[측도론] 4-2 연속함수

[측도론] 4-2 연속함수 

\(X,\,Y\)를 위상공간, \(f:X\,\rightarrow\,Y\)라 하자. 모든 열린집합 \(V\subset Y\)에 대하여 \(f^{-1}[V]\)가 \(X\)에서 열린집합이면, \(f\)를 연속함수(continuous function)라고 한다.(\(f^{-1}[A^{c}]=(f^{-1}[A])^{c}\)이므로 "임의의 닫힌집합 \(A\subset Y\)에 대하여 \(f^{-1}[A]\)가 \(X\)에서 닫힌집합이다"와 동치이다)

\(x\in X\)이고, \(f(x)\)의 임의의 근방 \(V\)에 대하여 \(x\)의 근방 \(U\)가 존재해서 \(f^{-1}[U]\subset V\)이면, \(f\)는 \(x\)에서 연속이라고 한다. 이것은 "\(f(x)\)의 임의의 근방 \(V\)에 대하여 \(f^{-1}[V]\)가 \(x\)의 근방이다"와 동치이다.  

명백히 두 함수 \(f:X\,\rightarrow\,Y\), \(g:Y\,\rightarrow\,Z\)가 연속(\(f\)는 \(x\)에서 연속이고 \(g\)는 \(f(x)\)에서 연속)이면, \(g\circ f\)는 (\(x\)에서) 연속이다. 여기서 \(C(X,\,Y)=\{f:X\,\rightarrow\,Y\,|\,f\,\text{is continuous}\}\)로 정의하겠다.  

4.8 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 연속일 필요충분조건은 \(f\)가 각각의 \(x\in X\)에 대하여 연속인 것이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(f\)가 연속이고 \(V\)가 \(f(x)\)의 임의의 근방이면, \(f^{-1}[V^{\circ}]\)는 \(x\)를 포함하는 열린집합이고 따라서 \(f\)는 \(x\)에서 연속이다.  

(\(\Leftarrow\)): \(f\)가 \(x\in X\)에서 연속이라고 하자. \(V\subset Y\)가 열린집합이면, \(V\)는 \(V\)상의 각 점들에 대한 근방이고 \(f^{-1}[V]\)는 \(f^{-1}[V]\)상의 각 점들에 대한 근방이 되어 열린집합이다. 따라서 \(f\)는 연속이다.  

4.9 \(Y\)상의 위상이 집합족 \(\mathcal{E}\)에 의해 생성되면, \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 연속일 필요충분조건은 모든 \(V\in\mathcal{E}\)에 대하여 \(f^{-1}[V]\)가 \(X\)상의 열린집합이 되는 것이다.  

증명: 4.4 

4.10 \(X\), \(Y\)를 위상공간이라고 하자. 다음 명제들은 서로 동치이다.  

i. \(f:X\,\rightarrow\,Y\)는 연속함수이다.  

ii. 모든 \(A\subset X\)에 대하여 \(f[\overline{A}]\subset\overline{f[A]}\) 

iii. 모든 \(B\subset Y\)에 대하여 \(\overline{f^{-1}[B]}\subset f^{-1}[\overline{B}]\) 

증명: 

i\(\Rightarrow\)ii: \(A\subset X\)라 하자. 그러면 \(A\subset f^{-1}[f[A]]\)이고 \(f[A]\subset\overline{f[A]}\)이므로 \(A\subset f^{-1}[f[A]]\subset f[\overline{f[A]}]\)이다. \(\overline{f[A]}\)는 \(Y\)에서 닫힌집합이므로 \(f^{-1}[\overline{f[A]}]\)는 \(X\)에서 닫힌집합이고 \(\overline{A}\subset f^{-1}[\overline{f[A]}]\)이다. 따라서 \(f[\overline{A}]\subset f[f^{-1}[\overline{f[A]}]]\subset\overline{f[A]}\)가 성립한다.  

ii\(\Rightarrow\)iii: \(B\subset Y\), \(A=f^{-1}[B]\)라 하자. \(f^{-1}[\overline{A}]\subset\overline{f^{-1}[A]}=\overline{f[f^{-1}[B]]}\subset\overline{B}\)이므로 \(\overline{A}=\overline{f^{-1}[B]}\subset f^{-1}[\overline{B}]\)이다.  

iii\(\Rightarrow\)i: \(V\subset Y\)를 열린집합, \(B=V^{c}\)라고 하면 \(B\)는 \(Y\)에서 닫힌집합이다. \(\overline{f^{-1}[B]}\subset f^{-1}[\overline{B}]=f^{-1}[B]\)이고 \(f^{-1}[B]\subset\overline{f^{-1}[B]}\)이므로 \(f^{-1}[B]=\overline{f^{-1}[B]}\)이고 \(f^{-1}[B]=f^{-1}[V^{c}]=(f^{-1}[V])^{c}\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다. 따라서 \(f^{-1}[V]\)는 \(X\)에서 열린집합이고 \(f\)는 연속함수이다. 

\(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 전단사이고 \(f\)와 \(f^{-1}\)모두 연속이면, \(f\)를 위상동형사상(homeomorphism)이라 하고, \(X\)와 \(Y\)를 위상동형(Homeomorphic)이라고 한다. \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 전사(위로)가 아니고 단사(일대일)가 이면, \(f:\,X\,\rightarrow\,f[X]\)는 위상동형사상이고, \(f[X]\subset Y\)가 상대위상이면, \(f\)를 매입(embedding)사상이라고 한다.   

\(X\)가 임의의 집합이고 \(\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 \(X\)에서 위상공간 \(Y_{\alpha}\)로의 사상들의 집합족이면, \(X\)상의 약한 위상 \(\mathcal{T}\)가 유일하게 존재해서 모든 \(f_{\alpha}\)들이 연속함수가 된다. 이러한 위상 \(\mathcal{T}\)를 \(\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)에 의해 생성된 약 위상(weak topology)이라고 한다. 즉 \(\mathcal{T}\)는 집합족 \(\{f^{-1}[U_{\alpha}]\}_{\alpha\in A}\)(\(U_{\alpha}\subset Y_{\alpha}\)는 열린집합)에 의해 생성된 위상이다.  

가장 대표적인 예는 위상공간들의 카테시안 곱이다. \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 위상공간들의 집합족이면 \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)상의 곱위상(product topology)은 좌표사상 \(\pi_{\alpha}:X\,\rightarrow\,X_{\alpha}\)에 의해 생성된 위상이다. 4.4에 의해 곱위상에 대한 기저는 \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{\pi_{\alpha_{i}}^{-1}}[U_{\alpha_{i}}]\)(\(n\in\mathbb{N}\)이고 \(1\leq i\leq n\)에 대하여 \(U_{\alpha_{i}}\subset X_{\alpha_{i}}\)는 열린집합)이고 이러한 집합들은 \(\displaystyle\prod_{\alpha}{U_{\alpha}}\)로 나타낼 수 있으며, \(\alpha\neq\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\)일 때 \(U_{\alpha}=X_{\alpha}\)이다. 특히 \(A\)가 무한집합일 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 곱 \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\)가 \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)에서 열린집합일 필요충분조건은 유한개의 \(\alpha\)에 대하여 \(U_{\alpha}=X_{\alpha}\)이다.  

4.11 각 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(X_{\alpha}\)가 \(T_{2}\)(하우스도르프)공간이면, \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)도 \(T_{2}\)공간이다.  

증명: \(x,\,y\in X(x\neq y)\)이면, 적당한 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\pi_{\alpha}(x)\neq\pi_{\alpha}(y)\)이다. \(U\), \(V\)를 \(X_{\alpha}\)에서 \(\pi_{\alpha}(x)\), \(\pi_{\alpha}(y)\)의 서로소인 근방이라 하자. 그러면 \(\pi_{\alpha}^{-1}[U]\)와 \(\pi_{\alpha}^{-1}[V]\)는 각각 \(X\)에서 \(x\)와 \(y\)의 서로소인 근방이다.   

4.12 \(X_{\alpha}(\alpha\in A)\), \(Y\)가 위상공간이고, \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)이면, \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 연속일 필요충분조건은 \(\pi_{\alpha}\circ f\)가 연속이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): 자명하다.  

(\(\Leftarrow\)): \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\pi_{\alpha}\circ f\)가 연속이면, 열린집합 \(U_{\alpha}\subset X_{\alpha}\)에 대하여 \(f^{-1}[\pi_{\alpha}^{-1}[U_{\alpha}]]\)는 \(Y\)에서 연속이고 4.9에 의해 \(f\)는 연속이다.  

4.13 \(X\)가 \(T_{2}\)공간일 필요충분조건은 \(\Delta=\{(x,\,x)\,|\,x\in X\}\)가 \(X\times X\)에서 닫힌집합인 것이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \((a,\,b)\in\Delta^{c}\)라고 하면 \(a,\,b\in X,\,a\neq b\)이다. \(X\)가 \(T_{2}\)공간이므로 서로소인 열린집합 \(U\), \(V\)가 존재해서 \(a\in U\), \(b\in V\)이다. 따라서 \(U\times V\)와 \(\Delta^{c}\)는 서로소이고 \((a,\,b)\in U\times V\subset\Delta^{c}\)이므로 \(\Delta^{c}\)는 열린집합이고 따라서 \(\Delta\)는 닫힌집합이다.  

(\(\Leftarrow\)): \(a,\,b\in X,\,a\neq b\)라고 하자. 그러면 \((a,\,b)\in\Delta^{c}\)이고 \(\Delta^{c}\)는 열린집합이므로 \(X\times X\)의 기저의 원소 중 하나인 \(U\times V\)가 존재해서 \((a,\,b)\in U\times V\subset\Delta^{c}\)이다. \(U\), \(V\)는 \(X\)에서 열린집합이고 \(a\in U\), \(b\in V\), \((U\times V)\cap\Delta=\phi\)이므로 \(U\cap V=\phi\)이고 \(X\)는 \(T_{2}\)공간이다.  

4.14 \(X\)를 임의의 위상공간, \(Y\)를 \(T_{2}\)공간, \(f,\,g\)를 \(X\)에서 \(Y\)로의 연속함수라 하자. 그러면 다음 성질들이 성립한다.  

a. \(\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다.  

b. \(D\subset X\)가 \(X\)에서 조밀하고 \(f|_{D}=g|_{D}\)이면, \(X\) 전체에서 \(f=g\)이다.  

증명: 

a: 함수 \(h:\,X\,\rightarrow\,Y\times Y\)를 모든 \(x\)에 대하여 \(h(x)=(f(x),\,g(x))\)라고 하자. \(Y\)는 \(T_{2}\)공간이므로 4.13에 의해 \(\Delta=\{(y,\,y)\,|\,y\in Y\}\)는 \(Y\times Y\)에서 닫힌집합이고 따라서 \(h^{-1}[\Delta]=\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다.  

b: \(D\subset X\)가 조밀하고 \(f|_{D}=g|_{D}\)이면, \(D\subset\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)이고 a에 의해 \(X=\overline{D}\subset\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)이다. 따라서 \(X=\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)이므로 \(f=g\)이다.     

어떤 고정된 공간 \(X\)상에서 \(X_{\alpha}\)들이 모두 같으면, \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)는 \(A\)에서 \(X\)로의 함수들의 집합 \(X^{A}\)이고, 그 곱위상은 단지 점별수렴하는 위상이다.   

4.15 \(X\)가 위상공간, \(A(\neq\phi)\)는 집합, \(\{f_{n}\}\)은 \(X^{A}\)상의 함수열이면, 곱위상에서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\)일 필요충분조건은 \(f_{n}\)이 \(f\)로 점별수렴하는 것이다.  

증명: 다음의 집합$$N(U_{1},\,...,\,U_{k})=\bigcap_{i=1}^{k}{\pi_{\alpha_{i}}^{-1}[U_{i}]}=\{g\in X^{A}\,|\,g(\alpha_{i})\in U_{i}\,\text{for}\,1\leq i\leq k\}$$들은 \(f\)에서의 곱위상에 대한 근방기저를 형성하고, 여기서 \(k\in\mathbb{N}\), 각 \(i\)에 대하여 \(U_{i}\)는 \(X\)상에서 \(f(\alpha_{i})\)들의 근방기저이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(f_{n}\)이 \(f\)로 점별수렴하면, \(n\geq N_{i}\)에 대해서 \(f_{n}(\alpha_{i})\in U_{i}\)이고 따라서 \(n\geq\max\{N_{1},\,...,\,N_{k}\}\)에 대하여 \(f_{n}\in N(U_{1},\,...,\,U_{k})\)이고 곱위상에서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\)이다.  

(\(\Rightarrow\)): 곱위상에서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\), \(\alpha\in A\), \(U\)는 \(f(\alpha)\)의 근방이면, \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{n}\in N(U)=\pi_{\alpha}^{-1}[U]\)이므로 따라서 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \(f_{n}(\alpha)\in U\)이고 \(f_{n}\,\rightarrow\,f(\alpha)\)이다.  

임의의 집합 \(X\)에 대하여, \(X\)상에서 유계인 실함수, 복소함수들의 집합을 각각 \(B(X,\,\mathbb{R})\), \(B(X,\,\mathbb{C})\)로 나타내고, \(X\)가 위상공간일 때, \(C(X,\,\mathbb{R})\), \(C(X,\,\mathbb{C})\)를 각각 \(X\)에서 연속인 실함수, 복소함수들의 집합이라 할 수 있다.  

\(BC(X,\,F)=B(X,\,F)\cap C(X,\,F)\)(\(F=\mathbb{R}\) 또는 \(F=\mathbb{C}\))이고 복소함수에 대해서는 간단히 \(B(X)\), \(C(X)\), \(BC(X)\)로 나타낸다. 이때 \(C(X)\)와 \(BC(X)\)는 복소벡터공간이다.  

\(f\in B(X)\)에 대하여 \(f\)의 균등노름(uniform norm)을 다음과 같이 정의한다.$$\|f\|_{u}=\sup_{x\in X}{|f(x)|}$$\(\rho(f,\,g)=\|f-g\|\)는 \(B(X)\)에서의 거리이고, 이 거리에 대한 수렴은 \(X\)에서의 균등수렴이다.  

\(B(X)\)는 균등거리에서 완비이고 \(\{f_{n}\}\)이 균등 코시수열이면, 각 \(x\in X\)에 대하여 \(\{f_{n}(x)\}\)는 코시수열이고 \(\displaystyle f(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}\)라고 하면 \(\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0\)이다.   

4.16 \(X\)가 위상공간이면, \(BC(X)\)는 균등거리공간 \(B(X)\)의 닫힌 부분집합이다. 특히 \(BC(X)\)는 완비이다.  

증명: \(\{f_{n}\}\subset BC(X)\), \(\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0\)이라고 하자. \(f\)가 연속임을 보이면 된다. 

\(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)을 선택해 \(n>N\)에 대하여 \(\displaystyle\|f_{n}-f\|<\frac{\epsilon}{3}\)이 되게 하자. \(n>N\)과 \(x\in X\)에 대하여 \(f_{n}\)이 \(x\)에서 연속이므로 \(x\)의 근방 \(U\)가 존재해서 \(y\in U\)에 대해 \(\displaystyle|f_{n}(y)-f_{n}(x)|<\frac{\epsilon}{3}\)이다. 그러면$$|f(y)-f(x)|\leq|f(y)-f_{n}(y)|+|f_{n}(y)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$$이고 \(f\)는 \(x\)에서 연속이며 따라서 4.8에 의해 \(f\)는 연속이다.    

위상공간 \(X\)에 대하여 \(C(X)\)의 원소들이 상수함수 뿐일 수 있다. 예를들어 \(X\)가 밀착위상이고 \(T_{3}\)(정칙)공간이면 \(C(X)\)는 모두 상수함수들로 구성되어 있다. 그러나 \(T_{4}\)(정규)공간일 때는 다양한 연속함수들로 구성되어 있다. 

4.17 \(A\)와 \(B\)를 \(T_{4}\)공간 \(X\)에서 서로소인 닫힌집합, \(\displaystyle D=\left\{\frac{k}{2^{n}}\,|\,n\geq1,\,0<k<2^{n}\right\}\subset(0,\,1)\cap\mathbb{Q}\)라고 하자. \(X\)상의 열린집합족 \(\{U_{r}\,|\,r\in D\}\)이 존재해서 모든 \(r\in D\)에 대하여 \(A\subset U_{r}\subset B\)이고 \(r<s\)에 대하여 \(\overline{U}_{r}\subset U_{s}\)이다.  

증명: \(T_{4}\)공간의 성질에 의해 서로소인 열린집합 \(V,\,W\)가 존재해서 \(A\subset V\), \(B\subset W\)이다. 

\(V=U_{\frac{1}{2}}\)이라고 하자. 그러면 \(W^{c}\)는 닫힌집합이므로$$A\subset U_{\frac{1}{2}}\subset\overline{U}_{\frac{1}{2}}\subset W^{c}\subset B^{c}$$이고 귀납법에 의해 \(0<k<2^{n}\), \(n\leq N-1\)일 때, \(\displaystyle r=\frac{k}{2^{n}}\)에 대하여 \(U_{r}\)을 선택할 수 있다. \(\displaystyle r=\frac{2i+1}{2^{N}}\,(0\leq i<2^{N-1})\)에 대하여 \(U_{r}\)을 찾기위해 \(\overline{U}_{\frac{i}{2^{N-1}}}\), \(\left(U_{\frac{i+1}{2^{N-1}}}\right)^{c}\)가 서로소인 닫힌집합임에 주목하면(\(\overline{U}_{0}=A\), \(U_{1}^{c}=B\)), 앞에서처럼 다음의 조건을 만족하는 열린집합 \(U_{r}\)을 찾을 수 있고,$$A\subset\overline{U}_{\frac{i}{2^{N-1}}}\subset U_{r}\subset\overline{U}_{r}\subset U_{\frac{i+1}{2^{N-1}}}\subset B^{c}$$이러한 \(U_{r}\)들은 주장하는 성질들을 만족한다.      

4.18 우리존의 보조정리(Urysohn's Lemma)

\(X\)를 \(T_{4}\)공간이라고 하자. \(A\), \(B\)가 \(X\)에서 서로소인 닫힌집합이면, \(f\in C(X,\,[0,\,1])\)가 존재해서 \(f|_{A}=0\), \(f|_{B}=1\)이다.  

증명: \(\displaystyle r\in D=\left\{\frac{k}{2^{n}}\,|\,n\geq1,\,0<k<2^{n}\right\}\)에 대하여 \(U_{r}\)을 4.17의 열린집합, \(U_{1}=X\)라고 하고 \(x\in X\)에 대하여 다음과 같이 정의하자.$$f(x)=\inf\{r\,|\,x\in U_{r}\}$$\(0<r<1\)에 대하여 \(A\subset U_{r}\subset B^{c}\)이므로 명백히 \(x\in A\)에 대하여 \(f(x)=0\), \(x\in B\)에 대하여 \(f(x)=1\)이고, 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(0\leq f(x)\leq1\)이다. 이제 \(f\)가 연속임을 보이면 된다. 다음에 주목하자.$$f(x)<\alpha\,\Leftrightarrow\,x\in U_{r}\,\text{for some}\,r<\alpha\,\Leftrightarrow\,x\in\bigcup_{r<\alpha}{U_{r}}$$위 사실로부터 \(\displaystyle f^{-1}[(-\infty,\,\alpha)]=\bigcup_{r<\alpha}{U_{r}}\)은 열린집합이다. 다음에 주목하자.$$f(x)>\alpha\,\Leftrightarrow\,x\notin U_{r}\,\text{for some}\,r>\alpha\,\Leftrightarrow\,x\notin\overline{U}_{s}\,\text{for some}\,s>r\,(\because\,\overline{U}_{s}\subset U_{r}\,\text{for}\,s<r)\,\Leftrightarrow\,x\in\bigcup_{s>\alpha}{(\overline{U}_{s})^{c}}$$위 사시로부터 \(\displaystyle f^{-1}[(\alpha,\,\infty)]=\bigcup_{s>\alpha}{(\overline{U}_{s})^{c}}\)는 열린집합이다. 열린 반직선은 \(\mathbb{R}\)상의 위상을 생성하므로, 4.9에 의해 \(f\)는 연속이다.  

4.19 티체의 확장정리(Tietze's Extension Theorem) 

\(X\)를 \(T_{4}\)공간이라고 하자. \(A\subset X\)가 닫힌집합이고 \(f\in C(A,\,[a,\,b])\)이면, \(F\in C(X,\,[a,\,b])\)가 존재해서 \(F|_{A}=f\)이다.  

증명: \(f\)를 \(\displaystyle\frac{f-a}{b-a}\)로 대치함으로써 \([a,\,b]\)를 \([0,\,1]\)로 대치할 수 있다. \(X\)상의 연속함수열 \(\{g_{n}\}\)이 존재해서 \(X\)에서 \(\displaystyle0\leq g_{n}\leq\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\), \(A\)에서 \(\displaystyle0\leq f-\sum_{i=1}^{n-1}{g_{i}}\leq\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)임을 보이자. \(\displaystyle B=f^{-1}\left[\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\right]\), \(\displaystyle C=f^{-1}\left[\left[\frac{2}{3},\,1\right]\right]\)이라고 하면, \(B\), \(C\)는 \(A\)에서 닫힌집합이고, \(A\)도 닫힌집합이므로 이 세 집합들은 \(X\)에서 닫힌집합이다. 우리존의 보조정리에 의해 연속함수 \(\displaystyle g_{1}:X\,\rightarrow\,\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\)이 존재하여 \(g_{1}|_{B}=0\), \(g_{1}|_{C}=1\)이다.  

이 사실로부터 \(A\)에서 \(\displaystyle0\leq f-g_{1}\leq\frac{2}{3}\)임을 알 수 있고, 같은 방법으로 \(g_{2},\,...,\,g_{n-1}\)을 찾으면(\(n\)에 \(2,\,...,\,n-1\)를 대입, \(n=1\)과 같은 방법) 같은 이유로 \(\displaystyle f-\sum_{i=1}^{n-1}{g_{i}}\leq\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\)인 집합에서 \(g_{n}=0\)이고 \(\displaystyle f-\sum_{i=1}^{n-1}{g_{i}}\geq\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\)인 집합에서 \(\displaystyle g_{n}=\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\)인 함수 \(\displaystyle g_{n}:X\,\rightarrow\,\left[0,\,\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\right]\)을 찾을 수 있다. \(\displaystyle F=\sum_{n=1}^{\infty}{g_{n}}\)이라 하자. \(\displaystyle\|g_{n}\|\leq\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\)이므로 이 급수의 부분합은 균등수렴한다. 따라서 \(F\)는 4.16에 의해 연속이고 \(A\)에서 모든 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle0\leq f-F\leq\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)이므로 \(A\)에서 \(F=f\)이다.  

4.20 \(X\)를 \(T_{4}\)공간, \(A\subset X\)를 닫힌집합, \(f\in C(A)\)라고 하자. \(F\in C(A)\)가 존재하여 \(F|_{A}=f\)이다.  

증명: \(f\)를 실함수, \(\displaystyle g=\frac{f}{1+|f|}\)라고 하자. 그러면 \(g\in C(A,\,(-1,\,1))\)이고 \(G\in C(X,\,[-1,\,1])\)가 존재하여 \(G|_{A}=g\)이다. \(B=G^{-1}[\{-1,\,1\}]\)라고 하자. 우리존의 보조정리에 의해 \(h\in C(X,\,[0,\,1])\)가 존재해서 \(h|_{A}=1\), \(h|_{B}=0\)이다. 그러면 \(A\)에서 \(hG=G\)이고 항상 \(|hG|<1\)이므로 \(\displaystyle F=\frac{hG}{1-|hG|}\)가 이 정리에서 주장하는 함수이다.  

위상공간 \(X\)가 \(T_{1}\)이고 모든 닫힌집합 \(A\subset X\)와 \(x\notin A\)에 대하여 \(f\in C(X,\,[0,\,1])\)가 존재해서 \(f(x)=1\)이고 \(f|_{A}=0\)이면, \(X\)를 완전정칙공간(completely regular space)이라고 하고 티코노프(Tychonoff) 또는 \(T_{3\frac{1}{2}}\)공간이라고 한다. 모든 완전정칙공간은 \(T_{3}\)이고(\(\because\) \(A,\,x,\,f\)가 위와 같다고 하면 \(\displaystyle f^{-1}\left[\left(-\infty,\,\frac{1}{2}\right)\right]\), \(\displaystyle f^{-1}\left[\left(\frac{1}{2},\,\infty\right)\right]\)는 각각 \(x\)와 \(A\)의 서로소인 근방이다) 우리존의 보조정리에 의해 모든 \(T_{4}\)공간은 완전정칙이다.   

참고자료:  

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley 

위상수학기초론, 장영식, 경문사