[측도론] 2-5 수렴의 종류

[측도론] 2-5 수렴의 종류

함수열 $\{f_{n}\}$이 수렴할 때, 그 수렴의 종류에는 점별수렴, 균등수렴, a.e.수렴, $L^{1}$수렴이 있다. 균등수렴이면 점별수렴이고, a.e.수렴이다.(역은 성립하지 않음). 그러나 이러한 수렴은 $L^{1}$수렴을 보장하지 않는다.

i. $\displaystyle f_{n}=\frac{1}{n}\chi_{(0,\,n)}$ 

ii. $f_{n}=\chi_{(n,\,n+1)}$ 

iii. $f_{n}=n\chi_{\left[0,\,\frac{1}{n}\right]}$ 

iv. $f_{n}=\chi_{\left[\frac{i}{2^{k}},\,\frac{i+1}{2^{k}}\right]}\,(0\leq i<2^{k},\,n=2^{k}+i)$ 

i, ii, iii은 각각 0으로 균등수렴, 점별수렴, a.e.수렴하지만 $L^{1}$수렴하지는 않는다. 그 이유는 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f_{n}|dm}=1$이기 때문이다. iv는 $2^{k}\leq n<2^{k+1}$에 대하여 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f_{n}|dm}=\frac{1}{2^{k}}$이므로 0으로 $L^{1}$수렴하지만 모든 $x\in[0,\,1]$에 대하여 $f_{n}(x)=0$이 되는 $n$과 $f_{n}(x)=1$이 되는 $n$이 무한히 많이 존재하기 때문에 $f_{n}$은 0으로 수렴하지 않는다. 

반면에 $\{f_{n}\}$이 $f$로 a.e.수렴하고 모든 $n$에 대하여 $|f_{n}|\leq g\in L^{1}$이면, $|f_{n}-f|\leq2g$이고 지배수렴정리에 의해 $f_{n}$은 $f$로 $L^{1}$수렴한다. 

$\{f_{n}\}$을 측도공간 $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$상의 복소 가측함수열이라 하자. $\epsilon>0$에 대하여 $m,\,n\,\rightarrow\\infty$일 때 $\mu(\{x\,|\,|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\geq\epsilon\})\,\rightarrow\,0$이면, $\{f_{n}\}$을 측도 코시수열(Cauchy in measure)이라고 한다. 비슷하게 $\epsilon>0$에 대하여 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때, $\mu(\{x\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|\geq\epsilon\})\,\rightarrow\,0$이면, $\{f_{n}\}$은 $f$로 측도수렴(converges in measure)한다고 한다. i, iii, iv는 0으로 측도수렴하지만 ii는 측도 코시수열이 아니다. 

2.30 $f_{n}$이 $f$로 $L^{1}$수렴하면, $f_{n}$은 $f$로 측도수렴한다.  

증명: $E_{n,\,\epsilon}=\{x\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|\geq\epsilon\}$이라 하자. 그러면 $$\int_{X}{|f_{n}-f|d\mu}\geq\int_{E_{n,\,\epsilon}}{|f_{n}-f|d\mu}\geq\epsilon\mu(E_{n,\,\epsilon})$$ 이고 따라서 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\mu(E_{n,\,\epsilon})\leq\frac{1}{\epsilon}\int_{X}{|f_{n}-f|d\mu}\,\rightarrow\,0$이다.  

2.31 $\{f_{n}\}$을 측도 코시수열이라 하자. 그러면 가측함수 $f$가 존재해서 $\{f_{n}\}$이 $f$로 측도수렴하고, 부분수열 $\{f_{n_{i}}\}$가 존재해서 $f$로 a.e.수렴한다. 게다가 $\{f_{n}\}$이 $g$로 측도수렴하면, $f=g\,a.e.$이다.  

증명: $\{f_{n}\}$의 부분수열 $\{g_{j}\}=\{f_{n_{j}}\}$를 $E_{j}=\{x\,|\,|g_{j}(x)-g_{j+1}(x)|\geq2^{-j}\}$이면, $\mu(E_{j})\leq2^{-j}$가 되게끔 선택할 수 있다. $\displaystyle F_{k}=\bigcup_{j=k}^{\infty}{E_{j}}$이면, $\displaystyle\mu(F_{k})\leq\sum_{j=k}^{\infty}{2^{-j}}=2^{1-k}$이고, $x\notin F_{k}$이면, $i\geq j\geq k$에 대하여 $$|g_{j}(x)-g_{i}(x)|\leq\sum_{l=j}^{i-1}{|g_{l+1}(x)-g_{l}(x)|}\leq\sum_{l=j}^{i-j}{2^{-l}}\leq2^{1-j}$$ 이므로 $\{g_{j}\}$는 $F_{k}^{c}$에서 점별 코시수열이다. 

$\displaystyle F=\bigcap_{k=1}^{\infty}{F_{k}}=\lim_{j\,\rightarrow,\infty}{\sup E_{j}}$라 하자. 그러면 $\mu(F)=0$이고, $x\notin F$일 때 $\displaystyle f(x)=\lim_{j\,\rightarrow,\infty}{g_{j}(x)}$, $x\in F$일 때 $f(x)=0$이라 하면, $f$는 가측이고 $\{g_{j}\}$는 $f$로 a.e.수렴한다. 또한 $x\notin F_{k}$와 $j\geq k$에 대하여 $|g_{j}(x)-f(x)|\leq2^{1-j}$이고 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\mu(F_{k})}=0$이므로 $\{g_{j}\}$는 $f$로 측도수렴한다. 또한 $\{f_{n}\}$은 $f$로 측도수렴하는데 그 이유는 다음과 같다. $$\{x\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|\geq\epsilon\}\subset\left\{x\,|\,|f_{n}(x)-g_{j}(x)|\geq\frac{\epsilon}{2}\right\}\cup\left\{x\,|\,|g_{j}(x)-f(x)|\geq\frac{\epsilon}{2}\right\}$$ 마찬가지로 $\{f_{n}\}$이 $g$로 측도수렴하면, 모든 $n$에 대하여 $$\{x\,|\,|f(x)-g(x)|\geq\epsilon\}\subset\left\{x\,|\,|f(x)-f_{n}(x)|\geq\frac{\epsilon}{2}\right\}\cup\left\{x\,|\,|f_{n}(x)-g(x)|\geq\frac{\epsilon}{2}\right\}$$ 이므로 모든 $\epsilon>0$에 대하여 $\mu(\{x\,|\,|f(x)-g(x)|\geq\epsilon\})=0$이고 따라서 $f=g\,a.e.$이다.     

2.32 $\{f_{n}\}$이 $f$로 $L^{1}$수렴하면, 부분수열 $\{f_{n_{i}}\}$가 존재해서 $f$로 a.e.수렴한다.  

증명: 2.30, 2.31 

2.33 에고로프 정리(Egoroff's Theorem) 

$\mu(X)<\infty$이고 $\{f_{n}\}$과 $f$가 $X$상의 복소가측함수이고 $f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.$라 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $E\subset X$가 존재해서 $\mu(E)<\epsilon$이고, $\{f_{n}\}$이 $E^{c}$에서 $f$로 균등수렴한다.

증명: 일반성을 잃지 않고 $X$전체에서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$라고 할 수 있다. $k,\,n\in\mathbb{N}$에 대하여 $$E_{n}(k)=\bigcup_{m=n}^{\infty}{\left\{x\,|\,|f_{m}(x)-f(x)|\geq\frac{1}{k}\right\}}$$ 라고 하자. 그러면 고정된 $k$에 대하여 $E_{n+1}(k)\subset E_{n}(k)$이고 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}(k)}=\phi$이다. $\mu(X)<\infty$이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{n}(k))}=0$가 성립한다. 임의의 $\epsilon>0$, $k\in\mathbb{N}$에 대하여 충분히 큰 $n_{k}$를 선택해서 $\displaystyle\mu(E_{n_{k}}(k))<\frac{\epsilon}{2^{k}}$이 되게 하고 $\displaystyle E=\bigcup_{k=1}^{\infty}{E_{n_{k}}(k)}$라 하자. 그러면 $\mu(E)<\epsilon$이고 $n>n_{k}$와 $x\in E^{c}$에 대하여 $\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{1}{k}$이므로 따라서 $\{f_{n}\}$은 $E^{c}$에서 $f$로 균등수렴한다.   

2.34 루진 정리(Lusin's Theorem)

$f:\,[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 르베그가측, $\epsilon>0$이라 하자. 그러면 컴팩트집합 $E\subset[a,\,b]$가 존재해서 $\mu(E^{c})<\epsilon$이고 $f|_{E}$는 연속함수이다.  

증명: 2.27의 c로부터 연속함수열 $\{g_{n}\}$이 존재해서 $f$로 $L^{1}$수렴한다. 따라서 2.32에 의해 $\{g_{n}\}$의 부분수열 $\{g_{n_{i}}\}$가 존재해서 $f$로 a.e.수렴하고 에고로프의 정리에 의해 $F\subset[a,\,b]$가 존재해서 $\displaystyle\mu(F)<\frac{\epsilon}{2}$이고 $\{g_{n_{i}}\}$는 $F^{c}$에서 $f$로 균등수렴한다. 

$\mu([a,\,b])<\infty$이므로 1.17에 의해 컴팩트집합 $E\subset[a,\,b]$가 존재해서 $E\subset F^{c}$이고 $$\begin{align*}\mu(E^{c})&=\mu(F)+\mu(E^{c}-F)=\mu(F)+\mu(F^{c}-E)\\&=\mu(F)+\{\mu(F^{c})-\mu(E)\}\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\,\left(\because\,\mu(E)\geq\mu(F^{c})-\frac{\epsilon}{2}\right)\end{align*}$$ 이다. $E\subset F^{c}$이고 $\{g_{n_{i}}\}$이 $F^{c}$에서 $f$로 균등수렴하므로 , $\{g_{n_{i}}\}$는 $E$에서 $f$로 균등수렴하고, 모든 $i$에 대하여 $g_{n_{i}}$는 연속함수이므로, $f$는 $E$에서 연속, 즉 $f|_{E}$는 연속함수이다. 

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley