[측도론] 2-3 복소함수의 적분(1)

[측도론] 2-3 복소함수의 적분(1)

여기서의 측도공간은 $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$이다.  

$f^{+}$와 $f^{-}$가 각각 $f$의 양의부분과 음의부분이고, $\displaystyle\int_{X}{f^{+}d\mu}$와 $\displaystyle\int_{X}{f^{-}d\mu}$중 적어도 하나가 유한이면, $f$의 적분을 다음과 같이 정의하는데, $$\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{f^{+}d\mu}-\int_{X}{f^{-}d\mu}$$ 이후로는 $\displaystyle\int_{X}{f^{+}d\mu}$와 $\displaystyle\int_{X}{f^{-}d\mu}$모두 유한한 경우에 한해서만 다룰 것이다. 이 경우를 $f$는 적분가능하다(integrable)고 하고, $|f|=f^{+}+f^{-}$이므로 $f$가 적분가능할 필요충분조건은 $\displaystyle\int_{X}{|f|d\mu}<\infty$이다.  

2.22 집합 $\displaystyle\left\{f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,|\,\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}$는 벡터공간이고, 적분은 $X$에서의 선형범함수이다.  

증명: $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 $|\alpha f+\beta g|\leq|\alpha||f|+|\beta||g|$이므로 집합 $\displaystyle\left\{f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,|\,\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}$는 벡터공간이다. 

임의의 $\alpha\in\mathbb{R}$에 대하여 $\displaystyle\int_{X}{\alpha fd\mu}$인 것은 분명하다. 

$f,\,g$를 적분가능한 함수라 하고 $h=f+g$라 하자. 그러면 $h^{+}-h^{-}=f^{+}-f^{-}+g^{+}-g^{-}$이므로 $h^{+}+f^{-}+g^{-}=h^{-}+f^{+}+g^{+}$이고 2.16에 의해 $$\int_{X}{f^{+}d\mu}+\int_{X}{f^{-}d\mu}+\int_{X}{g^{-}d\mu}=\int_{X}{h^{-}d\mu}+\int_{X}{f^{+}d\mu}+\int_{X}{g^{+}d\mu}$$ 이고, 따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\begin{align*}\int_{X}{hd\mu}&=\int_{X}{h^{+}d\mu}-\int_{X}{h^{-}d\mu}\\&=\int_{X}^{f^{+}d\mu}-\int_{X}{f^{-}d\mu}+\int_{X}{g^{+}d\mu}-\int_{X}{g^{-}d\mu}\\&=\int_{X}{fd\mu}+\int_{X}{gd\mu}\end{align*}$$ $f$가 복소함수이고 $\displaystyle\int_{X}{|f|d\mu}<\infty$이면, $f$는 적분가능하다고 한다. 일반적으로 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 $\int_{E}{|f|d\mu}<\infty$이면, $f$는 $E$에서 적분가능하다고 한다. 

$|f|\leq|\text{Re}f|+|\text{Im}f|\leq2|f|$이므로 $f$가 적분가능할 필요충분조건은 $\text{Re}f$, $\text{Im}f$모두 적분가능한 것이고 이때 다음과 같이 복소함수의 적분을 정의한다. $$\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{\text{Re}fd\mu}+i\int_{X}{\text{Im}fd\mu}$$ 2.22에 의해 집합 $\displaystyle\left\{f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}$는 복소벡터공간이고 적분은 복소선형범함수이다.

여기서 $\displaystyle L^{1}=\left\{f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}$(또는 $L^{1}(\mu),\,L^{1}(X),\,L^{1}(X,\,\mu)$)라고 하겠다.   

 

2.23 $f\in L^{1}$이면 $\displaystyle\left|\int_{X}{fd\mu}\right|\leq\int_{X}{|f|d\mu}$이다.  

증명: $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=0$인 경우는 자명하고, $f$가 실함수일 때 $$\left|\int_{X}{fd\mu}\right|=\left|\int_{X}{f^{+}d\mu}-\int_{X}{f^{-}d\mu}\right|\leq\int_{X}{f^{+}d\mu}+\int_{X}{f^{-}d\mu}=\int_{X}{|f|d\mu}$$ 이므로, 이 경우도 자명하다.

$f$를 복소함수, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\neq0$, $\displaystyle\alpha=\overline{\text{sgn}\left(\int_{X}{fd\mu}\right)}$라 하자. 그러면 $\displaystyle\left|\int_{X}{fd\mu}\right|=\alpha\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{\alpha fd\mu}$이고 실수값을 갖는다. 따라서 다음과 같이 성립한다. $$\left|\int_{X}{fd\mu}\right|=\text{Re}\int_{X}{\alpha fd\mu}=\int_{X}{\text{Re}(\alpha f)d\mu}\leq\int_{X}{|\text{Re}(\alpha f)|d\mu}\leq\int_{X}{|\alpha f|d\mu}=\int_{X}{|f|d\mu}$$     

2.24 

a. $f\in L^{1}$이면, $\{x\,|\,f(x)\neq0\}$은 $\sigma-$유한이다.   

b. $f,\,g\in L^{1}$이면, 모든 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_{E}{fd\mu}=\int_{E}{gd\mu}(E\in\mathcal{M})\,\Leftrightarrow\,\int_{X}{|f-g|d\mu}=0\,\Leftrightarrow\,f=g\,a.e.$$  

증명: 

a. 2.21과 동치이다.  

b. 조건 $\displaystyle\int_{X}{|f-g|d\mu}=0\,\Leftrightarrow\,f=g\,a.e.$는 2.17과 동치이다. 

$\displaystyle\int_{X}{|f-g|d\mu}=0$이면, 2.23에 의해 임의의 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 $$\left|\int_{E}{fd\mu}-\int_{E}{gd\mu}\right|\leq\int_{X}{\chi_{E}|f-g|d\mu}\leq\int_{X}{|f-g|d\mu}=0$$ 이므로 $\displaystyle\int_{E}{fd\mu}=\int_{E}{gd\mu}$이다. 

$u=\text{Re}(f-g)$, $v=\text{Im}(f-g)$라 하고 $f=g\,a.e.$가 성립하지 않는다고 하자. 그러면 $u^{+},\,u^{-},\,v^{+},\,v^{-}$중 적어도 하나는 양의 측도 집합에서 0이 아니어야 한다. 만약 $E=\{x\,|\,u^{+}(x)>0\}$, $\mu(E)>0$이면, $\displaystyle\int_{E}{u^{+}d\mu}>0$이고 $E$에서 $u^{-}=0$이다.     

$L^{1}(\mu)$를 동치관계 "복소함수 $f,\,g$에 대하여 $f=g\,a.e.$"에 의한 동치류들의 집합(상집합)으로 정의하면, $L^{1}(\mu)$는 여전히 선형성을 만족하고, $f\in L^{1}(\mu)$를 "$f$를 거의 어디서나 적분가능한 함수"로 받아들이면, 이렇게 새로 정의된 $L^{1}(\mu)$는 다음의 두 가지 장점을 갖는다.

a. $\overline{\mu}$가 $\mu$의 완비화이면, 2.12에 의해 $L^{1}(\overline{\mu})$에서 $L^{1}(\mu)$로의 일대일사상을 만들 수 있다.  

b. $L^{1}$은 거리함수 $\displaystyle\rho(f,\,g)=\int_{X}{|f-g|d\mu}$를 갖는 거리공간이다.  

b에서의 거리 $\rho$에 대한 수렴을 $L^{1}$수렴(convergence in $L^{1}$)이라고 한다. 따라서 $f_{n}$이 $f$로 $L^{1}$수렴할 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{|f_{n}-f|d\mu}}=0$이다.    

2.25 지배수렴정리(Dominated Convergence Theorem) 

$\{f_{n}\}\subset L^{1}$이 다음의 두 조건들을 만족한다고 하자.  

(a) $f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.$ 

(b) $g\in L^{1}\,(g\geq0)$가 존재해서 모든 $n$에 대하여 $|f_{n}|\leq g\,a.e.$이다.  

그러면 $f\in L^{1}$이고 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$이다.  

증명: 2.11, 2.12에 의해 $f$는 가측이고, $|f|\leq g\,a.e.$이므로 $f\in L^{1}$이다. 

복소함수는 실수부와 허수부로 분리되므로, $f_{n}$과 $f$를 실함수라고 하자. 그러면 $g+f_{n}\geq0\,a.e.$, $g-f_{n}\geq0\,a.e.$이므로 파투의 보조정리에 의해 $$\begin{align*}\int_{X}{gd\mu}+\int_{X}{fd\mu}&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{(g+f_{n})d\mu}}=\int_{X}{gd\mu}+\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}\\ \int_{X}{gd\mu}-\int_{X}{fd\mu}&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{(g-f_{n})d\mu}}=\int_{X}{gd\mu}-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup\int_{X}{f_{n}d\mu}}\end{align*}$$ 이고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup\int_{X}{f_{n}d\mu}}\leq\int_{X}{fd\mu}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}$$ 이므로 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$이다.    

 

2.26 $\{f_{n}\}\subset L^{1}$이 $\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}<\infty$를 만족한다고 하자. 그러면 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|f_{n}|}$은 $L^{1}$상의 함수로 수렴하고 $\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}$이다.  

증명: 2.16에 의해 $\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{|f_{n}|}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}<\infty$이므로, $\displaystyle g=\sum_{n=1}^{\infty}{|f_{n}|}\in L^{1}$이다. 특히 2.21에 의해 거의 모든 $x$에 대해 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|f_{n}(x)|}<\infty$이고, 이러한 $x$에 대해 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}$는 수렴한다. 게다가 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle\left|\sum_{i=1}^{n}{f_{i}}\right|\leq g$이므로 지배수렴정리에 의해 $\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}$이다.   

2.27 

a. $f\in L^{1}(\mu)$이고 $\epsilon>0$이면, 적분가능한 단순함수 $\displaystyle\varphi=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}$가 존재하여 $\displaystyle\int_{X}{|f-\varphi|d\mu}<\epsilon$이다.  

(적분가능한 단순함수들은 $L^{1}$거리에서 $L^{1}$조밀하다)

b. $\mu$가 $\mathbb{R}$상의 르베그-스틸체스 측도이면, a에서 $\varphi$의 정의에서 $E_{i}$를 열린구간들의 유한합집합으로 나타낼 수 있다.

c. 한 유계구간 바깥에서 0인 연속함수 $g$가 존재해서 $\displaystyle\int_{X}{|f-g|d\mu}<\epsilon$이다.($\mu$는 b의 르베그-스틸체스 측도이다.) 

증명: 

a. $\{\varphi_{n}\}$을 2.10의 b의 단순함수열이라 하자. $|\varphi_{n}-f|\leq2|f|$이므로 지배수렴정리에 의해, 충분히 큰 $n$에 대하여 $\displaystyle\int_{X}{|\varphi_{n}-f|d\mu}<\epsilon$이다. $\displaystyle\varphi_{n}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}$($E_{i}$들은 서로소이고 $a_{i}\neq0$)이면, 다음이 성립한다. $$\mu(E_{i})=\frac{1}{|a_{i}|}\int_{E_{i}}{|\varphi_{n}|d\mu}\leq\frac{1}{|a_{i}|}\int_{E_{i}}{|f|d\mu}<\infty$$  

b. $E,\,F$가 가측집합이면 $\displaystyle\mu(E\Delta F)=\int_{X}{|\chi_{E}-\chi_{F}|d\mu}$이므로, $\mu$가 $\mathbb{R}$상의 르베그-스틸체스 측도이면, 1.19에 의해 $\chi_{E_{i}}$를 $L^{1}$거리공간에서 $\chi_{I_{k}}$($I_{k}$는 열린구간)들의 유한합으로 근사시킬 수 있다.  

c. $I_{k}=(a,\,b)$이면, $\chi_{I_{k}}$를 $L^{1}$ 거리공간에서 $(a,\,b)$바깥에서 0이 되는 연속함수로 근사할 수 있다.

(예: $g$를 $(-\infty,\,a]\cup[b,\,\infty)$에서 $g=0$, $[a,\,a+\epsilon]\cup[b-\epsilon,\,b]$에서 $g$는 직선, $[a+\epsilon,\,b-\epsilon]$에서 $g=1$인 연속함수, $f=\chi_{I_{k}}$라고 하면 $\displaystyle\int_{X}{|f-g|d\mu}<\epsilon$이다.(아래 그림 참고))

 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley