[측도론] 4-2 연속함수

[측도론] 4-2 연속함수 

$X,\,Y$를 위상공간, $f:X\,\rightarrow\,Y$라 하자. 모든 열린집합 $V\subset Y$에 대하여 $f^{-1}[V]$가 $X$에서 열린집합이면, $f$를 연속함수(continuous function)라고 한다.($f^{-1}[A^{c}]=(f^{-1}[A])^{c}$이므로 "임의의 닫힌집합 $A\subset Y$에 대하여 $f^{-1}[A]$가 $X$에서 닫힌집합이다"와 동치이다)

$x\in X$이고, $f(x)$의 임의의 근방 $V$에 대하여 $x$의 근방 $U$가 존재해서 $f^{-1}[U]\subset V$이면, $f$는 $x$에서 연속이라고 한다. 이것은 "$f(x)$의 임의의 근방 $V$에 대하여 $f^{-1}[V]$가 $x$의 근방이다"와 동치이다.  

명백히 두 함수 $f:X\,\rightarrow\,Y$, $g:Y\,\rightarrow\,Z$가 연속($f$는 $x$에서 연속이고 $g$는 $f(x)$에서 연속)이면, $g\circ f$는 ($x$에서) 연속이다. 여기서 $C(X,\,Y)=\{f:X\,\rightarrow\,Y\,|\,f\,\text{is continuous}\}$로 정의하겠다.  

4.8 $f:X\,\rightarrow\,Y$가 연속일 필요충분조건은 $f$가 각각의 $x\in X$에 대하여 연속인 것이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): $f$가 연속이고 $V$가 $f(x)$의 임의의 근방이면, $f^{-1}[V^{\circ}]$는 $x$를 포함하는 열린집합이고 따라서 $f$는 $x$에서 연속이다.  

($\Leftarrow$): $f$가 $x\in X$에서 연속이라고 하자. $V\subset Y$가 열린집합이면, $V$는 $V$상의 각 점들에 대한 근방이고 $f^{-1}[V]$는 $f^{-1}[V]$상의 각 점들에 대한 근방이 되어 열린집합이다. 따라서 $f$는 연속이다.  

4.9 $Y$상의 위상이 집합족 $\mathcal{E}$에 의해 생성되면, $f:X\,\rightarrow\,Y$가 연속일 필요충분조건은 모든 $V\in\mathcal{E}$에 대하여 $f^{-1}[V]$가 $X$상의 열린집합이 되는 것이다.  

증명: 4.4 

4.10 $X$, $Y$를 위상공간이라고 하자. 다음 명제들은 서로 동치이다.  

i. $f:X\,\rightarrow\,Y$는 연속함수이다.  

ii. 모든 $A\subset X$에 대하여 $f[\overline{A}]\subset\overline{f[A]}$ 

iii. 모든 $B\subset Y$에 대하여 $\overline{f^{-1}[B]}\subset f^{-1}[\overline{B}]$ 

증명: 

i$\Rightarrow$ii: $A\subset X$라 하자. 그러면 $A\subset f^{-1}[f[A]]$이고 $f[A]\subset\overline{f[A]}$이므로 $A\subset f^{-1}[f[A]]\subset f[\overline{f[A]}]$이다. $\overline{f[A]}$는 $Y$에서 닫힌집합이므로 $f^{-1}[\overline{f[A]}]$는 $X$에서 닫힌집합이고 $\overline{A}\subset f^{-1}[\overline{f[A]}]$이다. 따라서 $f[\overline{A}]\subset f[f^{-1}[\overline{f[A]}]]\subset\overline{f[A]}$가 성립한다.  

ii$\Rightarrow$iii: $B\subset Y$, $A=f^{-1}[B]$라 하자. $f^{-1}[\overline{A}]\subset\overline{f^{-1}[A]}=\overline{f[f^{-1}[B]]}\subset\overline{B}$이므로 $\overline{A}=\overline{f^{-1}[B]}\subset f^{-1}[\overline{B}]$이다.  

iii$\Rightarrow$i: $V\subset Y$를 열린집합, $B=V^{c}$라고 하면 $B$는 $Y$에서 닫힌집합이다. $\overline{f^{-1}[B]}\subset f^{-1}[\overline{B}]=f^{-1}[B]$이고 $f^{-1}[B]\subset\overline{f^{-1}[B]}$이므로 $f^{-1}[B]=\overline{f^{-1}[B]}$이고 $f^{-1}[B]=f^{-1}[V^{c}]=(f^{-1}[V])^{c}$는 $X$에서 닫힌집합이다. 따라서 $f^{-1}[V]$는 $X$에서 열린집합이고 $f$는 연속함수이다. 

$f:X\,\rightarrow\,Y$가 전단사이고 $f$와 $f^{-1}$모두 연속이면, $f$를 위상동형사상(homeomorphism)이라 하고, $X$와 $Y$를 위상동형(Homeomorphic)이라고 한다. $f:X\,\rightarrow\,Y$가 전사(위로)가 아니고 단사(일대일)가 이면, $f:\,X\,\rightarrow\,f[X]$는 위상동형사상이고, $f[X]\subset Y$가 상대위상이면, $f$를 매입(embedding)사상이라고 한다.   

$X$가 임의의 집합이고 $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 $X$에서 위상공간 $Y_{\alpha}$로의 사상들의 집합족이면, $X$상의 약한 위상 $\mathcal{T}$가 유일하게 존재해서 모든 $f_{\alpha}$들이 연속함수가 된다. 이러한 위상 $\mathcal{T}$를 $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$에 의해 생성된 약 위상(weak topology)이라고 한다. 즉 $\mathcal{T}$는 집합족 $\{f^{-1}[U_{\alpha}]\}_{\alpha\in A}$($U_{\alpha}\subset Y_{\alpha}$는 열린집합)에 의해 생성된 위상이다.  

가장 대표적인 예는 위상공간들의 카테시안 곱이다. $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 위상공간들의 집합족이면 $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$상의 곱위상(product topology)은 좌표사상 $\pi_{\alpha}:X\,\rightarrow\,X_{\alpha}$에 의해 생성된 위상이다. 4.4에 의해 곱위상에 대한 기저는 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{\pi_{\alpha_{i}}^{-1}}[U_{\alpha_{i}}]$($n\in\mathbb{N}$이고 $1\leq i\leq n$에 대하여 $U_{\alpha_{i}}\subset X_{\alpha_{i}}$는 열린집합)이고 이러한 집합들은 $\displaystyle\prod_{\alpha}{U_{\alpha}}$로 나타낼 수 있으며, $\alpha\neq\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}$일 때 $U_{\alpha}=X_{\alpha}$이다. 특히 $A$가 무한집합일 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 곱 $\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}$가 $\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$에서 열린집합일 필요충분조건은 유한개의 $\alpha$에 대하여 $U_{\alpha}=X_{\alpha}$이다.  

4.11 각 $\alpha\in A$에 대하여 $X_{\alpha}$가 $T_{2}$(하우스도르프)공간이면, $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$도 $T_{2}$공간이다.  

증명: $x,\,y\in X(x\neq y)$이면, 적당한 $\alpha\in A$에 대하여 $\pi_{\alpha}(x)\neq\pi_{\alpha}(y)$이다. $U$, $V$를 $X_{\alpha}$에서 $\pi_{\alpha}(x)$, $\pi_{\alpha}(y)$의 서로소인 근방이라 하자. 그러면 $\pi_{\alpha}^{-1}[U]$와 $\pi_{\alpha}^{-1}[V]$는 각각 $X$에서 $x$와 $y$의 서로소인 근방이다.   

4.12 $X_{\alpha}(\alpha\in A)$, $Y$가 위상공간이고, $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$이면, $f:X\,\rightarrow\,Y$가 연속일 필요충분조건은 $\pi_{\alpha}\circ f$가 연속이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): 자명하다.  

($\Leftarrow$): $\alpha\in A$에 대하여 $\pi_{\alpha}\circ f$가 연속이면, 열린집합 $U_{\alpha}\subset X_{\alpha}$에 대하여 $f^{-1}[\pi_{\alpha}^{-1}[U_{\alpha}]]$는 $Y$에서 연속이고 4.9에 의해 $f$는 연속이다.  

4.13 $X$가 $T_{2}$공간일 필요충분조건은 $\Delta=\{(x,\,x)\,|\,x\in X\}$가 $X\times X$에서 닫힌집합인 것이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): $(a,\,b)\in\Delta^{c}$라고 하면 $a,\,b\in X,\,a\neq b$이다. $X$가 $T_{2}$공간이므로 서로소인 열린집합 $U$, $V$가 존재해서 $a\in U$, $b\in V$이다. 따라서 $U\times V$와 $\Delta^{c}$는 서로소이고 $(a,\,b)\in U\times V\subset\Delta^{c}$이므로 $\Delta^{c}$는 열린집합이고 따라서 $\Delta$는 닫힌집합이다.  

($\Leftarrow$): $a,\,b\in X,\,a\neq b$라고 하자. 그러면 $(a,\,b)\in\Delta^{c}$이고 $\Delta^{c}$는 열린집합이므로 $X\times X$의 기저의 원소 중 하나인 $U\times V$가 존재해서 $(a,\,b)\in U\times V\subset\Delta^{c}$이다. $U$, $V$는 $X$에서 열린집합이고 $a\in U$, $b\in V$, $(U\times V)\cap\Delta=\phi$이므로 $U\cap V=\phi$이고 $X$는 $T_{2}$공간이다.  

4.14 $X$를 임의의 위상공간, $Y$를 $T_{2}$공간, $f,\,g$를 $X$에서 $Y$로의 연속함수라 하자. 그러면 다음 성질들이 성립한다.  

a. $\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$는 $X$에서 닫힌집합이다.  

b. $D\subset X$가 $X$에서 조밀하고 $f|_{D}=g|_{D}$이면, $X$ 전체에서 $f=g$이다.  

증명: 

a: 함수 $h:\,X\,\rightarrow\,Y\times Y$를 모든 $x$에 대하여 $h(x)=(f(x),\,g(x))$라고 하자. $Y$는 $T_{2}$공간이므로 4.13에 의해 $\Delta=\{(y,\,y)\,|\,y\in Y\}$는 $Y\times Y$에서 닫힌집합이고 따라서 $h^{-1}[\Delta]=\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$는 $X$에서 닫힌집합이다.  

b: $D\subset X$가 조밀하고 $f|_{D}=g|_{D}$이면, $D\subset\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$이고 a에 의해 $X=\overline{D}\subset\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$이다. 따라서 $X=\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$이므로 $f=g$이다.     

어떤 고정된 공간 $X$상에서 $X_{\alpha}$들이 모두 같으면, $\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$는 $A$에서 $X$로의 함수들의 집합 $X^{A}$이고, 그 곱위상은 단지 점별수렴하는 위상이다.   

4.15 $X$가 위상공간, $A(\neq\phi)$는 집합, $\{f_{n}\}$은 $X^{A}$상의 함수열이면, 곱위상에서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$일 필요충분조건은 $f_{n}$이 $f$로 점별수렴하는 것이다.  

증명: 다음의 집합 $$N(U_{1},\,...,\,U_{k})=\bigcap_{i=1}^{k}{\pi_{\alpha_{i}}^{-1}[U_{i}]}=\{g\in X^{A}\,|\,g(\alpha_{i})\in U_{i}\,\text{for}\,1\leq i\leq k\}$$ 들은 $f$에서의 곱위상에 대한 근방기저를 형성하고, 여기서 $k\in\mathbb{N}$, 각 $i$에 대하여 $U_{i}$는 $X$상에서 $f(\alpha_{i})$들의 근방기저이다. 

($\Leftarrow$): $f_{n}$이 $f$로 점별수렴하면, $n\geq N_{i}$에 대해서 $f_{n}(\alpha_{i})\in U_{i}$이고 따라서 $n\geq\max\{N_{1},\,...,\,N_{k}\}$에 대하여 $f_{n}\in N(U_{1},\,...,\,U_{k})$이고 곱위상에서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$이다.  

($\Rightarrow$): 곱위상에서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$, $\alpha\in A$, $U$는 $f(\alpha)$의 근방이면, $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $f_{n}\in N(U)=\pi_{\alpha}^{-1}[U]$이므로 따라서 충분히 큰 $n$에 대하여 $f_{n}(\alpha)\in U$이고 $f_{n}\,\rightarrow\,f(\alpha)$이다.  

임의의 집합 $X$에 대하여, $X$상에서 유계인 실함수, 복소함수들의 집합을 각각 $B(X,\,\mathbb{R})$, $B(X,\,\mathbb{C})$로 나타내고, $X$가 위상공간일 때, $C(X,\,\mathbb{R})$, $C(X,\,\mathbb{C})$를 각각 $X$에서 연속인 실함수, 복소함수들의 집합이라 할 수 있다.  

$BC(X,\,F)=B(X,\,F)\cap C(X,\,F)$($F=\mathbb{R}$ 또는 $F=\mathbb{C}$)이고 복소함수에 대해서는 간단히 $B(X)$, $C(X)$, $BC(X)$로 나타낸다. 이때 $C(X)$와 $BC(X)$는 복소벡터공간이다.  

$f\in B(X)$에 대하여 $f$의 균등노름(uniform norm)을 다음과 같이 정의한다. $$\|f\|_{u}=\sup_{x\in X}{|f(x)|}$$ $\rho(f,\,g)=\|f-g\|$는 $B(X)$에서의 거리이고, 이 거리에 대한 수렴은 $X$에서의 균등수렴이다.  

$B(X)$는 균등거리에서 완비이고 $\{f_{n}\}$이 균등 코시수열이면, 각 $x\in X$에 대하여 $\{f_{n}(x)\}$는 코시수열이고 $\displaystyle f(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}$라고 하면 $\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0$이다.   

4.16 $X$가 위상공간이면, $BC(X)$는 균등거리공간 $B(X)$의 닫힌 부분집합이다. 특히 $BC(X)$는 완비이다.  

증명: $\{f_{n}\}\subset BC(X)$, $\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0$이라고 하자. $f$가 연속임을 보이면 된다. 

$\epsilon>0$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$을 선택해 $n>N$에 대하여 $\displaystyle\|f_{n}-f\|<\frac{\epsilon}{3}$이 되게 하자. $n>N$과 $x\in X$에 대하여 $f_{n}$이 $x$에서 연속이므로 $x$의 근방 $U$가 존재해서 $y\in U$에 대해 $\displaystyle|f_{n}(y)-f_{n}(x)|<\frac{\epsilon}{3}$이다. 그러면 $$|f(y)-f(x)|\leq|f(y)-f_{n}(y)|+|f_{n}(y)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$$ 이고 $f$는 $x$에서 연속이며 따라서 4.8에 의해 $f$는 연속이다.    

위상공간 $X$에 대하여 $C(X)$의 원소들이 상수함수 뿐일 수 있다. 예를들어 $X$가 밀착위상이고 $T_{3}$(정칙)공간이면 $C(X)$는 모두 상수함수들로 구성되어 있다. 그러나 $T_{4}$(정규)공간일 때는 다양한 연속함수들로 구성되어 있다. 

4.17 $A$와 $B$를 $T_{4}$공간 $X$에서 서로소인 닫힌집합, $\displaystyle D=\left\{\frac{k}{2^{n}}\,|\,n\geq1,\,0<k<2^{n}\right\}\subset(0,\,1)\cap\mathbb{Q}$라고 하자. $X$상의 열린집합족 $\{U_{r}\,|\,r\in D\}$이 존재해서 모든 $r\in D$에 대하여 $A\subset U_{r}\subset B$이고 $r<s$에 대하여 $\overline{U}_{r}\subset U_{s}$이다.  

증명: $T_{4}$공간의 성질에 의해 서로소인 열린집합 $V,\,W$가 존재해서 $A\subset V$, $B\subset W$이다. 

$V=U_{\frac{1}{2}}$이라고 하자. 그러면 $W^{c}$는 닫힌집합이므로 $$A\subset U_{\frac{1}{2}}\subset\overline{U}_{\frac{1}{2}}\subset W^{c}\subset B^{c}$$ 이고 귀납법에 의해 $0<k<2^{n}$, $n\leq N-1$일 때, $\displaystyle r=\frac{k}{2^{n}}$에 대하여 $U_{r}$을 선택할 수 있다. $\displaystyle r=\frac{2i+1}{2^{N}}\,(0\leq i<2^{N-1})$에 대하여 $U_{r}$을 찾기위해 $\overline{U}_{\frac{i}{2^{N-1}}}$, $\left(U_{\frac{i+1}{2^{N-1}}}\right)^{c}$가 서로소인 닫힌집합임에 주목하면($\overline{U}_{0}=A$, $U_{1}^{c}=B$), 앞에서처럼 다음의 조건을 만족하는 열린집합 $U_{r}$을 찾을 수 있고, $$A\subset\overline{U}_{\frac{i}{2^{N-1}}}\subset U_{r}\subset\overline{U}_{r}\subset U_{\frac{i+1}{2^{N-1}}}\subset B^{c}$$ 이러한 $U_{r}$들은 주장하는 성질들을 만족한다.      

4.18 우리존의 보조정리(Urysohn's Lemma)

$X$를 $T_{4}$공간이라고 하자. $A$, $B$가 $X$에서 서로소인 닫힌집합이면, $f\in C(X,\,[0,\,1])$가 존재해서 $f|_{A}=0$, $f|_{B}=1$이다.  

증명: $\displaystyle r\in D=\left\{\frac{k}{2^{n}}\,|\,n\geq1,\,0<k<2^{n}\right\}$에 대하여 $U_{r}$을 4.17의 열린집합, $U_{1}=X$라고 하고 $x\in X$에 대하여 다음과 같이 정의하자. $$f(x)=\inf\{r\,|\,x\in U_{r}\}$$ $0<r<1$에 대하여 $A\subset U_{r}\subset B^{c}$이므로 명백히 $x\in A$에 대하여 $f(x)=0$, $x\in B$에 대하여 $f(x)=1$이고, 모든 $x\in X$에 대하여 $0\leq f(x)\leq1$이다. 이제 $f$가 연속임을 보이면 된다. 다음에 주목하자. $$f(x)<\alpha\,\Leftrightarrow\,x\in U_{r}\,\text{for some}\,r<\alpha\,\Leftrightarrow\,x\in\bigcup_{r<\alpha}{U_{r}}$$ 위 사실로부터 $\displaystyle f^{-1}[(-\infty,\,\alpha)]=\bigcup_{r<\alpha}{U_{r}}$은 열린집합이다. 다음에 주목하자. $$f(x)>\alpha\,\Leftrightarrow\,x\notin U_{r}\,\text{for some}\,r>\alpha\,\Leftrightarrow\,x\notin\overline{U}_{s}\,\text{for some}\,s>r\,(\because\,\overline{U}_{s}\subset U_{r}\,\text{for}\,s<r)\,\Leftrightarrow\,x\in\bigcup_{s>\alpha}{(\overline{U}_{s})^{c}}$$ 위 사시로부터 $\displaystyle f^{-1}[(\alpha,\,\infty)]=\bigcup_{s>\alpha}{(\overline{U}_{s})^{c}}$는 열린집합이다. 열린 반직선은 $\mathbb{R}$상의 위상을 생성하므로, 4.9에 의해 $f$는 연속이다.  

4.19 티체의 확장정리(Tietze's Extension Theorem) 

$X$를 $T_{4}$공간이라고 하자. $A\subset X$가 닫힌집합이고 $f\in C(A,\,[a,\,b])$이면, $F\in C(X,\,[a,\,b])$가 존재해서 $F|_{A}=f$이다.  

증명: $f$를 $\displaystyle\frac{f-a}{b-a}$로 대치함으로써 $[a,\,b]$를 $[0,\,1]$로 대치할 수 있다. $X$상의 연속함수열 $\{g_{n}\}$이 존재해서 $X$에서 $\displaystyle0\leq g_{n}\leq\frac{2^{n-1}}{3^{n}}$, $A$에서 $\displaystyle0\leq f-\sum_{i=1}^{n-1}{g_{i}}\leq\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$임을 보이자. $\displaystyle B=f^{-1}\left[\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\right]$, $\displaystyle C=f^{-1}\left[\left[\frac{2}{3},\,1\right]\right]$이라고 하면, $B$, $C$는 $A$에서 닫힌집합이고, $A$도 닫힌집합이므로 이 세 집합들은 $X$에서 닫힌집합이다. 우리존의 보조정리에 의해 연속함수 $\displaystyle g_{1}:X\,\rightarrow\,\left[0,\,\frac{1}{3}\right]$이 존재하여 $g_{1}|_{B}=0$, $g_{1}|_{C}=1$이다.  

이 사실로부터 $A$에서 $\displaystyle0\leq f-g_{1}\leq\frac{2}{3}$임을 알 수 있고, 같은 방법으로 $g_{2},\,...,\,g_{n-1}$을 찾으면($n$에 $2,\,...,\,n-1$를 대입, $n=1$과 같은 방법) 같은 이유로 $\displaystyle f-\sum_{i=1}^{n-1}{g_{i}}\leq\frac{2^{n-1}}{3^{n}}$인 집합에서 $g_{n}=0$이고 $\displaystyle f-\sum_{i=1}^{n-1}{g_{i}}\geq\frac{2^{n-1}}{3^{n}}$인 집합에서 $\displaystyle g_{n}=\frac{2^{n-1}}{3^{n}}$인 함수 $\displaystyle g_{n}:X\,\rightarrow\,\left[0,\,\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\right]$을 찾을 수 있다. $\displaystyle F=\sum_{n=1}^{\infty}{g_{n}}$이라 하자. $\displaystyle\|g_{n}\|\leq\frac{2^{n-1}}{3^{n}}$이므로 이 급수의 부분합은 균등수렴한다. 따라서 $F$는 4.16에 의해 연속이고 $A$에서 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle0\leq f-F\leq\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$이므로 $A$에서 $F=f$이다.  

4.20 $X$를 $T_{4}$공간, $A\subset X$를 닫힌집합, $f\in C(A)$라고 하자. $F\in C(A)$가 존재하여 $F|_{A}=f$이다.  

증명: $f$를 실함수, $\displaystyle g=\frac{f}{1+|f|}$라고 하자. 그러면 $g\in C(A,\,(-1,\,1))$이고 $G\in C(X,\,[-1,\,1])$가 존재하여 $G|_{A}=g$이다. $B=G^{-1}[\{-1,\,1\}]$라고 하자. 우리존의 보조정리에 의해 $h\in C(X,\,[0,\,1])$가 존재해서 $h|_{A}=1$, $h|_{B}=0$이다. 그러면 $A$에서 $hG=G$이고 항상 $|hG|<1$이므로 $\displaystyle F=\frac{hG}{1-|hG|}$가 이 정리에서 주장하는 함수이다.  

위상공간 $X$가 $T_{1}$이고 모든 닫힌집합 $A\subset X$와 $x\notin A$에 대하여 $f\in C(X,\,[0,\,1])$가 존재해서 $f(x)=1$이고 $f|_{A}=0$이면, $X$를 완전정칙공간(completely regular space)이라고 하고 티코노프(Tychonoff) 또는 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이라고 한다. 모든 완전정칙공간은 $T_{3}$이고($\because$ $A,\,x,\,f$가 위와 같다고 하면 $\displaystyle f^{-1}\left[\left(-\infty,\,\frac{1}{2}\right)\right]$, $\displaystyle f^{-1}\left[\left(\frac{1}{2},\,\infty\right)\right]$는 각각 $x$와 $A$의 서로소인 근방이다) 우리존의 보조정리에 의해 모든 $T_{4}$공간은 완전정칙이다.   

참고자료:  

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley 

위상수학기초론, 장영식, 경문사