[측도론] 4-1 위상공간

[측도론] 4-1 위상공간

집합 \(X(\neq\phi)\)에서의 위상(topology) \(\mathcal{T}\)는 다음의 성질들을 만족한다. 

i. \(\phi,\,X\in\mathcal{T}\) 

ii. \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)이면, \(\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\in\mathcal{T}\) 

iii. \(U_{1},\,U_{2},\,...,\,U_{n}\in\mathcal{T}\)이면, \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{U_{i}}\in\mathcal{T}\) 

순서쌍 \((X,\,\mathcal{T})\)를 위상공간(topological space)이라 하고, \(\mathcal{T}\)가 알려진 경우, 간단하게 \(X\)로 나타낸다. 다음은 위상공간의 예이다. 

-집합 \(X(\neq\phi)\)의 부분집합 \(2^{X}\)와 \(\{\phi,\,X\}\)로 구성된 위상을 각각 이산위상(discrete topology), 밀착(자명)위상(indiscrete(trivial) topology)이라고 한다. 

-무한집합 \(X\)에 대해 \(\{U\subset X\,|\,U=\phi,\,\text{or}\,U^{c}\,\text{is finite}\}\)는 \(X\)상의 위상이고 여유한위상(cofinite topology)이라고 한다. 

-\(X\)가 거리공간이면, 거리공간상의 열린집합들을 모은 집합족은 \(X\)상의 위상이다. 

-\((X,\,\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(Y\subset X\)이면, \(\mathcal{T}_{Y}=\{U\cap Y\,|\,U\in\mathcal{T}\}\)는 \(Y\)상의 위상이고, 이 위상을 \(\mathcal{T}\)에 의해 유도된 상대위상(relative topology)이라고 한다. 

위상 \(\mathcal{T}\)의 원소를 열린집합(open set)이라 하고, 열린집합의 여집합을 닫힌집합(closed set)이라고 한다. 

\(A\subset X\)이면, \(A\)에 포함되는 모든 열린집합들의 합집합을 \(A\)의 내부(interior)라 하고 \(A^{\circ}\)로 나타내고, \(A\)를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합을 \(A\)의 폐포(closure)라 하고 \(\overline{A}\)로 나타낸다. 

\(A^{\circ}\)는 \(A\)에 포함되는 가장 큰 집합이고 \(\overline{A}\)는 \(A\)를 포함하는 가장 작은 집합이며 \((A^{\circ})^{c}=\overline{A^{c}}\)이고 \((\overline{A})^{c}=(A^{c})^{\circ}\)이다. 

차집합 \(\overline{A}-A^{\circ}=\overline{A}\cap\overline{A^{c}}\)를 \(A\)의 경계(boundary)라 하고 \(\partial A\)로 나타낸다. 

\(\overline{A}=X\)이면, \(A\)는 \(X\)에서 조밀하다(dense)고 하고, 반대로 \((\overline{A})^{\circ}=\phi\)이면, \(A\)는 \(X\)에서 희박하다(nowhere dense)고 한다. 

\(x\in X\)(또는 \(E\subset X\))이면, \(x\)(또는 \(E\))의 근방(neighborhood) \(A\subset X\)는 \(x\in A^{\circ}\)(또는 \(E\subset A^{\circ}\))를 만족하는 집합이다. 따라서 \(A\)가 열린집합일 필요충분조건은 \(A\)가 자기 자신의 근방이 되는 것이다.  

\(x\)의 임의의 근방 \(U\)에 대하여 \(A\cap(U-\{x\})\neq\phi\)이면, \(x\)를 \(A\)의 집적점(accumulation point)이라 하고, 이 집적점들의 집합을 도집합(derivative set)이라 하고 \(A'\)으로 나타낸다.  

4.1 \(A\subset X\)이면, 

i. \(\overline{A}=A\cup A'\) 

ii. \(A\)가 닫힌집합일 필요충분조건은 \(A'\subset A\)이다.  

iii. \(A,\,B\subset X\)에 대하여 \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\)이다.  

증명: 

i: (a) \(x\notin\overline{A}\)이면, \(A^{c}\)는 \(A\)와 교차하지 않는 \(x\)의 한 근방(\(\because\,x\notin A\))이고 \(x\notin A'\)이므로 \(A\cup A'\subset\overline{A}\)이다.  

(b) \(x\notin A\cup A'\)이면, \(x\)를 포함하지 않는 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(G\cap A=\phi\)이고 \(\overline{A}\subset G^{c}\)이므로 \(x\notin\overline{A}\)이다. 

그러면 \(\overline{A}\subset A\cup A'\)이고 (a), (b)에 의해 \(\overline{A}=A\cup A'\)이다.   

ii: \(A\)가 닫힌집합일 필요충분조건은 \(A=\overline{A}\)이고, \(A=\overline{A}\)가 되려면 \(A'\subset A\)이어야 한다.

iii: (a) \(A\subset A\cup B\), \(B\subset A\cup B\)이므로 \(\overline{A}\subset\overline{A\cup B}\), \(\overline{B}\subset\overline{A\cup B}\)이고 \(\overline{A}\cup\overline{B}\subset\overline{A\cup B}\)이다.  

(b) \(A\subset\overline{A}\), \(B\subset\overline{B}\)이므로 \(A\cup B\subset\overline{A}\cup\overline{B}\)이고 폐포의 정의에 의해 \(\overline{A\cup B}\subset\overline{A}\cup\overline{B}\)이다.   

(a), (b)에 의해 \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\)이다. 

\(\mathcal{T}_{1}\)과 \(\mathcal{T}_{2}\)가 \(X\)상의 위상이고 \(\mathcal{T}_{1}\subset\mathcal{T}_{2}\)이면, \(\mathcal{T}_{1}\)을 \(\mathcal{T}_{2}\)에 비해 약하다(weaker)(또는 거칠다, coarser)라고 하고, \(\mathcal{T}_{2}\)를 \(\mathcal{T}_{1}\)에 비해 강하다(stronger)(또는 섬세하다, finer)라고 한다.  

명백히 밀착위상 \(\{X,\,\phi\}\)는 \(X\)상의 가장 약한 위상이고 이산위상 \(2^{X}\)는 \(X\)상의 가장 강한 위상이다. \(\mathcal{E}\subset2^{X}\)이면, \(\mathcal{E}\)를 포함하는 \(X\)상의 가장 약한 위상 \(\mathcal{T}(\mathcal{E})\)가 유일하게 존재한다.  

이 위상은 \(\mathcal{E}\)를 포함하는 모든 위상들의 교집합이고, \(\mathcal{E}\)에 의해 생성된 위상이라고 하며, \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{T}(\mathcal{E})\)에 대한 부분기저(subbase)라고 한다.  

\(\mathcal{T}\)가 \(X\)상의 위상이면 \(\mathcal{T}\)에 대한 \(x\in X\)에서의 근방기저(neighborhood base) \(\mathcal{N}\subset\mathcal{T}\)은 다음 성질들을 맍고하는 집합들의 족이다.  

i. 모든 \(V\in\mathcal{N}\)에 대하여 \(x\in V\) 

ii. \(U\in\mathcal{T}\)이고 \(x\in U\)이면, \(V\in\mathcal{N}\)가 존재해서 \(V\subset U\) 

\(\mathcal{T}\)에 대한 기저(base) \(\mathcal{B}\subset\mathcal{T}\)는 각 \(x\)에서의 근방기저를 포함하는 집합족이다.  

4.2 \(\mathcal{T}\)가 \(X\)상의 위상이고 \(\mathcal{E}\subset\mathcal{T}\)이면, \(\mathcal{E}\)가 \(\mathcal{T}\)의 근방이 될 필요충분조건은 모든 \(U(\neq\phi)\in\mathcal{T}\)들이 \(\mathcal{E}\)의 원소들의 합집합이 되는 것이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(\mathcal{E}\)가 한 기저이면, \(U\in\mathcal{T}\), \(x\in U\)이고, \(V_{x}\in\mathcal{E}\)가 존재해서 \(x\in V_{x}\subset U\)이고 \(\displaystyle U=\bigcup_{x\in U}{V_{x}}\)이다.  

(\(\Leftarrow\)): 모든 \(U(\neq\phi)\in\mathcal{T}\)들이 \(\mathcal{E}\)의 원소들의 합집합이면, \(\{V\in\mathcal{E}\,|\,x\in V\}\)는 \(x\)에서의 기저이고 따라서 \(\mathcal{E}\)는 한 기저이다.  

4.3 \(\mathcal{E}\subset 2^{X}\)이면, \(\mathcal{E}\)가 \(X\)에서의 한 위상의 기저가 될 필요충분조건은 \(\mathcal{E}\)가 다음의 두 조건들을 만족하는 것이다.  

a. 각 \(x\in X\)는 적당한 \(V\in\mathcal{E}\)에 포함된다.  

b. \(U,\,V\in\mathcal{E}\)이고 \(x\in U\cap V\)이면, \(W\subset\mathcal{E}\)가 존재해서 \(x\in W\subset U\cap V\)이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): 자명하다.(\(\because\) \(U,\,V\)가 열린집합이면, \(U\cap V\)도 열린집합이다) 

(\(\Leftarrow\)): \(\mathcal{T}\)를 다음과 같이 정의하자.$$\mathcal{T}=\{U\subset X\,|\,\text{for every}\,x\in U\,\text{there exists}\,V\in\mathcal{E}\,\text{with}\,x\in W\subset U\cap V\}$$라고 하자. 그러면 조건 a에 의해 \(X,\,\phi\in\mathcal{T}\)이고 \(\mathcal{T}\)는 합집합에 대해 닫혀있다. \(U_{1},\,U_{2}\in\mathcal{T}\)이고 \(x\in U_{1}\cap U_{2}\)이면, \(V_{1},\,V_{2}\in\mathcal{E}\)가 존재해서 \(x\in V_{1}\subset U_{1}\), \(x\in V_{2}\subset U_{2}\)이고 조건 b에 의해 \(W\subset\mathcal{E}\)가 존재해서 \(x\in W\subset U_{1}\cap U_{2}\)이다. 따라서 \(U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{T}\)이고 귀납법에 의해 \(\mathcal{T}\)는 유한교집합에 대해 닫혀있다. 따라서 \(\mathcal{T}\)는 위상이고 \(\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{T}\)의 기저이다.    

4.4 \(\mathcal{E}\subset2^{X}\)이면, \(\mathcal{E}\)에 의해 생성된 위상 \(\mathcal{T}(\mathcal{E})\)는 \(\phi,\,X\)를 포함하고, \(\mathcal{E}\)의 유한교집합들의 합집합이다.  

증명: \(\mathcal{E}\)의 집합들의 유한교집합들은 \(X\)를 포함하고\(\displaystyle\left(\bigcap_{\phi}{V}=X\right)\), 4.3의 조건을 만족한다. 4.2에 의해 \(\mathcal{E}\)의 집합들의 합집합들은 \(\phi\)를 포함하고\(\displaystyle\left(\bigcup_{\phi}{V}=\phi\right)\) 위상이 된다. \(\mathcal{T}(\mathcal{E})\)에 포함되는것은 명백하고 따라서 \(\mathcal{T}(\mathcal{E})\)와 같다. 

위상공간 \((X,\,\mathcal{T})\)가 \(X\)의 각 점에서 \(\mathcal{T}\)에 대한 가산개의 근방기저를 가지면, 제1가산(first countable)이라 하고(\(X\)가 제1가산이면, 모든 \(x\in X\)에 대해 \(x\)에서의 가산근방기저 \(\{U_{i}\}\)가 존재해서 \(U_{i+1}\subset U_{i}\)이고 \(\{V_{i}\}\)가 \(x\)에서의 임의의 가산개의 근방기저이면, \(\displaystyle U_{i}=\bigcap_{k=1}^{i}{V_{k}}\)로 선택할 수 있다) \(\mathcal{T}\)가 가산개의 기저를 가지면, 제2가산(second countabla)이라고 한다.  

위상공간 \((X,\,\mathcal{T})\)에 대해서 \(X\)가 가산개의 조밀부분집합을 가지면, 가분(separable)이라고 한다.  

4.5 모든 제2가산공간은 가분이다.  

증명: \(X\)가 제2가산이면, \(\mathcal{E}\)를 위상에 대한 가산기저라 하고, 각 \(U\in\mathcal{E}\)에 대하여 한 점 \(x_{U}\in U\)를 고르자. 그러면 \((\overline{\{x_{U}\,|\,U\in\mathcal{E}\}})^{c}\)는 임의의 \(U\in\mathcal{E}\)를 포함하지 않는 열린집합이므로 공집합이 되고 따라서 \(\overline{\{x_{U}\,|\,U\in\mathcal{E}\}}=X\) 이다. 

위상공간 \(X\)상의 수열 \(\{x_{n}\}\)에 대해서 \(x\)의 임의의 근방 \(U\)에 대해 \(N\in\mathcal{N}\)이 존재해서 모든 \(n>N\)에 대해 \(x_{n}\in U\)이면, 수열 \(\{x_{n}\}\)은 \(x\)로 수렴(converges)한다고 하고 다음과 같이 나타낸다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x(\text{or}\,x_{n}\,\rightarrow\,x)$$ 

4.6 \(X\)가 제1가산이고 \(A\subset X\)이면, \(x\in\overline{A}\)일 필요충분조건은 \(x\)로 수렴하는 수열 \(\{x_{n}\}\)이 존재하는 것이다. 

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(\{U_{n}\}\)을 모든 \(n\)에 대하여 \(U_{n+1}\subset U_{n}\)인 \(x\)에서의 가산근방기저라고 하자. \(x\in\overline{A}\)이면, 모든 \(n\)에 대하여 \(U_{n}\cap A\neq\phi\)이다. \(x_{n}\in U_{n}\cap A\)를 고르자. 모든 \(k>n\)에 대하여 \(U_{k}\subset U_{n}\)이고 \(x\)의 모든 근방이 어떤 \(U_{n}\)을 포함하므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x\)이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(x\notin\overline{A}\)이고 \(\{x_{n}\}\)이 \(A\)상의 수열이면, \((\overline{A})^{c}\)는 \(x_{n}\)을 포함하지 않는 한 근방이고 따라서 \(x_{n}\)은 \(x\)로 수렴하지 않는다.  

다음 위상공간들의 성질들에 대하여 \(X\)가 성질 \(T_{i}\)를 가지면, \(X\)는 \(T_{i}\)공간 또는 \(X\)는 \(T_{i}\)라고 한다.   

\(T_{0}\): \(x\neq y\)이면, 한 열린집합이 존재해서 \(x\)를 포함하고 \(y\)를 포함하지 않거나 \(y\)를 포함하고 \(x\)를 포함하지 않는다. 

\(T_{1}\): \(x\neq y\)이면, 한 열린집합이 존재해서 \(y\)를 포함하고 \(x\)를 포함하지 않는다.  

\(T_{2}\): \(x\neq y\)이면, 서로소인 열린집합 \(U,\,V\)가 존재해서 \(x\in U\), \(y\in V\)이다.  

\(T_{3}\): \(X\)는 \(T_{1}\)공간이고 임의의 닫힌집합 \(A\subset X\)와 \(x\in A^{c}\)에 대하여 서로소인 열린집합 \(U,\,V\)가 존재해서 \(x\in U\), \(A\subset V\)이다. 

\(T_{4}\): \(X\)는 \(T_{1}\)공간이고 임의의 서로소인 닫힌집합 \(A,\,B\subset X\)에 대하여 서로소인 열린집합 \(U,\,V\)가 존재해서 \(A\subset U\), \(B\subset V\)이다.  

\(T_{2}\)공간을 하우스도르프(Hausdorff)공간, \(T_{3}\)공간을 정칙(regular)공간, \(T_{4}\)공간을 정규(normal)공간이라고 한다. 각 공간들 간의 포함관계는 \(T_{4}\subset T_{3}\subset T_{2}\subset T_{1}\subset T_{0}\)이고 반대방향으로 성립하지 않는다.  

4.7 \(X\)가 \(T_{1}\)공간일 필요충분조건은 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(\{x\}\)가 닫힌집합인 것이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(X\)가 \(T_{1}\)공간이면, 각 \(y\neq x\)에 대하여 열린집합 \(U_{y}\)가 존재해서 \(y\in U_{y}\), \(x\notin U_{y}\)이다. 따라서 \(\displaystyle\{x\}^{c}=\bigcup_{y\neq x}{U_{y}}\)는 열린집합이고 \(\{x\}\)는 닫힌집합이다.  

(\(\Leftarrow\)): \(\{x\}\)가 닫힌집합이면, \(\{x\}^{c}\)는 모든 \(y(\neq x)\)를 포함하는 열린집합이다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

위상수학기초론, 장영식, 경문사