[측도론] 4-1 위상공간

[측도론] 4-1 위상공간

집합 $X(\neq\phi)$에서의 위상(topology) $\mathcal{T}$는 다음의 성질들을 만족한다. 

i. $\phi,\,X\in\mathcal{T}$ 

ii. $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$이면, $\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\in\mathcal{T}$ 

iii. $U_{1},\,U_{2},\,...,\,U_{n}\in\mathcal{T}$이면, $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{U_{i}}\in\mathcal{T}$ 

순서쌍 $(X,\,\mathcal{T})$를 위상공간(topological space)이라 하고, $\mathcal{T}$가 알려진 경우, 간단하게 $X$로 나타낸다. 다음은 위상공간의 예이다. 

-집합 $X(\neq\phi)$의 부분집합 $2^{X}$와 $\{\phi,\,X\}$로 구성된 위상을 각각 이산위상(discrete topology), 밀착(자명)위상(indiscrete(trivial) topology)이라고 한다. 

-무한집합 $X$에 대해 $\{U\subset X\,|\,U=\phi,\,\text{or}\,U^{c}\,\text{is finite}\}$는 $X$상의 위상이고 여유한위상(cofinite topology)이라고 한다. 

-$X$가 거리공간이면, 거리공간상의 열린집합들을 모은 집합족은 $X$상의 위상이다. 

-$(X,\,\mathcal{T})$가 위상공간이고 $Y\subset X$이면, $\mathcal{T}_{Y}=\{U\cap Y\,|\,U\in\mathcal{T}\}$는 $Y$상의 위상이고, 이 위상을 $\mathcal{T}$에 의해 유도된 상대위상(relative topology)이라고 한다. 

위상 $\mathcal{T}$의 원소를 열린집합(open set)이라 하고, 열린집합의 여집합을 닫힌집합(closed set)이라고 한다. 

$A\subset X$이면, $A$에 포함되는 모든 열린집합들의 합집합을 $A$의 내부(interior)라 하고 $A^{\circ}$로 나타내고, $A$를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합을 $A$의 폐포(closure)라 하고 $\overline{A}$로 나타낸다. 

$A^{\circ}$는 $A$에 포함되는 가장 큰 집합이고 $\overline{A}$는 $A$를 포함하는 가장 작은 집합이며 $(A^{\circ})^{c}=\overline{A^{c}}$이고 $(\overline{A})^{c}=(A^{c})^{\circ}$이다. 

차집합 $\overline{A}-A^{\circ}=\overline{A}\cap\overline{A^{c}}$를 $A$의 경계(boundary)라 하고 $\partial A$로 나타낸다. 

$\overline{A}=X$이면, $A$는 $X$에서 조밀하다(dense)고 하고, 반대로 $(\overline{A})^{\circ}=\phi$이면, $A$는 $X$에서 희박하다(nowhere dense)고 한다. 

$x\in X$(또는 $E\subset X$)이면, $x$(또는 $E$)의 근방(neighborhood) $A\subset X$는 $x\in A^{\circ}$(또는 $E\subset A^{\circ}$)를 만족하는 집합이다. 따라서 $A$가 열린집합일 필요충분조건은 $A$가 자기 자신의 근방이 되는 것이다.  

$x$의 임의의 근방 $U$에 대하여 $A\cap(U-\{x\})\neq\phi$이면, $x$를 $A$의 집적점(accumulation point)이라 하고, 이 집적점들의 집합을 도집합(derivative set)이라 하고 $A'$으로 나타낸다.  

4.1 $A\subset X$이면, 

i. $\overline{A}=A\cup A'$ 

ii. $A$가 닫힌집합일 필요충분조건은 $A'\subset A$이다.  

iii. $A,\,B\subset X$에 대하여 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$이다.  

증명: 

i: (a) $x\notin\overline{A}$이면, $A^{c}$는 $A$와 교차하지 않는 $x$의 한 근방($\because\,x\notin A$)이고 $x\notin A'$이므로 $A\cup A'\subset\overline{A}$이다.  

(b) $x\notin A\cup A'$이면, $x$를 포함하지 않는 열린집합 $G$가 존재해서 $G\cap A=\phi$이고 $\overline{A}\subset G^{c}$이므로 $x\notin\overline{A}$이다. 

그러면 $\overline{A}\subset A\cup A'$이고 (a), (b)에 의해 $\overline{A}=A\cup A'$이다.   

ii: $A$가 닫힌집합일 필요충분조건은 $A=\overline{A}$이고, $A=\overline{A}$가 되려면 $A'\subset A$이어야 한다.

iii: (a) $A\subset A\cup B$, $B\subset A\cup B$이므로 $\overline{A}\subset\overline{A\cup B}$, $\overline{B}\subset\overline{A\cup B}$이고 $\overline{A}\cup\overline{B}\subset\overline{A\cup B}$이다.  

(b) $A\subset\overline{A}$, $B\subset\overline{B}$이므로 $A\cup B\subset\overline{A}\cup\overline{B}$이고 폐포의 정의에 의해 $\overline{A\cup B}\subset\overline{A}\cup\overline{B}$이다.   

(a), (b)에 의해 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$이다. 

$\mathcal{T}_{1}$과 $\mathcal{T}_{2}$가 $X$상의 위상이고 $\mathcal{T}_{1}\subset\mathcal{T}_{2}$이면, $\mathcal{T}_{1}$을 $\mathcal{T}_{2}$에 비해 약하다(weaker)(또는 거칠다, coarser)라고 하고, $\mathcal{T}_{2}$를 $\mathcal{T}_{1}$에 비해 강하다(stronger)(또는 섬세하다, finer)라고 한다.  

명백히 밀착위상 $\{X,\,\phi\}$는 $X$상의 가장 약한 위상이고 이산위상 $2^{X}$는 $X$상의 가장 강한 위상이다. $\mathcal{E}\subset2^{X}$이면, $\mathcal{E}$를 포함하는 $X$상의 가장 약한 위상 $\mathcal{T}(\mathcal{E})$가 유일하게 존재한다.  

이 위상은 $\mathcal{E}$를 포함하는 모든 위상들의 교집합이고, $\mathcal{E}$에 의해 생성된 위상이라고 하며, $\mathcal{E}$를 $\mathcal{T}(\mathcal{E})$에 대한 부분기저(subbase)라고 한다.  

$\mathcal{T}$가 $X$상의 위상이면 $\mathcal{T}$에 대한 $x\in X$에서의 근방기저(neighborhood base) $\mathcal{N}\subset\mathcal{T}$은 다음 성질들을 맍고하는 집합들의 족이다.  

i. 모든 $V\in\mathcal{N}$에 대하여 $x\in V$ 

ii. $U\in\mathcal{T}$이고 $x\in U$이면, $V\in\mathcal{N}$가 존재해서 $V\subset U$ 

$\mathcal{T}$에 대한 기저(base) $\mathcal{B}\subset\mathcal{T}$는 각 $x$에서의 근방기저를 포함하는 집합족이다.  

4.2 $\mathcal{T}$가 $X$상의 위상이고 $\mathcal{E}\subset\mathcal{T}$이면, $\mathcal{E}$가 $\mathcal{T}$의 근방이 될 필요충분조건은 모든 $U(\neq\phi)\in\mathcal{T}$들이 $\mathcal{E}$의 원소들의 합집합이 되는 것이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): $\mathcal{E}$가 한 기저이면, $U\in\mathcal{T}$, $x\in U$이고, $V_{x}\in\mathcal{E}$가 존재해서 $x\in V_{x}\subset U$이고 $\displaystyle U=\bigcup_{x\in U}{V_{x}}$이다.  

($\Leftarrow$): 모든 $U(\neq\phi)\in\mathcal{T}$들이 $\mathcal{E}$의 원소들의 합집합이면, $\{V\in\mathcal{E}\,|\,x\in V\}$는 $x$에서의 기저이고 따라서 $\mathcal{E}$는 한 기저이다.  

4.3 $\mathcal{E}\subset 2^{X}$이면, $\mathcal{E}$가 $X$에서의 한 위상의 기저가 될 필요충분조건은 $\mathcal{E}$가 다음의 두 조건들을 만족하는 것이다.  

a. 각 $x\in X$는 적당한 $V\in\mathcal{E}$에 포함된다.  

b. $U,\,V\in\mathcal{E}$이고 $x\in U\cap V$이면, $W\subset\mathcal{E}$가 존재해서 $x\in W\subset U\cap V$이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): 자명하다.($\because$ $U,\,V$가 열린집합이면, $U\cap V$도 열린집합이다) 

($\Leftarrow$): $\mathcal{T}$를 다음과 같이 정의하자. $$\mathcal{T}=\{U\subset X\,|\,\text{for every}\,x\in U\,\text{there exists}\,V\in\mathcal{E}\,\text{with}\,x\in W\subset U\cap V\}$$ 라고 하자. 그러면 조건 a에 의해 $X,\,\phi\in\mathcal{T}$이고 $\mathcal{T}$는 합집합에 대해 닫혀있다. $U_{1},\,U_{2}\in\mathcal{T}$이고 $x\in U_{1}\cap U_{2}$이면, $V_{1},\,V_{2}\in\mathcal{E}$가 존재해서 $x\in V_{1}\subset U_{1}$, $x\in V_{2}\subset U_{2}$이고 조건 b에 의해 $W\subset\mathcal{E}$가 존재해서 $x\in W\subset U_{1}\cap U_{2}$이다. 따라서 $U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{T}$이고 귀납법에 의해 $\mathcal{T}$는 유한교집합에 대해 닫혀있다. 따라서 $\mathcal{T}$는 위상이고 $\mathcal{E}$는 $\mathcal{T}$의 기저이다.    

4.4 $\mathcal{E}\subset2^{X}$이면, $\mathcal{E}$에 의해 생성된 위상 $\mathcal{T}(\mathcal{E})$는 $\phi,\,X$를 포함하고, $\mathcal{E}$의 유한교집합들의 합집합이다.  

증명: $\mathcal{E}$의 집합들의 유한교집합들은 $X$를 포함하고$\displaystyle\left(\bigcap_{\phi}{V}=X\right)$, 4.3의 조건을 만족한다. 4.2에 의해 $\mathcal{E}$의 집합들의 합집합들은 $\phi$를 포함하고$\displaystyle\left(\bigcup_{\phi}{V}=\phi\right)$ 위상이 된다. $\mathcal{T}(\mathcal{E})$에 포함되는것은 명백하고 따라서 $\mathcal{T}(\mathcal{E})$와 같다. 

위상공간 $(X,\,\mathcal{T})$가 $X$의 각 점에서 $\mathcal{T}$에 대한 가산개의 근방기저를 가지면, 제1가산(first countable)이라 하고($X$가 제1가산이면, 모든 $x\in X$에 대해 $x$에서의 가산근방기저 $\{U_{i}\}$가 존재해서 $U_{i+1}\subset U_{i}$이고 $\{V_{i}\}$가 $x$에서의 임의의 가산개의 근방기저이면, $\displaystyle U_{i}=\bigcap_{k=1}^{i}{V_{k}}$로 선택할 수 있다) $\mathcal{T}$가 가산개의 기저를 가지면, 제2가산(second countabla)이라고 한다.  

위상공간 $(X,\,\mathcal{T})$에 대해서 $X$가 가산개의 조밀부분집합을 가지면, 가분(separable)이라고 한다.  

4.5 모든 제2가산공간은 가분이다.  

증명: $X$가 제2가산이면, $\mathcal{E}$를 위상에 대한 가산기저라 하고, 각 $U\in\mathcal{E}$에 대하여 한 점 $x_{U}\in U$를 고르자. 그러면 $(\overline{\{x_{U}\,|\,U\in\mathcal{E}\}})^{c}$는 임의의 $U\in\mathcal{E}$를 포함하지 않는 열린집합이므로 공집합이 되고 따라서 $\overline{\{x_{U}\,|\,U\in\mathcal{E}\}}=X$ 이다. 

위상공간 $X$상의 수열 $\{x_{n}\}$에 대해서 $x$의 임의의 근방 $U$에 대해 $N\in\mathcal{N}$이 존재해서 모든 $n>N$에 대해 $x_{n}\in U$이면, 수열 $\{x_{n}\}$은 $x$로 수렴(converges)한다고 하고 다음과 같이 나타낸다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x(\text{or}\,x_{n}\,\rightarrow\,x)$$  

4.6 $X$가 제1가산이고 $A\subset X$이면, $x\in\overline{A}$일 필요충분조건은 $x$로 수렴하는 수열 $\{x_{n}\}$이 존재하는 것이다. 

증명: 

($\Rightarrow$): $\{U_{n}\}$을 모든 $n$에 대하여 $U_{n+1}\subset U_{n}$인 $x$에서의 가산근방기저라고 하자. $x\in\overline{A}$이면, 모든 $n$에 대하여 $U_{n}\cap A\neq\phi$이다. $x_{n}\in U_{n}\cap A$를 고르자. 모든 $k>n$에 대하여 $U_{k}\subset U_{n}$이고 $x$의 모든 근방이 어떤 $U_{n}$을 포함하므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x$이다. 

($\Leftarrow$): $x\notin\overline{A}$이고 $\{x_{n}\}$이 $A$상의 수열이면, $(\overline{A})^{c}$는 $x_{n}$을 포함하지 않는 한 근방이고 따라서 $x_{n}$은 $x$로 수렴하지 않는다.  

다음 위상공간들의 성질들에 대하여 $X$가 성질 $T_{i}$를 가지면, $X$는 $T_{i}$공간 또는 $X$는 $T_{i}$라고 한다.   

$T_{0}$: $x\neq y$이면, 한 열린집합이 존재해서 $x$를 포함하고 $y$를 포함하지 않거나 $y$를 포함하고 $x$를 포함하지 않는다. 

$T_{1}$: $x\neq y$이면, 한 열린집합이 존재해서 $y$를 포함하고 $x$를 포함하지 않는다.  

$T_{2}$: $x\neq y$이면, 서로소인 열린집합 $U,\,V$가 존재해서 $x\in U$, $y\in V$이다.  

$T_{3}$: $X$는 $T_{1}$공간이고 임의의 닫힌집합 $A\subset X$와 $x\in A^{c}$에 대하여 서로소인 열린집합 $U,\,V$가 존재해서 $x\in U$, $A\subset V$이다. 

$T_{4}$: $X$는 $T_{1}$공간이고 임의의 서로소인 닫힌집합 $A,\,B\subset X$에 대하여 서로소인 열린집합 $U,\,V$가 존재해서 $A\subset U$, $B\subset V$이다.  

$T_{2}$공간을 하우스도르프(Hausdorff)공간, $T_{3}$공간을 정칙(regular)공간, $T_{4}$공간을 정규(normal)공간이라고 한다. 각 공간들 간의 포함관계는 $T_{4}\subset T_{3}\subset T_{2}\subset T_{1}\subset T_{0}$이고 반대방향으로 성립하지 않는다.  

4.7 $X$가 $T_{1}$공간일 필요충분조건은 모든 $x\in X$에 대하여 $\{x\}$가 닫힌집합인 것이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): $X$가 $T_{1}$공간이면, 각 $y\neq x$에 대하여 열린집합 $U_{y}$가 존재해서 $y\in U_{y}$, $x\notin U_{y}$이다. 따라서 $\displaystyle\{x\}^{c}=\bigcup_{y\neq x}{U_{y}}$는 열린집합이고 $\{x\}$는 닫힌집합이다.  

($\Leftarrow$): $\{x\}$가 닫힌집합이면, $\{x\}^{c}$는 모든 $y(\neq x)$를 포함하는 열린집합이다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

위상수학기초론, 장영식, 경문사