[측도론] 0-1 기초(집합론)

[측도론] 0-1 기초(집합론)

수(number) 전체의 집합을 다음과 같이 나타낸다. 순서대로 양의 정수(자연수), 정수, 유리수, 실수, 복소수 전체의 집합이다. $$\mathbb{N},\,\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R},\,\mathbb{C}$$

논리(logic)

$A,\,B$를 수학적 주장, $\neg A,\,\neg B$를 $A,\,B$의 부정이라고 하자. 명제 "$A$이면 $B$이다($A$는 $B$를 함의한다(implies))"와 동치인 명제는 대우(contrapositive)명제인 "$\neg B$이면 $\neg A$이다"이다. 

또는 귀류법(reductio ad absurdum) "$A$이고 $\neg B$이면 모순(contrapositive)이다"와 동치이다.    

집합(set)

집합족(family)과 모임(collection)은 집합과 동의어로 사용되는데 "집합들의 집합"이라는 의미를 가진다.

공집합(empty set)을 기호로 $\phi$로 나타내고, 집합 $X$의 부분집합들의 집합을 $2^{X}=\{E\,|\,E\subset X\}$로 나타내며, 포함(inclusion)을 기호로 $\subset$로 나타내는데 이 기호에는 '포함된다' 또는 '같다'는 의미가 있다. 즉 $E\subset X$에 $E=X$일 가능성이 있음을 뜻한다.

집합족 $\mathcal{E}$의 합집합과 교집합을 다음과 같이 정의한다. $$\bigcup_{E\in\mathcal{E}}{E}=\{x\,|\,x\in E\,\text{for some}\,E\in\mathcal{E}\},\,\bigcap_{E\in\mathcal{E}}{E}=\{x\,|\,x\in E\,\text{for all}\,E\in\mathcal{E}\}$$ 집합족 $\mathcal{E}$를 $\mathcal{E}=\{E_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$로 나타내고 이때의 합집합과 교집합을 다음과 같이 나타낸다. $$\bigcup_{\alpha\in A}{E_{\alpha}},\,\bigcap_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}$$ $\alpha\neq\beta$일 때 $E_{\alpha}\cap E_{\beta}=\phi$이면, 집합 $E_{\alpha}$, $E_{\beta}$는 서로소(disjoint)라고 한다.

앞에서 첨수집합 $A$가 자연수 전체의 집합 $\mathbb{N}$일 경우, $\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty}$, $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}},\,\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$으로 나타낸다.   

집합열 $\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty}$의 상극한(limit superior)과 하극한(limit inferior)을 다음과 같이 정의한다. $$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup E_{n}}&=\bigcap_{k=1}^{\infty}{\bigcup_{n=k}^{\infty}{E_{n}}}=\{x\,|\,x\in E_{n}\,\text{for infinitely many}\,n\}\\ \lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf E_{n}}&=\bigcup_{k=1}^{\infty}{\bigcap_{n=k}^{\infty}{E_{n}}}=\{x\,|\,x\in E_{n}\,\text{for all but finitely many}\,n\}\end{align*}$$ 집합 $E$와 $F$의 차집합(difference)과 대칭차집합(symmetric difference)을 각각 $$E-F=\{x\,|\,x\in E\,\text{and}\,x\notin F\},\,E\Delta F=(E-F)\cup(F-E)$$ 로 정의하고 전체집합 $X$에 대한 $E$의 여집합(complement)을 $E^{c}=X-E$로 정의한다. 이때 드 모르간 법칙(De Morgan's law)은 다음과 같다. $$\left(\bigcup_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right)^{c}=\bigcap_{\alpha\in A}{E_{\alpha}^{c}},\,\left(\bigcap_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right)^{c}=\bigcup_{\alpha\in A}{E_{\alpha}^{c}}$$ 집합 $X,\,Y$의 카테시안 곱(cartesian product)을 $X\times Y=\{(x,\,y)\,|\,x\in X,\,y\in Y\}$로 정의하고 $X$에서 $Y$로의 관계(relation)는 $X\times Y$의 부분집합이다.($Y=X$이면 $X$에서의 관계라고 한다) $R$이 $X$에서 $Y$로의 관계이면, $(x,\,y)\in R$을 $xRy$로 나타낸다.

$X$에서의 동치관계(equivalence relation) $R$은 다음 조건들을 만족한다.

(i) 모든 $x\in X$에 대하여 $xRx$ 

(ii) $xRy$일 필요충분조건은 $yRx$

(iii) 적당한 $y\in X$에 대하여 $xRy$이고 $yRz$이면 $xRz$ 

$x\in X$의 동치류는 $x/R=\{y\in X\,|\,xRy\}$이고, 동치류들은 서로소이다.

함수(function, 사상: mapping) $f:\,X\,\rightarrow\,Y$는 모든 $x\in X$에 대하여 유일한 $y\in Y$가 존재해서 $xRy$인 $X$에서 $Y$로의 관계이고 $y=f(x)$로 나타낸다. 

함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$와 $g:\,Y\,\rightarrow\,Z$의 합성함수(composition function) $g\circ f$를 다음과 같이 정의한다. $$g\circ f:\,X\,\rightarrow\,Z,\,(g\circ f)(x)=g(f(x))\,(x\in X)$$ $D\subset X$이고 $E\subset Y$이면, $D$의 상(image)과 $E$의 역상(inverse image)은 다음과 같다. $$f[D]=\{f(x)\,|\,x\in D\},\,f^{-1}[E]=\{x\,|\,f(x)\in E\}$$ 사상 $f^{-1}:\,2^{Y}\,\rightarrow\,2^{X}$에 대하여 다음의 등식이 성립한다. $$f^{-1}\left[\bigcup_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right]=\bigcup_{\alpha\in A}{f^{-1}[E_{\alpha}]},\,f^{-1}\left[\bigcap_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right]=\bigcap_{\alpha\in A}{f^{-1}[E_{\alpha}]}$$ (원상 $f:\,2^{X}\,\rightarrow\,2^{Y}$의 경우는 합집합에 대해서만 성립한다.) 

함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$에 대하여 $X$를 함수 $f$의 정의역(domain), $f[X]$를 함수 $f$의 치역(range)이라고 한다. 

함수 $f$가 $f(x_{1})=f(x_{2})$일 때 $x_{1}=x_{2}$이면, $f$를 단사(injective), $f[X]=Y$이면, $f$를 전사(surjective), 전사이고 단사이면, 전단사(bijective)라고 한다. $f$가 전단사이면 역함수(inverse) $f^{-1}:\,Y\,\rightarrow\,X$가 존재하고 $f^{-1}\circ f=I_{X}$, $f\circ f^{-1}=I_{Y}$($I_{X},\,I_{Y}$는 각각 $X$, $Y$에서의 항등함수)이다.

$A\subset X$이면, $f$의 $A$로의 제한(restriction) $f|_{A}$를 다음과 같이 정의한다. $$f|_{A}\,A\,\rightarrow\,Y,\,(f|_{A})(x)=f(x)\,(x\in A)$$ 집합 $X$상의 수열(sequence)은 자연수($\mathbb{N}$)에서 집합 $X$로의 함수이다. $f:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,A$가 수열이고, $g:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}$이 증가함수이면, $f\circ g$를 $f$의 부분수열(subsequence)이라고 한다. $f(n)=x_{n}$이면, 수열을 $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$로 나타낸다. 앞으로 수열은 $x_{n}$, 부분수열은 $x_{n_{i}}$ 으로 나타낼 것이다.

첨수집합족 $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$의 카테시안곱 $\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$는 다음과 같다. $$\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}=\left\{f:\,A\,\rightarrow\,\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\,|\,\text{for every}\,\alpha\in A\right\},$$ 로 나타내고 $A=\{1,\,2\}$인 경우는 $\displaystyle\prod_{i=1}^{2}{X_{i}}=X_{1}\times X_{2}$로 나타낸다. 

$\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$이고 $\alpha\in A$일 때, $\alpha$번째 사영(projection) 또는 좌표사상(coordinate map) $\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,X_{\alpha}$를 $\pi_{\alpha}(f)=f(\alpha)$로 정의한다.($x=(x_{1},\,...,\,x_{\alpha},...,\,x_{n})$일 때 $\pi_{\alpha}(x)=x_{\alpha}$)

모든 $\alpha\in A$에 대하여 $X_{\alpha}=Y$이면, $\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$를 $Y^{A}=\{f\,|\,f:\,A\,\rightarrow\,Y\}$로 정의하는데 $A=\{1,\,...,\,n\}$이면, $Y^{A}$를 $Y^{n}$으로 나타내고 이때 $Y^{n}=\{(x_{1},\,...,\,x_{n})\,|\,x_{i}\in Y,\,i=1,\,...,\,n\}$이다. 

순서(orderings)

집합 $X(\neq\phi)$에서의 부분순서(partial ordering)는 다음 조건들을 만족하는 관계 $R$이다. 

(i) $xRy$이고 $yRz$이면 $xRz$ 

(ii) $xRy$이고 $yRz$이면 $x=y$

(iii) 모든 $x\in X$에 대하여 $xRx$

추가로 $x,\,y\in X$일 때 $xRy$이거나 $yRx$이면, $R$을 선형순서(linear ordering, 전순서)라고 한다. 예를들어 임의의 집합 $E$에 대해 $2^{E}$는 포함관계($\subset$)에 의한 부분순서이고, $\mathbb{R}$은 대소관계($\leq$)에 의한 선형순서이다.

부분순서를 기호로 $\leq$로 나타내고 이때 $x<y$는 $x\leq y$이고 $x\neq y$를 뜻한다.

두 부분순서집합 $X,\,Y$가 순서동형(order isomorphic)이라는 것은 전단사 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 존재해서 $x_{1}\leq x_{2}$일 필요충분조건이 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$인 것이다.

$X$가 $\leq$에 의한 부분순서집합일 때, $X$의 극대원소(maximum element)는 어떤 $y\in X$에 대하여 $y\leq x$이면 $y=x$인 $x$이고, 극소원소(minimum element)는 어떤 $y\in X$에 대하여 $x\leq y$이면 $y=x$인 것이다.

극대원소와 극소원소는 존재할 수도 존재하지 않을 수도 있고, 선형순서가 아닐 때는 두 개 이상 존재할 수 있다.

$E\subset X$일 때, $E$의 상계(upper bound)는 모든 $y\in E$에 대하여 $y\leq x$인 $x\in X$이고, $E$의 하계(lower bound)는 모든 $y\in E$에 대하여 $x\leq y$인 $x\in X$이다.

$E$의 상계는 $E$의 원소가 아닐 수 있고, $E$가 선형순서가 아닐 때 $E$의 극대원소가 $E$의 상계가 되지 않을 수 있다.

집합 $X$가 $\leq$에 의한 선형순서집합이고 $X$의 공집합이 아닌 부분집합이 유일한 최소원소를 가지면 $X$를 $\leq$에 의한 정렬순서(well ordered)집합이라고 하고, $\leq$를 $X$에서의 정렬순서라고 한다.

하우스도르프의 극대원리(Hausdorff Maximum Principle): 모든 부분순서집합은 극대 선형순서부분집합을 갖는다.(증명생략)

조른의 보조정리(Zorm's Lemma): 집합 $X$가 부분순서집합이고 모든 $X$의 선형순서부분집합들이 상계를 가지면, $X$는 극대원소를 갖는다.(증명생략)

정렬순서원리(Well Ordering Principle): 모든 집합 $X(\neq\phi)$는 정렬순서이다.                       

증명: $W$를 $X$의 정렬순서부분집합들의 집합족이라 하고, 다음과 같이 $W$상의 부분순서를 정의하자.

$\leq_{1}$과 $\leq_{2}$가 $E_{1},\,E_{2}\subset X$에서의 정렬순서라 하자. 다음 조건을 만족할 때 $\leq_{1}$은 $\leq_{2}$를 앞선다고 한다.

(i) $\leq_{2}$가 $\leq_{1}$을 확장, 즉 $E_{1}\subset E_{2}$이고 $E_{1}$에서 $\leq_{1}$과 $\leq_{2}$가 같다. 

(ii) $x\in E_{2}-E_{1}$이면 모든 $y\in E$에 대하여 $y\leq_{2}x$

조른의 보조정리의 가정을 만족하므로 $W$는 극대원소를 갖고, $X$에서의 정렬순서가 되어야 한다. $\leq$가 $X$의 진부분집합 $E$에서의 정렬순서이고 $x_{0}\in X-E$이면, $\leq$를 $E\cup\{x_{0}\}$에서의 정렬순서로 확장할 수 있고, 이때 모든 $x\in E$에 대하여 $x\leq x_{0}$이다.

 

선택공리(Axiom of Choice): $X_{\alpha}\neq\phi$인 $X_{\alpha}$들의 공집합이 아닌 집합족 $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$에 대하여 $\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\neq\phi$이다. 

증명: $\displaystyle X=\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$라 하고 $X$상의 정렬순서 하나를 선택한 다음, $\alpha\in A$에 대하여 $f(\alpha)$를 $X_{\alpha}$의 최소원소라고 하자. 그러면 $\displaystyle f\in\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$이다. 

 

다음의 정리는 위의 선택공리의 결과이다. 

 

서로소인 $X_{\alpha}(\neq\phi)$들의 집합족 $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$에 대하여 $\displaystyle Y\subset\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$가 존재해서 $Y\cap X_{\alpha}$가 각각의 $\alpha\in A$에 대해 정확히 1개의 원소만을 갖는다.

증명: $\displaystyle f\in\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$에 대해 $Y=f[A]$라고 한다.

기수(cardinality) 

집합 $X(\neq\phi)$, $Y(\neq\phi)$에 대해 $$\text{card}(X)\leq\text{card}(Y),\,\text{card}(X)=\text{card}(Y),\,\text{card}(X)\geq\text{card}(Y)$$ 를 각각 함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 존재해서 단사, 전단사, 전사라고 정의한다. 또한 $$\text{card}(X)<\text{card}(Y),\,\text{card}(X)>\text{card}(Y)$$ 를 각각 전단사가 아닌 단사, 전단사가 아닌 전사라고 정의한다. 모든 $X(\neq\phi)$에 대하여 $\text{card}(\phi)<\text{card}(X)$이고 $\text{card}(X)>\text{card}(\phi)$이다.

$\text{card}(X)\leq\text{card}(Y)$일 필요충분조건은 $\text{card}(Y)\geq\text{card}(X)$이다.

증명: 

($\Rightarrow$): $f:\,X\,\rightarrow\,Y$를 전사, $g:\,Y\,\rightarrow\,X$를 $y\in f[X]$일 때 $g(y)=f^{-1}(y)$, 그 이외의 경우는 $g(y)=x_{0}\in X$라고 하자. 그러면 $g$는 단사이다. 

($\Leftarrow$): $g:\,Y\,\rightarrow\,X$가 전사이면, 집합 $g^{-1}[\{x\}](x\in X)$는 공집합이 아닌 서로소인 집합이고 임의의 $\displaystyle f\in\prod_{x\in X}{g^{-1}[\{x\}]}$는 $X$에서 $Y$로의 단사이다. 

임의의 집합 $X$, $Y$에 대해 $\text{card}(X)\leq\text{card}(Y)$이거나 $\text{card}(Y)\leq\text{card}(X)$이다.(증명생략)  

슈뢰더-베른슈타인 정리(Schröder-Berstein theorem)

$\text{card}(X)\leq\text{card}(Y)$이고 $\text{card}(Y)\leq\text{card}(X)$이면, $\text{card}(X)=\text{card}(Y)$이다.(증명생략)

 

임의의 집합 $X$에 대하여 $\text{card}(X)\leq\text{card}(2^{X})$이다.(증명생략) 

집합 $X$가 셀 수 있다(countable)는 것은 $\text{card}(X)\leq\text{card}(\mathbb{N})$인 것이다. 특히 유한집합은 가산집합(셀 수 있는 집합)이다. $\text{card}(X)$를 집합 $X$의 원소의 개수라고 생각하는 것이 편하다. 즉 $\text{card}(X)=n$일 필요충분조건은 $\text{card}(X)=\text{card}(\mathbb{N}_{n})\,(\mathbb{N}_{n}=\{1,\,2,\,...,\,n\})$

a. $X,\,Y$가 가산집합이면, $X\times Y$도 가산집합이다. 

b. $A$가 가산집합이고 모든 $\alpha\in A$에 대하여 $X_{\alpha}$가 가산집합이면, $\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$도 가산집합이다.

c. $X$가 가산무한집합이면, $\text{card}(X)=\text{card}(\mathbb{N})$이다.

증명:

a: $\mathbb{N}^{2}$이 가산집합임을 보이면 충분하다. 함수 $f:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}^{2}$을 $n,\,i,\,j\in\mathbb{N}$에 대하여 $n=i+j$일 때 $f(n)=(i,\,j)$라고 하면, $f$는 전단사이다. 

b: $\alpha\in A$에 대하여 전사함수 $f_{\alpha}\,:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,X_{\alpha}$가 존재하고, $f(n,\,\alpha)=f_{\alpha}(n)$으로 정의되는 함수 $f:\,\mathbb{N}\times A\,\rightarrow\,\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$는 전사함수이다. 따라서 a에 의해 $\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$는 가산집합이다.

c: $X$를 $\mathbb{N}$의 무한부분집합, $f(n)$을 귀납적으로 $X-\{f(1),\,...,\,f(n-1)\}$의 최소원소라고 하자. 그러면 $f$는 $\mathbb{N}$에서 $X$로의 전단사이다. 

$\mathbb{Z},\,\mathbb{Q}$는 가산집합이다.

증명: $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup\{-n\,|\,n\in\mathbb{N}\}$이므로 $\mathbb{Z}$는 가산집합이다.

함수 $f:\,\mathbb{Z}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{Q}$를 $n\neq0$일 때 $\displaystyle f(m,\,n)=\frac{m}{n}$, $f(m,\,0)=0$으로 정의하면 $f$는 단사함수이고 따라서 $\mathbb{Q}$는 가산집합이다.     

셀 수 없는 집합 $X$의 기수를 $\mathfrak{c}$로 나타낸다. 즉 $\text{card}(X)=\mathfrak{c}$이고 이때 $\text{card}(X)=\text{card}(\mathbb{R})=\mathfrak{c}$이다.  

a. $\text{card}(2^{\mathbb{N}})=\mathfrak{c}$ 

b. $\text{card}(X)\geq\mathfrak{c}$이면, $X$는 셀 수 없는 집합(비가산집합)이다.

(증명생략)

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications 2nd edition, Folland, Wiley

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 저, 이흥천 옮김, 경문사