[측도론] 2-5 수렴의 종류

[측도론] 2-5 수렴의 종류

함수열 \(\{f_{n}\}\)이 수렴할 때, 그 수렴의 종류에는 점별수렴, 균등수렴, a.e.수렴, \(L^{1}\)수렴이 있다. 균등수렴이면 점별수렴이고, a.e.수렴이다.(역은 성립하지 않음). 그러나 이러한 수렴은 \(L^{1}\)수렴을 보장하지 않는다.

i. \(\displaystyle f_{n}=\frac{1}{n}\chi_{(0,\,n)}\) 

ii. \(f_{n}=\chi_{(n,\,n+1)}\) 

iii. \(f_{n}=n\chi_{\left[0,\,\frac{1}{n}\right]}\) 

iv. \(f_{n}=\chi_{\left[\frac{i}{2^{k}},\,\frac{i+1}{2^{k}}\right]}\,(0\leq i<2^{k},\,n=2^{k}+i)\) 

i, ii, iii은 각각 0으로 균등수렴, 점별수렴, a.e.수렴하지만 \(L^{1}\)수렴하지는 않는다. 그 이유는 모든 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f_{n}|dm}=1\)이기 때문이다. iv는 \(2^{k}\leq n<2^{k+1}\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f_{n}|dm}=\frac{1}{2^{k}}\)이므로 0으로 \(L^{1}\)수렴하지만 모든 \(x\in[0,\,1]\)에 대하여 \(f_{n}(x)=0\)이 되는 \(n\)과 \(f_{n}(x)=1\)이 되는 \(n\)이 무한히 많이 존재하기 때문에 \(f_{n}\)은 0으로 수렴하지 않는다. 

반면에 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 a.e.수렴하고 모든 \(n\)에 대하여 \(|f_{n}|\leq g\in L^{1}\)이면, \(|f_{n}-f|\leq2g\)이고 지배수렴정리에 의해 \(f_{n}\)은 \(f\)로 \(L^{1}\)수렴한다. 

\(\{f_{n}\}\)을 측도공간 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)상의 복소 가측함수열이라 하자. \(\epsilon>0\)에 대하여 \(m,\,n\,\rightarrow\\infty\)일 때 \(\mu(\{x\,|\,|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\geq\epsilon\})\,\rightarrow\,0\)이면, \(\{f_{n}\}\)을 측도 코시수열(Cauchy in measure)이라고 한다. 비슷하게 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때, \(\mu(\{x\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|\geq\epsilon\})\,\rightarrow\,0\)이면, \(\{f_{n}\}\)은 \(f\)로 측도수렴(converges in measure)한다고 한다. i, iii, iv는 0으로 측도수렴하지만 ii는 측도 코시수열이 아니다. 

2.30 \(f_{n}\)이 \(f\)로 \(L^{1}\)수렴하면, \(f_{n}\)은 \(f\)로 측도수렴한다.  

증명: \(E_{n,\,\epsilon}=\{x\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|\geq\epsilon\}\)이라 하자. 그러면$$\int_{X}{|f_{n}-f|d\mu}\geq\int_{E_{n,\,\epsilon}}{|f_{n}-f|d\mu}\geq\epsilon\mu(E_{n,\,\epsilon})$$이고 따라서 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\mu(E_{n,\,\epsilon})\leq\frac{1}{\epsilon}\int_{X}{|f_{n}-f|d\mu}\,\rightarrow\,0\)이다.  

2.31 \(\{f_{n}\}\)을 측도 코시수열이라 하자. 그러면 가측함수 \(f\)가 존재해서 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 측도수렴하고, 부분수열 \(\{f_{n_{i}}\}\)가 존재해서 \(f\)로 a.e.수렴한다. 게다가 \(\{f_{n}\}\)이 \(g\)로 측도수렴하면, \(f=g\,a.e.\)이다.  

증명: \(\{f_{n}\}\)의 부분수열 \(\{g_{j}\}=\{f_{n_{j}}\}\)를 \(E_{j}=\{x\,|\,|g_{j}(x)-g_{j+1}(x)|\geq2^{-j}\}\)이면, \(\mu(E_{j})\leq2^{-j}\)가 되게끔 선택할 수 있다. \(\displaystyle F_{k}=\bigcup_{j=k}^{\infty}{E_{j}}\)이면, \(\displaystyle\mu(F_{k})\leq\sum_{j=k}^{\infty}{2^{-j}}=2^{1-k}\)이고, \(x\notin F_{k}\)이면, \(i\geq j\geq k\)에 대하여$$|g_{j}(x)-g_{i}(x)|\leq\sum_{l=j}^{i-1}{|g_{l+1}(x)-g_{l}(x)|}\leq\sum_{l=j}^{i-j}{2^{-l}}\leq2^{1-j}$$이므로 \(\{g_{j}\}\)는 \(F_{k}^{c}\)에서 점별 코시수열이다. 

\(\displaystyle F=\bigcap_{k=1}^{\infty}{F_{k}}=\lim_{j\,\rightarrow,\infty}{\sup E_{j}}\)라 하자. 그러면 \(\mu(F)=0\)이고, \(x\notin F\)일 때 \(\displaystyle f(x)=\lim_{j\,\rightarrow,\infty}{g_{j}(x)}\), \(x\in F\)일 때 \(f(x)=0\)이라 하면, \(f\)는 가측이고 \(\{g_{j}\}\)는 \(f\)로 a.e.수렴한다. 또한 \(x\notin F_{k}\)와 \(j\geq k\)에 대하여 \(|g_{j}(x)-f(x)|\leq2^{1-j}\)이고 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\mu(F_{k})}=0\)이므로 \(\{g_{j}\}\)는 \(f\)로 측도수렴한다. 또한 \(\{f_{n}\}\)은 \(f\)로 측도수렴하는데 그 이유는 다음과 같다.$$\{x\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|\geq\epsilon\}\subset\left\{x\,|\,|f_{n}(x)-g_{j}(x)|\geq\frac{\epsilon}{2}\right\}\cup\left\{x\,|\,|g_{j}(x)-f(x)|\geq\frac{\epsilon}{2}\right\}$$마찬가지로 \(\{f_{n}\}\)이 \(g\)로 측도수렴하면, 모든 \(n\)에 대하여$$\{x\,|\,|f(x)-g(x)|\geq\epsilon\}\subset\left\{x\,|\,|f(x)-f_{n}(x)|\geq\frac{\epsilon}{2}\right\}\cup\left\{x\,|\,|f_{n}(x)-g(x)|\geq\frac{\epsilon}{2}\right\}$$이므로 모든 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\mu(\{x\,|\,|f(x)-g(x)|\geq\epsilon\})=0\)이고 따라서 \(f=g\,a.e.\)이다.     

2.32 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 \(L^{1}\)수렴하면, 부분수열 \(\{f_{n_{i}}\}\)가 존재해서 \(f\)로 a.e.수렴한다.  

증명: 2.30, 2.31 

2.33 에고로프 정리(Egoroff's Theorem) 

\(\mu(X)<\infty\)이고 \(\{f_{n}\}\)과 \(f\)가 \(X\)상의 복소가측함수이고 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.\)라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(E\subset X\)가 존재해서 \(\mu(E)<\epsilon\)이고, \(\{f_{n}\}\)이 \(E^{c}\)에서 \(f\)로 균등수렴한다.

증명: 일반성을 잃지 않고 \(X\)전체에서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\)라고 할 수 있다. \(k,\,n\in\mathbb{N}\)에 대하여$$E_{n}(k)=\bigcup_{m=n}^{\infty}{\left\{x\,|\,|f_{m}(x)-f(x)|\geq\frac{1}{k}\right\}}$$라고 하자. 그러면 고정된 \(k\)에 대하여 \(E_{n+1}(k)\subset E_{n}(k)\)이고 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}(k)}=\phi\)이다. \(\mu(X)<\infty\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{n}(k))}=0\)가 성립한다. 임의의 \(\epsilon>0\), \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 충분히 큰 \(n_{k}\)를 선택해서 \(\displaystyle\mu(E_{n_{k}}(k))<\frac{\epsilon}{2^{k}}\)이 되게 하고 \(\displaystyle E=\bigcup_{k=1}^{\infty}{E_{n_{k}}(k)}\)라 하자. 그러면 \(\mu(E)<\epsilon\)이고 \(n>n_{k}\)와 \(x\in E^{c}\)에 대하여 \(\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{1}{k}\)이므로 따라서 \(\{f_{n}\}\)은 \(E^{c}\)에서 \(f\)로 균등수렴한다.   

2.34 루진 정리(Lusin's Theorem)

\(f:\,[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 르베그가측, \(\epsilon>0\)이라 하자. 그러면 컴팩트집합 \(E\subset[a,\,b]\)가 존재해서 \(\mu(E^{c})<\epsilon\)이고 \(f|_{E}\)는 연속함수이다.  

증명: 2.27의 c로부터 연속함수열 \(\{g_{n}\}\)이 존재해서 \(f\)로 \(L^{1}\)수렴한다. 따라서 2.32에 의해 \(\{g_{n}\}\)의 부분수열 \(\{g_{n_{i}}\}\)가 존재해서 \(f\)로 a.e.수렴하고 에고로프의 정리에 의해 \(F\subset[a,\,b]\)가 존재해서 \(\displaystyle\mu(F)<\frac{\epsilon}{2}\)이고 \(\{g_{n_{i}}\}\)는 \(F^{c}\)에서 \(f\)로 균등수렴한다. 

\(\mu([a,\,b])<\infty\)이므로 1.17에 의해 컴팩트집합 \(E\subset[a,\,b]\)가 존재해서 \(E\subset F^{c}\)이고$$\begin{align*}\mu(E^{c})&=\mu(F)+\mu(E^{c}-F)=\mu(F)+\mu(F^{c}-E)\\&=\mu(F)+\{\mu(F^{c})-\mu(E)\}\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\,\left(\because\,\mu(E)\geq\mu(F^{c})-\frac{\epsilon}{2}\right)\end{align*}$$이다. \(E\subset F^{c}\)이고 \(\{g_{n_{i}}\}\)이 \(F^{c}\)에서 \(f\)로 균등수렴하므로 , \(\{g_{n_{i}}\}\)는 \(E\)에서 \(f\)로 균등수렴하고, 모든 \(i\)에 대하여 \(g_{n_{i}}\)는 연속함수이므로, \(f\)는 \(E\)에서 연속, 즉 \(f|_{E}\)는 연속함수이다. 

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley