[측도론] 2-1 가측함수

[측도론] 2-1 가측함수

사상(함수) $f:\,X\,\rightarrow\,Y$는 $f^{-1}[E]=\{x\in X\,|\,f(x)\in E\}$로 정의되는 역상 $f^{-1}:\,2^{Y}\,\rightarrow\,2^{X}$를 유도하고, 역상은 합집합, 교집합, 여집합 연산을 보존하므로 $\mathcal{N}$이 $Y$상의 $\sigma-$대수이면, $\{f^{-1}[E]\,|\,E\in\mathcal{N}\}$는 $X$상의 $\sigma-$대수이다. 

$(X,\,\mathcal{M})$, $(Y,\,\mathcal{N})$이 가측공간이고, 함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 모든 $E\in\mathcal{N}$에 대하여 $f^{-1}[E]\in\mathcal{M}$이면, $f$를 $(\mathcal{M},\,\mathcal{N})-$가측(measurable) 또는 간단하게 가측이라고 한다.

가측함수끼리의 합성함수도 가측함수이다. 즉 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 $(\mathcal{M},\,\mathcal{N})-$가측이고, $g:\,Y\,\rightarrow\,Z$가 $(\mathcal{N},\,\mathcal{O})$가측이면, $g\circ f$는 $(\mathcal{M},\,\mathcal{O})-$가측이다.

2.1 $\mathcal{N}$이 $\mathcal{E}$에 의해 생성되면, $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 $(\mathcal{M},\,\mathcal{N})-$가측일 필요충분조건은 모든 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 $f^{-1}[E]\in\mathcal{M}$인 것이다.  

증명: 

($\Leftarrow$): 자명하다. 

($\Rightarrow$): $\{E\subset Y\,|\,f^{-1}[E]\in\mathcal{M}\}$는 $\mathcal{E}$를 포함하는 $\sigma-$대수이므로, $\mathcal{N}$을 포함한다.  

2.2 $X$와 $Y$가 거리공간(또는 위상공간)이면, 모든 연속함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$는 $(\mathcal{B}_{X},\,\mathcal{B}_{Y})-$가측이다.  

증명: $f$가 연속일 필요충분조건은 모든 열린집합 $U\subset Y$에 대하여 $f^{-1}[U]$가 $X$에서 열린집합인 것이다.  

$(X,\,\mathcal{M})$이 가측공간이고, $X$상의 함수 $f$가 $(\mathcal{M},\,\mathcal{B}_{\mathbb{R}})-$(또는 $(\mathcal{M},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}})-$)가측이면, $f$를 $\mathcal{M}-$가측 또는 간단하게 가측이라고 한다. 특히 $f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$가 $(\mathfrak{L},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}})$가측이면, $f$를 르베그가측(Lebesgue measurable)이라고 하고, $(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}})-$가측이면, $f$를 보렐가측(Borel measurable)이라고 한다. 

주의할 점은 $f,\,g:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 모두 르베그가측이라고 해서 합성함수 $f\circ g$가 르베그가측이라는 보장이 없다. 이것은 $g$가 연속함수이더라도 마찬가지이다. 그러나 $f$가 보렐가측이면 $g$가 르베그가측일 때, $f\circ g$는 르베그 가측, $g$가 보렐가측일 때, $f\circ g$는 보렐가측이다.   

2.3 $(X,\,\mathcal{M})$이 가측공간이고, $f:\,X\,\rightarrow\,\,\mathbb{R}$이면, 다음 명제들은 서로 동치이다.  

a. $f$는 $\mathcal{M}-$가측이다.   

b. 모든 $a\in\mathbb{R}$에 대하여 $f^{-1}[(a,\,\infty)]\in\mathcal{M}$ 

c. 모든 $a\in\mathbb{R}$에 대하여 $f^{-1}[[a,\,\infty)]\in\mathcal{M}$

d. 모든 $a\in\mathbb{R}$에 대하여 $f^{-1}[(-\infty,\,a)]\in\mathcal{M}$

e. 모든 $a\in\mathbb{R}$에 대하여 $f^{-1}[[-\infty,\,a)]\in\mathcal{M}$

증명: 1.2와 2.1로부터 성립한다.  

$(X,\,\mathcal{M})$을 가측공간, $f$를 $X$상의 함수, $E\in\mathcal{M}$이라 하자. 모든 보렐집합 $B$에 대하여 $f^{-1}[B]\cap E\in\mathcal{M}$이면, $f$를 $E$에서 가측이라고 한다. 이것은 함수 $f|_{E}$가 $\mathcal{M}_{E}-$가측이라고 하고 여기서 $\mathcal{M}_{E}=\{F\cap E\,|\,F\in\mathcal{M}\}$이다.  

집합 $X$에 대하여 $\{(Y_{\alpha},\,\mathcal{N}_{\alpha})\}_{\alpha\in A}$가 가측공간들의 집합족이고, 각 $\alpha\in A$에 대하여 $f_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,Y_{\alpha}$가 함수이면, $X$상의 최소의 $\sigma-$대수가 유일하게 존재해서 모든 $f_{\alpha}$들이 가측이다. 이 $\sigma-$대수는 $E_{\alpha}\in\mathcal{N}_{\alpha},\,\alpha\in A$에 대하여 $f_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]$들에 의해 생성된다. 이것을 $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$에 의해 생성(generated)되는 $\sigma-$대수라고 한다. 특히 $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{Y_{\alpha}}$는 좌표사상 $\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,Y_{\alpha}$에 의해 생성되는 곱 $\sigma-$대수이다.  

2.4 $(X,\,\mathcal{M})$, $(Y_{\alpha},\,\mathcal{N}_{\alpha})(\alpha\in A)$를 가측공간, $\displaystyle Y=\prod_{\alpha\in A}{Y_{\alpha}}$, $\displaystyle\mathcal{N}=\bigotimes_{\alpha\in A}{\mathcal{N}_{\alpha}}$, $\pi_{\alpha}:\,Y\,\rightarrow\,Y_{\alpha}$(좌표사상)라 하자. 그러면 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 $(\mathcal{M},\,\mathcal{N})-$가측일 필요충분조건은 모든 $\alpha\in A$에 대하여 $\displaystyle f_{\alpha}=\pi_{\alpha}\circ f$가 $(\mathcal{M},\,\mathcal{N}_{\alpha})-$가측인 것이다.  

증명:

($\Rightarrow$): $f$가 가측이면, $\pi_{\alpha}$도 가측이므로 $f_{\alpha}=\pi_{\alpha}\circ f$도 가측이다.  

($\Leftarrow$): 각 $f_{\alpha}$들이 가측이면, 모든 $E_{\alpha}\in\mathcal{N}_{\alpha}$에 대하여 $f^{-1}[\pi_{\alpha}^{-1}[E]]=f_{\alpha}^{-1}[E_{\alpha}]\in\mathcal{M}$이고 2.1에 의해 $f$는 가측이다.  

2.5 함수 $f:\,X\,\rightarrow\,\mathcal{C}$가 $\mathcal{M}-$가측일 필요충분조건은 $\text{Re}f$와 $\text{Im}f$ 모두 $\mathcal{M}-$가측인 것이다.  

증명: $\mathcal{B}_{\mathbb{C}}=\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{2}}=\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\otimes\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$이므로 1.5에 의해 성립한다. 

$\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\,\infty]$상의 보렐집합을 $\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}=\{E\subset\overline{\mathbb{R}}\,|\,E\cap\mathbb{R}\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\}$로 정의한다. $\overline{\mathbb{R}}$에 $\rho(x,\,y)=|A(x)-A(y)|$($A(x)=\tan^{-1}(x)$)인 거리공간을 만들면, $\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}$은 보렐 $\sigma-$대수의 일반적인 정의와 일치한다. 2.3에서처럼 $\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}$이 반직선 $(a,\,\infty]$, $[-\infty,\,a)(a\in\mathbb{R})$에 의해 생성됨을 확인할 수 있다. $f:\,X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}$가 $(\mathcal{M},\,\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}})-$가측이면, $f$를 $\mathcal{M}-$가측이라고 한다.   

2.6 $f,\,g:\,X\,\rightarrow\,\mathcal{C}$가 $\mathcal{M}-$가측이면, $f+g$와 $fg$도 가측이다.  

증명: $F:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\times\mathbb{C}$, $\phi:\,\mathbb{C}\times\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$, $\psi:\,\mathbb{C}\times\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 $F(x)=(f(x),\,g(x))$, $\phi(z,\,w)=z+w$, $\psi(z,\,w)=zw$이라 하자. 1.5에 의해 $\mathcal{B}_{\mathbb{C}\times\mathbb{C}}=\mathcal{B}_{\mathbb{C}}\times\mathcal{B}_{\mathbb{C}}$이므로 2.4에 의해 $F$는 $(\mathcal{M},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}\times\mathbb{C}})-$가측이고, 2.2에 의해 $\phi$와 $\psi$는 $(\mathcal{B}_{\mathbb{C}\times\mathbb{C}},\,\mathcal{B}_{\mathbb{C}})-$가측이다. 따라서 $f+g=\phi\circ F$와 $fg=\psi\circ F$는 $\mathcal{M}-$가측이다. 

*$\infty-\infty$인 경우는 제외한다.  

2.7 확장실수열 $\{f_{i}\}$가 $(X,\,\mathcal{M})$에서 가측이면, 다음의 함수들도 가측이고, $$g_{1}(x)=\sup_{i}{f_{i}(x)},\,g_{2}(x)=\inf_{i}{f_{i}(x)},\,g_{3}(x)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\sup{f_{i}(x)}},\,g_{4}(x)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\inf_{i}{\inf{f_{i}(x)}}}$$ 모든 $x\in X$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{f_{i}(x)}$가 존재하면, $f$는 가측이다.  

증명: $$g_{1}^{-1}[(a,\,\infty]]=\bigcup_{i=1}^{\infty}{f_{i}^{-1}[(a,\,\infty]]},\,g_{2}^{-1}[[-\infty,\,a)]=\bigcup_{i=1}^{\infty}{f_{i}^{-1}[[-\infty,\,a)]}$$ 이므로 2.3에 의해 $g_{1},\,g_{2}$는 가측이다. 

$\displaystyle h_{1k}(x)=\sup_{i>k}{f_{i}(x)}$이면, 각 $k$에 대하여 $h_{1k}$는 가측이고, $\displaystyle h_{2k}(x)=\inf_{i>k}{f_{i}(x)}$또한 각 $k$에 대하여 가측이다. $\displaystyle g_{3}=\inf_{k}{h_{1k}}$, $\displaystyle g_{4}=\sup_{k}{h_{2k}}$는 가측이고, $f$가 존재하면 $f=g_{3}=g_{4}$이므로 $f$도 가측이다.    

2.8 $f,\,g:\,X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}$이 가측이면, $\max\{f,\,g\}$와 $\min\{f,\,g\}$도 가측이다.  

증명: $$\max\{f,\,g\}=\frac{f+g+|f-g|}{2},\,\min\{f,\,g\}=\frac{f+g-|f-g|}{2}$$ 이므로 2.6에 의해 성립한다.  

2.9 $\{f_{i}\}$가 복소가측함수열이고 모든 $x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{f_{i}(x)}$가 존재하면, $f$는 가측이다.  

증명: 2.5와 2.7로부터 성립한다. 

함수 $f:\,X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}$에 대하여 $f$의 양의부분(positive part)과 음의부분(negative part)을 $$f^{+}(x)=\max\{f(x),\,0\},\,f^{-}(x)=\max\{-f(x),\,0\}$$ 으로 정의한다. 그러면 $f=f^{+}-f^{-}$이고 $|f|=f^{+}+f^{-}$이며, $f$가 가측이면, 2.8에 의해 $f^{+},\,f^{-}$모두 가측이다. 

$f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}$이면, $f$의 극 분해(polar decomposition)를 $$f=(\text{sgn}\,f)|f|\,\left(\text{sgn}z=\begin{cases}\frac{z}{|z|}&\,(z\neq0)\\0&\,(z=0)\end{cases}\right)$$ 으로 정의한다. 

$f$가 가측이면, $|f|$와 $\text{sgn}f$도 가측이다. 복소수 상에서 $|z|$는 연속이고 $\text{sgn}z$는 원점을 제외하고 모두 연속이다. $U\subset\mathbb{C}$가 열린집합이면, $\text{sgn}^{-1}[U]$는 열린집합이거나 $V\cup\{0\}$($V$는 열린집합)이므로 $\text{sgn}$은 보렐가측이다. 따라서 $|f|=|\cdot|\circ f$와 $\text{sgn}f=\text{sgn}\circ f$모두 가측이다. 

$(X,\,\mathcal{M})$을 가측공간, $E\subset X$라 하자. $E$의 특성함수(characteristic function) $\chi_{E}$를 다음과 같이 정의한다. $$\chi_{E}=\begin{cases}1&\,(x\in E)\\0&\,(x\notin E)\end{cases}$$ ($\chi_{E}$를 지시함수(indicator function)라고도 하는데 이때는 $\mathbb{1}_{E}$로 나타낸다) 

$\chi_{E}$가 가측일 필요충분조건은 $E\in\mathcal{M}$이고, $\mathcal{M}$상의 원소들의 유한한 복소계수 선형결합을 $X$상의 단순함수(simple function)라고 하고, 단순함수는 $\pm\infty$를 값으로 갖지 않는다. 

$f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}$가 단순함수일 필요충분조건은 $f$가 가츠깅고, $f$의 치역이 $\mathbb{C}$의 유한부분집합인 것이다. 즉 $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}\chi_{E_{i}}}$이고 여기서 $E_{i}=f^{-1}[\{z_{i}\}]$이고 $f$의 치역은 $\{z_{1},\,...,\,z_{n}\}$이다. 이것을 $f$의 표준표현(standard representation)이라고 한다. 단순함수 $f$, $g$에 대하여 $f+g$, $fg$도 단순함수이다. 

2.10 

a. $f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$가 가측함수이면, 단순함수열 $\{\varphi_{n}\}$이 존재해서 $0\leq\varphi_{1}\leq\varphi_{2}\leq\cdots\leq f$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\varphi_{n}}=f$(점별수렴)이며, $f$가 유계인 집합에서 균등수렴한다.  

b. $f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}$가 가측함수이면, 단순함수열 $\{\varphi_{n}\}$이 존재해서 $0\leq|\varphi_{1}|\leq|\varphi_{2}|\leq\cdots\leq|f|$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\varphi_{n}}=f$(점별수렴)이며, $f$가 유계인 집합에서 균등수렴한다.   

증명: 

a. $\varphi_{n}$을 다음과 같이 정의하면 $$\varphi_{n}=\sum_{k=0}^{2^{2n}-1}{\frac{k}{2^{n}}}\chi_{f^{-1}\left[\left(\frac{k}{2^{n}},\,\frac{k+1}{2^{n}}\right)\right]}+2^{n}\chi_{f^{-1}[(2^{n},\,\infty)]}$$ 라 하면, 모든 $n$에 대하여 $\varphi_{n}\leq\varphi_{n+1}$이고 $f\leq2^{n}$인 집합에서 $0\leq f-\varphi_{n}\leq2^{-n}$이므로 성립한다.  

b. $f=g+ih=(g^{+}-g^{-})+i(h^{+}-h^{-})$이므로, $g^{+},\,g^{-},\,h^{+},\,h^{-}$에 a를 적용한다.  

2.11 다음 명제들이 성립할 필요충분조건은 $\mu$가 완비측도인 것이다. 

(a) $f$가 가측이고 $f=g\,\mu-a.e.$이면, $g$는 가측이다. 

(b) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $f_{n}$이 가측이고 $f_{n}\,\rightarrow\,f\,\mu-a.e.$이면, $f$는 가측이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): 

(a) 모든 보렐집합 $B$에 대하여 $g^{-1}[B]$가 가측임을 보이자. $f=g\,\mu-a.e.$이므로 가측집합 $E$가 존재해서 $\mu(E)=0$이고, 모든 $x\in E^{c}$에 대하여 $f(x)=g(x)$이다. 그러면 $g^{-1}[B]=(f^{-1}[B]-E)\cup(E\cap g^{-1}[B])$이고 $f$가 가측이므로 $f^{-1}[B]$도 가츠깅고, $\mu$가 완비이므로 $E\cap g^{-1}[B]$도 가측이다. 따라서 $g^{-1}[B]$는 가측이다.  

(b) $\displaystyle\widetilde{f}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup f_{n}}$이라 하자. 그러면 $f_{n}$들이 가측이므로 $\widetilde{f}$도 가측이고, $f_{n}\,\rightarrow\,f\,\mu-a.e.$이므로, $\widetilde{f}=f\,\mu-a.e.$이고, (a)에 의해 $f$는 가측이다.  

($\Rightarrow$): $\mu$가 완비가 아니라고 하면, 가측집합 $E$가 존재해서 $\mu(E)=0$이고, $F\subset E$가 존재해서 $F$는 비가측집합이다. 그러면 (a): $\chi_{F}$는 비가측이고 $\chi_{F}=0\,\mu-a.e.$, (b): 모든 $n$에 대하여 $f_{n}=0$, $f=\chi_{F}$로 둔다.   

2.12  $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 측도공간, $(X,\,\overline{\mathcal{M}},\,\overline{\mu})$를 완비화라 하자. $f$가 $X$에서 $\overline{M}-$가측이면, $\mathcal{M}-$가측함수 $g$가 존재해서 $f=g\,\overline{\mu}-a.e.$이다. 

증명: $f=\chi_{E}\,(E\in\overline{\mathcal{M}})$이면, $\overline{\mu}$의 정의에 의해 분명하므로 $f$가 $\overline{\mathcal{M}}-$가측 단순함수인 경우도 분명하다.

일반적인 경우, $\overline{\mathcal{M}}-$가측단순함수열 $\{\varphi_{n}\}$을 선택해서 $f$로 점별수렴한다고 하고, 각 $n$에 대하여 $\{\psi_{n}\}$을 $\overline{\mathcal{M}}-$가측단순함수열이라고 하고, $E_{n}\in\overline{\mathcal{M}}$에 대해 $E_{n}^{c}$에서 $\psi_{n}=\varphi_{n}$, $\overline{\mu}(E_{n})=0$이라 하자. $N\in\mathcal{M}$을 선택헤서 $\mu(N)=0$, $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\subset N$이고, $\displaystyle g=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\chi_{X-N}\psi_{n}}$이라 하자. 그러면 $g$는 2.9에 의해 $\mathcal{M}-$가측이고 $N^{c}$에서 $f=g$이다.   

2.13 $\varphi:\,[0,\,1]\,\rightarrow\,[0,\,1]$를 칸토어-르베그 함수라 하고 $\psi(x)=\varphi(x)+x$라 하자.  

a. $\psi$는 $[0,\,1]$에서 $[0,\,2]$로의 전단사이다.  

b. 칸토어집합 $\mathbf{C}$에 대하여 $m(\psi[\mathbf{C}])=1$ 

c. $\psi$는 칸토어집합의 가측부분집합을 비가측집합으로 대응시킨다.  

증명: 

a. $\varphi$와 $x$는 증가하는 연속함수이고 $\psi(0)=0,\,\psi(1)=2$이므로 $\psi[[0,\,1]]=[0,\,2]$이고, 따라서 $\psi$는 $[0,\,1]$에서 $[0,\,2]$로의 전단사이다.  

b. $\{I_{n}\}$을 칸토어집합의 건설과정에서 제거된 열린구간들의 집합족이라 하고, $\displaystyle U=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}$이라 하자. 그러면 $\mathbf{C}\cup U=[0,\,1]$이고 $\mathbf{C}\cap U=\phi$이다. $\psi$는 전단사 연속함수이므로 $\psi[\mathbf{C}]$는 닫힌집합, $\psi[U]$는 열린집합, $[0,\,2]=\psi[\mathbf{C}]\cup\psi[U]$, $\psi[\mathbf{C}]\cap\psi[U]=\psi$이다. $m(\mathbf{C})=0$이고 $\varphi$는 $I_{n}$에서 상수함수이므로 $\psi$는 $I_{n}$을 평행이동된 구간으로 대응시키고, $I_{n}$과 $\psi[I_{n}]$의 르베그측도는 같다. 또한 $\{I_{n}\}$은 서로소이므로 $\{\psi[I_{n}]\}$이고, $$m(\psi[U])=\sum_{n=1}^{\infty}{m(\psi[I_{n}])}=\sum_{n=1}^{\infty}{m(I_{n})}=m(U)=1$$ 이다. 

c. $m(E)\neq0$이면, 비가측집합 $F\subset E$가 존재한다는 사실을 이용하여 증명한다. 

$m(\psi[\mathbf{C}])=1$이므로 비가측집합 $W\subset\psi[\mathbf{C}]$가 존재한다. $\psi^{-1}[W]\subset\mathbf{C}$이고 $m(\mathbf{C})=0$이므로 $\psi^{-1}[W]$는 가측집합이다. 따라서 $\psi$는 가측집합 $\psi^{-1}[W]$를 비가측집합 $W$로 대응시킨다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson