[측도론] 1-1 이상적인 측도의 비존재성과 시그마대수

[측도론] 1-1 이상적인 측도의 비존재성과 시그마대수

이상적으로, \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(n\)차원 측도 \(\mu:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)가 다음 조건들을 만족하게 하려고 한다.

i. \(E_{1},\,E_{2},\,...\)이 서로소이면, \(\displaystyle\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(E_{n})}\) 

ii. \(E\)와 \(F\)가 합동(\(E\)가 평행이동 또는 회전, 반사로 \(F\)가 됨)이면, \(\mu(E)=\mu(F)\) 

iii. 단위 입방체 \(Q=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,0\leq x_{i}<1,\,i=1,\,2,\,...,\,n\}\)에 대하여 \(\mu(Q)=1\) 

불행히도 위의 i, ii, iii를 모두 만족시키는 \(\mu\)는 존재하지 않는다.

\(n=1\)일 때, \([0,\,1)\)에서의 관계 \(\sim\)를 \(x\sim y\,\Leftrightarrow\,x-y\in\mathbb{Q}\)라고 하자. 그러면 \(\sim\)은 동치관계이고 \(N\subset[0,\,1)\)이 \(\sim\)에 의한 동치류 하나를 포함한다고 하자. 

\(R=\mathbb{Q}\cap[0,\,1)\), \(r\in\mathbb{R}\)에 대하여$$N_{r}=\{x+r\,|\,x\in N\cap[0,\,1-r)\}\cup\{x+r-1\,|\,x\in N\cap[1-r,\,1)\}$$이라고 하면 \(N_{r}\subset[0,\,1)\)이고, 모든 \(x\in[0,\,1)\)은 하나의 \(N_{r}\)에 속한다. 

\(y\in N\)가 \(x\)의 동치류에 속하면 \(x\in N_{r}\)이고, \(x\geq y\)이면, \(r=x-y\), \(x<y\)이면 \(r=x-y+1\)이다. 

\(x\in N_{r}\cap N_{s}\)이면, \(x-r\)(또는 \(x-r+1\))과 \(x-s\)(또는 \(x-s+1\))는 같은 동치류에 속하는 \(N\)의 서로다른 원소의 개수가 되는데 이는 불가능하다. 

\(\mu:\,2^{\mathbb{R}}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)이 앞의 i, ii, iii을 만족한다고 하자. 그러면 i, ii에 의해 모든 \(r\in R\)에 대하여$$\mu(N)=\mu(N\cap[0,\,1-r))+\mu(N\cap[1-r,\,1))=\mu(N_{r})$$이고 \(R\)이 가산집합, \([0,\,1)\)은 \(N_{r}\)들의 서로소인 합집합이므로 \(\displaystyle\mu([0,\,1))=\sum_{r\in R}{\mu(N_{r})}\)이다. 그런데 \(\mu([0,\,1))=1\)(\(\because\) iii)이고 \(\mu(N_{r})=\mu(N)\)이므로 \(\displaystyle\sum_{r\in R}{\mu(N_{r})}\)은 \(\mu(N)=0\)일 때 \(0\)이고, \(\mu(N)>\infty\)일 때 \(\infty\)가 되므로 i, ii, iii를 모두 만족하는 \(\mu\)는 존재하지 않는다.

시그마대수

집합 \(X(\neq\phi)\)에서의 대수(algebra) \(\mathcal{A}\)를 다음과 같이 정의한다.  

(1) \(E_{1},\,...,\,E_{n}\in\mathcal{A}\)이면, \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\in\mathcal{A}\) 

(2) \(E\in\mathcal{A}\)이면, \(E^{c}\in\mathcal{A}\) 

대수 \(\mathcal{A}\)가 가산합집합(countable union)에 대해 닫혀있으면, \(\mathcal{A}\)를 \(\sigma-\)대수(\(\sigma-\)algebra)라고 한다.

\(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}=\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}^{c}}\right)^{c}\)이므로 \(\sigma-\)대수는 (가산)교집합에 대해 닫혀있고, \(X\), \(\phi\)는 (\(\sigma-\))대수의 원소이다. 

\(\{E_{i}\}\subset\mathcal{A}\)라 하고 \(\displaystyle F_{k}=E_{k}-\left(\bigcup_{i=1}^{k-1}{E_{i}}\right)\)라 하자. 그러면 \(F_{k}\in\mathcal{A}\)이고 \(F_{k}\)들은 서로소이며 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{F_{k}}=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)이다. 

이것은 대수 \(\mathcal{A}\)가 서로소인 가산합집합에 대해 닫혀있으면, \(\sigma-\)대수가 됨을 보여준다. 

예: 임의의 집합 \(X\)에 대하여 \(2^{X}\), \(\{\phi,\,X\}\)는 \(\sigma-\)대수이고, \(X\)가 비가산집합일 때, 다음과 같이 정의된 \(\mathcal{A}\)는 \(\sigma-\)대수이다.$$\mathcal{A}=\{E\subset X\,|\,E\,\text{is countable or}\,E^{c}\,\text{is countable}\}$$임의의 \(X\)상의 \(\sigma-\)대수들의 교집합이 \(\sigma-\)대수가 되는 것은 분명하다. 이 사실로부터 \(\mathcal{E}\)가 \(2^{X}\)의 임의의 부분집합일 때, \(\mathcal{E}\)를 포함하는 가장 작은 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{M}(\mathcal{E})\)가 유일하게 존재한다. \(\mathcal{M}(\mathcal{E})\)는 \(\mathcal{E}\)를 포함하는 \(\sigma-\)대수의 교집합이고, 이것을 \(\mathcal{E}\)에 의해 생성된(generated) \(\sigma-\)대수라고 한다. 

1.1 \(\mathcal{E}\subset\mathcal{M}(\mathcal{F})\)이면, \(\mathcal{M}(\mathcal{E})\subset\mathcal{M}(\mathcal{F})\)이다. 

증명: \(\mathcal{M}(\mathcal{F})\)는 \(\mathcal{E}\)를 포함하는 \(\sigma-\)대수이므로 \(\mathcal{M}\)을 포함한다. 

\(X\)가 거리공간, 또는 일반적인 위상공간일 때, \(X\)의 열린집합족들에 의해 생성되는 \(\sigma-\)대수를 \(X\)에서의 보렐 \(\sigma-\)대수(Borel \(\sigma-\)algebra)라고 하고 \(\mathcal{B}_{X}\)로 나타낸다. 이때 \(\mathcal{B}_{X}\)의 원소들을 보렐집합(Borel set)이라고 한다. \(\sigma-\)대수의 정의에 의해 열린집합, 닫힌집합, 열린집합들의 가산교집합, 닫힌집합들의 가산합집합은 보렐집합이다. 

열린집합들의 가산교집합을 \(G_{\delta}\)집합, 닫힌집합들의 가산합집합을 \(F_{\sigma}\)집합, \(G_{\delta}\)집합들의 가산합집합을 \(G_{\delta\sigma}\)집합, \(F_{\sigma}\)집합들의 가산교집합을 \(F_{\sigma\delta}\)집합이라고 한다. 

1.2 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)은 다음 집합족들에 의해 생성된다.  

a. 열린구간: \(\mathcal{E}_{1}=\{(a,\,b)\,|\,a<b\}\) 

b. 닫힌구간: \(\mathcal{E}_{2}=\{[a,\,b]\,|\,a<b\}\) 

c. 반열린구간: \(\mathcal{E}_{3}=\{(a,\,b]\,|\,a<b\}\) 또는 \(\mathcal{E}_{4}=\{[a,\,b)\,|\,a<b\}\)

d. 열린직선: \(\mathcal{E}_{5}=\{(a,\,\infty)\,|\,a\in\mathbb{R}\}\) 또는 \(\mathcal{E}_{6}=\{(-\infty,\,a)\,|\,a\in\mathbb{R}\}\) 

e. 닫힌직선: \(\mathcal{E}_{7}=\{[a,\,\infty)\,|\,a\in\mathbb{R}\}\) 또는 \(\mathcal{E}_{8}=\{(-\infty,\,a]\,|\,a\in\mathbb{R}\}\) 

증명: \(\mathcal{E}_{i}(i\neq3,\,4)\)들은 열린집합 또는 닫힌집합이고, \(\mathcal{E}_{3}\), \(\mathcal{E}_{4}\)는 \(G_{\delta}\)집합이다.\(\displaystyle\left(\because\,(a,\,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left(a,\,b+\frac{1}{n}\right)}\right)\)  

모두 보렐집합이므로 1.1에 의해 \(\mathcal{M}(\mathcal{E}_{i})\subset\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)이다. 

\(\mathbb{R}\)상의 모든 열린집합은 열린구간들의 가산합집합이므로 1.1에 의해 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\subset\mathcal{M}(\mathcal{E}_{i})\)이다.  

그러므로 \(i\geq2\)에 대해서는 모든 열린구간들이 \(\mathcal{M}(\mathcal{E}_{i})\)에 있음을 보이고 1.1을 적용하면 된다.$$\begin{align*}\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left[a+\frac{1}{n},\,b-\frac{1}{n}\right]}&=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{2}),\,\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left(a,\,b+\frac{1}{n}\right]}=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{3}),\,\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[a-\frac{1}{n},\,b\right)}=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{4})\\(a,\,\infty)&\cap\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left(b+\frac{1}{n},\,\infty\right)^{c}}\right)=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{5}),\,\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left(b+\frac{1}{n},\,\infty\right)^{c}}\right)=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{6})\end{align*}$$이고 \(\mathcal{E}_{7}^{c}=\mathcal{E}_{6}\), \(\mathcal{E}_{8}^{c}=\mathcal{E}_{5}\)이므로 1.1에 의해 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\subset\mathcal{M}(\mathcal{E}_{i})\)이다.  

\(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)에 대하여 \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\), \(\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,X_{\alpha}\)(사영)라 하자. \(\mathcal{M}_{\alpha}\)가 \(X_{\alpha}\)에서의 \(\sigma-\)대수이면, \(X\)상의 곱 \(\sigma-\)대수(product \(\sigma-\)algebra)는$$\{\pi_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]\,|\,E_{\alpha}\in\mathcal{M}_{\alpha},\,\alpha\in A\}$$에 의해 생성되는 \(\sigma-\)대수이고 \(\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}\)로 나타낸다. 만약 \(A=\{1,\,2,\,...,\,n\}\)이면, \(\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{M}_{i}}=\mathcal{M}_{1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{M}_{n}\)으로 나타낸다.   

 

1.3 \(A\)가 가산집합이면, \(\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}\)는 \(\displaystyle\left\{\prod_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\,|\,E_{\alpha}\in\mathcal{M}_{\alpha}\right\}\)에 의해 생성되는 \(\sigma-\)대수이다.  

증명: \(E_{\alpha}\in\mathcal{M}_{\alpha}\)이면, \(\displaystyle\pi_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]=\prod_{\beta\in A}{E_{\beta}}\)(\(\beta\neq\alpha\)일 때 \(E_{\beta}=X_{\beta}\))이고, \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}=\bigcap_{\alpha\in A}{\pi_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]}\)이므로 1.1로부터 결론이 얻어진다. 

1.4 \(\mathcal{M}_{\alpha}\)를 \(\mathcal{E}_{\alpha}(\alpha\in A)\)에 의해 생성된다고 하자. 그러면 (i) \(\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}\)는 \(\mathcal{F}_{1}=\{\pi_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]\,|\,E_{\alpha}\in\mathcal{E}_{\alpha},\,\alpha\in A\}\)에 의해 생성되고, (ii) \(A\)가 가산집합이고 \(X_{\alpha}\in\mathcal{E}_{\alpha}\)이면, \(\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}\)는 \(\displaystyle\mathcal{F}_{2}=\left\{\prod_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\,|\,E_{\alpha}\in\mathcal{E}_{\alpha}\right\}\)에 의해 생성된다. 

증명: 먼저 (i)가 성립함을 보이자. 분명히 \(\displaystyle\mathcal{M}(\mathcal{F}_{1})\subset\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}\)이고 \(\{E\subset X_{\alpha}\,|\,\pi_{\alpha}^{-1}[E]\in\mathcal{M}(\mathcal{F}_{1})\}\)는 \(\mathcal{E}_{\alpha}\)를 포함하는 \(X_{\alpha}\)상의 \(\sigma-\)대수이고 따라서 \(\mathcal{M}_{\alpha}\)를 포함한다. 즉 모든 \(E\in\mathcal{M}_{\alpha}\), \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\displaystyle\pi_{\alpha}^{-1}[E]\in\mathcal{M}(\mathcal{F})\)이고 \(\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}\subset\mathcal{M}(\mathcal{F}_{1})\)이다. (ii)는 1.3의 증명과정으로부터 성립한다.

1.5 \(X_{1},\,...,\,X_{n}\)을 거리공간, \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{X_{i}}\)를 곱거리공간이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{X_{i}}}\subset\mathcal{B}_{X}\)이고, \(X_{i}\)들이 가분이면, \(\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{X_{i}}}=\mathcal{B}_{X}\)이다. 

증명: 1.4에 의해 \(\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{X_{i}}}\)는 \(\pi_{i}^{-1}[U_{i}]\,(1\leq i\leq n)\)에 의해 생성되고, 여기서 \(U_{i}\)는 \(X_{i}\)상의 열린집합이다. \(\pi_{i}^{-1}[U_{i}]\)들은 \(X\)에서 열린집합이므로 1.1에 의해 \(\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{M}_{i}}\subset\mathcal{B}_{X}\)이다. 

\(C_{i}\)를 \(X_{i}\)에서의 가산조밀집합이라 하고 \(\mathcal{E}_{i}\)를 반지름이 유리수이고 중심이 \(C_{i}\)에 위치한 \(X_{i}\)상의 공들의 집합족이라 하자. 그러면 \(X_{i}\)상의 열린집합들은 \(\mathcal{E}_{i}\)의 원소들의 하빕합이고, \(X\)에서 \(C_{i}\)의 \(i\)번째 좌표들의 집합은 \(X\)의 가산조밀부분집합이고 \(X\)에서 반지름이 \(r\)인 공은 \(X_{i}\)에서 반지름이 \(r\)인 공들의 곱이다. 그러면 \(\mathcal{B}_{X_{i}}\)는 \(\mathcal{E}_{i}\)에 의해 생성되고, \(\mathcal{B}_{X}\)는 \(\displaystyle\left\{\prod_{i=1}^{n}{E_{i}}\,|\,E_{i}\in\mathcal{E}_{i}\right\}\)에 의해 생성된다. 그러므로 1.4에 의해 \(\displaystyle\mathcal{B}_{X}=\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{X_{i}}}\)이다.   

 

1.6 \(\displaystyle\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{n}}=\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{\mathbb{R}}}\) 

증명: 1.5에서 \(X_{i}=\mathbb{R}\)인 경우이다. 

기본집합족(elementary family) \(\mathcal{E}\)를 다음 조건을 만족하는 \(X\)의 부분집합들의 집합족으로 정의한다.    

i \(\phi\in\mathcal{E}\) 

ii \(E,\,F\in\mathcal{E}\)이면, \(E\cap F\in\mathcal{E}\) 

iii \(E\in\mathcal{E}\)이면, \(\displaystyle E^{c}=\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\)(\(E_{i}\in\mathcal{E}\)들은 서로소) 

1.7 \(\mathcal{E}\)가 집합족이면, \(\displaystyle\mathcal{A}=\left\{\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\,|\,E_{i}\in\mathcal{E}\,\text{is disjoint}\right\}\)는 대수이다.  

증명: \(A,\,B\in\mathcal{E}\)이고 \(\displaystyle B^{c}=\bigcup_{i=1}^{J}{C_{i}}\)(\(C_{i}\in\mathcal{E}\)들은 서로소)이면, \(\displaystyle A-B=\bigcup_{i=1}^{J}{(A\cap C_{i})}\)이고 \(A\cup B=(A-B)\cup B\)이고 이 두 경우 모두 서로소인 합집합이므로 \(A-B,\,A\cup B\in\mathcal{A}\)이다. 수학적귀납법으로부터 서로소인 \(A_{1},\,...,\,A_{n}\in\mathcal{E}\)에 대하여 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\in\mathcal{E}\)이다. \(\mathcal{A}\)의 원소의 여집합도 \(\mathcal{A}\)의 원소가 됨을 보이자. 

\(A_{1},\,...,\,A_{n}\in\mathcal{E}\), \(\displaystyle A_{m}^{c}=\bigcup_{i=1}^{J_{m}}{B_{m}^{i}}\)(\(B_{m}^{1},\,...,\,B_{m}^{J_{m}}\)들은 서로소)라 하자. 그러면$$\left(\bigcup_{m=1}^{n}{A_{m}}\right)^{c}=\bigcap_{m=1}^{n}{\left(\bigcup_{i=1}^{J_{m}}{B_{m}^{i}}\right)}=\bigcup\{B_{1}^{i_{1}}\cap\cdots\cap B_{n}^{i_{n}}\,|\,1\leq i_{m}\leq J_{m},\,1\leq m\leq n\}\in\mathcal{A}$$이다.    

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second Edition, Folland, Wiley