[측도론] 4-4 국소컴팩트 하우스도르프 공간

[측도론] 4-4 국소컴팩트 하우스도르프 공간

위상공간 $X$상의 모든 점들이 컴팩트근방을 가지면, $X$를 국소컴팩트(locally compact)공간이라고 한다. 여기서 국소컴팩트 $T_{2}$(하우스도르프)공간을 간단히 'LCH공간'으로 나타내겠다.   

4.28 $X$가 LCH공간이고 $U\subset X$는 열린집합, $x\in U$이면, $x$의 컴팩트근방 $N$이 존재하여 $N\subset U$이다.  

증명: 4.22에 의해 $\overline{U}$는 컴팩트이다(그렇지 않으면 $U$를 $U\cap F^{\circ}$($F$는 $x$의 컴팩트근방)로 대체한다). 4.23에 의해 상대위상 $\overline{U}$에서 서로소인 열린집합 $V$, $W$가 존재해서 $x\in V$, $\partial U\subset W$이다. $V\subset U$이고 $\overline{V}$는 닫힌집합이므로 $V$는 $x$에서 열린집합이고 $U-W$의 컴팩트 부분집합이다. 따라서 $N=\overline{V}$라고 하면 된다.   

4.29 $X$가 LCH공간, $K\subset U\subset X$, $K$는 컴팩트집합, $U$는 열린집합이면, 열린 예비컴팩트집합 $V$가 존재해서 $K\subset V\subset\overline{V}\subset U$이다.  

증명: 4.28에 의해 각 $x\in K$에 대하여 $N_{x}\subset U$를 만족하는 $x$상의 컴팩트근방 $N_{x}$를 고를 수 있다. 그러면 $\{N_{x}\}_{x\in K}$는 $K$의 열린덮개이고 따라서 유한부분덮개 $\{N_{x_{i}}\}_{i=1}^{n}$이 존재한다. $\displaystyle V=\bigcup_{i=1}^{n}{N_{x_{i}}^{\circ}}$라고 하면, $K\subset V$이고 $\displaystyle\overline{V}\subset\bigcup_{i=1}^{n}{N_{x_{i}}}$는 컴팩트 근방이고 $U$에 포함된다. 

4.30 LCH공간에서의 우리존의 보조정리(Urysohn's Lemma, LCH Version) 

$X$가 LCH공간이고 $K\subset U\subset X$, $K$는 컴팩트집합, $U$는 열린집합이면, $f\in C(X,\,[0,\,1])$와 컴팩트집합 $F$가 존재해서 $f|_{K}=1$, $f|_{F^{c}}=0$이다.  

증명: $V$를 4.29의 열린 예비컴팩트집합이라고 하자. $F=\overline{V}$라고 하면, 4.25에 의해 $T_{4}$공간이다. 우리존의 보조정리(4.18)에 의해 $f\in C(\overline{V},\,[0,\,1])$가 존재해서 $f|_{K}=1$, $f|_{\partial V}=0$이다. $f|_{X-\overline{V}}=0$이라고 하면 $f$는 $X$에서 연속이 된다.($\because$ $X-\overline{V}=F^{c}$) 

위의 정리로부터 모든 LCH공간이 정칙임을 알 수 있다.  

4.31 LCH공간에서의 티체의 확장정리(Tietze Extension Theorem, LCH Version) 

$X$를 LCH공간, $K\subset X$를 컴팩트집합이라 하자. $f\in C(K)$이면, $F\in C(X)$가 존재해서 $F|_{K}=f$이고 $F$는 컴팩트집합 바깥에서 0이 되게 할 수 있다.  

증명: 먼저 티체의 확장정리(4.19)에서 $[a,\,b]$를 $(a,\,b)$ 또는 $\mathbb{R}$로 교체할 수 있음을 보이자. $A\subset X$를 닫힌집합, $f:A\,\rightarrow\,(-1,\,1)$라 하자. 티체의 확장정리에 의해 연속함수 $g:X\,\rightarrow\,[-1,\,1]$가 존재하고 $D=g^{-1}[\{-1\}]\cup g^{-1}[\{1\}]$는 $X$에서 닫힌집합이다.($\because\,g|_{A}=f$) $g|_{A}=f$이므로 $g[A]=f[A]\subset(-1,\,1)$이고 $A$와 $D$는 서로소이다. 우리존의 보조정리에 의해 연속함수 $\varphi:X\,\rightarrow\,[0,\,1]$가 존재해서 $\varphi|_{D}=0$, $\varphi|_{A}=1$이다. $F(x)=\varphi(x)g(x)$라고 하면 $F$는 연속이고 $a\in A$에 대하여 $F(a)=\varphi(a)g(a)=g(a)=f(a)$이므로 $f$의 확장이다. 또한 $x\in D$에 대하여 $F(x)=0$이고 $x\notin D$에 대하여 $|g(x)|<1$이므로 $|F(x)|\leq|g(x)|<1$이다. 이 사실로부터 $[a,\,b]$를 $(a,\,b)$로 교체할 수 있고, $(a,\,b)$와 $\mathbb{R}$은 위상동형이므로 $\mathbb{R}$로 교체할 수 있다.   

 

4.28에 의해 임의의 $x\in K$에 대한 컴팩트근방 $N_{x}$가 존재하고 $\{N_{x}^{\circ}\}_{x\in K}$는 $K$의 열린덮개이며 유한부분덮개 $\{N_{x_{i}}^{\circ}\}_{i=1}^{n}$을 갖는다. $\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{n}{N_{x_{i}}^{\circ}}$라고 하면 $\overline{U}$는 컴팩트집합이고 $K\subset U\subset\overline{U}\subset X$이다. 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 연속함수 $h$가 존재해서 $h|_{K}=1$, $h|_{\partial U}=0$이 되고 함수 $F$를 $F|_{\overline{U}}=Hh$, $F|_{U^{c}}=0$이라고 하면, $F$는 연속이고 $F|_{K}=f$이다.  

이전까지의 결과들은 LCH공간이 컴팩트집합 외부에서 0이 되는 연속함수를 많이 가지고 있음을 보여준다.  

$X$를 위상공간, $f\in C(X)$라고 하자. $f$의 받침(support)을 다음과 같이 정의하고 $\text{supp}(f)$로 나타낸다. $$\text{supp}(f)=\overline{\{x\,|\,f(x)=0\}}$$ $\text{supp}(f)$가 컴팩트집합이면, $f$를 컴팩트받침(compactly supported)함수라 하고 이러한 함수 전체의 집합을 다음과 같이 정의하고 $C_{c}(X)$로 나타낸다. $$C_{c}(X)=\{f\in C(X)\,|\,\text{supp}(f)\,\text{is compact}\}$$ $f\in C(X)$이고 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\{x\,|\,|f(x)|\geq\epsilon\}$가 컴팩트이면, $f$를 무한대에서 소멸(vanishes at infinity)한다고 하고 이러한 함수 전체의 집합을 다음과 같이 정의하고 $C_{0}(X)$로 나타낸다. $$C_{0}(X)=\{f\in C(X)\,|\,f\,\text{vanishes at infinity}\}$$ $f\in C_{0}(X)$에 대하여 $\{x\,|\,|f(x)|\geq\epsilon\}$의 상은 컴팩트집합이고, $\{x\,|\,|f(x)|\geq\epsilon\}^{c}$에서 $|f|<\epsilon$이므로 $C_{c}(X)\subset C_{0}(X)\subset BC(X)$이다. 

4.32 $X$가 LCH공간이면, 균등거리공간에서 $C_{0}(X)=\overline{C_{c}(X)}$이다.   

증명: 

$C_{0}(X)\supset\overline{C_{c}(X)}$: $\{f_{n}\}$이 $C_{c}(X)$에서 $f\in C_{0}(X)$로 균등수렴하는 수열이면, 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $n\in\mathbb{N}$이 존재해서 $\|f_{n}-f\|_{u}<\epsilon$이다. 그러면 $|f(x)|<\epsilon$이고, $x\notin\text{supp}(f)$이면, $f\in C_{0}(X)$이다. 

$C_{0}(X)\subset\overline{C_{c}(X)}$: $f\in C_{c}(X)$이면, $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle K_{n}=\left\{x\,|\,|f(x)|\geq\frac{1}{n}\right\}$이라고 하자. 그러면 $K_{n}$은 컴팩트이고 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 $g_{n}\in C_{c}(X)$이 존재해서 $0\leq g_{n}\leq1$이고 $g_{n}|_{K_{n}}=1$이다. $f_{n}=g_{n}f$라고 하자. 그러면 $f_{n}\in C_{c}(X)$이고 $\displaystyle\|f_{n}-f\|_{u}<\frac{1}{n}$이므로 $f_{n}$은 $f$로 균등수렴한다. 

따라서 $C_{0}(X)=\overline{C_{c}(X)}$이다.   

   

$X$를 위상공간, $\mathbb{C}^{X}$를 $X$상에 정의된 복소함수들의 집합이라 하자. 다음의 방법으로 $\mathbb{C}^{X}$를 위상공간으로 정의할 수 있다.  

i. 균등수렴위상(topology of uniform convergence): $$\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in X}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{n}\right\}\,(n\in\mathbb{N},\,f\in\mathbb{C}^{X})$$  

ii. 컴팩트집합에서의 균등수렴위상(topology of uniform convergence on compact sets): $$\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in K}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{n}\right\},\,(n\in\mathbb{N},\,f\in\mathbb{C}^{X},\,K\subset X\,\text{compact})$$  

4.33 $X$를 LCH공간, $E\subset X$라고 하자. $E$가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 컴팩트집합 $K\subset X$에 대하여 $E\cap K$가 닫힌집합이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): 4.22, 4.24

($\Leftarrow$): $E$가 닫힌집합이 아니면 $x\in\overline{E}-E$가 존재하고 $K$를 $x$의 컴팩트근방이라 하자. 그러면 $x$는 $E\cap K$의 집적점이나 $x\notin E\cap K$이다. 따라서 4.1에 의해 $E\cap K$는 닫힌집합이 아니다. 

4.34 $X$를 LCH공간이라 하자. $C_{c}(X)$는 컴팩트집합에서의 균등수렴위상 $\mathbb{C}^{X}$의 닫힌 부분공간이다.   

증명: $f\in\overline{C(X)}$이면, 함수열 $\{f_{n}\}$이 존재해서 컴팩트집합 $K\subset X$에서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$이고 $f|_{K}$는 연속함수이다. $E\subset\mathbb{C}$가 닫힌집합이면 $f^{-1}[E]\cap K=(f|_{K})^{-1}[E]$는 모든 컴팩트집합 $K$에서 닫힌집합이다. 따라서 4.33에 의해 $f^{-1}[E]$는 닫힌집합이고 $f$는 연속함수이다.  

위상공간 $X$가 컴팩트집합들의 가산합집합이면, $X$를 $\sigma-$컴팩트($\sigma-$compact)라고 한다.  

4.35 $X$가 $\sigma-$컴팩트 LCH공간이면, 열린 예비컴팩트집합들의 열 $\{U_{n}\}$이 존재해서 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\overline{U}_{n}\subset U_{n+1}$이고 $\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{U_{n}}$이다.  

증명: $\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{K_{n}}$($K_{n}$은 컴팩트집합)이라 하자. 4.29에 의해 $X$의 모든 컴팩트 부분집합은 열린 예비컴팩트 근방을 갖는다. 따라서 $U_{1}$을 $K_{1}$의 열린 예비컴팩트 근방이라 하고 귀납적으로 $U_{n}$을 $\overline{U}_{n-1}\cup K_{n}$의 예비컴팩트 근방이 되게 선택한다.

4.36 $X$를 $\sigma-$컴팩트 LCH공간이라고 하자. 열린 예비컴팩트집합들의 열 $\{U_{n}\}$이 존재해서 $\overline{U}_{n}\subset U_{n+1}$이고 $\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{U_{n}}$이면, $f\in\mathbb{C}^{X}$에 대하여 다음의 집합 $$\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in\overline{U}_{n}}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{m}\right\}\,(m,\,n\in\mathbb{N})$$ 은 컴팩트집합에서의 균등수렴위상에서 $f$에 대한 근방기저를 형성한다. 따라서 이 위상은 제1가산공간이고 컴팩트집합에서 $f_{n}$이 $f$로 균등수렴할 필요충분조건은 각 $\overline{U}_{n}$에서 $f_{n}$이 $f$로 균등수렴하는 것이다.  

증명: $K$를 컴팩트집합이라고 하면 $n\in\mathbb{N}$이 존재해서 $\displaystyle K\subset\bigcup_{i=1}^{n}{\overline{U}_{i}}$이다. $f\in\mathbb{C}^{X}$에 대하여 $$V_{i}=\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in\overline{U}_{i}}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{m}\right\}$$ 라고 하면 $$\bigcap_{i=1}^{n}{V_{i}}\subset\left\{g\in\mathbb{C}^{X}\,|\,\sup_{x\in K}{|g(x)-f(x)|}<\frac{1}{m}\right\}$$ 이므로 가정의 집합은 컴팩트집합에서의 균등수렴위상에서 $f$의 가산개의 근방기저를 형성하고 나머지 주장들은 자명하다.  

$X$가 위상공간이고 $E\subset X$이면, 다음의 조건들을 만족하는 함수 $h_{\alpha}\in C(X,\,[0,\,1])$들의 집합 $\{h_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$를 $E$에서의 단위분할(partition of unity)이라고 한다.  

i. 각 $x\in X$들은 근방을 갖고 그 근방에서의 유한개의 $h_{\alpha}$들은 0이 아니다.  

ii. $x\in E$에 대하여 $\displaystyle\sum_{\alpha\in A}{h_{\alpha}(x)}=1$ 

단위분할 $\{h_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$이 임의의 $\alpha\in A$에 대하여 $U\in\mathcal{U}$($\mathcal{U}$는 열린덮개)가 존재해서 $\text{supp}(h_{\alpha})\subset U$이면, $\{h_{\alpha}\}$를 한 열린덮개 $\mathcal{U}$에 종속(subordinate)이라고 한다.  

4.37 $X$를 LCH공간, $K\subset X$를 컴팩트집합, $\{U_{i}\}_{i=1}^{n}$을 $K$의 열린덮개라 하자. 그러면 $\{U_{i}\}_{i=1}^{n}$에 종속인 $K$에서의 단위분할이 존재하고, 그 단위분할은 컴팩트받침 함수들로 구성되어 있다.  

증명: 4.28에 의해 $x\in K$는 어떤 $i$에 대하여 $N_{x}\subset U_{i}$인 컴팩트근방 $N_{x}$를 갖는다. $\{N_{x}^{\circ}\}_{x in K}$는 $K$의 한 열린덮개이므로 $x_{1},\,...,\,x_{m}$이 존재해서 $\displaystyle K\subset\bigcup_{k=1}^{m}{N_{x_{k}}}$이다. $\displaystyle F_{i}=\bigcup_{k}{\{N_{x_{k}}\,|\,N_{x_{k}}\subset U_{i}\}}$라고 하면 $F_{i}$는 $U_{i}$의 컴팩트부분집합이고, 우리존의 보존정리(4.30)에 의해 $g_{1},\,...,\,g_{n}\in C(X,\,[0,\,1])$들이 존재해서 $g_{i}|_{F_{i}}=1$이고 $\text{supp}(g_{i})\subset U_{i}$이다. $F_{i}$들은 $K$를 덮으므로 $K$에서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{g_{k}}\geq1$이고 다시 우리존의 보조정리에 의해 $f\in C_{c}(X,\,[0,\,1])$가 존재해서 $f|_{K}=1$이고 $\displaystyle\text{supp}(f)\subset\left\{x\,|\,\sum_{k=1}^{n+1}{g_{k}(x)}>0\right\}$이다. 

$g_{n+1}=1-f$라고 하면 모든 $x\in X$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{g_{k}(x)}>0$이고 모든 $i=1,\,...,\,n$에 대하여 $\displaystyle h_{i}=\frac{g_{i}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{g_{k}}}$라고 하자. 그러면 $\text{supp}(h_{i})\subset\text{supp}(g_{i})\subset U_{i}$이고 $K$에서 $g_{n+1}=0$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}{h_{i}}=1$이다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사   

Topology Second edition, Munkres, Pearson