[측도론] 1-4 칸토어집합과 칸토어-르베그 함수

[측도론] 1-4 칸토어집합과 칸토어-르베그 함수

유계닫힌구간 \(I=[0,\,1]\)을 3등분하여 가운데에 있는 \(\displaystyle\left(\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right)\)을 제거한다. 그 다음으로 남아있는 구간인 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,1\right]\)에서 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\)과 \(\displaystyle\left[\frac{2}{3},\,1\right]\)에 대해서도 3등분한 후 가운데를 제거한다.

3등분하고 가운데 부분을 제거하는 시행의 횟수를 \(n\)이라 하고, 이에 따른 시행의 결과를 \(\{C_{n}\}\)이라고 하면$$\begin{align*}C_{1}&=\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,1\right]\\C_{2}&=\left[0,\,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\,\frac{3}{9}\right]\cup\left[\frac{6}{9},\,\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},\,1\right]\\&\vdots\end{align*}$$이다. 이렇게 얻어진 집합 \(\{C_{n}\}\)에 대하여 집합 \(\displaystyle\mathbf{C}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{C_{n}}\)을 칸토어 집합(Cantor set)이라고 한다. 이때 \(\{C_{n}\}\)은 다음의 성질들을 만족한다.

(1) 모든 \(n\)에 대하여 \(C_{n}\)은 닫힌집합이고 \(C_{n+1}\subset C_{n}\) 

(2) 모든 \(n\)에 대하여 \(C_{n}\)은 \(2^{n}\)개의 서로소인 닫힌 구간들의 합집합이고, 각 구간의 길이는 \(\displaystyle\frac{1}{3^{n}}\)이다. 

    

1.21 \(\mathbf{C}\)를 칸토어 집합이라 하자. 

a. \(\mathbf{C}\)는 닫힌집합이다. 

b. \(m(\mathbf{C})=0\) 

c. \(\text{card}(\mathbf{C})=\mathfrak{c}\)(\(\mathbf{C}\)는 비가산집합이다)

증명: 

a. 모든 \(n\)에 대하여 \(C_{n}\)은 닫힌집합이고, 닫힌집합들의 임의의 교집합은 닫힌집합이므로 따라서 \(\mathbf{C}\)는 닫힌집합이다.  

b. 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathbf{C}\subset C_{n}\)이고$$m(C_{n})\leq2^{n}\cdot\frac{1}{3^{n}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$$이므로, \(\displaystyle m(\mathbf{C})\leq\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)이고 따라서 \(m(\mathbf{C})=0\)이다.  

c. \(x\in\mathbf{C}\)라 하면, \(\displaystyle x=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{a_{i}}{3^{i}}}\,(a_{i}=0\,\text{or}\,a_{i}=2)\)로 나타낼 수 있고, \(\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{b_{i}}{2^{i}}}\,\left(b_{i}=\frac{a_{i}}{2}\right)\)라 하면, \(f(x)\)는 \([0,\,1]\)에 속하는 수의 2진전개이고, 따라서 이 방법으로 \([0,\,1]\)에 속하는 수들을 나타낼 수 있으므로 \(f\)는 \(\mathbf{C}\)에서 \([0,\,1]\)로의 전사이고, \(\text{card}([0,\,1])=\mathfrak{c}\)이므로 따라서 \(\text{card}(\mathbf{C})=\mathfrak{c}\)이다.  

칸토어 집합의 건설과정에서 제거되는 것은 열린구간들이다. \(n\)번째 단계에서 제거된 열린구간들의 합집합을 \(U_{n}\)이라 하면, \(C_{n}=[0,\,1]-U_{n}\)이다. \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\)이라 하면, \(\mathbf{C}=[0,\,1]-U\)이다. 

고정된 \(n\)에 대하여 증가함수 \(\varphi\)를 \(U_{n}\)에서 정의하는데 \(2^{n}-1\)개의 구간에서 상수함수로 두고 그 값들을 순서대로 \(\displaystyle\left\{\frac{1}{2^{n}},\,\frac{2}{2^{n}},\,\frac{3}{2^{n}},\,...,\,\frac{2^{n}-1}{2^{n}}\right\}\)이라 하자. 예를들어 \(n=2\)일 때 다음과 같다.$$\varphi(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{4}&\,x\in\left(\frac{1}{9},\,\frac{2}{9}\right)\\ \displaystyle\frac{2}{4}&\,x\in\left(\frac{3}{9},\,\frac{6}{9}\right)\\ \displaystyle\frac{3}{4}&\,x\in\left(\frac{7}{9},\,\frac{8}{9}\right)\end{cases}$$함수 \(\phi\)를 구간 \([0,\,1]\)전체로 확장해서 다음과 같이 정의한다.$$\phi(x)=\begin{cases}0&\,(x=0)\\ \displaystyle\sup_{t\in U\cap[0,\,1]}{\varphi(t)}\,&(x\in\mathbf{C}-\{0\})\end{cases}$$이렇게 정의된 함수 \(\varphi\)를 칸토어-르베그 함수(Cantor-Lebesgue function)라고 한다. 

\(\varphi\)는 \(U\)에서 증가하므로 \([0,\,1]\)에서도 증가한다. \(\phi\)는 \(U\)의 각 점들에서 연속인데 그 점들은 \(\varphi\)가 상수함수인 열린구간에 포함되어 있기 때문이다. \(x_{0}\in\mathbf{C}-\{0,\,1\}\)이라 하면, \(x_{0}\notin U\)이다. 모든 \(n\)에 대하여 \(U_{n}\)의 구간 중에서 \(x_{0}\)의 양 옆에 있는 구간 중, 왼쪽구간에서 \(a_{n}\), 오른쪽 구간에서 \(b_{n}\)을 고르자. 그러면 \(a_{n}<x_{0}<b_{n}\)이고 \(\displaystyle\varphi(b_{n})-\varphi(a_{n})=\frac{1}{2^{n}}\)이 되는데 \(n\)이 임의의 자연수이므로 \(\varphi\)는 \(x_{0}\)에서 점프불연속이 아니다. 

증가함수에서 불연속이 되는 경우는 점프불연속 뿐이므로 \(\varphi\)는 \(x_{0}\)에서 연속이고, \(x_{0}=0,\,1\)인 경우도 위와 같은 방법으로 연속이다. 따라서 \(\varphi\)는 \([0,\,1]\)에서 증가하는 연속함수이다. 

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson