[측도론] 0-1 기초(집합론)

[측도론] 0-1 기초(집합론)

수(number) 전체의 집합을 다음과 같이 나타낸다. 순서대로 양의 정수(자연수), 정수, 유리수, 실수, 복소수 전체의 집합이다.$$\mathbb{N},\,\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R},\,\mathbb{C}$$

논리(logic)

\(A,\,B\)를 수학적 주장, \(\neg A,\,\neg B\)를 \(A,\,B\)의 부정이라고 하자. 명제 "\(A\)이면 \(B\)이다(\(A\)는 \(B\)를 함의한다(implies))"와 동치인 명제는 대우(contrapositive)명제인 "\(\neg B\)이면 \(\neg A\)이다"이다. 

또는 귀류법(reductio ad absurdum) "\(A\)이고 \(\neg B\)이면 모순(contrapositive)이다"와 동치이다.    

집합(set)

집합족(family)과 모임(collection)은 집합과 동의어로 사용되는데 "집합들의 집합"이라는 의미를 가진다.

공집합(empty set)을 기호로 \(\phi\)로 나타내고, 집합 \(X\)의 부분집합들의 집합을 \(2^{X}=\{E\,|\,E\subset X\}\)로 나타내며, 포함(inclusion)을 기호로 \(\subset\)로 나타내는데 이 기호에는 '포함된다' 또는 '같다'는 의미가 있다. 즉 \(E\subset X\)에 \(E=X\)일 가능성이 있음을 뜻한다.

집합족 \(\mathcal{E}\)의 합집합과 교집합을 다음과 같이 정의한다.$$\bigcup_{E\in\mathcal{E}}{E}=\{x\,|\,x\in E\,\text{for some}\,E\in\mathcal{E}\},\,\bigcap_{E\in\mathcal{E}}{E}=\{x\,|\,x\in E\,\text{for all}\,E\in\mathcal{E}\}$$집합족 \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{E}=\{E_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)로 나타내고 이때의 합집합과 교집합을 다음과 같이 나타낸다.$$\bigcup_{\alpha\in A}{E_{\alpha}},\,\bigcap_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}$$\(\alpha\neq\beta\)일 때 \(E_{\alpha}\cap E_{\beta}=\phi\)이면, 집합 \(E_{\alpha}\), \(E_{\beta}\)는 서로소(disjoint)라고 한다.

앞에서 첨수집합 \(A\)가 자연수 전체의 집합 \(\mathbb{N}\)일 경우, \(\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty}\), \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}},\,\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)으로 나타낸다.   

집합열 \(\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty}\)의 상극한(limit superior)과 하극한(limit inferior)을 다음과 같이 정의한다.$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup E_{n}}&=\bigcap_{k=1}^{\infty}{\bigcup_{n=k}^{\infty}{E_{n}}}=\{x\,|\,x\in E_{n}\,\text{for infinitely many}\,n\}\\ \lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf E_{n}}&=\bigcup_{k=1}^{\infty}{\bigcap_{n=k}^{\infty}{E_{n}}}=\{x\,|\,x\in E_{n}\,\text{for all but finitely many}\,n\}\end{align*}$$집합 \(E\)와 \(F\)의 차집합(difference)과 대칭차집합(symmetric difference)을 각각$$E-F=\{x\,|\,x\in E\,\text{and}\,x\notin F\},\,E\Delta F=(E-F)\cup(F-E)$$로 정의하고 전체집합 \(X\)에 대한 \(E\)의 여집합(complement)을 \(E^{c}=X-E\)로 정의한다. 이때 드 모르간 법칙(De Morgan's law)은 다음과 같다.$$\left(\bigcup_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right)^{c}=\bigcap_{\alpha\in A}{E_{\alpha}^{c}},\,\left(\bigcap_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right)^{c}=\bigcup_{\alpha\in A}{E_{\alpha}^{c}}$$집합 \(X,\,Y\)의 카테시안 곱(cartesian product)을 \(X\times Y=\{(x,\,y)\,|\,x\in X,\,y\in Y\}\)로 정의하고 \(X\)에서 \(Y\)로의 관계(relation)는 \(X\times Y\)의 부분집합이다.(\(Y=X\)이면 \(X\)에서의 관계라고 한다) \(R\)이 \(X\)에서 \(Y\)로의 관계이면, \((x,\,y)\in R\)을 \(xRy\)로 나타낸다.

\(X\)에서의 동치관계(equivalence relation) \(R\)은 다음 조건들을 만족한다.

(i) 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(xRx\) 

(ii) \(xRy\)일 필요충분조건은 \(yRx\)

(iii) 적당한 \(y\in X\)에 대하여 \(xRy\)이고 \(yRz\)이면 \(xRz\) 

\(x\in X\)의 동치류는 \(x/R=\{y\in X\,|\,xRy\}\)이고, 동치류들은 서로소이다.

함수(function, 사상: mapping) \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)는 모든 \(x\in X\)에 대하여 유일한 \(y\in Y\)가 존재해서 \(xRy\)인 \(X\)에서 \(Y\)로의 관계이고 \(y=f(x)\)로 나타낸다. 

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)와 \(g:\,Y\,\rightarrow\,Z\)의 합성함수(composition function) \(g\circ f\)를 다음과 같이 정의한다.$$g\circ f:\,X\,\rightarrow\,Z,\,(g\circ f)(x)=g(f(x))\,(x\in X)$$\(D\subset X\)이고 \(E\subset Y\)이면, \(D\)의 상(image)과 \(E\)의 역상(inverse image)은 다음과 같다.$$f[D]=\{f(x)\,|\,x\in D\},\,f^{-1}[E]=\{x\,|\,f(x)\in E\}$$사상 \(f^{-1}:\,2^{Y}\,\rightarrow\,2^{X}\)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.$$f^{-1}\left[\bigcup_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right]=\bigcup_{\alpha\in A}{f^{-1}[E_{\alpha}]},\,f^{-1}\left[\bigcap_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right]=\bigcap_{\alpha\in A}{f^{-1}[E_{\alpha}]}$$(원상 \(f:\,2^{X}\,\rightarrow\,2^{Y}\)의 경우는 합집합에 대해서만 성립한다.) 

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 대하여 \(X\)를 함수 \(f\)의 정의역(domain), \(f[X]\)를 함수 \(f\)의 치역(range)이라고 한다. 

함수 \(f\)가 \(f(x_{1})=f(x_{2})\)일 때 \(x_{1}=x_{2}\)이면, \(f\)를 단사(injective), \(f[X]=Y\)이면, \(f\)를 전사(surjective), 전사이고 단사이면, 전단사(bijective)라고 한다. \(f\)가 전단사이면 역함수(inverse) \(f^{-1}:\,Y\,\rightarrow\,X\)가 존재하고 \(f^{-1}\circ f=I_{X}\), \(f\circ f^{-1}=I_{Y}\)(\(I_{X},\,I_{Y}\)는 각각 \(X\), \(Y\)에서의 항등함수)이다.

\(A\subset X\)이면, \(f\)의 \(A\)로의 제한(restriction) \(f|_{A}\)를 다음과 같이 정의한다.$$f|_{A}\,A\,\rightarrow\,Y,\,(f|_{A})(x)=f(x)\,(x\in A)$$집합 \(X\)상의 수열(sequence)은 자연수(\(\mathbb{N}\))에서 집합 \(X\)로의 함수이다. \(f:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,A\)가 수열이고, \(g:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}\)이 증가함수이면, \(f\circ g\)를 \(f\)의 부분수열(subsequence)이라고 한다. \(f(n)=x_{n}\)이면, 수열을 \(\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\)로 나타낸다. 앞으로 수열은 \(x_{n}\), 부분수열은 \(x_{n_{i}}\) 으로 나타낼 것이다.

첨수집합족 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)의 카테시안곱 \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)는 다음과 같다.$$\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}=\left\{f:\,A\,\rightarrow\,\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\,|\,\text{for every}\,\alpha\in A\right\},$$로 나타내고 \(A=\{1,\,2\}\)인 경우는 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{2}{X_{i}}=X_{1}\times X_{2}\)로 나타낸다. 

\(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)이고 \(\alpha\in A\)일 때, \(\alpha\)번째 사영(projection) 또는 좌표사상(coordinate map) \(\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,X_{\alpha}\)를 \(\pi_{\alpha}(f)=f(\alpha)\)로 정의한다.(\(x=(x_{1},\,...,\,x_{\alpha},...,\,x_{n})\)일 때 \(\pi_{\alpha}(x)=x_{\alpha}\))

모든 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(X_{\alpha}=Y\)이면, \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)를 \(Y^{A}=\{f\,|\,f:\,A\,\rightarrow\,Y\}\)로 정의하는데 \(A=\{1,\,...,\,n\}\)이면, \(Y^{A}\)를 \(Y^{n}\)으로 나타내고 이때 \(Y^{n}=\{(x_{1},\,...,\,x_{n})\,|\,x_{i}\in Y,\,i=1,\,...,\,n\}\)이다. 

순서(orderings)

집합 \(X(\neq\phi)\)에서의 부분순서(partial ordering)는 다음 조건들을 만족하는 관계 \(R\)이다. 

(i) \(xRy\)이고 \(yRz\)이면 \(xRz\) 

(ii) \(xRy\)이고 \(yRz\)이면 \(x=y\)

(iii) 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(xRx\)

추가로 \(x,\,y\in X\)일 때 \(xRy\)이거나 \(yRx\)이면, \(R\)을 선형순서(linear ordering, 전순서)라고 한다. 예를들어 임의의 집합 \(E\)에 대해 \(2^{E}\)는 포함관계(\(\subset\))에 의한 부분순서이고, \(\mathbb{R}\)은 대소관계(\(\leq\))에 의한 선형순서이다.

부분순서를 기호로 \(\leq\)로 나타내고 이때 \(x<y\)는 \(x\leq y\)이고 \(x\neq y\)를 뜻한다.

두 부분순서집합 \(X,\,Y\)가 순서동형(order isomorphic)이라는 것은 전단사 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 존재해서 \(x_{1}\leq x_{2}\)일 필요충분조건이 \(f(x_{1})\leq f(x_{2})\)인 것이다.

\(X\)가 \(\leq\)에 의한 부분순서집합일 때, \(X\)의 극대원소(maximum element)는 어떤 \(y\in X\)에 대하여 \(y\leq x\)이면 \(y=x\)인 \(x\)이고, 극소원소(minimum element)는 어떤 \(y\in X\)에 대하여 \(x\leq y\)이면 \(y=x\)인 것이다.

극대원소와 극소원소는 존재할 수도 존재하지 않을 수도 있고, 선형순서가 아닐 때는 두 개 이상 존재할 수 있다.

\(E\subset X\)일 때, \(E\)의 상계(upper bound)는 모든 \(y\in E\)에 대하여 \(y\leq x\)인 \(x\in X\)이고, \(E\)의 하계(lower bound)는 모든 \(y\in E\)에 대하여 \(x\leq y\)인 \(x\in X\)이다.

\(E\)의 상계는 \(E\)의 원소가 아닐 수 있고, \(E\)가 선형순서가 아닐 때 \(E\)의 극대원소가 \(E\)의 상계가 되지 않을 수 있다.

집합 \(X\)가 \(\leq\)에 의한 선형순서집합이고 \(X\)의 공집합이 아닌 부분집합이 유일한 최소원소를 가지면 \(X\)를 \(\leq\)에 의한 정렬순서(well ordered)집합이라고 하고, \(\leq\)를 \(X\)에서의 정렬순서라고 한다.

하우스도르프의 극대원리(Hausdorff Maximum Principle): 모든 부분순서집합은 극대 선형순서부분집합을 갖는다.(증명생략)

조른의 보조정리(Zorm's Lemma): 집합 \(X\)가 부분순서집합이고 모든 \(X\)의 선형순서부분집합들이 상계를 가지면, \(X\)는 극대원소를 갖는다.(증명생략)

정렬순서원리(Well Ordering Principle): 모든 집합 \(X(\neq\phi)\)는 정렬순서이다.                       

증명: \(W\)를 \(X\)의 정렬순서부분집합들의 집합족이라 하고, 다음과 같이 \(W\)상의 부분순서를 정의하자.

\(\leq_{1}\)과 \(\leq_{2}\)가 \(E_{1},\,E_{2}\subset X\)에서의 정렬순서라 하자. 다음 조건을 만족할 때 \(\leq_{1}\)은 \(\leq_{2}\)를 앞선다고 한다.

(i) \(\leq_{2}\)가 \(\leq_{1}\)을 확장, 즉 \(E_{1}\subset E_{2}\)이고 \(E_{1}\)에서 \(\leq_{1}\)과 \(\leq_{2}\)가 같다. 

(ii) \(x\in E_{2}-E_{1}\)이면 모든 \(y\in E\)에 대하여 \(y\leq_{2}x\)

조른의 보조정리의 가정을 만족하므로 \(W\)는 극대원소를 갖고, \(X\)에서의 정렬순서가 되어야 한다. \(\leq\)가 \(X\)의 진부분집합 \(E\)에서의 정렬순서이고 \(x_{0}\in X-E\)이면, \(\leq\)를 \(E\cup\{x_{0}\}\)에서의 정렬순서로 확장할 수 있고, 이때 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(x\leq x_{0}\)이다.

 

선택공리(Axiom of Choice): \(X_{\alpha}\neq\phi\)인 \(X_{\alpha}\)들의 공집합이 아닌 집합족 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)에 대하여 \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\neq\phi\)이다. 

증명: \(\displaystyle X=\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)라 하고 \(X\)상의 정렬순서 하나를 선택한 다음, \(\alpha\in A\)에 대하여 \(f(\alpha)\)를 \(X_{\alpha}\)의 최소원소라고 하자. 그러면 \(\displaystyle f\in\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)이다. 

 

다음의 정리는 위의 선택공리의 결과이다. 

 

서로소인 \(X_{\alpha}(\neq\phi)\)들의 집합족 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)에 대하여 \(\displaystyle Y\subset\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)가 존재해서 \(Y\cap X_{\alpha}\)가 각각의 \(\alpha\in A\)에 대해 정확히 1개의 원소만을 갖는다.

증명: \(\displaystyle f\in\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)에 대해 \(Y=f[A]\)라고 한다.

기수(cardinality) 

집합 \(X(\neq\phi)\), \(Y(\neq\phi)\)에 대해$$\text{card}(X)\leq\text{card}(Y),\,\text{card}(X)=\text{card}(Y),\,\text{card}(X)\geq\text{card}(Y)$$를 각각 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 존재해서 단사, 전단사, 전사라고 정의한다. 또한$$\text{card}(X)<\text{card}(Y),\,\text{card}(X)>\text{card}(Y)$$를 각각 전단사가 아닌 단사, 전단사가 아닌 전사라고 정의한다. 모든 \(X(\neq\phi)\)에 대하여 \(\text{card}(\phi)<\text{card}(X)\)이고 \(\text{card}(X)>\text{card}(\phi)\)이다.

\(\text{card}(X)\leq\text{card}(Y)\)일 필요충분조건은 \(\text{card}(Y)\geq\text{card}(X)\)이다.

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 전사, \(g:\,Y\,\rightarrow\,X\)를 \(y\in f[X]\)일 때 \(g(y)=f^{-1}(y)\), 그 이외의 경우는 \(g(y)=x_{0}\in X\)라고 하자. 그러면 \(g\)는 단사이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(g:\,Y\,\rightarrow\,X\)가 전사이면, 집합 \(g^{-1}[\{x\}](x\in X)\)는 공집합이 아닌 서로소인 집합이고 임의의 \(\displaystyle f\in\prod_{x\in X}{g^{-1}[\{x\}]}\)는 \(X\)에서 \(Y\)로의 단사이다. 

임의의 집합 \(X\), \(Y\)에 대해 \(\text{card}(X)\leq\text{card}(Y)\)이거나 \(\text{card}(Y)\leq\text{card}(X)\)이다.(증명생략)  

슈뢰더-베른슈타인 정리(Schröder-Berstein theorem)

\(\text{card}(X)\leq\text{card}(Y)\)이고 \(\text{card}(Y)\leq\text{card}(X)\)이면, \(\text{card}(X)=\text{card}(Y)\)이다.(증명생략)

 

임의의 집합 \(X\)에 대하여 \(\text{card}(X)\leq\text{card}(2^{X})\)이다.(증명생략) 

집합 \(X\)가 셀 수 있다(countable)는 것은 \(\text{card}(X)\leq\text{card}(\mathbb{N})\)인 것이다. 특히 유한집합은 가산집합(셀 수 있는 집합)이다. \(\text{card}(X)\)를 집합 \(X\)의 원소의 개수라고 생각하는 것이 편하다. 즉 \(\text{card}(X)=n\)일 필요충분조건은 \(\text{card}(X)=\text{card}(\mathbb{N}_{n})\,(\mathbb{N}_{n}=\{1,\,2,\,...,\,n\})\)

a. \(X,\,Y\)가 가산집합이면, \(X\times Y\)도 가산집합이다. 

b. \(A\)가 가산집합이고 모든 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(X_{\alpha}\)가 가산집합이면, \(\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)도 가산집합이다.

c. \(X\)가 가산무한집합이면, \(\text{card}(X)=\text{card}(\mathbb{N})\)이다.

증명:

a: \(\mathbb{N}^{2}\)이 가산집합임을 보이면 충분하다. 함수 \(f:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}^{2}\)을 \(n,\,i,\,j\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(n=i+j\)일 때 \(f(n)=(i,\,j)\)라고 하면, \(f\)는 전단사이다. 

b: \(\alpha\in A\)에 대하여 전사함수 \(f_{\alpha}\,:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,X_{\alpha}\)가 존재하고, \(f(n,\,\alpha)=f_{\alpha}(n)\)으로 정의되는 함수 \(f:\,\mathbb{N}\times A\,\rightarrow\,\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)는 전사함수이다. 따라서 a에 의해 \(\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)는 가산집합이다.

c: \(X\)를 \(\mathbb{N}\)의 무한부분집합, \(f(n)\)을 귀납적으로 \(X-\{f(1),\,...,\,f(n-1)\}\)의 최소원소라고 하자. 그러면 \(f\)는 \(\mathbb{N}\)에서 \(X\)로의 전단사이다. 

\(\mathbb{Z},\,\mathbb{Q}\)는 가산집합이다.

증명: \(\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup\{-n\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)이므로 \(\mathbb{Z}\)는 가산집합이다.

함수 \(f:\,\mathbb{Z}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{Q}\)를 \(n\neq0\)일 때 \(\displaystyle f(m,\,n)=\frac{m}{n}\), \(f(m,\,0)=0\)으로 정의하면 \(f\)는 단사함수이고 따라서 \(\mathbb{Q}\)는 가산집합이다.     

셀 수 없는 집합 \(X\)의 기수를 \(\mathfrak{c}\)로 나타낸다. 즉 \(\text{card}(X)=\mathfrak{c}\)이고 이때 \(\text{card}(X)=\text{card}(\mathbb{R})=\mathfrak{c}\)이다.  

a. \(\text{card}(2^{\mathbb{N}})=\mathfrak{c}\) 

b. \(\text{card}(X)\geq\mathfrak{c}\)이면, \(X\)는 셀 수 없는 집합(비가산집합)이다.

(증명생략)

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications 2nd edition, Folland, Wiley

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 저, 이흥천 옮김, 경문사