[측도론] 1-2 측도와 외측도

[측도론] 1-2 측도와 외측도

\(X\)를 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{M}\)을 갖는 집합이라 하자. \(\mathcal{M}\)상의 측도(measure)는 다음 조건들을 만족하는 함수 \(\mu:\,\mathcal{M}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)이다. 

i \(\mu(\phi)=0\) 

ii \(\{E_{i}\}\)가 \(\mathcal{M}\)에서 서로소이면, \(\displaystyle\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(E_{n})}\)(가산가법성, countable additivity)

집합 \(X\)와 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{M}\subset2^{X}\)에 대하여 \((X,\,\mathcal{M})\)을 가측공간(measurable space)이라 하고, \(\mathcal{M}\)의 원소들을 가측집합(measurable set)이라고 한다. \(\mu\)가 \((X,\,\mathcal{M})\)에서의 측도일 때, \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 측도공간(measure space)이라고 한다. 

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 측도공간이라 하자. \(\mu(X)<\infty\)이면, \(\mu\)를 유한(finite)이라 하고, \(\mu(E_{i})<\infty\)인 \(E_{i}\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)이면, \(\mu\)를 \(\sigma-\)유한(\(\sigma-\)finite)이라고 하고, \(\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)이면, \(E\)를 \(\mu\)에 대해 \(\sigma-\)유한이라고 한다. \(\mu(E)=\infty\)인 \(E\in\mathcal{M}\)에 대해 \(F\in\mathcal{M}\)가 존재해서 \(F\subset E\)이고 \(0<\mu(F)<\infty\)이면, \(\mu\)를 반 유한(semi-finite)이라고 한다. 

\(X\)를 집합, \(\mathcal{M}=2^{X}\), \(f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)라 하자. 그러면 \(f\)는 공식 \(\displaystyle\mu(E)=\sum_{x\in E}{f(x)}\)에 의해 측도를 결정한다. 

\(\mu\)가 반 유한일 필요충분조건은 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(f(x)<\infty\)이고, \(\mu\)가 \(\sigma-\)유한일 필요충분조건은 \(\mu\)가 반 유한이고 집합 \(\{x\,|\,f(x)>0\}\)가 가산집합이다.

모든 \(x\in X\)에 대하여 \(f(x)=1\)이면, \(\mu\)를 셈측도(counting measure)라 하고, 어떤 \(x_{0}\in X\)에 대하여 \(f(x_{0})=1\)이고, \(x\neq x_{0}\)인 \(x\)에 대하여 \(f(x)=0\)이면, \(\mu\)를 \(x_{0}\)에서의 점질량(point mass) 또는 \(x_{0}\)에서의 디락측도(Dirac measure)라고 한다.        

1.8 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 측도공간이라 하자.  

a. \(E,\,F\in\mathcal{M}\)이고 \(E\subset F\)이면, \(\mu(E)\leq\mu(F)\)이다. (단조성, monotonicity) 

b. \(\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}\)에 대하여 \(\displaystyle\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i})}\) (가산준가법성, countable subadditivity) 

c. \(\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}\)이고 \(E_{i}\subset E_{i+1}\)이면, \(\displaystyle\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{i})}\) (아래로의 연속성, continuity from below) 

d. \(\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}\)이고 \(E_{i+1}\subset E_{i}\), \(\mu(E_{1})<\infty\)이면, \(\displaystyle\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{i})}\) (위로의 연속성, continuity from above) 

증명: 

a. \(E\subset F\)이면, \(F=E\cup(F-E)\)이고 \(E\cap(F-E)=\phi\)이므로 \(\mu(F)=\mu(E)+\mu(F-E)\geq\mu(E)\)이다. 

b. \(F_{1}=E_{1}\)이라 하고, \(k>1\)에 대하여 \(\displaystyle F_{k}=E_{k}-\bigcup_{i=1}^{k-1}{E_{i}}\)라 하면, \(F_{i}\)들은 서로소이고 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}=\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\)이므로 a에 의해 다음의 식이 성립한다.$$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(F_{i})}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i})}$$ 

c. \(E_{0}=\phi\)라 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.$$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i}-E_{i-1})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\mu(E_{i}-E_{i-1})}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{n})}$$ 

d. \(F_{i}=E_{1}-E_{i}\)라 하자. 그러면 \(F_{i}\subset F_{i+1}\)이고 \(\mu(E_{1})=\mu(F_{i})+\mu(E_{i})\), \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}=E_{1}-\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)이므로 c에 의해$$\mu(E_{1})=\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)+\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(F_{i})}=\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)+\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\{\mu(E_{1})-\mu(E_{i})\}}$$이고, \(\mu(E_{1})<\infty\)이므로 따라서 \(\displaystyle\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{i})}\)이다. 

*d에서 조건 \(\mu(E_{1})<\infty\)는 필수적이다. \(\mu\)를 \((\mathbb{N},\,2^{\mathbb{N}})\)상의 셈측도라 하고 \(E_{n}=\{n,\,n+1,\,...\}\)이라 하면 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}=\phi\)이나 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\mu(E_{n})=\infty\)이다.    

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)가 측도공간일 때 \(\mu(E)=0\)이 되는 \(E\in\mathcal{M}\)를 영집합(null set)이라고 한다. 가산준가법성에 의해 영집합들의 가산합집합은 영집합이다. 점 \(x\in X\)에 관한 명제가 영집합에 속하는 \(x\)들을 제외한 나머지들에 대해 참이면, 거의 어디서나(almost everywhere, 줄여서 a.e.)성립한다 또는 거의 모든(almost all) \(x\)에 대해 성립한다고 한다. 

*\(\mu(E)=0\)이고 \(F\subset E\)이면, 단조성에 의해 \(\mu(F)=0\)이나 일반적으로 \(F\in\mathcal{M}\)이라고 할 수는 없다.

측도의 정의역이 영집합의 모든 부분집합들을 포함하면, 즉 \(\mu(E)=0\)이고 \(F\subset E\)일 때 \(F\in\mathcal{M}\)이면, 그 측도를 완비(complete)라고 한다. 

1.9 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 측도공간, \(\mathcal{N}=\{N\in\mathcal{M}\,|\,\mu(N)=0\}\), \(\overline{\mathcal{M}}=\{E\cup F\,|\,E\in\mathcal{M}\,\text{and}\,F\subset N\,\text{for some}\,N\in\mathcal{N}\}\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\mathcal{M}}\)은 \(\sigma-\)대수이고, \(\overline{\mathcal{M}}\)에서 \(\mu\)를 완비측도로 확장시킨 측도 \(\overline{\mu}\)가 유일하게 존재한다.  

증명: \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{N}\)이 가산합집합에 대해 닫혀있으므로 \(\overline{\mathcal{M}}\)도 닫혀있다. \(E\cup F\in\overline{\mathcal{M}}(E\in\mathcal{M},\,F\subset N\in\mathcal{N})\)이면, \(E\cap N=\phi\)라고 가정할 수 있다.(그렇지 않다면 \(F\)와 \(N\)을 \(F-E\), \(N-E\)로 교체한다) 그러면 \(E\cup F=(E\cup N)\cap(N^{c}\cup F)\)이고 \((E\cup F)^{c}=(E\cup N)^{c}\cup(N-F)\)이다. \((E\cup N)^{c}\in\mathcal{M}\), \(N-F\subset N\)이므로 \((E\cup F)^{c}\in\overline{\mathcal{M}}\)이고 따라서 \(\overline{\mathcal{M}}\)은 \(\sigma-\)대수이다. 

앞에서처럼 \(E\cup F\in\overline{\mathcal{M}}\)일 때 \(\overline{\mu}(E\cup F)=\mu(E)\)라 하자. \(E_{1}\cup F_{1}=E_{2}\cup F_{2}\,(F_{i}\subset N_{i}\in\mathcal{N})\)이면 \(E_{1}\subset E_{2}\cup N_{2}\)이고 \(\mu(E_{1})\leq\mu(E_{2}\cup N_{2})=\mu(E_{2})\)이다. \(E_{2}\subset E_{1}\cup N_{1}\)이므로 \(\mu(E_{2})\leq\mu(E_{1}\cup N_{1})=\mu(E_{1})\)이고 따라서 \(\mu(E_{1})=\mu(E_{2})\)이므로 \(\overline{\mu}\)는 잘 정의된다.

\(\overline{\mu}(\phi)=0\), \(N\in\mathcal{N}\)에 대하여 \(\overline{\mu}(N)=0\)이므로 \(\{C_{i}\}\subset\overline{\mathcal{M}}\)를 서로소인 열이고 \(C_{i}=E_{i}\cup F_{i}\,(E_{i}\in\mathcal{M},\,F_{i}\in\mathcal{N})\)이라 하자. 그러면$$\overline{\mu}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{C_{i}}\right)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i})}=\sum_{i=1}^{\infty}{\overline{\mu}(C_{i})}$$이므로 \(\overline{\mu}\)는 측도이다.      

*이 정리에서 \(\overline{\mu}\)를 \(\mu\)의 완비화(completion)라 하고, \(\overline{\mathcal{M}}\)을 \(\mu\)에 대한 \(\mathcal{M}\)의 완비화라고 한다.  

집합 \(X(\neq\phi)\)에서의 외측도(outer measure) \(\mu^{*}:\,2^{X}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)는 다음 성질들을 만족시키는 함수이다.  

i \(\mu^{*}(\phi)=0\) 

ii \(A\subset B\)이면, \(\mu^{*}(A)\leq\mu^{*}(B)\)

iii \(\displaystyle\mu^{*}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(A_{i})}\) 

1.10 \(\mathcal{E}\subset2^{X}\)라 하고, \(\rho:\,\mathcal{E}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)(\(\mathcal{E}\)는 기본집합족(elementary family))를 \(\rho(\phi)=0\), \(\phi,\,X\in\mathcal{E}\)라 하자. 임의의 \(A\subset X\)에 대하여$$\mu^{*}(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\rho(E_{i})}\,|\,E_{i}\in\mathcal{E},\,A\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right\}$$라 하면, \(\mu^{*}\)는 외측도이다.

증명: 임의의 \(A\subset X\)에 대하여 \(\{E_{i}\}\subset\mathcal{E}\)가 존재해서 \(\displaystyle A\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)(모든 \(i\)에 대하여 \(E_{i}=X\))이므로 \(\mu^{*}\)의 정의는 타당하다. 명백히 \(\mu^{*}(\phi)=0\)(모든 \(i\)에 대하여 \(E_{i}=\phi\))이고 \(A\subset B\)에 대하여 \(\mu^{*}(A)\leq\mu^{*}(B)\)이다. 

가산준가법성을 보이기 위해 \(\{A_{i}\}\subset2^{X}\)라 하고 \(\epsilon>0\)이라 하자. 각각의 \(i\)에 대하여 \(\{E_{i}^{j}\}\subset\mathcal{E}\)가 존재하여 \(\displaystyle A_{i}\subset\bigcup_{j=1}^{\infty}{E_{i}^{j}}\)이고 \(\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}{\rho(E_{i}^{j})}\leq\mu^{*}(A_{i})+\epsilon2^{-i}\)이다. \(\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)이면, \(\displaystyle A\subset\bigcup_{i,\,j=1}^{\infty}{E_{i}^{j}}\)이고 \(\displaystyle\sum_{i,\,j}{\rho(E_{i}^{j})}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(A_{i})}+\epsilon\)이므로 따라서 \(\displaystyle\mu^{*}(A)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(A_{i})}+\epsilon\)이고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\mu^{*}\)는 외측도이다.   

\(\mu^{*}\)가 \(X\)에서 외측도일때, \(A\subset X\)가 모든 \(E\subset X\)에 대하여 다음의 등식$$\mu^{*}(E)=\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})$$를 만족하면, \(A\)를 \(\mu^{*}-\)가측(measurable)이라고 한다.

임의의 \(A\)와 \(E\)에 대하여 \(\mu^{*}(E)\leq\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})\)이고, \(\mu^{*}(E)=\infty\)일 때 자명하므로 \(A\)가 \(\mu^{*}-\)가측일 필요충분조건은 \(\mu^{*}(E)<\infty\)인 \(E\subset X\)에 대하여 다음의 부등식이 성립하는 것이다.$$\mu^{*}(E)\geq\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})$$

1.11 카라테오도리 정리(Carathéodory's theorem)    

\(\mu^{*}\)가 \(X\)상의 외측도이면, \(\mu^{*}-\)가측집합들을 모은 집합족 \(\mathcal{M}\)은 \(\sigma-\)대수이고, \(\mu^{*}|_{\mathcal{M}}\)은 완비측도이다.  

증명: \(A\in\mathcal{M}\)이면,$$\mu^{*}(E)=\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})=\mu^{*}(E\cap A^{c})+\mu^{*}(E\cap (A^{c})^{c})$$이므로 \(A^{c}\in\mathcal{M}\)이다. 

\(A,\,B\in\mathcal{M}\)이고 \(E\subset X\)이면,$$\begin{align*}\mu^{*}(E)&=\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})\\&=\mu^{*}(E\cap(A\cap B))+\mu^{*}(E\cap(A\cap B^{c}))+\mu^{*}(E\cap(A^{c}\cap B))+\mu^{*}(E\cap(A^{c}\cap B^{c}))\end{align*}$$이고 \(A\cup B=(A\cap B^{c})\cup(A\cap B)\cup(A\cap B^{c})\)이므로 가산준가법성에 의해$$\mu^{*}(E\cap A\cap B)+\mu^{*}(E\cap A\cap B^{c})+\mu^{*}(E\cap A^{c}\cap B)\geq\mu^{*}(E\cap(A\cup B))$$이고 따라서$$\mu^{*}(E)\geq\mu^{*}(E\cap(A\cup B))+\mu^{*}(E\cap(A\cup B)^{c})$$이므로 \(A\cup B\in\mathcal{M}\)이고 \(\mathcal{M}\)은 대수이다. 게다가 \(A,\,B\in\mathcal{M}\), \(A\cap B=\phi\)이면,$$\mu^{*}(A\cup B)=\mu^{*}((A\cup B)\cap A)+\mu^{*}((A\cup B)\cap A^{c})=\mu^{*}(A)+\mu^{*}(B)$$이다.   

이제 \(\mathcal{M}\)이 \(\sigma-\)대수임을 보이기 위해 \(\mathcal{M}\)이 가산합집합에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. \(\{A_{i}\}\subset\mathcal{M}\)를 서로소인 열이라 하고 \(\displaystyle B_{n}=\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\), \(\displaystyle B=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)라 하자. 그러면 임의의 \(E\subset X\)에 대하여$$\mu^{*}(E\cap B_{n})=\mu^{*}(E\cap B_{n}\cap A_{n})+\mu^{*}(E\cap B_{n}\cap A_{n}^{c})=\mu^{*}(E\cap A_{n})+\mu^{*}(E\cap B_{n-1})$$이고 수학적귀납법에 의해 \(\displaystyle\mu^{*}(E\cap B_{n})=\sum_{i=1}^{n}{\mu^{*}(E\cap A_{n})}\)이므로$$\mu^{*}(E)=\mu^{*}(E\cap B_{n})+\mu^{*}(E\cap B_{n}^{c})\geq\sum_{i=1}^{n}{\mu^{*}(E\cap A_{i})}+\mu^{*}(E\cap B^{c})$$이고, 이 부등식에 극한 \(n\,\rightarrow\,\infty\)를 취하면$$\begin{align*}\mu^{*}(E)&\geq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(E\cap A_{i})}+\mu^{*}(E\cap B^{c})\\&\geq\mu^{*}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{(E\cap A_{i})}\right)+\mu^{*}(E\cap B^{c})\\&=\mu^{*}(E\cap B)+\mu^{*}(E\cap B^{c})\geq\mu^{*}(E)\end{align*}$$이므로 \(\mu^{*}(E)=\mu^{*}(E\cap B)+\mu^{*}(E\cap B^{c})\)이고 \(B\in\mathcal{M}\)이다. 그러므로 \(\mathcal{M}\)은 \(\sigma-\)대수이다.

\(E=B\)라고 하면 \(\displaystyle\mu^{*}(B)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu^{*}(A_{i})}\)이고, \(\mu^{*}\)는 \(\mathcal{M}\)에서 가산가법적이다.

마지막으로 \(\mu^{*}(A)=0\)이면, 임의의 \(E\subset X\)에 대하여$$\mu^{*}(E)\leq\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})=\mu^{*}(E\cap A^{c})\leq\mu^{*}(E)$$이므로 \(A\in\mathcal{M}\)이고 따라서 \(\mu^{*}|_{\mathcal{M}}\)은 완비측도이다.

\(\mathcal{A}\subset2^{X}\)가 대수일 때, 다음 조건들을 만족하는 집합함수 \(\mu_{0}:\,\mathcal{A}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)를 예비측도(premeasure)라고 한다.

i \(\mu_{0}(\phi)=0\) 

ii \(\{A_{i}\}\subset\mathcal{A}\)가 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\in\mathcal{A}\)를 만족하는 서로소인 열이면, \(\displaystyle\mu_{0}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}\) 

\(\mu_{0}\)가 \(\mathcal{A}\subset2^{X}\)에서 예비측도이면, 1.10의 함수 \(\rho\)의 성질을 만족하고 \(X\)상의 외측도를 유도한다. 

1.12 \(\mu_{0}\)가 \(\mathcal{A}\)에서의 예비측도이고,$$\mu^{*}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}\,|\,A_{i}\in\mathcal{A},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right\}$$이면, 다음이 성립한다.   

a. \(\mu^{*}|_{\mathcal{A}}=\mu_{0}\) 

b. \(\mathcal{A}\)의 집합들은 모두 \(\mu^{*}-\)가측이다. 

증명: 

a. \(E\in\mathcal{A}\)라 하자. \(A_{i}\in\mathcal{A}\)에 대하여 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)이면, \(\displaystyle B_{n}=E\cap\left(A_{n}-\bigcup_{i=1}^{n-1}{A_{i}}\right)\)라 하자. 그러면 \(B_{n}\)들은 서로소이고 \(\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}\)이다. \(\displaystyle\mu_{0}(E)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(E_{i})}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}\)이므로 \(\mu_{0}(E)\leq\mu^{*}(E)\)이고, \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)(\(A_{i}=E\), \(A_{i}=\phi(i\geq2)\))이므로 \(\mu^{*}(E)\leq\mu_{0}(E)\)이고 \(\mu^{*}(E)=\mu_{0}(E)\)이다. 

b. \(A\in\mathcal{A}\), \(E\subset X\), \(\epsilon>0\)이면, \(\{B_{i}\}\subset\mathcal{A}\)가 존재해서 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{B_{i}}\)이고 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(B_{i})}\leq\mu^{*}(E)+\epsilon\)이다. \(\mu_{0}\)는 \(\mathcal{A}\)에서 가법적이므로$$\mu^{*}(E)+\epsilon\geq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(B_{i}\cap A)}+\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(B_{i}\cap A^{c})}\geq\mu^{*}(E\cap A)+\mu^{*}(E\cap A^{c})$$이고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(A\)는 \(\mu^{*}-\)가측이다. 

1.13 \(\mathcal{A}\subset2^{X}\)를 대수, \(\mu_{0}\)를 \(\mathcal{A}\)에서의 예비측도, \(\mathcal{M}\)을 \(\mathcal{A}\)에 의해 생성된 \(\sigma-\)대수라 하자. 

a. \(\mathcal{M}\)상의 측도 \(\mu\)가 존재해서 \(\mu|_{\mathcal{A}}=\mu_{0}\)이고 \(\mu^{*}|_{\mathcal{M}}=\mu\)이다.$$\left(\mu^{*}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}\,|\,A_{i}\in\mathcal{A},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right\}\right)$$ 

b. \(\nu\)가 \(\mu_{0}\)를 확장하는 \(\mathcal{M}\)상의 또다른 측도이면, 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\nu(E)\leq\mu(E)\)이고, 등호는 \(\mu(E)<\infty\)일 때 성립한다. 

c. \(\mu_{0}\)가 \(\sigma-\)유한이면, \(\mu\)는 \(\mathcal{M}\)상에서 \(\mu_{0}\)가 측도가 되게 하는 유일한 확대사상이다. 

증명: 

a. 카라테오도리 정리(1.11)dhk 1.12로부터 성립하는데 그 이유는 \(\mu^{*}-\)가측집합들의 \(\sigma-\)대수는 \(\mathcal{A}\)를 포함하고 따라서 \(\mathcal{M}\)을 포함한다.  

b. \(E\subset\mathcal{M}\), \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\,(A_{i}\in\mathcal{A})\)이면, \(\displaystyle\nu(E)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(A_{i})}=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu_{0}(A_{i})}\)이고 따라서 \(\nu(E)\leq\mu(E)\)이다. 또한 \(\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)이면$$\nu(A)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\nu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\nu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\right)}=\mu(A)$$이고, \(\mu(E)<\infty\)이면, \(\mu(A)<\mu(E)+\epsilon\)인 \(A_{i}\)들을 고를 수 있고, 따라서 \(\mu(A-E)<\epsilon\)이고$$\mu(E)\leq\mu(A)=\nu(A)=\nu(E)+\nu(A-E)\leq\nu(E)+\epsilon$$이다. \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\mu(E)\leq\nu(E)\)이고 \(\nu(E)=\mu(E)\)이다.   

c. \(\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)(\(\mu(A_{i})<\infty\), \(A_{i}\)는 서로소)라 하자. 그러면 임의의 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여$$\mu(E)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E\cap A_{i})}=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E\cap A_{i})}=\nu(E)$$이므로 \(\mu=\nu\)이다.  

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사