[측도론] 4-4 국소컴팩트 하우스도르프 공간

[측도론] 4-4 국소컴팩트 하우스도르프 공간

위상공간 \(X\)상의 모든 점들이 컴팩트근방을 가지면, \(X\)를 국소컴팩트(locally compact)공간이라고 한다. 여기서 국소컴팩트 \(T_{2}\)(하우스도르프)공간을 간단히 'LCH공간'으로 나타내겠다.   

4.28 \(X\)가 LCH공간이고 \(U\subset X\)는 열린집합, \(x\in U\)이면, \(x\)의 컴팩트근방 \(N\)이 존재하여 \(N\subset U\)이다.  

증명: 4.22에 의해 \(\overline{U}\)는 컴팩트이다(그렇지 않으면 \(U\)를 \(U\cap F^{\circ}\)(\(F\)는 \(x\)의 컴팩트근방)로 대체한다). 4.23에 의해 상대위상 \(\overline{U}\)에서 서로소인 열린집합 \(V\), \(W\)가 존재해서 \(x\in V\), \(\partial U\subset W\)이다. \(V\subset U\)이고 \(\overline{V}\)는 닫힌집합이므로 \(V\)는 \(x\)에서 열린집합이고 \(U-W\)의 컴팩트 부분집합이다. 따라서 \(N=\overline{V}\)라고 하면 된다.   

4.29 \(X\)가 LCH공간, \(K\subset U\subset X\), \(K\)는 컴팩트집합, \(U\)는 열린집합이면, 열린 예비컴팩트집합 \(V\)가 존재해서 \(K\subset V\subset\overline{V}\subset U\)이다.  

증명: 4.28에 의해 각 \(x\in K\)에 대하여 \(N_{x}\subset U\)를 만족하는 \(x\)상의 컴팩트근방 \(N_{x}\)를 고를 수 있다. 그러면 \(\{N_{x}\}_{x\in K}\)는 \(K\)의 열린덮개이고 따라서 유한부분덮개 \(\{N_{x_{i}}\}_{i=1}^{n}\)이 존재한다. \(\displaystyle V=\bigcup_{i=1}^{n}{N_{x_{i}}^{\circ}}\)라고 하면, \(K\subset V\)이고 \(\displaystyle\overline{V}\subset\bigcup_{i=1}^{n}{N_{x_{i}}}\)는 컴팩트 근방이고 \(U\)에 포함된다. 

4.30 LCH공간에서의 우리존의 보조정리(Urysohn's Lemma, LCH Version) 

\(X\)가 LCH공간이고 \(K\subset U\subset X\), \(K\)는 컴팩트집합, \(U\)는 열린집합이면, \(f\in C(X,\,[0,\,1])\)와 컴팩트집합 \(F\)가 존재해서 \(f|_{K}=1\), \(f|_{F^{c}}=0\)이다.  

증명: \(V\)를 4.29의 열린 예비컴팩트집합이라고 하자. \(F=\overline{V}\)라고 하면, 4.25에 의해 \(T_{4}\)공간이다. 우리존의 보조정리(4.18)에 의해 \(f\in C(\overline{V},\,[0,\,1])\)가 존재해서 \(f|_{K}=1\), \(f|_{\partial V}=0\)이다. \(f|_{X-\overline{V}}=0\)이라고 하면 \(f\)는 \(X\)에서 연속이 된다.(\(\because\) \(X-\overline{V}=F^{c}\)) 

위의 정리로부터 모든 LCH공간이 정칙임을 알 수 있다.  

4.31 LCH공간에서의 티체의 확장정리(Tietze Extension Theorem, LCH Version) 

\(X\)를 LCH공간, \(K\subset X\)를 컴팩트집합이라 하자. \(f\in C(K)\)이면, \(F\in C(X)\)가 존재해서 \(F|_{K}=f\)이고 \(F\)는 컴팩트집합 바깥에서 0이 되게 할 수 있다.  

증명: 먼저 티체의 확장정리(4.19)에서 \([a,\,b]\)를 \((a,\,b)\) 또는 \(\mathbb{R}\)로 교체할 수 있음을 보이자. \(A\subset X\)를 닫힌집합, \(f:A\,\rightarrow\,(-1,\,1)\)라 하자. 티체의 확장정리에 의해 연속함수 \(g:X\,\rightarrow\,[-1,\,1]\)가 존재하고 \(D=g^{-1}[\{-1\}]\cup g^{-1}[\{1\}]\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다.(\(\because\,g|_{A}=f\)) \(g|_{A}=f\)이므로 \(g[A]=f[A]\subset(-1,\,1)\)이고 \(A\)와 \(D\)는 서로소이다. 우리존의 보조정리에 의해 연속함수 \(\varphi:X\,\rightarrow\,[0,\,1]\)가 존재해서 \(\varphi|_{D}=0\), \(\varphi|_{A}=1\)이다. \(F(x)=\varphi(x)g(x)\)라고 하면 \(F\)는 연속이고 \(a\in A\)에 대하여 \(F(a)=\varphi(a)g(a)=g(a)=f(a)\)이므로 \(f\)의 확장이다. 또한 \(x\in D\)에 대하여 \(F(x)=0\)이고 \(x\notin D\)에 대하여 \(|g(x)|<1\)이므로 \(|F(x)|\leq|g(x)|<1\)이다. 이 사실로부터 \([a,\,b]\)를 \((a,\,b)\)로 교체할 수 있고, \((a,\,b)\)와 \(\mathbb{R}\)은 위상동형이므로 \(\mathbb{R}\)로 교체할 수 있다.   

 

4.28에 의해 임의의 \(x\in K\)에 대한 컴팩트근방 \(N_{x}\)가 존재하고 \(\{N_{x}^{\circ}\}_{x\in K}\)는 \(K\)의 열린덮개이며 유한부분덮개 \(\{N_{x_{i}}^{\circ}\}_{i=1}^{n}\)을 갖는다. \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{n}{N_{x_{i}}^{\circ}}\)라고 하면 \(\overline{U}\)는 컴팩트집합이고 \(K\subset U\subset\overline{U}\subset X\)이다. 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 연속함수 \(h\)가 존재해서 \(h|_{K}=1\), \(h|_{\partial U}=0\)이 되고 함수 \(F\)를 \(F|_{\overline{U}}=Hh\), \(F|_{U^{c}}=0\)이라고 하면, \(F\)는 연속이고 \(F|_{K}=f\)이다.  

이전까지의 결과들은 LCH공간이 컴팩트집합 외부에서 0이 되는 연속함수를 많이 가지고 있음을 보여준다.  

\(X\)를 위상공간, \(f\in C(X)\)라고 하자. \(f\)의 받침(support)을 다음과 같이 정의하고 \(\text{supp}(f)\)로 나타낸다.$$\text{supp}(f)=\overline{\{x\,|\,f(x)=0\}}$$\(\text{supp}(f)\)가 컴팩트집합이면, \(f\)를 컴팩트받침(compactly supported)함수라 하고 이러한 함수 전체의 집합을 다음과 같이 정의하고 \(C_{c}(X)\)로 나타낸다.$$C_{c}(X)=\{f\in C(X)\,|\,\text{supp}(f)\,\text{is compact}\}$$\(f\in C(X)\)이고 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\{x\,|\,|f(x)|\geq\epsilon\}\)가 컴팩트이면, \(f\)를 무한대에서 소멸(vanishes at infinity)한다고 하고 이러한 함수 전체의 집합을 다음과 같이 정의하고 \(C_{0}(X)\)로 나타낸다.$$C_{0}(X)=\{f\in C(X)\,|\,f\,\text{vanishes at infinity}\}$$\(f\in C_{0}(X)\)에 대하여 \(\{x\,|\,|f(x)|\geq\epsilon\}\)의 상은 컴팩트집합이고, \(\{x\,|\,|f(x)|\geq\epsilon\}^{c}\)에서 \(|f|<\epsilon\)이므로 \(C_{c}(X)\subset C_{0}(X)\subset BC(X)\)이다. 

4.32 \(X\)가 LCH공간이면, 균등거리공간에서 \(C_{0}(X)=\overline{C_{c}(X)}\)이다.   

증명: 

\(C_{0}(X)\supset\overline{C_{c}(X)}\): \(\{f_{n}\}\)이 \(C_{c}(X)\)에서 \(f\in C_{0}(X)\)로 균등수렴하는 수열이면, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(n\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\|f_{n}-f\|_{u}<\epsilon\)이다. 그러면 \(|f(x)|<\epsilon\)이고, \(x\notin\text{supp}(f)\)이면, \(f\in C_{0}(X)\)이다. 

\(C_{0}(X)\subset\overline{C_{c}(X)}\): \(f\in C_{c}(X)\)이면, \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle K_{n}=\left\{x\,|\,|f(x)|\geq\frac{1}{n}\right\}\)이라고 하자. 그러면 \(K_{n}\)은 컴팩트이고 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 \(g_{n}\in C_{c}(X)\)이 존재해서 \(0\leq g_{n}\leq1\)이고 \(g_{n}|_{K_{n}}=1\)이다. \(f_{n}=g_{n}f\)라고 하자. 그러면 \(f_{n}\in C_{c}(X)\)이고 \(\displaystyle\|f_{n}-f\|_{u}<\frac{1}{n}\)이므로 \(f_{n}\)은 \(f\)로 균등수렴한다. 

따라서 \(C_{0}(X)=\overline{C_{c}(X)}\)이다.   

   

\(X\)를 위상공간, \(\mathbb{C}^{X}\)를 \(X\)상에 정의된 복소함수들의 집합이라 하자. 다음의 방법으로 \(\mathbb{C}^{X}\)를 위상공간으로 정의할 수 있다.  

i. 균등수렴위상(topology of uniform convergence):$$\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in X}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{n}\right\}\,(n\in\mathbb{N},\,f\in\mathbb{C}^{X})$$ 

ii. 컴팩트집합에서의 균등수렴위상(topology of uniform convergence on compact sets):$$\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in K}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{n}\right\},\,(n\in\mathbb{N},\,f\in\mathbb{C}^{X},\,K\subset X\,\text{compact})$$ 

4.33 \(X\)를 LCH공간, \(E\subset X\)라고 하자. \(E\)가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 컴팩트집합 \(K\subset X\)에 대하여 \(E\cap K\)가 닫힌집합이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): 4.22, 4.24

(\(\Leftarrow\)): \(E\)가 닫힌집합이 아니면 \(x\in\overline{E}-E\)가 존재하고 \(K\)를 \(x\)의 컴팩트근방이라 하자. 그러면 \(x\)는 \(E\cap K\)의 집적점이나 \(x\notin E\cap K\)이다. 따라서 4.1에 의해 \(E\cap K\)는 닫힌집합이 아니다. 

4.34 \(X\)를 LCH공간이라 하자. \(C_{c}(X)\)는 컴팩트집합에서의 균등수렴위상 \(\mathbb{C}^{X}\)의 닫힌 부분공간이다.   

증명: \(f\in\overline{C(X)}\)이면, 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 존재해서 컴팩트집합 \(K\subset X\)에서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\)이고 \(f|_{K}\)는 연속함수이다. \(E\subset\mathbb{C}\)가 닫힌집합이면 \(f^{-1}[E]\cap K=(f|_{K})^{-1}[E]\)는 모든 컴팩트집합 \(K\)에서 닫힌집합이다. 따라서 4.33에 의해 \(f^{-1}[E]\)는 닫힌집합이고 \(f\)는 연속함수이다.  

위상공간 \(X\)가 컴팩트집합들의 가산합집합이면, \(X\)를 \(\sigma-\)컴팩트(\(\sigma-\)compact)라고 한다.  

4.35 \(X\)가 \(\sigma-\)컴팩트 LCH공간이면, 열린 예비컴팩트집합들의 열 \(\{U_{n}\}\)이 존재해서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\overline{U}_{n}\subset U_{n+1}\)이고 \(\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{U_{n}}\)이다.  

증명: \(\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{K_{n}}\)(\(K_{n}\)은 컴팩트집합)이라 하자. 4.29에 의해 \(X\)의 모든 컴팩트 부분집합은 열린 예비컴팩트 근방을 갖는다. 따라서 \(U_{1}\)을 \(K_{1}\)의 열린 예비컴팩트 근방이라 하고 귀납적으로 \(U_{n}\)을 \(\overline{U}_{n-1}\cup K_{n}\)의 예비컴팩트 근방이 되게 선택한다.

4.36 \(X\)를 \(\sigma-\)컴팩트 LCH공간이라고 하자. 열린 예비컴팩트집합들의 열 \(\{U_{n}\}\)이 존재해서 \(\overline{U}_{n}\subset U_{n+1}\)이고 \(\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{U_{n}}\)이면, \(f\in\mathbb{C}^{X}\)에 대하여 다음의 집합$$\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in\overline{U}_{n}}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{m}\right\}\,(m,\,n\in\mathbb{N})$$은 컴팩트집합에서의 균등수렴위상에서 \(f\)에 대한 근방기저를 형성한다. 따라서 이 위상은 제1가산공간이고 컴팩트집합에서 \(f_{n}\)이 \(f\)로 균등수렴할 필요충분조건은 각 \(\overline{U}_{n}\)에서 \(f_{n}\)이 \(f\)로 균등수렴하는 것이다.  

증명: \(K\)를 컴팩트집합이라고 하면 \(n\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\displaystyle K\subset\bigcup_{i=1}^{n}{\overline{U}_{i}}\)이다. \(f\in\mathbb{C}^{X}\)에 대하여$$V_{i}=\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in\overline{U}_{i}}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{m}\right\}$$라고 하면$$\bigcap_{i=1}^{n}{V_{i}}\subset\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in K}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{m}\right\}$$이므로 가정의 집합은 컴팩트집합에서의 균등수렴위상에서 \(f\)의 가산개의 근방기저를 형성하고 나머지 주장들은 자명하다.  

\(X\)가 위상공간이고 \(E\subset X\)이면, 다음의 조건들을 만족하는 함수 \(h_{\alpha}\in C(X,\,[0,\,1])\)들의 집합 \(\{h_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 \(E\)에서의 단위분할(partition of unity)이라고 한다.  

i. 각 \(x\in X\)들은 근방을 갖고 그 근방에서의 유한개의 \(h_{\alpha}\)들은 0이 아니다.  

ii. \(x\in E\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{\alpha\in A}{h_{\alpha}(x)}=1\) 

단위분할 \(\{h_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)이 임의의 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(U\in\mathcal{U}\)(\(\mathcal{U}\)는 열린덮개)가 존재해서 \(\text{supp}(h_{\alpha})\subset U\)이면, \(\{h_{\alpha}\}\)를 한 열린덮개 \(\mathcal{U}\)에 종속(subordinate)이라고 한다.  

4.37 \(X\)를 LCH공간, \(K\subset X\)를 컴팩트집합, \(\{U_{i}\}_{i=1}^{n}\)을 \(K\)의 열린덮개라 하자. 그러면 \(\{U_{i}\}_{i=1}^{n}\)에 종속인 \(K\)에서의 단위분할이 존재하고, 그 단위분할은 컴팩트받침 함수들로 구성되어 있다.  

증명: 4.28에 의해 \(x\in K\)는 어떤 \(i\)에 대하여 \(N_{x}\subset U_{i}\)인 컴팩트근방 \(N_{x}\)를 갖는다. \(\{N_{x}^{\circ}\}_{x in K}\)는 \(K\)의 한 열린덮개이므로 \(x_{1},\,...,\,x_{m}\)이 존재해서 \(\displaystyle K\subset\bigcup_{k=1}^{m}{N_{x_{k}}}\)이다. \(\displaystyle F_{i}=\bigcup_{k}{\{N_{x_{k}}\,|\,N_{x_{k}}\subset U_{i}\}}\)라고 하면 \(F_{i}\)는 \(U_{i}\)의 컴팩트부분집합이고, 우리존의 보존정리(4.30)에 의해 \(g_{1},\,...,\,g_{n}\in C(X,\,[0,\,1])\)들이 존재해서 \(g_{i}|_{F_{i}}=1\)이고 \(\text{supp}(g_{i})\subset U_{i}\)이다. \(F_{i}\)들은 \(K\)를 덮으므로 \(K\)에서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{g_{k}}\geq1\)이고 다시 우리존의 보조정리에 의해 \(f\in C_{c}(X,\,[0,\,1])\)가 존재해서 \(f|_{K}=1\)이고 \(\displaystyle\text{supp}(f)\subset\left\{x\,|\,\sum_{k=1}^{n+1}{g_{k}(x)}>0\right\}\)이다. 

\(g_{n+1}=1-f\)라고 하면 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{g_{k}(x)}>0\)이고 모든 \(i=1,\,...,\,n\)에 대하여 \(\displaystyle h_{i}=\frac{g_{i}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{g_{k}}}\)라고 하자. 그러면 \(\text{supp}(h_{i})\subset\text{supp}(g_{i})\subset U_{i}\)이고 \(K\)에서 \(g_{n+1}=0\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}{h_{i}}=1\)이다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사   

Topology Second edition, Munkres, Pearson