[측도론] 2-7 n차원 르베그 적분(1)

[측도론] 2-7 n차원 르베그 적분(1) 

\(\mathbb{R}^{n}\)상의 르베그측도(Lebesgue measure) \(m^{n}\)은 \(\mathfrak{L}\otimes\cdots\otimes\mathfrak{L}\)상의 곱측도 \(m\times\cdots\times m\)의 완비화이다. 

\(m^{n}\)의 정의역 \(\mathfrak{L}^{n}\)을 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 르베그 가측집합(Lebesgue measurale set)들의 족이라고 한다. 

\(n=1\)일 때 \(\displaystyle\int_{X}{fdm}\) 대신 \(\displaystyle\int_{X}{f(x)dx}\)로 나타내고, \(\displaystyle E=\prod_{i=1}^{n}{E_{i}}\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 직사각형이면, \(E_{i}\subset\mathbb{R}\)를 \(E\)의 변(side)이라고 하겠다.(혼동의 우려가 없을 때는 \(n\)을 생략해서 \(m\)으로만 나타낸다.)

2.40 \(E\in\mathfrak{L}^{n}\)이라 하자. 

a. \(m(E)=\inf\{m(U)\,|\,E\subset U,\,U\,\text{open}\}=\sup\{m(k)\,|\,K\subset E,\,K\,\text{compact}\}\)

b. \(E=A_{1}\cup N_{1}=A_{2}-N_{2}\)(\(A_{1}\)은 \(F_{\sigma}\)집합, \(A_{2}\)는 \(G_{\delta}\)집합, \(m(N_{1})=m(N_{2})=0\))

c. \(m(E)<\infty\)이면, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 변들이 구간인 서로소인 직사각형들의 유한집합족 \(\{R_{i}\}_{i=1}^{N}\)가 존재하여 \(\displaystyle m\left(E\Delta\bigcup_{i=1}^{N}{R_{i}}\right)<\epsilon\)이다.  

증명: 

a, b. 곱측도의 정의에 의해 \(E\in\mathfrak{L}^{n}\)이면, 직사각형들의 가산집합족 \(\{T_{i}\}\)가 존재해서 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{T_{i}}\)이고, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{m(T_{i})}\leq m(E)+\epsilon\)이다. 각 \(i\)에 대하여 1.17의 결과를 \(T_{i}\)의 변에 적용해서 변이 열린집합이고 \(m(U_{i})\leq m(T_{i})+\epsilon2^{-i}\)를 만족하는 직사각형 \(U_{i}\supset T_{i}\)를 찾을 수 있다. \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\)라 하면 \(U\)는 열린집합이고 \(\displaystyle m(U)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{m(U_{i})}\leq m(E)+2\epsilon\)이므로 다음이 성립한다.$$m(E)=\inf\{m(U)\,|\,E\subset U,\,U\,\text{open}\}$$등식 \(m(E)=\sup\{m(K)\,|\,K\subset E,\,K\,\text{compact}\}\)와 b는 1.17, 1.18의 증명과정으로부터 성립한다.  

c. \(m(E)<\infty\)이면 모든 \(i\)에 대하여 \(m(U_{i})<\infty\)이고, \(U_{i}\)의 변들은 열린구간들의 가산합집합이므로 적당한 부분합집합(subunion)을 취함으로써 변들이 구간들의 유한합집합이고 \(m(V_{i})\geq m(U_{i})-\epsilon2^{-i}\)를 만족하는 직사각형 \(V_{i}\subset U_{i}\)를 얻는다. \(N\)이 충분히 큰 수이면 다음의 두 부등식을 얻고$$m\left(E-\bigcup_{i=1}^{N}{V_{i}}\right)\leq m\left(\bigcup_{i=1}^{N}{(U_{i}-V_{i})}\right)+m\left(\bigcup_{i=N+1}^{\infty}{U_{i}}\right)<2\epsilon\\m\left(\bigcup_{i=1}^{N}{V_{i}}-E\right)\leq m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}-E\right)<\epsilon$$이 두 부등식에 의해 \(\displaystyle m\left(E\Delta\bigcup_{i=1}^{N}{V_{i}}\right)<3\epsilon\)이고, \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{N}{V_{i}}\)는 변이 구간이고 서로소인 직사각형들의 유한합집합으로 나타낼 수 있으므로 c도 증명되었다.  

2.41 \(f\in L^{1}(m)\)이고 \(\epsilon>0\)이면, 단순함수 \(\displaystyle\varphi=\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}\chi_{R_{i}}}\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f-\varphi|dm}<\epsilon\)이고, 유계집합 바깥에서 0이 되는 연속함수 \(g\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f-g|dm}<\epsilon\)이다.   

증명: 2.40의 c, 2.10, 2.27의 증명과정 

2.42 르베그측도는 평행이동불변이다. 즉 \(a\in\mathbb{R}^{n}\)에 대하여 \(\tau_{a}:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)를 \(\tau_{a}(x)=x+a\)로 정의하자.  

a. \(E\in\mathfrak{L}^{n}\)이면, \(\tau_{a}[E]\in\mathfrak{L}^{n}\)이고, \(m(\tau_{a}[E])=m(E)\)이다.  

b. \(f:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 르베그가측이면, \(f\circ\tau_{a}\)도 르베그가측이고, 게다가 \(f\geq0\)이거나 \(f\in L^{1}(m)\)이면, \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ\tau_{a})dm}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{fdm}\)이다.  

증명: 

a. \(\tau_{a}\)와 그 역상인 \(\tau_{-a}\)가 연속이므로, 보렐집합에 대한 사상도 보렐집합이다. 1차원일 때의 공식 \(m(\tau_{a}[E])=m(E)\)는 1.20에 의해 참이다. \(E\)가 직사각형이면, 일반적인 보렐집합에 대해서 참이다. 그 이유는 \(m\)은 직사각형 상에서의 작용에 의해 결정되기 때문이다.(1.13의 c). 특히 \(m(E)=0\)을 만족하는 보렐집합 \(E\)들은 평행이동불변이므로 a가 성립한다.   

b. \(f\)가 르베그가측이고 \(B\)가 \(\mathbb{C}\)상의 보렐집합이면, \(f^{-1}[B]=E\cup N\)(\(E\)는 보렐집합, \(m(N)=0\))이다. 그러나 \(\tau_{a}^{-1}[E]\)는 보렐집합이고 \(m\left(\tau_{a}^{-1}[N]\right)=0\)이므로 \((f\circ\tau_{a})^{-1}[B]\in\mathfrak{L}^{n}\)이고 \(f\circ\tau_{a}\)는 르베그가측이다. 

\(f=\chi_{E}\)일 때 등식$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ\tau_{a})dm}=m(\tau_{a}[E])=m(E)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{fdm}$$이 성립하므로 적분의 선형성에 의해 \(f\)가 단순함수일 때 등식 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{(f\circ\tau_{a})dm}\int_{\mathbb{R}^{n}}{fdm}\)이 성립하고, \(f\geq0\)일 때는 적분의 정의에 의해 성립한다. \(f\)가 실함수인 경우는 \(f=f^{+}-f^{-}\), \(f\)가 복소함수인 경우는 \(f=\text{Re}f+i\text{Im}f\)이므로 \(f\in L^{1}(m)\)인 경우에 대해서도 성립한다.  

\(\mathbb{R}^{n}\)상의 정육면체는 길이가 같은 \(n\)개의 닫힌구간들의 카테시안곱이다. \(k\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(\mathcal{Q}_{k}\)를 변의 길이가 \(2^{-k}\)이고 격자 \((2^{-k}\mathbb{Z})^{n}\)에 있는(\(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{[a_{i},\,b_{i}]}\in\mathcal{Q}_{k}\)일 필요충분조건은 모든 \(i\)에 대하여 \(2^{k}a_{i},\,2^{k}b_{i}\in\mathbb{Z}\)이고 \(b_{i}-a_{i}=2^{-k}\))정육면체들의 집합이라 하자. \(\mathcal{Q}_{k}\)의 두 정육면체는 내부를 공유하지 않고 \(\mathcal{Q}_{k+1}\)에 있는 정육면체들은 변을 분할하는 \(\mathcal{Q}_{k}\)내부의 정육면체들에 포함된다. 

\(E\in\mathbb{R}^{n}\)이면, \(E\)의 \(\mathcal{Q}_{k}\)상의 정육면체들의 격자에 의한 내부근사와 외부근사를 각각 다음과 같이 정의한다.$$\underline{A}(E,\,k)=\bigcup{\{Q\in\mathcal{Q}_{k}\,|\,Q\subset E\}(\text{inner})}, \overline{A}(E,\,k)=\bigcup{\{Q\in\mathcal{Q}_{k}\,|\,Q\cap E\neq\phi\}}(\text{outer})$$\(\underline{A}(E,\,k)\)의 측도는 \(\underline{A}(E,\,k)\)내부에 있는 \(\mathcal{Q}_{k}\)의 정육면체 개수에 \(2^{-nk}\)를 곱한 값이고 비슷하게 \(\overline{A}(E,\,k)\)의 측도는 \(\overline{A}(E,\,k)\)내부에 있는 정육면체의 개수에 \(2^{-nk}\)를 곱한 값이다. 또한 \(\mathcal{Q}_{k}\)상의 정육면체는 \(\mathcal{Q}_{k+1}\)상의 정육면체들의 합집합이므로 \(\underline{A}(E,\,k)\subset\underline{A}(E,\,k+1)\), \(\overline{A}(E,\,k+1)\subset\overline{A}(E,\,k)\)이고 따라서 다음의 극한값이 존재한다.$$\underline{\kappa}(E)=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{m(\underline{A}(E,\,k))},\,\overline{\kappa}(E)=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{m(\overline{A}(E,\,k))}$$이 두 극한값들을 각각 \(E\)의 내부용량(inner content), 외부용량(outer content)이라고 하고, 이 두 극한값들이 같으면, 그 공통값 \(\kappa(E)\)를 \(E\)의 조르단용량(Jordan content)이라고 한다. 

조르단용량은 \(E\)가 유계인 경우에만 의미가 있다(그렇지 않은 경우는 \(\overline{\kappa}(E)=\infty\)이다).$$\underline{A}(E)=\bigcup_{k=1}^{\infty}{\underline{A}(E,\,k)},\,\overline{A}(E)=\bigcap_{k=1}^{\infty}{\overline{A}(E,\,k)}$$라 하자. 그러면 \(\underline{A}(E)\subset E\subset\overline{A}(E)\)이고 \(\underline{A}(E),\,\overline{A}(E)\)는 보렐집합, \(\underline{\kappa}(E)=m(\underline{A}(E))\), \(\overline{\kappa}(E)=m(\overline{A}(E))\)이다. 따라서 \(E\)의 조르단용량이 존재할 필요충분조건은 \(\overline{\kappa}(\overline{A}(E)-\underline{A}(E))=0\)이고 이때 \(E\)는 르베그가측이며 \(m(E)=\kappa(E)\)이다.     

2.43 \(U\subset\mathbb{R}^{n}\)가 열린집합이면, \(U=\underline{A}(U)\)이고, \(U\)는 서로의 내부를 공유하지 않는 정육면체들의 가산합집합이다.  

증명: \(x\in U\)이면, \(\delta=\inf\{|y-x|\,|\,y\notin U\}\)라 하자. \(U\)가 열린집합이므로 \(\delta>0\)이다. \(x\in Q\in\mathcal{Q}_{k}\)이면, 모든 \(y\in Q\)에 대하여 \(x\)와의 거리는 최대 \(2^{-k}\sqrt{n}\)이다(안 좋은 경우는 \(|x_{i}-y_{i}|=2^{-k}\)). 그러므로 \(Q\subset U\)이고 충분히 큰 \(k\)에 대하여 \(2^{-k}\sqrt{n}<\delta\)이다. \(x\in\underline{A}(U,\,k)\subset\underline{A}(U)\)이므로 \(\underline{A}(U)=U\)이고, \(\displaystyle\underline{A}(U)=\underline{A}(U,\,0)\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}{[\underline{A}(U,\,k)-\underline{A}(U,\,k-1)]}\), \(\underline{A}(U,\,0)\)는 \(\mathcal{Q}_{0}\)는 \(\mathcal{Q}_{0}\)상의 정육면체들의 가산합집합, \(k\geq1\)에 대하여 \(\underline{A}(U,\,k)-\underline{A}(U,\,k-1)\)의 폐포는 \(Q_{k}\)상의 정육면체들의 가산합집합, 이들의 내부는 서로소이다.  

참고자료:    

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley