[측도론] 1-4 칸토어집합과 칸토어-르베그 함수

[측도론] 1-4 칸토어집합과 칸토어-르베그 함수

유계닫힌구간 $I=[0,\,1]$을 3등분하여 가운데에 있는 $\displaystyle\left(\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right)$을 제거한다. 그 다음으로 남아있는 구간인 $\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,1\right]$에서 $\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{3}\right]$과 $\displaystyle\left[\frac{2}{3},\,1\right]$에 대해서도 3등분한 후 가운데를 제거한다.

3등분하고 가운데 부분을 제거하는 시행의 횟수를 $n$이라 하고, 이에 따른 시행의 결과를 $\{C_{n}\}$이라고 하면

$$\begin{align*}C_{1}&=\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,1\right]\\C_{2}&=\left[0,\,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\,\frac{3}{9}\right]\cup\left[\frac{6}{9},\,\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},\,1\right]\\&\vdots\end{align*}$$ 이다. 이렇게 얻어진 집합 $\{C_{n}\}$에 대하여 집합 $\displaystyle\mathbf{C}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{C_{n}}$을 칸토어 집합(Cantor set)이라고 한다. 이때 $\{C_{n}\}$은 다음의 성질들을 만족한다.

(1) 모든 $n$에 대하여 $C_{n}$은 닫힌집합이고 $C_{n+1}\subset C_{n}$ 

(2) 모든 $n$에 대하여 $C_{n}$은 $2^{n}$개의 서로소인 닫힌 구간들의 합집합이고, 각 구간의 길이는 $\displaystyle\frac{1}{3^{n}}$이다. 

    

1.21 $\mathbf{C}$를 칸토어 집합이라 하자. 

a. $\mathbf{C}$는 닫힌집합이다. 

b. $m(\mathbf{C})=0$ 

c. $\text{card}(\mathbf{C})=\mathfrak{c}$($\mathbf{C}$는 비가산집합이다)

증명: 

a. 모든 $n$에 대하여 $C_{n}$은 닫힌집합이고, 닫힌집합들의 임의의 교집합은 닫힌집합이므로 따라서 $\mathbf{C}$는 닫힌집합이다.  

b. 모든 $n$에 대하여 $\mathbf{C}\subset C_{n}$이고

$$m(C_{n})\leq2^{n}\cdot\frac{1}{3^{n}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$$ 이므로, $\displaystyle m(\mathbf{C})\leq\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$이고 따라서 $m(\mathbf{C})=0$이다.  

c. $x\in\mathbf{C}$라 하면, $\displaystyle x=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{a_{i}}{3^{i}}}\,(a_{i}=0\,\text{or}\,a_{i}=2)$로 나타낼 수 있고, $\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{b_{i}}{2^{i}}}\,\left(b_{i}=\frac{a_{i}}{2}\right)$라 하면, $f(x)$는 $[0,\,1]$에 속하는 수의 2진전개이고, 따라서 이 방법으로 $[0,\,1]$에 속하는 수들을 나타낼 수 있으므로 $f$는 $\mathbf{C}$에서 $[0,\,1]$로의 전사이고, $\text{card}([0,\,1])=\mathfrak{c}$이므로 따라서 $\text{card}(\mathbf{C})=\mathfrak{c}$이다.  

칸토어 집합의 건설과정에서 제거되는 것은 열린구간들이다. $n$번째 단계에서 제거된 열린구간들의 합집합을 $U_{n}$이라 하면, $C_{n}=[0,\,1]-U_{n}$이다. $\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}$이라 하면, $\mathbf{C}=[0,\,1]-U$이다. 

고정된 $n$에 대하여 증가함수 $\varphi$를 $U_{n}$에서 정의하는데 $2^{n}-1$개의 구간에서 상수함수로 두고 그 값들을 순서대로 $\displaystyle\left\{\frac{1}{2^{n}},\,\frac{2}{2^{n}},\,\frac{3}{2^{n}},\,...,\,\frac{2^{n}-1}{2^{n}}\right\}$이라 하자. 예를들어 $n=2$일 때 다음과 같다.

$$\varphi(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{4}&\,x\in\left(\frac{1}{9},\,\frac{2}{9}\right)\\ \displaystyle\frac{2}{4}&\,x\in\left(\frac{3}{9},\,\frac{6}{9}\right)\\ \displaystyle\frac{3}{4}&\,x\in\left(\frac{7}{9},\,\frac{8}{9}\right)\end{cases}$$ 함수 $\phi$를 구간 $[0,\,1]$전체로 확장해서 다음과 같이 정의한다. $$\phi(x)=\begin{cases}0&\,(x=0)\\ \displaystyle\sup_{t\in U\cap[0,\,1]}{\varphi(t)}\,&(x\in\mathbf{C}-\{0\})\end{cases}$$ 이렇게 정의된 함수 $\varphi$를 칸토어-르베그 함수(Cantor-Lebesgue function)라고 한다. 

$\varphi$는 $U$에서 증가하므로 $[0,\,1]$에서도 증가한다. $\phi$는 $U$의 각 점들에서 연속인데 그 점들은 $\varphi$가 상수함수인 열린구간에 포함되어 있기 때문이다. $x_{0}\in\mathbf{C}-\{0,\,1\}$이라 하면, $x_{0}\notin U$이다. 모든 $n$에 대하여 $U_{n}$의 구간 중에서 $x_{0}$의 양 옆에 있는 구간 중, 왼쪽구간에서 $a_{n}$, 오른쪽 구간에서 $b_{n}$을 고르자. 그러면 $a_{n}<x_{0}<b_{n}$이고 $\displaystyle\varphi(b_{n})-\varphi(a_{n})=\frac{1}{2^{n}}$이 되는데 $n$이 임의의 자연수이므로 $\varphi$는 $x_{0}$에서 점프불연속이 아니다. 

증가함수에서 불연속이 되는 경우는 점프불연속 뿐이므로 $\varphi$는 $x_{0}$에서 연속이고, $x_{0}=0,\,1$인 경우도 위와 같은 방법으로 연속이다. 따라서 $\varphi$는 $[0,\,1]$에서 증가하는 연속함수이다. 

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson