로 수렴하고 \(\{x_{n}\}\)은 코시수열이다. 그러므로 극한을 갖고 \(E=\overline{E}\)이다. 

거리공간 \((X,\,\rho)\)에서 한 점과 한 집합간의 거리, 두 집합간의 거리를 다음과 같이 정의할 수 있다.$$\begin{align*}\rho(x,\,E)&=\inf\{\rho(x,\,y)\,|\,y\in E\}\\ \rho(E,\,F)&=\inf\{\rho(x,\,y)\,|\,x\in E,\,y\in F\}=\inf\{\rho(x,\,F)\,|\,x\in E\}\end{align*}$$여기서 \(\rho(x,\,E)=0\)일 필요충분조건은 \(x\in\overline{E}\)이다. 집합 \(E\)의 지름(diameter)를 다음과 같이 정의한다.$$\text{diam}E=\sup\{\rho(x,\,y)\,|\,x,\,y\in E\}$$\(\text{diam}E<\infty\)이면, \(E\)를 유계(bounded)라고 한다.

\(E\subset X\)이고 \(\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{\alpha\in A}{V_{\alpha}}\)인 \(\{V_{\alpha}\}\)들의 집합족이면, \(\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 \(E\)의 덮개(cover)라 하고 \(E\)는 \(V_{\alpha}\)들에 의해 덮힌다(covered)라고 한다.

임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(E\)가 반지름이 \(\epsilon\)인 유한개의 공들로 덮히면, \(E\)를 전유계(totally bounded)라고 한다. 전유계 집합은 유계가 되는데 그 이유는 \(\displaystyle x,\,y\in\bigcup_{i=1}^{n}{B(\epsilon,\,z_{i})}\,(x\in B(\epsilon,\,z_{1}),\,y\in B(\epsilon,\,z_{2}))\)이면,$$\rho(x,\,y)\leq\rho(x,\,z_{1})+\rho(z_{1},\,z_{2})+\rho(z_{2},\,y)\leq2\epsilon+\max\{\rho(z_{i},\,z_{j})\,|\,1\leq i,\,j\leq n\}$$이기 때문이다(역은 성립하지 않는다). \(E\)가 전유계집합이면, \(\overline{E}\)도 전유계집합이다. 그 이유는 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{n}{B(\epsilon,\,z_{i})}\)이면, \(\overline{E}\subset\bigcup_{i=1}^{n}{B(2\epsilon,\,z_{i})}\)이기 때문이다. 

\(E\)를 거리공간 \((X,\,\rho)\)의 부분집합이라 하자. 그러면 다음 명제들은 서로 동치이다. 

a. \(E\)는 완비이고 전유계이다. 

b. (볼차노-바이어슈트라스 성질, Bolzano-Weierstrass property) 

: \(E\)상의 수열들은 \(E\)상의 점으로 수렴하는 부분수열을 갖는다. 

c. (하이네-보렐 성질, Heine-Borel property)   

: \(\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 \(E\)의 열린덮개이면, 유한집합 \(F\subset A\)가 존재해서 \(\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in F}\)는 \(E\)를 덮는다.  

증명:

a\(\Rightarrow\)b: \(E\)를 완비이고 전유계집합, \(\{x_{n}\}\)을 \(E\)상의 수열이라 하자. \(E\)는 반지름이 \(\displaystyle 2^{-1}\left(=\frac{1}{2}\right)\)인 유한개의 공들로 덮힐 수 있고, 이 공들 중 적어도 하나는 무한히 많은 \(n\)에 대하여 \(x_{n}\)을 포함해야 한다.

\(n_{1}\in N_{1}\subset\mathbb{N}\)에 대하여 \(x_{n}\in B_{1}\)이라 하자. \(E\cap B_{1}\)은 반지름이 \(2^{-2}\)인 유한개의 공들로 덮힐 수 있고, 이 공들 중 적어도 하나는 \(n\in N_{1}\)에 대하여 \(x_{n}\)을 포함해야 한다. \(n\in N_{2}\subset\mathbb{N}\)에 대하여 \(x_{n}\in B_{2}\)라 하자. 이 과정을 반복하면, 반지름이 \(2^{-i}\)인 공 \(B_{i}\)와 \(n\in N_{i}\)에 대하여 \(x_{n}\in B_{i}\)인 \(\mathbb{N}\)상의 감소열 \(\{N_{i}\}(N_{i+1}\subset N_{i})\)를 얻는다. \(n_{1}\in N_{1}\), \(n_{2}\in N_{2},....\) 들을 선택해서 \(n_{1}<n_{2}<\cdots\)라 하면, \(\{x_{n_{i}}\}\)는 코시수열이고, \(k>i\)일 때 \(\rho(x_{n_{j}},\,x_{n_{k}})<2^{1-j}\), \(E\)가 완비이므로 \(E\)에서 극한을 갖는다.  

b\(\Rightarrow\)a: \(E\)가 완비가 아니면, \(E\)상의 한 코시수열 \(\{x_{n}\}\)이 존재해서 \(E\)에서 극한값을 갖지 않는다. \(\{x_{n}\}\)의 어떠한 부분수열도 \(E\)상의 점으로 수렴하지 않는다. 그렇지 않다면 모든 수열들은 하나의 점으로 수렴한다. \(E\)가 전유계가 아니면 \(E\)는 반지름이 \(\epsilon(>0)\)인 유한개의 공들로 덮힐 수 없다.

\(x_{1}\in E\)을 선택하고 \(x_{1},\,...,\,x_{n}\)에 대하여 \(\displaystyle x_{n+1}\in E-\bigcup_{i=1}^{n}{B(\epsilon,\,x_{i})}\)을 선택하자. 그러면 모든 \(n,\,m\)에 대하여 \(\rho(x_{n},\,x_{m})>\epsilon\)이고 따라서 \(\{x_{n}\}\)은 수렴하는 부분수열을 갖지 않는다.    

a,b\(\Rightarrow\)c: 볼차노-바이어슈트라스 성질이 성립하고 \(\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 \(E\)의 열린덮개라고 하자. \(\epsilon>0\)이 존재해서 \(E\)와 겹치는 반지름이 \(\epsilon\)인 공들은 적당한 \(V_{\alpha}\)에 포함된다. 

\(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 반지름이 \(2^{-n}\)인 공 \(B_{n}\)이 존재해서 \(B_{n}\cap E\neq\phi\)이고, \(B_{n}\)은 \(V_{\alpha}\)에 포함되지 않는다. \(x_{n}\in B_{n}\cap E\)을 선택해서 \(\{x_{n}\}\)이 \(x\in E\)로 수렴한다고 하자. 적당한 \(\alpha\)에 대하여 \(x\in V_{\alpha}\)이고 \(V_{\alpha}\)가 열린집합이므로, \(\epsilon>0\)이 존재해서 \(B(\epsilon,\,x)\subset V_{\alpha}\)이다. 그러나 \(n\)이 충분히 커서 \(\displaystyle\rho(x_{n},\,x)<\frac{\epsilon}{3}\)이고 \(\displaystyle 2^{-n}<\frac{\epsilon}{3}\)이면, \(B_{n}\subset B(\epsilon,\,x)\subset V_{\alpha}\)가 되고 \(B_{n}\)이 \(V_{\alpha}\)에 포함되지 않는다는 사실에 모순이다. 

c\(\Rightarrow\)b: \(\{x_{n}\}\)을 수렴하는 부분수열을 갖지않는 \(E\)상의 수열이라 하자. \(x\in E\)에 대하여 중심이 \(x\)인 열린공 \(B_{x}\)가 존재해서 유한한 \(n\)에 대하여 \(x_{n}\)을 포함한다.(그렇지 않으면 어떤 부분수열이 \(x\)로 수렴한다) 그러면 \(\{B_{x}\}_{x\in E}\)는 유한개의 부분덮개를 갖지 않는 \(E\)의 열린덮개이다.   

 

위의 정리의 성질 a, b, c를 모두 만족하는 집합 \(E\)를 컴팩트(compact)라고 한다. 모든 컴팩트집합은 유계닫힌집합이지만 그 역은 성립하지 않는다. 그러나 \(\mathbb{R}^{n}\)에서는 성립한다.  

\(\mathbb{R}^{n}\)상의 모든 닫힌 유계부분집합들은 컴팩트이다. 

증명: \(\mathbb{R}^{n}\)의 닫힌 부분집합들은 완비이므로 \(\mathbb{R}^{n}\)의 유계부분집합들이 전유계임을 보이면 된다. 모든 유계집합은 적당한 입방체 \(Q=[-R,\,R]^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,\max\{|x_{1}|,\,...,\,|x_{n}|\leq R\}\}\)에 포함되므로 이 입방체 \(Q\)가 전유계임을 보이면 된다. \(\epsilon>0\)에 대하여 \(k\in\mathbb{Z}\)를 선택해 \(\displaystyle k>\frac{R\sqrt{n}}{\epsilon}\)이라 하고 \(Q\)를 \([-R,\,R]\)을 \(k\)등분 해서 얻어지는 \(k^{n}\)개의 입방체들의 합집합으로 나타내자. 등분으로 얻어진 입방체의 모서리의 길이는 \(\displaystyle\frac{2R}{k}\)이고 지름이 \(\displaystyle\sqrt{n}\left(\frac{2R}{k}\right)<2\epsilon\)이므로 이 입방체들은 반지름이 \(\epsilon\)인 공에 포함된다.

두 거리함수 \(\rho_{1},\,\rho_{2}\)가 동치(equivalent)라는 것은 적당한 \(C,\,C'>0\)에 대하여 다음이 성립하는 것이다.$$C\rho_{1}\leq\rho_{2}\leq C'\rho_{1}$$ 

참고자료:  

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications 2nd edition, Folland, Wiley