[측도론] 2-3 복소함수의 적분(1)

[측도론] 2-3 복소함수의 적분(1)

여기서의 측도공간은 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)이다.  

\(f^{+}\)와 \(f^{-}\)가 각각 \(f\)의 양의부분과 음의부분이고, \(\displaystyle\int_{X}{f^{+}d\mu}\)와 \(\displaystyle\int_{X}{f^{-}d\mu}\)중 적어도 하나가 유한이면, \(f\)의 적분을 다음과 같이 정의하는데,$$\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{f^{+}d\mu}-\int_{X}{f^{-}d\mu}$$이후로는 \(\displaystyle\int_{X}{f^{+}d\mu}\)와 \(\displaystyle\int_{X}{f^{-}d\mu}\)모두 유한한 경우에 한해서만 다룰 것이다. 이 경우를 \(f\)는 적분가능하다(integrable)고 하고, \(|f|=f^{+}+f^{-}\)이므로 \(f\)가 적분가능할 필요충분조건은 \(\displaystyle\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\)이다.  

2.22 집합 \(\displaystyle\left\{f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,|\,\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}\)는 벡터공간이고, 적분은 \(X\)에서의 선형범함수이다.  

증명: \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(|\alpha f+\beta g|\leq|\alpha||f|+|\beta||g|\)이므로 집합 \(\displaystyle\left\{f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,|\,\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}\)는 벡터공간이다. 

임의의 \(\alpha\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{X}{\alpha fd\mu}\)인 것은 분명하다. 

\(f,\,g\)를 적분가능한 함수라 하고 \(h=f+g\)라 하자. 그러면 \(h^{+}-h^{-}=f^{+}-f^{-}+g^{+}-g^{-}\)이므로 \(h^{+}+f^{-}+g^{-}=h^{-}+f^{+}+g^{+}\)이고 2.16에 의해$$\int_{X}{f^{+}d\mu}+\int_{X}{f^{-}d\mu}+\int_{X}{g^{-}d\mu}=\int_{X}{h^{-}d\mu}+\int_{X}{f^{+}d\mu}+\int_{X}{g^{+}d\mu}$$이고, 따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\int_{X}{hd\mu}&=\int_{X}{h^{+}d\mu}-\int_{X}{h^{-}d\mu}\\&=\int_{X}^{f^{+}d\mu}-\int_{X}{f^{-}d\mu}+\int_{X}{g^{+}d\mu}-\int_{X}{g^{-}d\mu}\\&=\int_{X}{fd\mu}+\int_{X}{gd\mu}\end{align*}$$\(f\)가 복소함수이고 \(\displaystyle\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\)이면, \(f\)는 적분가능하다고 한다. 일반적으로 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(\int_{E}{|f|d\mu}<\infty\)이면, \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하다고 한다. 

\(|f|\leq|\text{Re}f|+|\text{Im}f|\leq2|f|\)이므로 \(f\)가 적분가능할 필요충분조건은 \(\text{Re}f\), \(\text{Im}f\)모두 적분가능한 것이고 이때 다음과 같이 복소함수의 적분을 정의한다.$$\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{\text{Re}fd\mu}+i\int_{X}{\text{Im}fd\mu}$$2.22에 의해 집합 \(\displaystyle\left\{f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}\)는 복소벡터공간이고 적분은 복소선형범함수이다.

여기서 \(\displaystyle L^{1}=\left\{f:\,X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,\int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}\)(또는 \(L^{1}(\mu),\,L^{1}(X),\,L^{1}(X,\,\mu)\))라고 하겠다.   

 

2.23 \(f\in L^{1}\)이면 \(\displaystyle\left|\int_{X}{fd\mu}\right|\leq\int_{X}{|f|d\mu}\)이다.  

증명: \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=0\)인 경우는 자명하고, \(f\)가 실함수일 때$$\left|\int_{X}{fd\mu}\right|=\left|\int_{X}{f^{+}d\mu}-\int_{X}{f^{-}d\mu}\right|\leq\int_{X}{f^{+}d\mu}+\int_{X}{f^{-}d\mu}=\int_{X}{|f|d\mu}$$이므로, 이 경우도 자명하다.

\(f\)를 복소함수, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\neq0\), \(\displaystyle\alpha=\overline{\text{sgn}\left(\int_{X}{fd\mu}\right)}\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\left|\int_{X}{fd\mu}\right|=\alpha\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{\alpha fd\mu}\)이고 실수값을 갖는다. 따라서 다음과 같이 성립한다.$$\left|\int_{X}{fd\mu}\right|=\text{Re}\int_{X}{\alpha fd\mu}=\int_{X}{\text{Re}(\alpha f)d\mu}\leq\int_{X}{|\text{Re}(\alpha f)|d\mu}\leq\int_{X}{|\alpha f|d\mu}=\int_{X}{|f|d\mu}$$    

2.24 

a. \(f\in L^{1}\)이면, \(\{x\,|\,f(x)\neq0\}\)은 \(\sigma-\)유한이다.   

b. \(f,\,g\in L^{1}\)이면, 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\int_{E}{fd\mu}=\int_{E}{gd\mu}(E\in\mathcal{M})\,\Leftrightarrow\,\int_{X}{|f-g|d\mu}=0\,\Leftrightarrow\,f=g\,a.e.$$ 

증명: 

a. 2.21과 동치이다.  

b. 조건 \(\displaystyle\int_{X}{|f-g|d\mu}=0\,\Leftrightarrow\,f=g\,a.e.\)는 2.17과 동치이다. 

\(\displaystyle\int_{X}{|f-g|d\mu}=0\)이면, 2.23에 의해 임의의 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여$$\left|\int_{E}{fd\mu}-\int_{E}{gd\mu}\right|\leq\int_{X}{\chi_{E}|f-g|d\mu}\leq\int_{X}{|f-g|d\mu}=0$$이므로 \(\displaystyle\int_{E}{fd\mu}=\int_{E}{gd\mu}\)이다. 

\(u=\text{Re}(f-g)\), \(v=\text{Im}(f-g)\)라 하고 \(f=g\,a.e.\)가 성립하지 않는다고 하자. 그러면 \(u^{+},\,u^{-},\,v^{+},\,v^{-}\)중 적어도 하나는 양의 측도 집합에서 0이 아니어야 한다. 만약 \(E=\{x\,|\,u^{+}(x)>0\}\), \(\mu(E)>0\)이면, \(\displaystyle\int_{E}{u^{+}d\mu}>0\)이고 \(E\)에서 \(u^{-}=0\)이다.     

\(L^{1}(\mu)\)를 동치관계 "복소함수 \(f,\,g\)에 대하여 \(f=g\,a.e.\)"에 의한 동치류들의 집합(상집합)으로 정의하면, \(L^{1}(\mu)\)는 여전히 선형성을 만족하고, \(f\in L^{1}(\mu)\)를 "\(f\)를 거의 어디서나 적분가능한 함수"로 받아들이면, 이렇게 새로 정의된 \(L^{1}(\mu)\)는 다음의 두 가지 장점을 갖는다.

a. \(\overline{\mu}\)가 \(\mu\)의 완비화이면, 2.12에 의해 \(L^{1}(\overline{\mu})\)에서 \(L^{1}(\mu)\)로의 일대일사상을 만들 수 있다.  

b. \(L^{1}\)은 거리함수 \(\displaystyle\rho(f,\,g)=\int_{X}{|f-g|d\mu}\)를 갖는 거리공간이다.  

b에서의 거리 \(\rho\)에 대한 수렴을 \(L^{1}\)수렴(convergence in \(L^{1}\))이라고 한다. 따라서 \(f_{n}\)이 \(f\)로 \(L^{1}\)수렴할 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{|f_{n}-f|d\mu}}=0\)이다.    

2.25 지배수렴정리(Dominated Convergence Theorem) 

\(\{f_{n}\}\subset L^{1}\)이 다음의 두 조건들을 만족한다고 하자.  

(a) \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.\) 

(b) \(g\in L^{1}\,(g\geq0)\)가 존재해서 모든 \(n\)에 대하여 \(|f_{n}|\leq g\,a.e.\)이다.  

그러면 \(f\in L^{1}\)이고 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)이다.  

증명: 2.11, 2.12에 의해 \(f\)는 가측이고, \(|f|\leq g\,a.e.\)이므로 \(f\in L^{1}\)이다. 

복소함수는 실수부와 허수부로 분리되므로, \(f_{n}\)과 \(f\)를 실함수라고 하자. 그러면 \(g+f_{n}\geq0\,a.e.\), \(g-f_{n}\geq0\,a.e.\)이므로 파투의 보조정리에 의해$$\begin{align*}\int_{X}{gd\mu}+\int_{X}{fd\mu}&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{(g+f_{n})d\mu}}=\int_{X}{gd\mu}+\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}\\ \int_{X}{gd\mu}-\int_{X}{fd\mu}&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{(g-f_{n})d\mu}}=\int_{X}{gd\mu}-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup\int_{X}{f_{n}d\mu}}\end{align*}$$이고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup\int_{X}{f_{n}d\mu}}\leq\int_{X}{fd\mu}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}$$이므로 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}\)이다.    

 

2.26 \(\{f_{n}\}\subset L^{1}\)이 \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}<\infty\)를 만족한다고 하자. 그러면 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|f_{n}|}\)은 \(L^{1}\)상의 함수로 수렴하고 \(\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}\)이다.  

증명: 2.16에 의해 \(\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{|f_{n}|}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}<\infty\)이므로, \(\displaystyle g=\sum_{n=1}^{\infty}{|f_{n}|}\in L^{1}\)이다. 특히 2.21에 의해 거의 모든 \(x\)에 대해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|f_{n}(x)|}<\infty\)이고, 이러한 \(x\)에 대해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}\)는 수렴한다. 게다가 모든 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\left|\sum_{i=1}^{n}{f_{i}}\right|\leq g\)이므로 지배수렴정리에 의해 \(\displaystyle\int_{X}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\right)d\mu}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{X}{|f_{n}|d\mu}}\)이다.   

2.27 

a. \(f\in L^{1}(\mu)\)이고 \(\epsilon>0\)이면, 적분가능한 단순함수 \(\displaystyle\varphi=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\)가 존재하여 \(\displaystyle\int_{X}{|f-\varphi|d\mu}<\epsilon\)이다.  

(적분가능한 단순함수들은 \(L^{1}\)거리에서 \(L^{1}\)조밀하다)

b. \(\mu\)가 \(\mathbb{R}\)상의 르베그-스틸체스 측도이면, a에서 \(\varphi\)의 정의에서 \(E_{i}\)를 열린구간들의 유한합집합으로 나타낼 수 있다.

c. 한 유계구간 바깥에서 0인 연속함수 \(g\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{X}{|f-g|d\mu}<\epsilon\)이다.(\(\mu\)는 b의 르베그-스틸체스 측도이다.) 

증명: 

a. \(\{\varphi_{n}\}\)을 2.10의 b의 단순함수열이라 하자. \(|\varphi_{n}-f|\leq2|f|\)이므로 지배수렴정리에 의해, 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{X}{|\varphi_{n}-f|d\mu}<\epsilon\)이다. \(\displaystyle\varphi_{n}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\)(\(E_{i}\)들은 서로소이고 \(a_{i}\neq0\))이면, 다음이 성립한다.$$\mu(E_{i})=\frac{1}{|a_{i}|}\int_{E_{i}}{|\varphi_{n}|d\mu}\leq\frac{1}{|a_{i}|}\int_{E_{i}}{|f|d\mu}<\infty$$ 

b. \(E,\,F\)가 가측집합이면 \(\displaystyle\mu(E\Delta F)=\int_{X}{|\chi_{E}-\chi_{F}|d\mu}\)이므로, \(\mu\)가 \(\mathbb{R}\)상의 르베그-스틸체스 측도이면, 1.19에 의해 \(\chi_{E_{i}}\)를 \(L^{1}\)거리공간에서 \(\chi_{I_{k}}\)(\(I_{k}\)는 열린구간)들의 유한합으로 근사시킬 수 있다.  

c. \(I_{k}=(a,\,b)\)이면, \(\chi_{I_{k}}\)를 \(L^{1}\) 거리공간에서 \((a,\,b)\)바깥에서 0이 되는 연속함수로 근사할 수 있다.

(예: \(g\)를 \((-\infty,\,a]\cup[b,\,\infty)\)에서 \(g=0\), \([a,\,a+\epsilon]\cup[b-\epsilon,\,b]\)에서 \(g\)는 직선, \([a+\epsilon,\,b-\epsilon]\)에서 \(g=1\)인 연속함수, \(f=\chi_{I_{k}}\)라고 하면 \(\displaystyle\int_{X}{|f-g|d\mu}<\epsilon\)이다.(아래 그림 참고))

 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley