[측도론] 1-2 측도와 외측도

[측도론] 1-2 측도와 외측도

$X$를 $\sigma-$대수 $\mathcal{M}$을 갖는 집합이라 하자. $\mathcal{M}$상의 측도(measure)는 다음 조건들을 만족하는 함수 $\mu:\,\mathcal{M}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$이다. 

i $\mu(\phi)=0$ 

ii $\{E_{i}\}$가 $\mathcal{M}$에서 서로소이면, $\displaystyle\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(E_{n})}$(가산가법성, countable additivity)

집합 $X$와 $\sigma-$대수 $\mathcal{M}\subset2^{X}$에 대하여 $(X,\,\mathcal{M})$을 가측공간(measurable space)이라 하고, $\mathcal{M}$의 원소들을 가측집합(measurable set)이라고 한다. $\mu$가 $(X,\,\mathcal{M})$에서의 측도일 때, $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 측도공간(measure space)이라고 한다. 

$(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 측도공간이라 하자. $\mu(X)<\infty$이면, $\mu$를 유한(finite)이라 하고, $\mu(E_{i})<\infty$인 $E_{i}\in\mathcal{M}$에 대하여 $\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$이면, $\mu$를 $\sigma-$유한($\sigma-$finite)이라고 하고, $\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$이면, $E$를 $\mu$에 대해 $\sigma-$유한이라고 한다. $\mu(E)=\infty$인 $E\in\mathcal{M}$에 대해 $F\in\mathcal{M}$가 존재해서 $F\subset E$이고 $0<\mu(F)<\infty$이면, $\mu$를 반 유한(semi-finite)이라고 한다. 

$X$를 집합, $\mathcal{M}=2^{X}$, $f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$라 하자. 그러면 $f$는 공식 $\displaystyle\mu(E)=\sum_{x\in E}{f(x)}$에 의해 측도를 결정한다. 

$\mu$가 반 유한일 필요충분조건은 모든 $x\in X$에 대하여 $f(x)<\infty$이고, $\mu$가 $\sigma-$유한일 필요충분조건은 $\mu$가 반 유한이고 집합 $\{x\,|\,f(x)>0\}$가 가산집합이다.

모든 $x\in X$에 대하여 $f(x)=1$이면, $\mu$를 셈측도(counting measure)라 하고, 어떤 $x_{0}\in X$에 대하여 $f(x_{0})=1$이고, $x\neq x_{0}$인 $x$에 대하여 $f(x)=0$이면, $\mu$를 $x_{0}$에서의 점질량(point mass) 또는 $x_{0}$에서의 디락측도(Dirac measure)라고 한다.        

1.8 $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 측도공간이라 하자.  

a. $E,\,F\in\mathcal{M}$이고 $E\subset F$이면, $\mu(E)\leq\mu(F)$이다. (단조성, monotonicity) 

b. $\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}$에 대하여 $\displaystyle\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i})}$ (가산준가법성, countable subadditivity) 

c. $\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}$이고 $E_{i}\subset E_{i+1}$이면, $\displaystyle\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{i})}$ (아래로의 연속성, continuity from below) 

d. $\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}$이고 $E_{i+1}\subset E_{i}$, $\mu(E_{1})<\infty$이면, $\displaystyle\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{i})}$ (위로의 연속성, continuity from above) 

증명: 

a. $E\subset F$이면, $F=E\cup(F-E)$이고 $E\cap(F-E)=\phi$이므로 $\mu(F)=\mu(E)+\mu(F-E)\geq\mu(E)$이다. 

b. $F_{1}=E_{1}$이라 하고, $k>1$에 대하여 $\displaystyle F_{k}=E_{k}-\bigcup_{i=1}^{k-1}{E_{i}}$라 하면, $F_{i}$들은 서로소이고 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}=\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}$이므로 a에 의해 다음의 식이 성립한다. $$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(F_{i})}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i})}$$  

c. $E_{0}=\phi$라 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다. $$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i}-E_{i-1})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\mu(E_{i}-E_{i-1})}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{n})}$$  

d. $F_{i}=E_{1}-E_{i}$라 하자. 그러면 $F_{i}\subset F_{i+1}$이고 $\mu(E_{1})=\mu(F_{i})+\mu(E_{i})$, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}=E_{1}-\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$이므로 c에 의해 $$\mu(E_{1})=\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)+\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(F_{i})}=\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)+\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\{\mu(E_{1})-\mu(E_{i})\}}$$ 이고, $\mu(E_{1})<\infty$이므로 따라서 $\displaystyle\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{i})}$이다. 

*d에서 조건 $\mu(E_{1})<\infty$는 필수적이다. $\mu$를 $(\mathbb{N},\,2^{\mathbb{N}})$상의 셈측도라 하고 $E_{n}=\{n,\,n+1,\,...\}$이라 하면 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}=\phi$이나 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\mu(E_{n})=\infty$이다.    

$(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$가 측도공간일 때 $\mu(E)=0$이 되는 $E\in\mathcal{M}$를 영집합(null set)이라고 한다. 가산준가법성에 의해 영집합들의 가산합집합은 영집합이다. 점 $x\in X$에 관한 명제가 영집합에 속하는 $x$들을 제외한 나머지들에 대해 참이면, 거의 어디서나(almost everywhere, 줄여서 a.e.)성립한다 또는 거의 모든(almost all) $x$에 대해 성립한다고 한다. 

*$\mu(E)=0$이고 $F\subset E$이면, 단조성에 의해 $\mu(F)=0$이나 일반적으로 $F\in\mathcal{M}$이라고 할 수는 없다.

측도의 정의역이 영집합의 모든 부분집합들을 포함하면, 즉 $\mu(E)=0$이고 $F\subset E$일 때 $F\in\mathcal{M}$이면, 그 측도를 완비(complete)라고 한다. 

1.9 $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 측도공간, $\mathcal{N}=\{N\in\mathcal{M}\,|\,\mu(N)=0\}$, $\overline{\mathcal{M}}=\{E\cup F\,|\,E\in\mathcal{M}\,\text{and}\,F\subset N\,\text{for some}\,N\in\mathcal{N}\}$이라 하자. 그러면 $\overline{\mathcal{M}}$은 $\sigma-$대수이고, $\overline{\mathcal{M}}$에서 $\mu$를 완비측도로 확장시킨 측도 $\overline{\mu}$가 유일하게 존재한다.  

증명: $\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$이 가산합집합에 대해 닫혀있으므로 $\overline{\mathcal{M}}$도 닫혀있다. $E\cup F\in\overline{\mathcal{M}}(E\in\mathcal{M},\,F\subset N\in\mathcal{N})$이면, $E\cap N=\phi$라고 가정할 수 있다.(그렇지 않다면 $F$와 $N$을 $F-E$, $N-E$로 교체한다) 그러면 $E\cup F=(E\cup N)\cap(N^{c}\cup F)$이고 $(E\cup F)^{c}=(E\cup N)^{c}\cup(N-F)$이다. $(E\cup N)^{c}\in\mathcal{M}$, $N-F\subset N$이므로 $(E\cup F)^{c}\in\overline{\mathcal{M}}$이고 따라서 $\overline{\mathcal{M}}$은 $\sigma-$대수이다. 

앞에서처럼 $E\cup F\in\overline{\mathcal{M}}$일 때 $\overline{\mu}(E\cup F)=\mu(E)$라 하자. $E_{1}\cup F_{1}=E_{2}\cup F_{2}\,(F_{i}\subset N_{i}\in\mathcal{N})$이면 $E_{1}\subset E_{2}\cup N_{2}$이고 $\mu(E_{1})\leq\mu(E_{2}\cup N_{2})=\mu(E_{2})$이다. $E_{2}\subset E_{1}\cup N_{1}$이므로 $\mu(E_{2})\leq\mu(E_{1}\cup N_{1})=\mu(E_{1})$이고 따라서 $\mu(E_{1})=\mu(E_{2})$이므로 $\overline{\mu}$는 잘 정의된다.

$\overline{\mu}(\phi)=0$, $N\in\mathcal{N}$에 대하여 $\overline{\mu}(N)=0$이므로 $\{C_{i}\}\subset\overline{\mathcal{M}}$를 서로소인 열이고 $C_{i}=E_{i}\cup F_{i}\,(E_{i}\in\mathcal{M},\,F_{i}\in\mathcal{N})$이라 하자. 그러면 $$\overline{\mu}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{C_{i}}\right)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i})}=\sum_{i=1}^{\infty}{\overline{\mu}(C_{i})}$$ 이므로 $\overline{\mu}$는 측도이다.      

*이 정리에서 $\overline{\mu}$를 $\mu$의 완비화(completion)라 하고, $\overline{\mathcal{M}}$을 $\mu$에 대한 $\mathcal{M}$의 완비화라고 한다.  

집합 $X(\neq\phi)$에서의 외측도(outer measure) $\mu^{*}:\,2^{X}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$는 다음 성질들을 만족시키는 함수이다.  

i $\mu^{*}(\phi)=0$ 

ii $A\subset B$이면, $\mu^{*}(A)\leq\mu^{*}(B)$

iii $\displaystyle\mu^{*}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(A_{i})}$ 

1.10 $\mathcal{E}\subset2^{X}$라 하고, $\rho:\,\mathcal{E}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$($\mathcal{E}$는 기본집합족(elementary family))를 $\rho(\phi)=0$, $\phi,\,X\in\mathcal{E}$라 하자. 임의의 $A\subset X$에 대하여 $$\mu^{*}(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\rho(E_{i})}\,|\,E_{i}\in\mathcal{E},\,A\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right\}$$ 라 하면, $\mu^{*}$는 외측도이다.

증명: 임의의 $A\subset X$에 대하여 $\{E_{i}\}\subset\mathcal{E}$가 존재해서 $\displaystyle A\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$(모든 $i$에 대하여 $E_{i}=X$)이므로 $\mu^{*}$의 정의는 타당하다. 명백히 $\mu^{*}(\phi)=0$(모든 $i$에 대하여 $E_{i}=\phi$)이고 $A\subset B$에 대하여 $\mu^{*}(A)\leq\mu^{*}(B)$이다. 

가산준가법성을 보이기 위해 $\{A_{i}\}\subset2^{X}$라 하고 $\epsilon>0$이라 하자. 각각의 $i$에 대하여 $\{E_{i}^{j}\}\subset\mathcal{E}$가 존재하여 $\displaystyle A_{i}\subset\bigcup_{j=1}^{\infty}{E_{i}^{j}}$이고 $\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}{\rho(E_{i}^{j})}\leq\mu^{*}(A_{i})+\epsilon2^{-i}$이다. $\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$이면, $\displaystyle A\subset\bigcup_{i,\,j=1}^{\infty}{E_{i}^{j}}$이고 $\displaystyle\sum_{i,\,j}{\rho(E_{i}^{j})}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(A_{i})}+\epsilon$이므로 따라서 $\displaystyle\mu^{*}(A)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(A_{i})}+\epsilon$이고 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $\mu^{*}$는 외측도이다.   

$\mu^{*}$가 $X$에서 외측도일때, $A\subset X$가 모든 $E\subset X$에 대하여 다음의 등식 $$\mu^{*}(E)=\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})$$ 를 만족하면, $A$를 $\mu^{*}-$가측(measurable)이라고 한다.

임의의 $A$와 $E$에 대하여 $\mu^{*}(E)\leq\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})$이고, $\mu^{*}(E)=\infty$일 때 자명하므로 $A$가 $\mu^{*}-$가측일 필요충분조건은 $\mu^{*}(E)<\infty$인 $E\subset X$에 대하여 다음의 부등식이 성립하는 것이다. $$\mu^{*}(E)\geq\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})$$

1.11 카라테오도리 정리(Carathéodory's theorem)    

$\mu^{*}$가 $X$상의 외측도이면, $\mu^{*}-$가측집합들을 모은 집합족 $\mathcal{M}$은 $\sigma-$대수이고, $\mu^{*}|_{\mathcal{M}}$은 완비측도이다.  

증명: $A\in\mathcal{M}$이면, $$\mu^{*}(E)=\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})=\mu^{*}(E\cap A^{c})+\mu^{*}(E\cap (A^{c})^{c})$$ 이므로 $A^{c}\in\mathcal{M}$이다. 

$A,\,B\in\mathcal{M}$이고 $E\subset X$이면, $$\begin{align*}\mu^{*}(E)&=\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})\\&=\mu^{*}(E\cap(A\cap B))+\mu^{*}(E\cap(A\cap B^{c}))+\mu^{*}(E\cap(A^{c}\cap B))+\mu^{*}(E\cap(A^{c}\cap B^{c}))\end{align*}$$ 이고 $A\cup B=(A\cap B^{c})\cup(A\cap B)\cup(A\cap B^{c})$이므로 가산준가법성에 의해 $$\mu^{*}(E\cap A\cap B)+\mu^{*}(E\cap A\cap B^{c})+\mu^{*}(E\cap A^{c}\cap B)\geq\mu^{*}(E\cap(A\cup B))$$ 이고 따라서 $$\mu^{*}(E)\geq\mu^{*}(E\cap(A\cup B))+\mu^{*}(E\cap(A\cup B)^{c})$$ 이므로 $A\cup B\in\mathcal{M}$이고 $\mathcal{M}$은 대수이다. 게다가 $A,\,B\in\mathcal{M}$, $A\cap B=\phi$이면, $$\mu^{*}(A\cup B)=\mu^{*}((A\cup B)\cap A)+\mu^{*}((A\cup B)\cap A^{c})=\mu^{*}(A)+\mu^{*}(B)$$ 이다.   

이제 $\mathcal{M}$이 $\sigma-$대수임을 보이기 위해 $\mathcal{M}$이 가산합집합에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. $\{A_{i}\}\subset\mathcal{M}$를 서로소인 열이라 하고 $\displaystyle B_{n}=\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}$, $\displaystyle B=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$라 하자. 그러면 임의의 $E\subset X$에 대하여 $$\mu^{*}(E\cap B_{n})=\mu^{*}(E\cap B_{n}\cap A_{n})+\mu^{*}(E\cap B_{n}\cap A_{n}^{c})=\mu^{*}(E\cap A_{n})+\mu^{*}(E\cap B_{n-1})$$ 이고 수학적귀납법에 의해 $\displaystyle\mu^{*}(E\cap B_{n})=\sum_{i=1}^{n}{\mu^{*}(E\cap A_{n})}$이므로 $$\mu^{*}(E)=\mu^{*}(E\cap B_{n})+\mu^{*}(E\cap B_{n}^{c})\geq\sum_{i=1}^{n}{\mu^{*}(E\cap A_{i})}+\mu^{*}(E\cap B^{c})$$ 이고, 이 부등식에 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$를 취하면 $$\begin{align*}\mu^{*}(E)&\geq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(E\cap A_{i})}+\mu^{*}(E\cap B^{c})\\&\geq\mu^{*}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{(E\cap A_{i})}\right)+\mu^{*}(E\cap B^{c})\\&=\mu^{*}(E\cap B)+\mu^{*}(E\cap B^{c})\geq\mu^{*}(E)\end{align*}$$ 이므로 $\mu^{*}(E)=\mu^{*}(E\cap B)+\mu^{*}(E\cap B^{c})$이고 $B\in\mathcal{M}$이다. 그러므로 $\mathcal{M}$은 $\sigma-$대수이다.

$E=B$라고 하면 $\displaystyle\mu^{*}(B)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(A_{i})}$이고, $\mu^{*}$는 $\mathcal{M}$에서 가산가법적이다.

마지막으로 $\mu^{*}(A)=0$이면, 임의의 $E\subset X$에 대하여 $$\mu^{*}(E)\leq\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})=\mu^{*}(E\cap A^{c})\leq\mu^{*}(E)$$ 이므로 $A\in\mathcal{M}$이고 따라서 $\mu^{*}|_{\mathcal{M}}$은 완비측도이다.

$\mathcal{A}\subset2^{X}$가 대수일 때, 다음 조건들을 만족하는 집합함수 $\mu_{0}:\,\mathcal{A}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$를 예비측도(premeasure)라고 한다.

i $\mu_{0}(\phi)=0$ 

ii $\{A_{i}\}\subset\mathcal{A}$가 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\in\mathcal{A}$를 만족하는 서로소인 열이면, $\displaystyle\mu_{0}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}$ 

$\mu_{0}$가 $\mathcal{A}\subset2^{X}$에서 예비측도이면, 1.10의 함수 $\rho$의 성질을 만족하고 $X$상의 외측도를 유도한다. 

1.12 $\mu_{0}$가 $\mathcal{A}$에서의 예비측도이고, $$\mu^{*}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}\,|\,A_{i}\in\mathcal{A},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right\}$$ 이면, 다음이 성립한다.   

a. $\mu^{*}|_{\mathcal{A}}=\mu_{0}$ 

b. $\mathcal{A}$의 집합들은 모두 $\mu^{*}-$가측이다. 

증명: 

a. $E\in\mathcal{A}$라 하자. $A_{i}\in\mathcal{A}$에 대하여 $\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$이면, $\displaystyle B_{n}=E\cap\left(A_{n}-\bigcup_{i=1}^{n-1}{A_{i}}\right)$라 하자. 그러면 $B_{n}$들은 서로소이고 $\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}$이다. $\displaystyle\mu_{0}(E)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(E_{i})}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}$이므로 $\mu_{0}(E)\leq\mu^{*}(E)$이고, $\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$($A_{i}=E$, $A_{i}=\phi(i\geq2)$)이므로 $\mu^{*}(E)\leq\mu_{0}(E)$이고 $\mu^{*}(E)=\mu_{0}(E)$이다. 

b. $A\in\mathcal{A}$, $E\subset X$, $\epsilon>0$이면, $\{B_{i}\}\subset\mathcal{A}$가 존재해서 $\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{B_{i}}$이고 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(B_{i})}\leq\mu^{*}(E)+\epsilon$이다. $\mu_{0}$는 $\mathcal{A}$에서 가법적이므로 $$\mu^{*}(E)+\epsilon\geq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(B_{i}\cap A)}+\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(B_{i}\cap A^{c})}\geq\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})$$ 이고 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $A$는 $\mu^{*}-$가측이다. 

1.13 $\mathcal{A}\subset2^{X}$를 대수, $\mu_{0}$를 $\mathcal{A}$에서의 예비측도, $\mathcal{M}$을 $\mathcal{A}$에 의해 생성된 $\sigma-$대수라 하자. 

a. $\mathcal{M}$상의 측도 $\mu$가 존재해서 $\mu|_{\mathcal{A}}=\mu_{0}$이고 $\mu^{*}|_{\mathcal{M}}=\mu$이다. $$\left(\mu^{*}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}\,|\,A_{i}\in\mathcal{A},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right\}\right)$$  

b. $\nu$가 $\mu_{0}$를 확장하는 $\mathcal{M}$상의 또다른 측도이면, 모든 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 $\nu(E)\leq\mu(E)$이고, 등호는 $\mu(E)<\infty$일 때 성립한다. 

c. $\mu_{0}$가 $\sigma-$유한이면, $\mu$는 $\mathcal{M}$상에서 $\mu_{0}$가 측도가 되게 하는 유일한 확대사상이다. 

증명: 

a. 카라테오도리 정리(1.11)dhk 1.12로부터 성립하는데 그 이유는 $\mu^{*}-$가측집합들의 $\sigma-$대수는 $\mathcal{A}$를 포함하고 따라서 $\mathcal{M}$을 포함한다.  

b. $E\subset\mathcal{M}$, $\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\,(A_{i}\in\mathcal{A})$이면, $\displaystyle\nu(E)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(A_{i})}=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}$이고 따라서 $\nu(E)\leq\mu(E)$이다. 또한 $\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$이면 $$\nu(A)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\nu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\nu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\right)}=\mu(A)$$ 이고, $\mu(E)<\infty$이면, $\mu(A)<\mu(E)+\epsilon$인 $A_{i}$들을 고를 수 있고, 따라서 $\mu(A-E)<\epsilon$이고 $$\mu(E)\leq\mu(A)=\nu(A)=\nu(E)+\nu(A-E)\leq\nu(E)+\epsilon$$ 이다. $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $\mu(E)\leq\nu(E)$이고 $\nu(E)=\mu(E)$이다.   

c. $\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$($\mu(A_{i})<\infty$, $A_{i}$는 서로소)라 하자. 그러면 임의의 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 $$\mu(E)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E\cap A_{i})}=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E\cap A_{i})}=\nu(E)$$ 이므로 $\mu=\nu$이다.  

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사