[측도론] 2-1 가측함수

[측도론] 2-1 가측함수

사상(함수) \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)는 \(f^{-1}[E]=\{x\in X\,|\,f(x)\in E\}\)로 정의되는 역상 \(f^{-1}:\,2^{Y}\,\rightarrow\,2^{X}\)를 유도하고, 역상은 합집합, 교집합, 여집합 연산을 보존하므로 \(\mathcal{N}\)이 \(Y\)상의 \(\sigma-\)대수이면, \(\{f^{-1}[E]\,|\,E\in\mathcal{N}\}\)는 \(X\)상의 \(\sigma-\)대수이다. 

\((X,\,\mathcal{M})\), \((Y,\,\mathcal{N})\)이 가측공간이고, 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 모든 \(E\in\mathcal{N}\)에 대하여 \(f^{-1}[E]\in\mathcal{M}\)이면, \(f\)를 \((\mathcal{M},\,\mathcal{N})-\)가측(measurable) 또는 간단하게 가측이라고 한다.

가측함수끼리의 합성함수도 가측함수이다. 즉 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 \((\mathcal{M},\,\mathcal{N})-\)가측이고, \(g:\,Y\,\rightarrow\,Z\)가 \((\mathcal{N},\,\mathcal{O})\)가측이면, \(g\circ f\)는 \((\mathcal{M},\,\mathcal{O})-\)가측이다.

2.1 \(\mathcal{N}\)이 \(\mathcal{E}\)에 의해 생성되면, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 \((\mathcal{M},\,\mathcal{N})-\)가측일 필요충분조건은 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(f^{-1}[E]\in\mathcal{M}\)인 것이다.  

증명: 

(\(\Leftarrow\)): 자명하다. 

(\(\Rightarrow\)): \(\{E\subset Y\,|\,f^{-1}[E]\in\mathcal{M}\}\)는 \(\mathcal{E}\)를 포함하는 \(\sigma-\)대수이므로, \(\mathcal{N}\)을 포함한다.  

2.2 \(X\)와 \(Y\)가 거리공간(또는 위상공간)이면, 모든 연속함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)는 \((\mathcal{B}_{X},\,\mathcal{B}_{Y})-\)가측이다.  

증명: \(f\)가 연속일 필요충분조건은 모든 열린집합 \(U\subset Y\)에 대하여 \(f^{-1}[U]\)가 \(X\)에서 열린집합인 것이다.  

\((X,\,\mathcal{M})\)이 가측공간이고, \(X\)상의 함수 \(f\)가 \((\mathcal{M},\,\mathcal{B}_{\mathbb{R}})-\)(또는 \((\mathcal{M},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}})-\))가측이면, \(f\)를 \(\mathcal{M}-\)가측 또는 간단하게 가측이라고 한다. 특히 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 \((\mathfrak{L},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}})\)가측이면, \(f\)를 르베그가측(Lebesgue measurable)이라고 하고, \((\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}})-\)가측이면, \(f\)를 보렐가측(Borel measurable)이라고 한다. 

주의할 점은 \(f,\,g:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 모두 르베그가측이라고 해서 합성함수 \(f\circ g\)가 르베그가측이라는 보장이 없다. 이것은 \(g\)가 연속함수이더라도 마찬가지이다. 그러나 \(f\)가 보렐가측이면 \(g\)가 르베그가측일 때, \(f\circ g\)는 르베그 가측, \(g\)가 보렐가측일 때, \(f\circ g\)는 보렐가측이다.   

2.3 \((X,\,\mathcal{M})\)이 가측공간이고, \(f:\,X\,\rightarrow\,\,\mathbb{R}\)이면, 다음 명제들은 서로 동치이다.  

a. \(f\)는 \(\mathcal{M}-\)가측이다.   

b. 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[(a,\,\infty)]\in\mathcal{M}\) 

c. 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[[a,\,\infty)]\in\mathcal{M}\)

d. 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[(-\infty,\,a)]\in\mathcal{M}\)

e. 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[[-\infty,\,a)]\in\mathcal{M}\)

증명: 1.2와 2.1로부터 성립한다.  

\((X,\,\mathcal{M})\)을 가측공간, \(f\)를 \(X\)상의 함수, \(E\in\mathcal{M}\)이라 하자. 모든 보렐집합 \(B\)에 대하여 \(f^{-1}[B]\cap E\in\mathcal{M}\)이면, \(f\)를 \(E\)에서 가측이라고 한다. 이것은 함수 \(f|_{E}\)가 \(\mathcal{M}_{E}-\)가측이라고 하고 여기서 \(\mathcal{M}_{E}=\{F\cap E\,|\,F\in\mathcal{M}\}\)이다.  

집합 \(X\)에 대하여 \(\{(Y_{\alpha},\,\mathcal{N}_{\alpha})\}_{\alpha\in A}\)가 가측공간들의 집합족이고, 각 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(f_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,Y_{\alpha}\)가 함수이면, \(X\)상의 최소의 \(\sigma-\)대수가 유일하게 존재해서 모든 \(f_{\alpha}\)들이 가측이다. 이 \(\sigma-\)대수는 \(E_{\alpha}\in\mathcal{N}_{\alpha},\,\alpha\in A\)에 대하여 \(f_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]\)들에 의해 생성된다. 이것을 \(\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)에 의해 생성(generated)되는 \(\sigma-\)대수라고 한다. 특히 \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{Y_{\alpha}}\)는 좌표사상 \(\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,Y_{\alpha}\)에 의해 생성되는 곱 \(\sigma-\)대수이다.  

2.4 \((X,\,\mathcal{M})\), \((Y_{\alpha},\,\mathcal{N}_{\alpha})(\alpha\in A)\)를 가측공간, \(\displaystyle Y=\prod_{\alpha\in A}{Y_{\alpha}}\), \(\displaystyle\mathcal{N}=\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{N}_{\alpha}}\), \(\pi_{\alpha}:\,Y\,\rightarrow\,Y_{\alpha}\)(좌표사상)라 하자. 그러면 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 \((\mathcal{M},\,\mathcal{N})-\)가측일 필요충분조건은 모든 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\displaystyle f_{\alpha}=\pi_{\alpha}\circ f\)가 \((\mathcal{M},\,\mathcal{N}_{\alpha})-\)가측인 것이다.  

증명:

(\(\Rightarrow\)): \(f\)가 가측이면, \(\pi_{\alpha}\)도 가측이므로 \(f_{\alpha}=\pi_{\alpha}\circ f\)도 가측이다.  

(\(\Leftarrow\)): 각 \(f_{\alpha}\)들이 가측이면, 모든 \(E_{\alpha}\in\mathcal{N}_{\alpha}\)에 대하여 \(f^{-1}[\pi_{\alpha}^{-1}[E]]=f_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]\in\mathcal{M}\)이고 2.1에 의해 \(f\)는 가측이다.  

2.5 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,\mathcal{C}\)가 \(\mathcal{M}-\)가측일 필요충분조건은 \(\text{Re}f\)와 \(\text{Im}f\) 모두 \(\mathcal{M}-\)가측인 것이다.  

증명: \(\mathcal{B}_{\mathbb{C}}=\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{2}}=\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\otimes\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)이므로 1.5에 의해 성립한다. 

\(\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\,\infty]\)상의 보렐집합을 \(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}=\{E\subset\overline{\mathbb{R}}\,|\,E\cap\mathbb{R}\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\}\)로 정의한다. \(\overline{\mathbb{R}}\)에 \(\rho(x,\,y)=|A(x)-A(y)|\)(\(A(x)=\tan^{-1}(x)\))인 거리공간을 만들면, \(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\)은 보렐 \(\sigma-\)대수의 일반적인 정의와 일치한다. 2.3에서처럼 \(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\)이 반직선 \((a,\,\infty]\), \([-\infty,\,a)(a\in\mathbb{R})\)에 의해 생성됨을 확인할 수 있다. \(f:\,X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}\)가 \((\mathcal{M},\,\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}})-\)가측이면, \(f\)를 \(\mathcal{M}-\)가측이라고 한다.   

2.6 \(f,\,g:\,X\,\rightarrow\,\mathcal{C}\)가 \(\mathcal{M}-\)가측이면, \(f+g\)와 \(fg\)도 가측이다.  

증명: \(F:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\times\mathbb{C}\), \(\phi:\,\mathbb{C}\times\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\), \(\psi:\,\mathbb{C}\times\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 \(F(x)=(f(x),\,g(x))\), \(\phi(z,\,w)=z+w\), \(\psi(z,\,w)=zw\)이라 하자. 1.5에 의해 \(\mathcal{B}_{\mathbb{C}\times\mathbb{C}}=\mathcal{B}_{\mathbb{C}}\times\mathcal{B}_{\mathbb{C}}\)이므로 2.4에 의해 \(F\)는 \((\mathcal{M},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}\times\mathbb{C}})-\)가측이고, 2.2에 의해 \(\phi\)와 \(\psi\)는 \((\mathcal{B}_{\mathbb{C}\times\mathbb{C}},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}})-\)가측이다. 따라서 \(f+g=\phi\circ F\)와 \(fg=\psi\circ F\)는 \(\mathcal{M}-\)가측이다. 

*\(\infty-\infty\)인 경우는 제외한다.  

2.7 확장실수열 \(\{f_{i}\}\)가 \((X,\,\mathcal{M})\)에서 가측이면, 다음의 함수들도 가측이고,$$g_{1}(x)=\sup_{i}{f_{i}(x)},\,g_{2}(x)=\inf_{i}{f_{i}(x)},\,g_{3}(x)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\sup{f_{i}(x)}},\,g_{4}(x)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\inf_{i}{\inf{f_{i}(x)}}}$$모든 \(x\in X\)에 대하여 \(\displaystyle f(x)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{f_{i}(x)}\)가 존재하면, \(f\)는 가측이다.  

증명:$$g_{1}^{-1}[(a,\,\infty]]=\bigcup_{i=1}^{\infty}{f_{i}^{-1}[(a,\,\infty]]},\,g_{2}^{-1}[[-\infty,\,a)]=\bigcup_{i=1}^{\infty}{f_{i}^{-1}[[-\infty,\,a)]}$$이므로 2.3에 의해 \(g_{1},\,g_{2}\)는 가측이다. 

\(\displaystyle h_{1k}(x)=\sup_{i>k}{f_{i}(x)}\)이면, 각 \(k\)에 대하여 \(h_{1k}\)는 가측이고, \(\displaystyle h_{2k}(x)=\inf_{i>k}{f_{i}(x)}\)또한 각 \(k\)에 대하여 가측이다. \(\displaystyle g_{3}=\inf_{k}{h_{1k}}\), \(\displaystyle g_{4}=\sup_{k}{h_{2k}}\)는 가측이고, \(f\)가 존재하면 \(f=g_{3}=g_{4}\)이므로 \(f\)도 가측이다.    

2.8 \(f,\,g:\,X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}\)이 가측이면, \(\max\{f,\,g\}\)와 \(\min\{f,\,g\}\)도 가측이다.  

증명:$$\max\{f,\,g\}=\frac{f+g+|f-g|}{2},\,\min\{f,\,g\}=\frac{f+g-|f-g|}{2}$$이므로 2.6에 의해 성립한다.  

2.9 \(\{f_{i}\}\)가 복소가측함수열이고 모든 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle f(x)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{f_{i}(x)}\)가 존재하면, \(f\)는 가측이다.  

증명: 2.5와 2.7로부터 성립한다. 

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}\)에 대하여 \(f\)의 양의부분(positive part)과 음의부분(negative part)을$$f^{+}(x)=\max\{f(x),\,0\},\,f^{-}(x)=\max\{-f(x),\,0\}$$으로 정의한다. 그러면 \(f=f^{+}-f^{-}\)이고 \(|f|=f^{+}+f^{-}\)이며, \(f\)가 가측이면, 2.8에 의해 \(f^{+},\,f^{-}\)모두 가측이다. 

\(f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)이면, \(f\)의 극 분해(polar decomposition)를$$f=(\text{sgn}\,f)|f|\,\left(\text{sgn}z=\begin{cases}\frac{z}{|z|}&\,(z\neq0)\\0&\,(z=0)\end{cases}\right)$$으로 정의한다. 

\(f\)가 가측이면, \(|f|\)와 \(\text{sgn}f\)도 가측이다. 복소수 상에서 \(|z|\)는 연속이고 \(\text{sgn}z\)는 원점을 제외하고 모두 연속이다. \(U\subset\mathbb{C}\)가 열린집합이면, \(\text{sgn}^{-1}[U]\)는 열린집합이거나 \(V\cup\{0\}\)(\(V\)는 열린집합)이므로 \(\text{sgn}\)은 보렐가측이다. 따라서 \(|f|=|\cdot|\circ f\)와 \(\text{sgn}f=\text{sgn}\circ f\)모두 가측이다. 

\((X,\,\mathcal{M})\)을 가측공간, \(E\subset X\)라 하자. \(E\)의 특성함수(characteristic function) \(\chi_{E}\)를 다음과 같이 정의한다.$$\chi_{E}=\begin{cases}1&\,(x\in E)\\0&\,(x\notin E)\end{cases}$$(\(\chi_{E}\)를 지시함수(indicator function)라고도 하는데 이때는 \(\mathbb{1}_{E}\)로 나타낸다) 

\(\chi_{E}\)가 가측일 필요충분조건은 \(E\in\mathcal{M}\)이고, \(\mathcal{M}\)상의 원소들의 유한한 복소계수 선형결합을 \(X\)상의 단순함수(simple function)라고 하고, 단순함수는 \(\pm\infty\)를 값으로 갖지 않는다. 

\(f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 단순함수일 필요충분조건은 \(f\)가 가츠깅고, \(f\)의 치역이 \(\mathbb{C}\)의 유한부분집합인 것이다. 즉 \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}\chi_{E_{i}}}\)이고 여기서 \(E_{i}=f^{-1}[\{z_{i}\}]\)이고 \(f\)의 치역은 \(\{z_{1},\,...,\,z_{n}\}\)이다. 이것을 \(f\)의 표준표현(standard representation)이라고 한다. 단순함수 \(f\), \(g\)에 대하여 \(f+g\), \(fg\)도 단순함수이다. 

2.10 

a. \(f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)가 가측함수이면, 단순함수열 \(\{\varphi_{n}\}\)이 존재해서 \(0\leq\varphi_{1}\leq\varphi_{2}\leq\cdots\leq f\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\varphi_{n}}=f\)(점별수렴)이며, \(f\)가 유계인 집합에서 균등수렴한다.  

b. \(f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 가측함수이면, 단순함수열 \(\{\varphi_{n}\}\)이 존재해서 \(0\leq|\varphi_{1}|\leq|\varphi_{2}|\leq\cdots\leq|f|\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\varphi_{n}}=f\)(점별수렴)이며, \(f\)가 유계인 집합에서 균등수렴한다.   

증명: 

a. \(\varphi_{n}\)을 다음과 같이 정의하면$$\varphi_{n}=\sum_{k=0}^{2^{2n}-1}{\frac{k}{2^{n}}}\chi_{f^{-1}\left[\left(\frac{k}{2^{n}},\,\frac{k+1}{2^{n}}\right)\right]}+2^{n}\chi_{f^{-1}[(2^{n},\,\infty)]}$$라 하면, 모든 \(n\)에 대하여 \(\varphi_{n}\leq\varphi_{n+1}\)이고 \(f\leq2^{n}\)인 집합에서 \(0\leq f-\varphi_{n}\leq2^{-n}\)이므로 성립한다.  

b. \(f=g+ih=(g^{+}-g^{-})+i(h^{+}-h^{-})\)이므로, \(g^{+},\,g^{-},\,h^{+},\,h^{-}\)에 a를 적용한다.  

2.11 다음 명제들이 성립할 필요충분조건은 \(\mu\)가 완비측도인 것이다. 

(a) \(f\)가 가측이고 \(f=g\,\mu-a.e.\)이면, \(g\)는 가측이다. 

(b) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{n}\)이 가측이고 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,\mu-a.e.\)이면, \(f\)는 가측이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): 

(a) 모든 보렐집합 \(B\)에 대하여 \(g^{-1}[B]\)가 가측임을 보이자. \(f=g\,\mu-a.e.\)이므로 가측집합 \(E\)가 존재해서 \(\mu(E)=0\)이고, 모든 \(x\in E^{c}\)에 대하여 \(f(x)=g(x)\)이다. 그러면 \(g^{-1}[B]=(f^{-1}[B]-E)\cup(E\cap g^{-1}[B])\)이고 \(f\)가 가측이므로 \(f^{-1}[B]\)도 가츠깅고, \(\mu\)가 완비이므로 \(E\cap g^{-1}[B]\)도 가측이다. 따라서 \(g^{-1}[B]\)는 가측이다.  

(b) \(\displaystyle\widetilde{f}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup f_{n}}\)이라 하자. 그러면 \(f_{n}\)들이 가측이므로 \(\widetilde{f}\)도 가측이고, \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,\mu-a.e.\)이므로, \(\widetilde{f}=f\,\mu-a.e.\)이고, (a)에 의해 \(f\)는 가측이다.  

(\(\Rightarrow\)): \(\mu\)가 완비가 아니라고 하면, 가측집합 \(E\)가 존재해서 \(\mu(E)=0\)이고, \(F\subset E\)가 존재해서 \(F\)는 비가측집합이다. 그러면 (a): \(\chi_{F}\)는 비가측이고 \(\chi_{F}=0\,\mu-a.e.\), (b): 모든 \(n\)에 대하여 \(f_{n}=0\), \(f=\chi_{F}\)로 둔다.   

2.12  \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 측도공간, \((X,\,\overline{\mathcal{M}},\,\overline{\mu})\)를 완비화라 하자. \(f\)가 \(X\)에서 \(\overline{M}-\)가측이면, \(\mathcal{M}-\)가측함수 \(g\)가 존재해서 \(f=g\,\overline{\mu}-a.e.\)이다. 

증명: \(f=\chi_{E}\,(E\in\overline{\mathcal{M}})\)이면, \(\overline{\mu}\)의 정의에 의해 분명하므로 \(f\)가 \(\overline{\mathcal{M}}-\)가측 단순함수인 경우도 분명하다.

일반적인 경우, \(\overline{\mathcal{M}}-\)가측단순함수열 \(\{\varphi_{n}\}\)을 선택해서 \(f\)로 점별수렴한다고 하고, 각 \(n\)에 대하여 \(\{\psi_{n}\}\)을 \(\overline{\mathcal{M}}-\)가측단순함수열이라고 하고, \(E_{n}\in\overline{\mathcal{M}}\)에 대해 \(E_{n}^{c}\)에서 \(\psi_{n}=\varphi_{n}\), \(\overline{\mu}(E_{n})=0\)이라 하자. \(N\in\mathcal{M}\)을 선택헤서 \(\mu(N)=0\), \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\subset N\)이고, \(\displaystyle g=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\chi_{X-N}\psi_{n}}\)이라 하자. 그러면 \(g\)는 2.9에 의해 \(\mathcal{M}-\)가측이고 \(N^{c}\)에서 \(f=g\)이다.   

2.13 \(\varphi:\,[0,\,1]\,\rightarrow\,[0,\,1]\)를 칸토어-르베그 함수라 하고 \(\psi(x)=\varphi(x)+x\)라 하자.  

a. \(\psi\)는 \([0,\,1]\)에서 \([0,\,2]\)로의 전단사이다.  

b. 칸토어집합 \(\mathbf{C}\)에 대하여 \(m(\psi[\mathbf{C}])=1\) 

c. \(\psi\)는 칸토어집합의 가측부분집합을 비가측집합으로 대응시킨다.  

증명: 

a. \(\varphi\)와 \(x\)는 증가하는 연속함수이고 \(\psi(0)=0,\,\psi(1)=2\)이므로 \(\psi[[0,\,1]]=[0,\,2]\)이고, 따라서 \(\psi\)는 \([0,\,1]\)에서 \([0,\,2]\)로의 전단사이다.  

b. \(\{I_{n}\}\)을 칸토어집합의 건설과정에서 제거된 열린구간들의 집합족이라 하고, \(\displaystyle U=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)이라 하자. 그러면 \(\mathbf{C}\cup U=[0,\,1]\)이고 \(\mathbf{C}\cap U=\phi\)이다. \(\psi\)는 전단사 연속함수이므로 \(\psi[\mathbf{C}]\)는 닫힌집합, \(\psi[U]\)는 열린집합, \([0,\,2]=\psi[\mathbf{C}]\cup\psi[U]\), \(\psi[\mathbf{C}]\cap\psi[U]=\psi\)이다. \(m(\mathbf{C})=0\)이고 \(\varphi\)는 \(I_{n}\)에서 상수함수이므로 \(\psi\)는 \(I_{n}\)을 평행이동된 구간으로 대응시키고, \(I_{n}\)과 \(\psi[I_{n}]\)의 르베그측도는 같다. 또한 \(\{I_{n}\}\)은 서로소이므로 \(\{\psi[I_{n}]\}\)이고,$$m(\psi[U])=\sum_{n=1}^{\infty}{m(\psi[I_{n}])}=\sum_{n=1}^{\infty}{m(I_{n})}=m(U)=1$$이다. 

c. \(m(E)\neq0\)이면, 비가측집합 \(F\subset E\)가 존재한다는 사실을 이용하여 증명한다. 

\(m(\psi[\mathbf{C}])=1\)이므로 비가측집합 \(W\subset\psi[\mathbf{C}]\)가 존재한다. \(\psi^{-1}[W]\subset\mathbf{C}\)이고 \(m(\mathbf{C})=0\)이므로 \(\psi^{-1}[W]\)는 가측집합이다. 따라서 \(\psi\)는 가측집합 \(\psi^{-1}[W]\)를 비가측집합 \(W\)로 대응시킨다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson