[측도론] 1-2 측도와 외측도
X를 σ−대수 M을 갖는 집합이라 하자. M상의 측도(measure)는 다음 조건들을 만족하는 함수 μ:M→[0,∞]이다.
i μ(ϕ)=0
ii {Ei}가 M에서 서로소이면, μ(∞⋃n=1En)=∞∑n=1μ(En)(가산가법성, countable additivity)
집합 X와 σ−대수 M⊂2X에 대하여 (X,M)을 가측공간(measurable space)이라 하고, M의 원소들을 가측집합(measurable set)이라고 한다. μ가 (X,M)에서의 측도일 때, (X,M,μ)를 측도공간(measure space)이라고 한다.
(X,M,μ)를 측도공간이라 하자. μ(X)<∞이면, μ를 유한(finite)이라 하고, μ(Ei)<∞인 Ei∈M에 대하여 X=∞⋃i=1Ei이면, μ를 σ−유한(σ−finite)이라고 하고, E=∞⋃i=1Ei이면, E를 μ에 대해 σ−유한이라고 한다. μ(E)=∞인 E∈M에 대해 F∈M가 존재해서 F⊂E이고 0<μ(F)<∞이면, μ를 반 유한(semi-finite)이라고 한다.
X를 집합, M=2X, f:X→[0,∞]라 하자. 그러면 f는 공식 μ(E)=∑x∈Ef(x)에 의해 측도를 결정한다.
μ가 반 유한일 필요충분조건은 모든 x∈X에 대하여 f(x)<∞이고, μ가 σ−유한일 필요충분조건은 μ가 반 유한이고 집합 {x|f(x)>0}가 가산집합이다.
모든 x∈X에 대하여 f(x)=1이면, μ를 셈측도(counting measure)라 하고, 어떤 x0∈X에 대하여 f(x0)=1이고, x≠x0인 x에 대하여 f(x)=0이면, μ를 x0에서의 점질량(point mass) 또는 x0에서의 디락측도(Dirac measure)라고 한다.
1.8 (X,M,μ)를 측도공간이라 하자.
a. E,F∈M이고 E⊂F이면, μ(E)≤μ(F)이다. (단조성, monotonicity)
b. {Ei}⊂M에 대하여 μ(∞⋃i=1Ei)≤∞∑i=1μ(Ei) (가산준가법성, countable subadditivity)
c. {Ei}⊂M이고 Ei⊂Ei+1이면, μ(∞⋃i=1Ei)=limi→∞μ(Ei) (아래로의 연속성, continuity from below)
d. {Ei}⊂M이고 Ei+1⊂Ei, μ(E1)<∞이면, μ(∞⋂i=1Ei)=limi→∞μ(Ei) (위로의 연속성, continuity from above)
증명:
a. E⊂F이면, F=E∪(F−E)이고 E∩(F−E)=ϕ이므로 μ(F)=μ(E)+μ(F−E)≥μ(E)이다.
b. F1=E1이라 하고, k>1에 대하여 Fk=Ek−k−1⋃i=1Ei라 하면, Fi들은 서로소이고 n⋃i=1Fi=n⋃i=1Ei이므로 a에 의해 다음의 식이 성립한다.μ(∞⋃i=1Ei)=μ(∞⋃i=1Fi)=∞∑i=1μ(Fi)≤∞∑i=1μ(Ei)
c. E0=ϕ라 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.μ(∞⋃i=1Ei)=∞∑i=1μ(Ei−Ei−1)=limn→∞n∑i=1μ(Ei−Ei−1)=limn→∞μ(En)
d. Fi=E1−Ei라 하자. 그러면 Fi⊂Fi+1이고 μ(E1)=μ(Fi)+μ(Ei), ∞⋃i=1Fi=E1−∞⋂i=1Ei이므로 c에 의해μ(E1)=μ(∞⋂i=1Ei)+limi→∞μ(Fi)=μ(∞⋂i=1Ei)+limi→∞{μ(E1)−μ(Ei)}이고, μ(E1)<∞이므로 따라서 μ(∞⋂i=1Ei)=limi→∞μ(Ei)이다.
*d에서 조건 μ(E1)<∞는 필수적이다. μ를 (N,2N)상의 셈측도라 하고 En={n,n+1,...}이라 하면 ∞⋂n=1En=ϕ이나 모든 n∈N에 대하여 μ(En)=∞이다.
(X,M,μ)가 측도공간일 때 μ(E)=0이 되는 E∈M를 영집합(null set)이라고 한다. 가산준가법성에 의해 영집합들의 가산합집합은 영집합이다. 점 x∈X에 관한 명제가 영집합에 속하는 x들을 제외한 나머지들에 대해 참이면, 거의 어디서나(almost everywhere, 줄여서 a.e.)성립한다 또는 거의 모든(almost all) x에 대해 성립한다고 한다.
*μ(E)=0이고 F⊂E이면, 단조성에 의해 μ(F)=0이나 일반적으로 F∈M이라고 할 수는 없다.
측도의 정의역이 영집합의 모든 부분집합들을 포함하면, 즉 μ(E)=0이고 F⊂E일 때 F∈M이면, 그 측도를 완비(complete)라고 한다.
1.9 (X,M,μ)를 측도공간, N={N∈M|μ(N)=0}, ¯M={E∪F|E∈MandF⊂Nfor someN∈N}이라 하자. 그러면 ¯M은 σ−대수이고, ¯M에서 μ를 완비측도로 확장시킨 측도 ¯μ가 유일하게 존재한다.
증명: M, N이 가산합집합에 대해 닫혀있으므로 ¯M도 닫혀있다. E∪F∈¯M(E∈M,F⊂N∈N)이면, E∩N=ϕ라고 가정할 수 있다.(그렇지 않다면 F와 N을 F−E, N−E로 교체한다) 그러면 E∪F=(E∪N)∩(Nc∪F)이고 (E∪F)c=(E∪N)c∪(N−F)이다. (E∪N)c∈M, N−F⊂N이므로 (E∪F)c∈¯M이고 따라서 ¯M은 σ−대수이다.
앞에서처럼 E∪F∈¯M일 때 ¯μ(E∪F)=μ(E)라 하자. E1∪F1=E2∪F2(Fi⊂Ni∈N)이면 E1⊂E2∪N2이고 μ(E1)≤μ(E2∪N2)=μ(E2)이다. E2⊂E1∪N1이므로 μ(E2)≤μ(E1∪N1)=μ(E1)이고 따라서 μ(E1)=μ(E2)이므로 ¯μ는 잘 정의된다.
¯μ(ϕ)=0, N∈N에 대하여 ¯μ(N)=0이므로 {Ci}⊂¯M를 서로소인 열이고 Ci=Ei∪Fi(Ei∈M,Fi∈N)이라 하자. 그러면¯μ(∞⋃i=1Ci)=μ(∞⋃i=1Ei)=∞∑i=1μ(Ei)=∞∑i=1¯μ(Ci)이므로 ¯μ는 측도이다.
*이 정리에서 ¯μ를 μ의 완비화(completion)라 하고, ¯M을 μ에 대한 M의 완비화라고 한다.
집합 X(≠ϕ)에서의 외측도(outer measure) μ∗:2X→[0,∞]는 다음 성질들을 만족시키는 함수이다.
i μ∗(ϕ)=0
ii A⊂B이면, μ∗(A)≤μ∗(B)
iii μ∗(∞⋃i=1Ai)≤∞∑i=1μ∗(Ai)
1.10 E⊂2X라 하고, ρ:E→[0,∞](E는 기본집합족(elementary family))를 ρ(ϕ)=0, ϕ,X∈E라 하자. 임의의 A⊂X에 대하여μ∗(A)=inf{∞∑i=1ρ(Ei)|Ei∈E,A⊂∞⋃i=1Ei}라 하면, μ∗는 외측도이다.
증명: 임의의 A⊂X에 대하여 {Ei}⊂E가 존재해서 A⊂∞⋃i=1Ei(모든 i에 대하여 Ei=X)이므로 μ∗의 정의는 타당하다. 명백히 μ∗(ϕ)=0(모든 i에 대하여 Ei=ϕ)이고 A⊂B에 대하여 μ∗(A)≤μ∗(B)이다.
가산준가법성을 보이기 위해 {Ai}⊂2X라 하고 ϵ>0이라 하자. 각각의 i에 대하여 {Eji}⊂E가 존재하여 Ai⊂∞⋃j=1Eji이고 ∞∑j=1ρ(Eji)≤μ∗(Ai)+ϵ2−i이다. A=∞⋃i=1Ai이면, A⊂∞⋃i,j=1Eji이고 ∑i,jρ(Eji)≤∞∑i=1μ∗(Ai)+ϵ이므로 따라서 μ∗(A)≤∞∑i=1μ∗(Ai)+ϵ이고 ϵ은 임의의 양수이므로 μ∗는 외측도이다.
μ∗가 X에서 외측도일때, A⊂X가 모든 E⊂X에 대하여 다음의 등식μ∗(E)=μ∗(E∩A)+μ∗(E∩Ac)를 만족하면, A를 μ∗−가측(measurable)이라고 한다.
임의의 A와 E에 대하여 μ∗(E)≤μ∗(E∩A)+μ∗(E∩Ac)이고, μ∗(E)=∞일 때 자명하므로 A가 μ∗−가측일 필요충분조건은 μ∗(E)<∞인 E⊂X에 대하여 다음의 부등식이 성립하는 것이다.μ∗(E)≥μ∗(E∩A)+μ∗(E∩Ac)
1.11 카라테오도리 정리(Carathéodory's theorem)
μ∗가 X상의 외측도이면, μ∗−가측집합들을 모은 집합족 M은 σ−대수이고, μ∗|M은 완비측도이다.
증명: A∈M이면,μ∗(E)=μ∗(E∩A)+μ∗(E∩Ac)=μ∗(E∩Ac)+μ∗(E∩(Ac)c)이므로 Ac∈M이다.
A,B∈M이고 E⊂X이면,μ∗(E)=μ∗(E∩A)+μ∗(E∩Ac)=μ∗(E∩(A∩B))+μ∗(E∩(A∩Bc))+μ∗(E∩(Ac∩B))+μ∗(E∩(Ac∩Bc))이고 A∪B=(A∩Bc)∪(A∩B)∪(A∩Bc)이므로 가산준가법성에 의해μ∗(E∩A∩B)+μ∗(E∩A∩Bc)+μ∗(E∩Ac∩B)≥μ∗(E∩(A∪B))이고 따라서μ∗(E)≥μ∗(E∩(A∪B))+μ∗(E∩(A∪B)c)이므로 A∪B∈M이고 M은 대수이다. 게다가 A,B∈M, A∩B=ϕ이면,μ∗(A∪B)=μ∗((A∪B)∩A)+μ∗((A∪B)∩Ac)=μ∗(A)+μ∗(B)이다.
이제 M이 σ−대수임을 보이기 위해 M이 가산합집합에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. {Ai}⊂M를 서로소인 열이라 하고 Bn=n⋃i=1Ai, B=∞⋃i=1Ai라 하자. 그러면 임의의 E⊂X에 대하여μ∗(E∩Bn)=μ∗(E∩Bn∩An)+μ∗(E∩Bn∩Acn)=μ∗(E∩An)+μ∗(E∩Bn−1)이고 수학적귀납법에 의해 μ∗(E∩Bn)=n∑i=1μ∗(E∩An)이므로μ∗(E)=μ∗(E∩Bn)+μ∗(E∩Bcn)≥n∑i=1μ∗(E∩Ai)+μ∗(E∩Bc)이고, 이 부등식에 극한 n→∞를 취하면μ∗(E)≥∞∑i=1μ∗(E∩Ai)+μ∗(E∩Bc)≥μ∗(∞⋃i=1(E∩Ai))+μ∗(E∩Bc)=μ∗(E∩B)+μ∗(E∩Bc)≥μ∗(E)이므로 μ∗(E)=μ∗(E∩B)+μ∗(E∩Bc)이고 B∈M이다. 그러므로 M은 σ−대수이다.
E=B라고 하면 μ∗(B)=∞∑i=1μ∗(Ai)이고, μ∗는 M에서 가산가법적이다.
마지막으로 μ∗(A)=0이면, 임의의 E⊂X에 대하여μ∗(E)≤μ∗(E∩A)+μ∗(E∩Ac)=μ∗(E∩Ac)≤μ∗(E)이므로 A∈M이고 따라서 μ∗|M은 완비측도이다.
A⊂2X가 대수일 때, 다음 조건들을 만족하는 집합함수 μ0:A→[0,∞]를 예비측도(premeasure)라고 한다.
i μ0(ϕ)=0
ii {Ai}⊂A가 ∞⋃i=1Ai∈A를 만족하는 서로소인 열이면, μ0(∞⋃i=1Ai)=∞∑i=1μ0(Ai)
μ0가 A⊂2X에서 예비측도이면, 1.10의 함수 ρ의 성질을 만족하고 X상의 외측도를 유도한다.
1.12 μ0가 A에서의 예비측도이고,μ∗(E)=inf{∞∑i=1μ0(Ai)|Ai∈A,E⊂∞⋃i=1Ai}이면, 다음이 성립한다.
a. μ∗|A=μ0
b. A의 집합들은 모두 μ∗−가측이다.
증명:
a. E∈A라 하자. Ai∈A에 대하여 E⊂∞⋃i=1Ai이면, Bn=E∩(An−n−1⋃i=1Ai)라 하자. 그러면 Bn들은 서로소이고 E=∞⋃n=1Bn이다. μ0(E)=∞∑i=1μ0(Ei)≤∞∑i=1μ0(Ai)이므로 μ0(E)≤μ∗(E)이고, E⊂∞⋃i=1Ai(Ai=E, Ai=ϕ(i≥2))이므로 μ∗(E)≤μ0(E)이고 μ∗(E)=μ0(E)이다.
b. A∈A, E⊂X, ϵ>0이면, {Bi}⊂A가 존재해서 E⊂∞⋃i=1Bi이고 ∞∑i=1μ0(Bi)≤μ∗(E)+ϵ이다. μ0는 A에서 가법적이므로μ∗(E)+ϵ≥∞∑i=1μ0(Bi∩A)+∞∑i=1μ0(Bi∩Ac)≥μ∗(E∩A)+μ∗(E∩Ac)이고 ϵ은 임의의 양수이므로 A는 μ∗−가측이다.
1.13 A⊂2X를 대수, μ0를 A에서의 예비측도, M을 A에 의해 생성된 σ−대수라 하자.
a. M상의 측도 μ가 존재해서 μ|A=μ0이고 μ∗|M=μ이다.(μ∗(E)=inf{∞∑i=1μ0(Ai)|Ai∈A,E⊂∞⋃i=1Ai})
b. ν가 μ0를 확장하는 M상의 또다른 측도이면, 모든 E∈M에 대하여 ν(E)≤μ(E)이고, 등호는 μ(E)<∞일 때 성립한다.
c. μ0가 σ−유한이면, μ는 M상에서 μ0가 측도가 되게 하는 유일한 확대사상이다.
증명:
a. 카라테오도리 정리(1.11)dhk 1.12로부터 성립하는데 그 이유는 μ∗−가측집합들의 σ−대수는 A를 포함하고 따라서 M을 포함한다.
b. E⊂M, E⊂∞⋃i=1Ai(Ai∈A)이면, ν(E)≤∞∑i=1ν(Ai)=∞∑i=1μ0(Ai)이고 따라서 ν(E)≤μ(E)이다. 또한 A=∞⋃i=1Ai이면ν(A)=limn→∞ν(n⋃i=1Ai)=limn→∞ν(n⋃i=1Ai)=μ(A)이고, μ(E)<∞이면, μ(A)<μ(E)+ϵ인 Ai들을 고를 수 있고, 따라서 μ(A−E)<ϵ이고μ(E)≤μ(A)=ν(A)=ν(E)+ν(A−E)≤ν(E)+ϵ이다. ϵ은 임의의 양수이므로 μ(E)≤ν(E)이고 ν(E)=μ(E)이다.
c. X=∞⋃i=1Ai(μ(Ai)<∞, Ai는 서로소)라 하자. 그러면 임의의 E∈M에 대하여μ(E)=∞∑i=1μ(E∩Ai)=∞∑i=1ν(E∩Ai)=ν(E)이므로 μ=ν이다.
참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley
실해석&함수해석학, 방현수, 교우사
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