[측도론] 1-1 이상적인 측도의 비존재성과 시그마대수

[측도론] 1-1 이상적인 측도의 비존재성과 시그마대수

이상적으로, $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $n$차원 측도 $\mu:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$가 다음 조건들을 만족하게 하려고 한다.

i. $E_{1},\,E_{2},\,...$이 서로소이면, $\displaystyle\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(E_{n})}$ 

ii. $E$와 $F$가 합동($E$가 평행이동 또는 회전, 반사로 $F$가 됨)이면, $\mu(E)=\mu(F)$ 

iii. 단위 입방체 $Q=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,0\leq x_{i}<1,\,i=1,\,2,\,...,\,n\}$에 대하여 $\mu(Q)=1$ 

불행히도 위의 i, ii, iii를 모두 만족시키는 $\mu$는 존재하지 않는다.

$n=1$일 때, $[0,\,1)$에서의 관계 $\sim$를 $x\sim y\,\Leftrightarrow\,x-y\in\mathbb{Q}$라고 하자. 그러면 $\sim$은 동치관계이고 $N\subset[0,\,1)$이 $\sim$에 의한 동치류 하나를 포함한다고 하자. 

$R=\mathbb{Q}\cap[0,\,1)$, $r\in\mathbb{R}$에 대하여 $$N_{r}=\{x+r\,|\,x\in N\cap[0,\,1-r)\}\cup\{x+r-1\,|\,x\in N\cap[1-r,\,1)\}$$ 이라고 하면 $N_{r}\subset[0,\,1)$이고, 모든 $x\in[0,\,1)$은 하나의 $N_{r}$에 속한다. 

$y\in N$가 $x$의 동치류에 속하면 $x\in N_{r}$이고, $x\geq y$이면, $r=x-y$, $x<y$이면 $r=x-y+1$이다. 

$x\in N_{r}\cap N_{s}$이면, $x-r$(또는 $x-r+1$)과 $x-s$(또는 $x-s+1$)는 같은 동치류에 속하는 $N$의 서로다른 원소의 개수가 되는데 이는 불가능하다. 

$\mu:\,2^{\mathbb{R}}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$이 앞의 i, ii, iii을 만족한다고 하자. 그러면 i, ii에 의해 모든 $r\in R$에 대하여 $$\mu(N)=\mu(N\cap[0,\,1-r))+\mu(N\cap[1-r,\,1))=\mu(N_{r})$$ 이고 $R$이 가산집합, $[0,\,1)$은 $N_{r}$들의 서로소인 합집합이므로 $\displaystyle\mu([0,\,1))=\sum_{r\in R}{\mu(N_{r})}$이다. 그런데 $\mu([0,\,1))=1$($\because$ iii)이고 $\mu(N_{r})=\mu(N)$이므로 $\displaystyle\sum_{r\in R}{\mu(N_{r})}$은 $\mu(N)=0$일 때 $0$이고, $\mu(N)>\infty$일 때 $\infty$가 되므로 i, ii, iii를 모두 만족하는 $\mu$는 존재하지 않는다.

시그마대수

집합 $X(\neq\phi)$에서의 대수(algebra) $\mathcal{A}$를 다음과 같이 정의한다.  

(1) $E_{1},\,...,\,E_{n}\in\mathcal{A}$이면, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\in\mathcal{A}$ 

(2) $E\in\mathcal{A}$이면, $E^{c}\in\mathcal{A}$ 

대수 $\mathcal{A}$가 가산합집합(countable union)에 대해 닫혀있으면, $\mathcal{A}$를 $\sigma-$대수($\sigma-$algebra)라고 한다.

$\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}=\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}^{c}}\right)^{c}$이므로 $\sigma-$대수는 (가산)교집합에 대해 닫혀있고, $X$, $\phi$는 ($\sigma-$)대수의 원소이다. 

$\{E_{i}\}\subset\mathcal{A}$라 하고 $\displaystyle F_{k}=E_{k}-\left(\bigcup_{i=1}^{k-1}{E_{i}}\right)$라 하자. 그러면 $F_{k}\in\mathcal{A}$이고 $F_{k}$들은 서로소이며 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{F_{k}}=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$이다. 

이것은 대수 $\mathcal{A}$가 서로소인 가산합집합에 대해 닫혀있으면, $\sigma-$대수가 됨을 보여준다. 

예: 임의의 집합 $X$에 대하여 $2^{X}$, $\{\phi,\,X\}$는 $\sigma-$대수이고, $X$가 비가산집합일 때, 다음과 같이 정의된 $\mathcal{A}$는 $\sigma-$대수이다. $$\mathcal{A}=\{E\subset X\,|\,E\,\text{is countable or}\,E^{c}\,\text{is countable}\}$$ 임의의 $X$상의 $\sigma-$대수들의 교집합이 $\sigma-$대수가 되는 것은 분명하다. 이 사실로부터 $\mathcal{E}$가 $2^{X}$의 임의의 부분집합일 때, $\mathcal{E}$를 포함하는 가장 작은 $\sigma-$대수 $\mathcal{M}(\mathcal{E})$가 유일하게 존재한다. $\mathcal{M}(\mathcal{E})$는 $\mathcal{E}$를 포함하는 $\sigma-$대수의 교집합이고, 이것을 $\mathcal{E}$에 의해 생성된(generated) $\sigma-$대수라고 한다. 

1.1 $\mathcal{E}\subset\mathcal{M}(\mathcal{F})$이면, $\mathcal{M}(\mathcal{E})\subset\mathcal{M}(\mathcal{F})$이다. 

증명: $\mathcal{M}(\mathcal{F})$는 $\mathcal{E}$를 포함하는 $\sigma-$대수이므로 $\mathcal{M}$을 포함한다. 

$X$가 거리공간, 또는 일반적인 위상공간일 때, $X$의 열린집합족들에 의해 생성되는 $\sigma-$대수를 $X$에서의 보렐 $\sigma-$대수(Borel $\sigma-$algebra)라고 하고 $\mathcal{B}_{X}$로 나타낸다. 이때 $\mathcal{B}_{X}$의 원소들을 보렐집합(Borel set)이라고 한다. $\sigma-$대수의 정의에 의해 열린집합, 닫힌집합, 열린집합들의 가산교집합, 닫힌집합들의 가산합집합은 보렐집합이다. 

열린집합들의 가산교집합을 $G_{\delta}$집합, 닫힌집합들의 가산합집합을 $F_{\sigma}$집합, $G_{\delta}$집합들의 가산합집합을 $G_{\delta\sigma}$집합, $F_{\sigma}$집합들의 가산교집합을 $F_{\sigma\delta}$집합이라고 한다. 

1.2 $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$은 다음 집합족들에 의해 생성된다.  

a. 열린구간: $\mathcal{E}_{1}=\{(a,\,b)\,|\,a<b\}$ 

b. 닫힌구간: $\mathcal{E}_{2}=\{[a,\,b]\,|\,a<b\}$ 

c. 반열린구간: $\mathcal{E}_{3}=\{(a,\,b]\,|\,a<b\}$ 또는 $\mathcal{E}_{4}=\{[a,\,b)\,|\,a<b\}$

d. 열린직선: $\mathcal{E}_{5}=\{(a,\,\infty)\,|\,a\in\mathbb{R}\}$ 또는 $\mathcal{E}_{6}=\{(-\infty,\,a)\,|\,a\in\mathbb{R}\}$ 

e. 닫힌직선: $\mathcal{E}_{7}=\{[a,\,\infty)\,|\,a\in\mathbb{R}\}$ 또는 $\mathcal{E}_{8}=\{(-\infty,\,a]\,|\,a\in\mathbb{R}\}$ 

증명: $\mathcal{E}_{i}(i\neq3,\,4)$들은 열린집합 또는 닫힌집합이고, $\mathcal{E}_{3}$, $\mathcal{E}_{4}$는 $G_{\delta}$집합이다.$\displaystyle\left(\because\,(a,\,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left(a,\,b+\frac{1}{n}\right)}\right)$  

모두 보렐집합이므로 1.1에 의해 $\mathcal{M}(\mathcal{E}_{i})\subset\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$이다. 

$\mathbb{R}$상의 모든 열린집합은 열린구간들의 가산합집합이므로 1.1에 의해 $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\subset\mathcal{M}(\mathcal{E}_{i})$이다.  

그러므로 $i\geq2$에 대해서는 모든 열린구간들이 $\mathcal{M}(\mathcal{E}_{i})$에 있음을 보이고 1.1을 적용하면 된다. $$\begin{align*}\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left[a+\frac{1}{n},\,b-\frac{1}{n}\right]}&=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{2}),\,\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left(a,\,b+\frac{1}{n}\right]}=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{3}),\,\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[a-\frac{1}{n},\,b\right)}=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{4})\\(a,\,\infty)&\cap\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left(b+\frac{1}{n},\,\infty\right)^{c}}\right)=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{5}),\,\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left(b+\frac{1}{n},\,\infty\right)^{c}}\right)=(a,\,b)\in\mathcal{M}(\mathcal{E}_{6})\end{align*}$$ 이고 $\mathcal{E}_{7}^{c}=\mathcal{E}_{6}$, $\mathcal{E}_{8}^{c}=\mathcal{E}_{5}$이므로 1.1에 의해 $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\subset\mathcal{M}(\mathcal{E}_{i})$이다.  

$\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$에 대하여 $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$, $\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,X_{\alpha}$(사영)라 하자. $\mathcal{M}_{\alpha}$가 $X_{\alpha}$에서의 $\sigma-$대수이면, $X$상의 곱 $\sigma-$대수(product $\sigma-$algebra)는 $$\{\pi_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]\,|\,E_{\alpha}\in\mathcal{M}_{\alpha},\,\alpha\in A\}$$ 에 의해 생성되는 $\sigma-$대수이고 $\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}$로 나타낸다. 만약 $A=\{1,\,2,\,...,\,n\}$이면, $\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{M}_{i}}=\mathcal{M}_{1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{M}_{n}$으로 나타낸다.   

 

1.3 $A$가 가산집합이면, $\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}$는 $\displaystyle\left\{\prod_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\,|\,E_{\alpha}\in\mathcal{M}_{\alpha}\right\}$에 의해 생성되는 $\sigma-$대수이다.  

증명: $E_{\alpha}\in\mathcal{M}_{\alpha}$이면, $\displaystyle\pi_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]=\prod_{\beta\in A}{E_{\beta}}$($\beta\neq\alpha$일 때 $E_{\beta}=X_{\beta}$)이고, $\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}=\bigcap_{\alpha\in A}{\pi_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]}$이므로 1.1로부터 결론이 얻어진다. 

1.4 $\mathcal{M}_{\alpha}$를 $\mathcal{E}_{\alpha}(\alpha\in A)$에 의해 생성된다고 하자. 그러면 (i) $\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}$는 $\mathcal{F}_{1}=\{\pi_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]\,|\,E_{\alpha}\in\mathcal{E}_{\alpha},\,\alpha\in A\}$에 의해 생성되고, (ii) $A$가 가산집합이고 $X_{\alpha}\in\mathcal{E}_{\alpha}$이면, $\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}$는 $\displaystyle\mathcal{F}_{2}=\left\{\prod_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\,|\,E_{\alpha}\in\mathcal{E}_{\alpha}\right\}$에 의해 생성된다. 

증명: 먼저 (i)가 성립함을 보이자. 분명히 $\displaystyle\mathcal{M}(\mathcal{F}_{1})\subset\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}$이고 $\{E\subset X_{\alpha}\,|\,\pi_{\alpha}^{-1}[E]\in\mathcal{M}(\mathcal{F}_{1})\}$는 $\mathcal{E}_{\alpha}$를 포함하는 $X_{\alpha}$상의 $\sigma-$대수이고 따라서 $\mathcal{M}_{\alpha}$를 포함한다. 즉 모든 $E\in\mathcal{M}_{\alpha}$, $\alpha\in A$에 대하여 $\displaystyle\pi_{\alpha}^{-1}[E]\in\mathcal{M}(\mathcal{F})$이고 $\displaystyle\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{M}_{\alpha}}\subset\mathcal{M}(\mathcal{F}_{1})$이다. (ii)는 1.3의 증명과정으로부터 성립한다.

1.5 $X_{1},\,...,\,X_{n}$을 거리공간, $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{X_{i}}$를 곱거리공간이라 하자. 그러면 $\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{X_{i}}}\subset\mathcal{B}_{X}$이고, $X_{i}$들이 가분이면, $\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{X_{i}}}=\mathcal{B}_{X}$이다. 

증명: 1.4에 의해 $\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{X_{i}}}$는 $\pi_{i}^{-1}[U_{i}]\,(1\leq i\leq n)$에 의해 생성되고, 여기서 $U_{i}$는 $X_{i}$상의 열린집합이다. $\pi_{i}^{-1}[U_{i}]$들은 $X$에서 열린집합이므로 1.1에 의해 $\displaystyle\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{M}_{i}}\subset\mathcal{B}_{X}$이다. 

$C_{i}$를 $X_{i}$에서의 가산조밀집합이라 하고 $\mathcal{E}_{i}$를 반지름이 유리수이고 중심이 $C_{i}$에 위치한 $X_{i}$상의 공들의 집합족이라 하자. 그러면 $X_{i}$상의 열린집합들은 $\mathcal{E}_{i}$의 원소들의 하빕합이고, $X$에서 $C_{i}$의 $i$번째 좌표들의 집합은 $X$의 가산조밀부분집합이고 $X$에서 반지름이 $r$인 공은 $X_{i}$에서 반지름이 $r$인 공들의 곱이다. 그러면 $\mathcal{B}_{X_{i}}$는 $\mathcal{E}_{i}$에 의해 생성되고, $\mathcal{B}_{X}$는 $\displaystyle\left\{\prod_{i=1}^{n}{E_{i}}\,|\,E_{i}\in\mathcal{E}_{i}\right\}$에 의해 생성된다. 그러므로 1.4에 의해 $\displaystyle\mathcal{B}_{X}=\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{X_{i}}}$이다.   

 

1.6 $\displaystyle\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{n}}=\bigotimes_{i=1}^{n}{\mathcal{B}_{\mathbb{R}}}$ 

증명: 1.5에서 $X_{i}=\mathbb{R}$인 경우이다. 

기본집합족(elementary family) $\mathcal{E}$를 다음 조건을 만족하는 $X$의 부분집합들의 집합족으로 정의한다.    

i $\phi\in\mathcal{E}$ 

ii $E,\,F\in\mathcal{E}$이면, $E\cap F\in\mathcal{E}$ 

iii $E\in\mathcal{E}$이면, $\displaystyle E^{c}=\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}$($E_{i}\in\mathcal{E}$들은 서로소) 

1.7 $\mathcal{E}$가 집합족이면, $\displaystyle\mathcal{A}=\left\{\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\,|\,E_{i}\in\mathcal{E}\,\text{is disjoint}\right\}$는 대수이다.  

증명: $A,\,B\in\mathcal{E}$이고 $\displaystyle B^{c}=\bigcup_{i=1}^{J}{C_{i}}$($C_{i}\in\mathcal{E}$들은 서로소)이면, $\displaystyle A-B=\bigcup_{i=1}^{J}{(A\cap C_{i})}$이고 $A\cup B=(A-B)\cup B$이고 이 두 경우 모두 서로소인 합집합이므로 $A-B,\,A\cup B\in\mathcal{A}$이다. 수학적귀납법으로부터 서로소인 $A_{1},\,...,\,A_{n}\in\mathcal{E}$에 대하여 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\in\mathcal{E}$이다. $\mathcal{A}$의 원소의 여집합도 $\mathcal{A}$의 원소가 됨을 보이자. 

$A_{1},\,...,\,A_{n}\in\mathcal{E}$, $\displaystyle A_{m}^{c}=\bigcup_{i=1}^{J_{m}}{B_{m}^{i}}$($B_{m}^{1},\,...,\,B_{m}^{J_{m}}$들은 서로소)라 하자. 그러면 $$\left(\bigcup_{m=1}^{n}{A_{m}}\right)^{c}=\bigcap_{m=1}^{n}{\left(\bigcup_{i=1}^{J_{m}}{B_{m}^{i}}\right)}=\bigcup\{B_{1}^{i_{1}}\cap\cdots\cap B_{n}^{i_{n}}\,|\,1\leq i_{m}\leq J_{m},\,1\leq m\leq n\}\in\mathcal{A}$$ 이다.    

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second Edition, Folland, Wiley