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[측도론] 1-2 측도와 외측도



Xσ대수 M을 갖는 집합이라 하자. M상의 측도(measure)는 다음 조건들을 만족하는 함수 μ:M[0,]이다. 

i μ(ϕ)=0 

ii {Ei}M에서 서로소이면, μ(n=1En)=n=1μ(En)(가산가법성, countable additivity)


집합 Xσ대수 M2X에 대하여 (X,M)을 가측공간(measurable space)이라 하고, M의 원소들을 가측집합(measurable set)이라고 한다. μ(X,M)에서의 측도일 때, (X,M,μ)를 측도공간(measure space)이라고 한다. 


(X,M,μ)를 측도공간이라 하자. μ(X)<이면, μ를 유한(finite)이라 하고, μ(Ei)<EiM에 대하여 X=i=1Ei이면, μσ유한(σfinite)이라고 하고, E=i=1Ei이면, Eμ에 대해 σ유한이라고 한다. μ(E)=EM에 대해 FM가 존재해서 FE이고 0<μ(F)<이면, μ를 반 유한(semi-finite)이라고 한다. 

X를 집합, M=2X, f:X[0,]라 하자. 그러면 f는 공식 μ(E)=xEf(x)에 의해 측도를 결정한다. 

μ가 반 유한일 필요충분조건은 모든 xX에 대하여 f(x)<이고, μσ유한일 필요충분조건은 μ가 반 유한이고 집합 {x|f(x)>0}가 가산집합이다.

모든 xX에 대하여 f(x)=1이면, μ를 셈측도(counting measure)라 하고, 어떤 x0X에 대하여 f(x0)=1이고, xx0x에 대하여 f(x)=0이면, μx0에서의 점질량(point mass) 또는 x0에서의 디락측도(Dirac measure)라고 한다.        


1.8 (X,M,μ)를 측도공간이라 하자.  

a. E,FM이고 EF이면, μ(E)μ(F)이다. (단조성, monotonicity) 

b. {Ei}M에 대하여 μ(i=1Ei)i=1μ(Ei) (가산준가법성, countable subadditivity) 

c. {Ei}M이고 EiEi+1이면, μ(i=1Ei)=limiμ(Ei) (아래로의 연속성, continuity from below) 

d. {Ei}M이고 Ei+1Ei, μ(E1)<이면, μ(i=1Ei)=limiμ(Ei) (위로의 연속성, continuity from above) 

증명: 

a. EF이면, F=E(FE)이고 E(FE)=ϕ이므로 μ(F)=μ(E)+μ(FE)μ(E)이다. 

b. F1=E1이라 하고, k>1에 대하여 Fk=Ekk1i=1Ei라 하면, Fi들은 서로소이고 ni=1Fi=ni=1Ei이므로 a에 의해 다음의 식이 성립한다.μ(i=1Ei)=μ(i=1Fi)=i=1μ(Fi)i=1μ(Ei) 

c. E0=ϕ라 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.μ(i=1Ei)=i=1μ(EiEi1)=limnni=1μ(EiEi1)=limnμ(En) 

d. Fi=E1Ei라 하자. 그러면 FiFi+1이고 μ(E1)=μ(Fi)+μ(Ei), i=1Fi=E1i=1Ei이므로 c에 의해μ(E1)=μ(i=1Ei)+limiμ(Fi)=μ(i=1Ei)+limi{μ(E1)μ(Ei)}이고, μ(E1)<이므로 따라서 μ(i=1Ei)=limiμ(Ei)이다. 

*d에서 조건 μ(E1)<는 필수적이다. μ(N,2N)상의 셈측도라 하고 En={n,n+1,...}이라 하면 n=1En=ϕ이나 모든 nN에 대하여 μ(En)=이다.    


(X,M,μ)가 측도공간일 때 μ(E)=0이 되는 EM를 영집합(null set)이라고 한다. 가산준가법성에 의해 영집합들의 가산합집합은 영집합이다. 점 xX에 관한 명제가 영집합에 속하는 x들을 제외한 나머지들에 대해 참이면, 거의 어디서나(almost everywhere, 줄여서 a.e.)성립한다 또는 거의 모든(almost all) x에 대해 성립한다고 한다. 

*μ(E)=0이고 FE이면, 단조성에 의해 μ(F)=0이나 일반적으로 FM이라고 할 수는 없다.


측도의 정의역이 영집합의 모든 부분집합들을 포함하면, 즉 μ(E)=0이고 FE일 때 FM이면, 그 측도를 완비(complete)라고 한다. 


1.9 (X,M,μ)를 측도공간, N={NM|μ(N)=0}, ¯M={EF|EMandFNfor someNN}이라 하자. 그러면 ¯Mσ대수이고, ¯M에서 μ를 완비측도로 확장시킨 측도 ¯μ가 유일하게 존재한다.  

증명: M, N이 가산합집합에 대해 닫혀있으므로 ¯M도 닫혀있다. EF¯M(EM,FNN)이면, EN=ϕ라고 가정할 수 있다.(그렇지 않다면 FNFE, NE로 교체한다) 그러면 EF=(EN)(NcF)이고 (EF)c=(EN)c(NF)이다. (EN)cM, NFN이므로 (EF)c¯M이고 따라서 ¯Mσ대수이다. 

앞에서처럼 EF¯M일 때 ¯μ(EF)=μ(E)라 하자. E1F1=E2F2(FiNiN)이면 E1E2N2이고 μ(E1)μ(E2N2)=μ(E2)이다. E2E1N1이므로 μ(E2)μ(E1N1)=μ(E1)이고 따라서 μ(E1)=μ(E2)이므로 ¯μ는 잘 정의된다.

¯μ(ϕ)=0, NN에 대하여 ¯μ(N)=0이므로 {Ci}¯M를 서로소인 열이고 Ci=EiFi(EiM,FiN)이라 하자. 그러면¯μ(i=1Ci)=μ(i=1Ei)=i=1μ(Ei)=i=1¯μ(Ci)이므로 ¯μ는 측도이다.      

*이 정리에서 ¯μμ의 완비화(completion)라 하고, ¯Mμ에 대한 M의 완비화라고 한다.  


집합 X(ϕ)에서의 외측도(outer measure) μ:2X[0,]는 다음 성질들을 만족시키는 함수이다.  

i μ(ϕ)=0 

ii AB이면, μ(A)μ(B)

iii μ(i=1Ai)i=1μ(Ai) 


1.10 E2X라 하고, ρ:E[0,](E는 기본집합족(elementary family))를 ρ(ϕ)=0, ϕ,XE라 하자. 임의의 AX에 대하여μ(A)=inf{i=1ρ(Ei)|EiE,Ai=1Ei}라 하면, μ는 외측도이다.

증명: 임의의 AX에 대하여 {Ei}E가 존재해서 Ai=1Ei(모든 i에 대하여 Ei=X)이므로 μ의 정의는 타당하다. 명백히 μ(ϕ)=0(모든 i에 대하여 Ei=ϕ)이고 AB에 대하여 μ(A)μ(B)이다. 

가산준가법성을 보이기 위해 {Ai}2X라 하고 ϵ>0이라 하자. 각각의 i에 대하여 {Eji}E가 존재하여 Aij=1Eji이고 j=1ρ(Eji)μ(Ai)+ϵ2i이다. A=i=1Ai이면, Ai,j=1Eji이고 i,jρ(Eji)i=1μ(Ai)+ϵ이므로 따라서 μ(A)i=1μ(Ai)+ϵ이고 ϵ은 임의의 양수이므로 μ는 외측도이다.   


μX에서 외측도일때, AX가 모든 EX에 대하여 다음의 등식μ(E)=μ(EA)+μ(EAc)를 만족하면, Aμ가측(measurable)이라고 한다.

임의의 AE에 대하여 μ(E)μ(EA)+μ(EAc)이고, μ(E)=일 때 자명하므로 Aμ가측일 필요충분조건은 μ(E)<EX에 대하여 다음의 부등식이 성립하는 것이다.μ(E)μ(EA)+μ(EAc)

1.11 카라테오도리 정리(Carathéodory's theorem)    

μX상의 외측도이면, μ가측집합들을 모은 집합족 Mσ대수이고, μ|M은 완비측도이다.  

증명: AM이면,μ(E)=μ(EA)+μ(EAc)=μ(EAc)+μ(E(Ac)c)이므로 AcM이다. 

A,BM이고 EX이면,μ(E)=μ(EA)+μ(EAc)=μ(E(AB))+μ(E(ABc))+μ(E(AcB))+μ(E(AcBc))이고 AB=(ABc)(AB)(ABc)이므로 가산준가법성에 의해μ(EAB)+μ(EABc)+μ(EAcB)μ(E(AB))이고 따라서μ(E)μ(E(AB))+μ(E(AB)c)이므로 ABM이고 M은 대수이다. 게다가 A,BM, AB=ϕ이면,μ(AB)=μ((AB)A)+μ((AB)Ac)=μ(A)+μ(B)이다.   

이제 Mσ대수임을 보이기 위해 M이 가산합집합에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. {Ai}M를 서로소인 열이라 하고 Bn=ni=1Ai, B=i=1Ai라 하자. 그러면 임의의 EX에 대하여μ(EBn)=μ(EBnAn)+μ(EBnAcn)=μ(EAn)+μ(EBn1)이고 수학적귀납법에 의해 μ(EBn)=ni=1μ(EAn)이므로μ(E)=μ(EBn)+μ(EBcn)ni=1μ(EAi)+μ(EBc)이고, 이 부등식에 극한 n를 취하면μ(E)i=1μ(EAi)+μ(EBc)μ(i=1(EAi))+μ(EBc)=μ(EB)+μ(EBc)μ(E)이므로 μ(E)=μ(EB)+μ(EBc)이고 BM이다. 그러므로 Mσ대수이다.

E=B라고 하면 μ(B)=i=1μ(Ai)이고, μM에서 가산가법적이다.

마지막으로 μ(A)=0이면, 임의의 EX에 대하여μ(E)μ(EA)+μ(EAc)=μ(EAc)μ(E)이므로 AM이고 따라서 μ|M은 완비측도이다.


A2X가 대수일 때, 다음 조건들을 만족하는 집합함수 μ0:A[0,]를 예비측도(premeasure)라고 한다.

i μ0(ϕ)=0 

ii {Ai}Ai=1AiA를 만족하는 서로소인 열이면, μ0(i=1Ai)=i=1μ0(Ai) 

μ0A2X에서 예비측도이면, 1.10의 함수 ρ의 성질을 만족하고 X상의 외측도를 유도한다. 


1.12 μ0A에서의 예비측도이고,μ(E)=inf{i=1μ0(Ai)|AiA,Ei=1Ai}이면, 다음이 성립한다.   

a. μ|A=μ0 

b. A의 집합들은 모두 μ가측이다. 

증명: 

a. EA라 하자. AiA에 대하여 Ei=1Ai이면, Bn=E(Ann1i=1Ai)라 하자. 그러면 Bn들은 서로소이고 E=n=1Bn이다. μ0(E)=i=1μ0(Ei)i=1μ0(Ai)이므로 μ0(E)μ(E)이고, Ei=1Ai(Ai=E, Ai=ϕ(i2))이므로 μ(E)μ0(E)이고 μ(E)=μ0(E)이다. 

b. AA, EX, ϵ>0이면, {Bi}A가 존재해서 Ei=1Bi이고 i=1μ0(Bi)μ(E)+ϵ이다. μ0A에서 가법적이므로μ(E)+ϵi=1μ0(BiA)+i=1μ0(BiAc)μ(EA)+μ(EAc)이고 ϵ은 임의의 양수이므로 Aμ가측이다. 


1.13 A2X를 대수, μ0A에서의 예비측도, MA에 의해 생성된 σ대수라 하자. 

a. M상의 측도 μ가 존재해서 μ|A=μ0이고 μ|M=μ이다.(μ(E)=inf{i=1μ0(Ai)|AiA,Ei=1Ai}) 

b. νμ0를 확장하는 M상의 또다른 측도이면, 모든 EM에 대하여 ν(E)μ(E)이고, 등호는 μ(E)<일 때 성립한다. 

c. μ0σ유한이면, μM상에서 μ0가 측도가 되게 하는 유일한 확대사상이다. 

증명: 

a. 카라테오도리 정리(1.11)dhk 1.12로부터 성립하는데 그 이유는 μ가측집합들의 σ대수는 A를 포함하고 따라서 M을 포함한다.  

b. EM, Ei=1Ai(AiA)이면, ν(E)i=1ν(Ai)=i=1μ0(Ai)이고 따라서 ν(E)μ(E)이다. 또한 A=i=1Ai이면ν(A)=limnν(ni=1Ai)=limnν(ni=1Ai)=μ(A)이고, μ(E)<이면, μ(A)<μ(E)+ϵAi들을 고를 수 있고, 따라서 μ(AE)<ϵ이고μ(E)μ(A)=ν(A)=ν(E)+ν(AE)ν(E)+ϵ이다. ϵ은 임의의 양수이므로 μ(E)ν(E)이고 ν(E)=μ(E)이다.   

c. X=i=1Ai(μ(Ai)<, Ai는 서로소)라 하자. 그러면 임의의 EM에 대하여μ(E)=i=1μ(EAi)=i=1ν(EAi)=ν(E)이므로 μ=ν이다.  


참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사

             

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Posted by skywalker222