[측도론] 3-3 복소측도

[측도론] 3-3 복소측도

가측공간 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 복소측도(complex measure) \(\nu:\,\mathcal{M}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)는 다음 조건들을 만족하는 집합함수이다. 

i. \(\nu(\phi)=0\) 

ii. \(\{E_{i}\}\subset\mathcal{M}\)가 서로소이면, \(\displaystyle\nu\left(\bigcup_{i=1}^{n}{E_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\nu(E_{i})}\)이고, 우변의 급수는 절대수렴한다.  

복소측도는 무한대 값을 허용하지 않는다. 그러므로 양측도가 유한측도이면, 복소측도이다.

예: \(\mu\)가 양측도이고 \(f\in L^{1}(\mu)\)이면, \(fd\mu\)는 복소측도이다.  

복소측도 \(\nu\)에 대해 \(\nu_{r}=\text{Re}\nu\), \(\nu_{i}=\text{Im}\nu\)라 하고, \(\nu\)가 무한대를 값으로 갖지 않으므로 \(\nu_{r}\)과 \(\nu_{i}\)는 유한측도이고, \(\nu\)의 치역은 \(\mathbb{C}\)의 유계부분집합이다. 

복소측도 \(\nu\)에 대해 \(L^{1}(\nu)=L^{1}(\nu_{r})\cap L^{1}(\nu_{i})\)로 정의하고 \(f\in L^{1}(\nu)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{fd\nu_{r}}+i\int_{X}{fd\nu_{i}}\)이다. \(\nu\)와 \(\mu\)가 복소측도라고 하자. \(a,\,b=r,\,i\)에 대하여 \(\nu_{a}\perp\nu_{b}\)이면, \(\nu\perp\mu\)이고, \(\lambda\)가 양측도일 때 \(\nu_{r}\ll\lambda\)이고 \(\nu_{i}\ll\lambda\)이면, \(\nu\ll\lambda\)이다. 

3.14 르베그-라돈-니코딤 정리(Lebesgue-Radon-Nikodym Theorem) 

\((X,\,\mathcal{M})\)에서 \(\nu\)를 복소측도, \(\mu\)를 \(\sigma-\)유한 양측도라 하자. 그러면 복소측도 \(\lambda\)와 \(f\in L^{1}(\mu)\)가 존재해서 \(\lambda\perp\mu\)이고 \(d\nu=d\lambda+fd\mu\)이다. 만약 \(\lambda'\perp\mu\)이고 \(d\nu=d\lambda_{1}+f_{1}d\mu\)이면, \(\lambda=\lambda_{1}\), \(f=f_{1}\,\mu-a.e.\)이다.  

증명: \(\nu_{r}\), \(\nu_{i}\)에 대해 3.9를 적용한다.  

위 정리에서 \(\nu\ll\mu\)이면, \(\displaystyle f=\frac{d\nu}{d\mu}\)로 나타낸다.  

\(\mu=|\nu_{r}|+|\nu_{i}|(=|\nu|)\)라고 하자. \(\mu\)는 양측도이고 \(\nu\ll\mu\)이므로 3.14에 의해 \(f\in L^{1}(\mu)\)가 존재해서 \(d\nu=fd\mu\)이다.    

\(d\nu=f_{1}d\mu_{1}=f_{2}d\mu_{2}\)이면, \(\rho=\mu_{1}+\mu_{2}\)라 하자. 그러면 3.10에 의해$$f_{1}\frac{d\mu_{1}}{d\rho}d\rho=d\nu=f_{2}\frac{d\mu_{2}}{d\rho}d\rho$$이므로 \(\displaystyle f_{1}\frac{d\mu_{1}}{d\rho}=f_{2}\frac{d\mu_{2}}{d\rho}\,\rho-a.e.\)이고 \(\displaystyle\frac{d\mu_{1}}{d\rho},\,\frac{d\mu_{2}}{d\rho}\geq0\)이므로$$|f_{1}|\frac{d\mu_{1}}{d\rho}=\left|f_{1}\frac{d\mu_{1}}{d\rho}\right|=\left|f_{2}\frac{d\mu_{2}}{d\rho}\right|=|f_{2}|\frac{d\mu_{2}}{d\rho}\,\rho-a.e.$$이고 따라서 다음이 성립한다.$$|f_{1}|d\mu_{1}=|f_{1}|\frac{d\mu_{1}}{d\rho}d\rho=|f_{2}|\frac{d\mu_{2}}{d\rho}d\rho=|f_{2}|d\mu_{2}$$그러므로 \(|\nu|\)의 정의는 \(\mu\)와 \(f\)에 독립적이고, \(\nu\)가 부호측도인 경우도 마찬가지이다. 이때 \(d\nu=(\chi_{P}-\chi_{N})d|\nu|\)이고 여기서 \(X=P\cup N\)는 한 분해, \(|\chi_{P}-\chi_{N}|=1\)이다.      

3.15 \(\nu\)를 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 복소측도라 하자.  

a. 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(|\nu(E)|\leq|\nu|(E)\) 

b. \(\nu\ll|\nu|\)이고 \(\displaystyle\left|\frac{d\nu}{d|\nu|}\right|=1\,|\nu|-a.e.\)이다.  

c. \(L^{1}(\nu)=L^{1}(|\nu|)\)이고 \(f\in L^{1}(\nu)\)이면, \(\displaystyle\left|\int_{X}{fd\nu}\right|\leq\int_{X}{|f|d|\nu|}\)이다.  

증명: \(|\nu|\)의 정의에서 \(d\nu=fd\mu\)라 하자.  

a. 다음으로부터 성립한다.$$|\nu(E)|=\left|\int_{E}{fd\mu}\right|\leq\int_{E}{|f|d\mu}=|\nu|(E)$$ 

b. a에 의해 \(\nu\ll|\nu|\)이다. \(\displaystyle g=\frac{d\nu}{d|\nu|}\)이면, \(fd\mu=d\nu=gd|\nu|=g|f|d\mu\)이므로 \(g|f|=f\,\mu-a.e.\)이고 \(|\nu|-a.e.\)이다. 그러나 \(|f|>0\,|\nu|-a.e.\)이므로 \(\displaystyle|g|=\left|\frac{d\nu}{d|\nu|}\right|=1\,|\nu|-a.e.\)이다.  

c. \(L^{1}(|\nu|)\subset L^{1}(\nu)\)인 것은 분명하다. \(f\in L^{1}(\nu)\)이면, \(\displaystyle|f|\frac{d\nu}{d|\nu|}\in L^{1}(|\nu|)\)이고 \(\displaystyle\int_{X}{|f|d\nu}=\int_{X}{|f|\frac{d\nu}{d|\nu|}d|\nu|}\)이다. \(\displaystyle\left|\frac{d\nu}{d|\nu|}\right|=1\)이므로 \(f\in L^{1}(|\nu|)\)이고 따라서 \(L^{1}(\nu)\subset L^{1}(|\nu|)\)이므로 \(L^{1}(\nu)=L^{1}(|\nu|)\)이다. 또한 \(f\in L^{1}(\nu)\)에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.$$\left|\int_{X}{fd\nu}\right|=\left|\int_{X}{f\frac{d\nu}{d|\nu|}d|\nu|}\right|\leq\int_{X}{\left|f\frac{d\nu}{d|\nu|}\right|d|\nu|}=\int_{X}{|f|d|\nu|}$$ 

3.16 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 복소측도 \(\nu_{1},\,\nu_{2}\)에 대하여 \(|\nu_{1}+\nu_{2}|\leq|\nu_{1}|+|\nu_{2}|\)이다.  

증명: 3.12에 의해 \(d\nu_{1}=f_{1}d\mu\), \(d\nu_{2}=f_{2}d\mu\)이고, 다음의 부등식으로부터 성립한다.$$d|\nu_{1}+\nu_{2}|=|f_{1}+f_{2}|d\mu\leq|f_{1}|d\mu+|f_{2}|d\mu=d|\nu_{1}|+d|\nu_{2}|$$

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley