[측도론] 5-2 선형범함수

[측도론] 5-2 선형범함수

$X$를 $K(=\mathbb{R}\,\text{or}\,\mathbb{C})$상의 벡터공간이라 하자. $X$에서 $K$로의 선형사상을 $X$상의 선형범함수(linear functional)라고 한다. $X$가 노름벡터공간이면, $X$상의 유계선형범함수들의 공간 $L(X,\,K)$를 쌍대공간(dual space)이라 하고 $X^{*}$로 나타낸다. 5.4에 의해 $X^{*}$는 연산자노름을 갖는 바나흐공간이다. 

사상 $f:X\,\rightarrow\,\mathbb{R}$은 $\mathbb{R}$에서 선형이고, $f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}$는 $\mathbb{C}$에서 선형이다. 

5.5 $X$를 $\mathbb{C}$상의 벡터공간이라 하자. $f$가 $X$상의 복소 선형범함수이고 $u=\text{Re}f$라고 하면, $u$는 실 선형범함수이고 모든 $x\in X$에 대하여 $f(x)=u(x)-iu(ix)$이다. 역으로 $u$가 $X$상의 실 선형범함수이고 $f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}$가 $f(x)=u(x)-iu(ix)$로 정의되면, $f$는 복소 선형범함수이다. $X$가 노름벡터공간이면, $\|u\|=\|f\|$이다.  

증명: $f$를 복소 선형범함수, $u=\text{Re}f$라고 하면, $u$는 명백히 실 선형범함수이고 $\text{Im}f(x)=-\text{Re}\{if(x)\}=-u(ix)$이므로 $f(x)=u(x)-iu(ix)$이다. 역으로 $u$가 실 선형범함수이고 $f(x)=u(x)-iu(ix)$이면, $f$는 분명히 $\mathbb{R}$에서 선형이고 $$f(ix)=u(ix)-iu(-x)=u(ix)+iu(x)=if(x)$$ 이므로 $f$는 $\mathbb{C}$에서 선형이다. 

$X$가 노름공간이면, $|u(x)|=|\text{Re}f(x)|\leq|f(x)|$이므로 $\|u\|\leq\|f\|$이고, $f(x)\neq0$이면, $\alpha=\overline{\text{sgn}f(x)}$라고 하자. 그러면 $f(\alpha x)$가 실수이므로 $$|f(x)|=\alpha f(x)=f(\alpha x)=u(\alpha x)$$ 이고 $|f(x)|\leq\|u\|\|\alpha x\|=\|u\|\|x\|$이므로 $\|f\|\leq\|u\|$가 되어 따라서 $\|f\|=\|u\|$이다.     

$X$가 실벡터공간이고 사상 $p:X\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 모든 $x,\,y\in X$와 $\lambda\geq0$에 대하여 다음 조건들을 만족하면 $p$를 $X$상의 부분선형범함수(sublinear functional)라고 한다. $$p(x+y)\leq p(x)+p(y),\,p(\lambda x)=\lambda p(x)$$ 예를들어 모든 반 노름은 부분선형범함수이다.   

5.6 한-바나흐 정리(Hahn-Banach Theorem) 

$X$를 실벡터공간, $p$를 $X$상의 부분선형범함수, $M$을 $X$의 부분공간, $f$를 $M$상의 선형범함수라 하고, 모든 $x\in M$에 대하여 $f(x)\leq p(x)$라고 하자. 그러면 $X$상의 선형범함수 $F$가 존재해서 모든 $x\in X$에 대하여 $F(x)\leq p(x)$이고 $F|_{M}=f$이다.  

증명: $x\in X-M$이면, $f$를 모든 $y\in M+\mathbb{R}x$에 대하여 $g(y)\leq p(y)$인 $M+\mathbb{R}x$상의 선형범함수 $g$로 확장할 수 있음을 보이자. 

$y_{1},\,y_{2}\in M$이면, $$f(y_{1})+f(y_{2})=f(y_{1}+y_{2})\leq p(y_{1}+y_{2})\leq p(y_{1}-x)+p(x+y_{2})$$ 또는 $$f(y_{1})-p(y_{1}-x)\leq p(x+y_{2})-f(y_{2})$$ 이므로 따라서 다음의 부등식이 성립한다. $$\sup\{f(y)-p(y-x)\,|\,y\in M\}\leq\inf\{p(x+y)-f(y)\,|\,y\in M\}$$ $\alpha$를 다음의 부등식을 만족하는 수라 하고 $$\sup_{y\in M}{\{f(y)-p(y-x)\}}\leq\alpha\leq\inf_{y\in M}{\{p(x+y)-f(y)\}}$$ $g:M+\mathbb{R}x\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $g(y+\lambda x)=f(y)+\lambda\alpha$로 정의하자. 그러면 $g$는 선형이고 $g|_{M}=f$이며, 모든 $y\in M$에 대해 $g(y)\leq p(y)$이다. 게다가 $\lambda>0$이고 $y\in M$이면, $$g(y+\lambda x)=\lambda\left\{f\left(\frac{y}{\lambda}\right)+\alpha\right\}\leq\lambda\left\{f\left(\frac{y}{\lambda}\right)+p\left(x+\frac{y}{\lambda}\right)-f\left(\frac{y}{\lambda}\right)\right\}$$ 이고 반면에 $\lambda=-\mu<0$이면 $$g(y+\lambda x)=\mu\left\{f\left(\frac{y}{\mu}\right)-\alpha\right\}\leq\mu\left\{f\left(\frac{y}{\mu}\right)-f\left(\frac{y}{\mu}\right)+p\left(\frac{y}{\mu}-x\right)\right\}=p(y+\lambda x)$$ 이므로 모든 $z\in M+\mathbb{R}x$에 대하여 $g(z)\leq p(z)$이다.

분명히 이 결과를 정의역에서 $F\leq p$인 $f$의 임의의 선형 확장 $F$에 적용할 수 있고, 이것은 $F\leq p$를 만족하는 극대 선형확장의 정의역이 $X$와 같아야 함을 보여준다. 

$\mathcal{F}=\{F\,|\,F\,\text{is linear extension of}\,f,\,F\leq p\}$는 포함에 의한 부분순서이고, $\mathcal{F}$의 선형순서 부분족들의 합집합은 $\mathcal{F}$에 있다. 따라서 조른의 보조정리에 의해 극대원소 $F\in\mathcal{F}$가 존재하고, 이 $F$가 이 정리를 만족하는 선형범함수이다. 

5.7 복소 한-바나흐 정리(Complex Hahn-Banach Theorem) 

$X$를 복소벡터공간, $P$를 $X$상의 반 노름, $M$을 $X$의 부분공간, $f$를 $M$상의 복소선형범함수라 하고, 모든 $x\in M$에 대하여 $|f(x)|\leq p(x)$라 하자. 그러면 $X$상의 복소선형범함수 $F$가 존재해서 모든 $x\in X$에 대하여 $|F(x)|\leq p(x)$이고 $F|_{M}=f$이다.  

증명: $u=\text{Re}f$라 하자. 5.6에 의해 $u$의 확장 $U$가 존재해서 모든 $x\in X$에 대하여 $|U(x)|\leq p(x)$이다. $F(x)=U(x)-iU(ix)$라고 하면 $F$는 $f$의 복소선형확장이고, $\alpha=\overline{\text{sgn}F(x)}$라고 하면 다음의 부등식이 성립한다. $$|F(x)|=\alpha F(x)=F(\alpha x)=U(\alpha x)\leq p(\alpha x)=p(x)$$  

5.8 $X$를 노름벡터공간이라 하자.  

a. $M$이 $X$의 닫힌부분공간이고 $x\in X-M$이면, $f\in X^{*}$가 존재해서 $f(x)\neq0$이고 $f|_{M}=0$이다.  

b. $x(\neq0)\in X$이면, $f\in X^{*}$가 존재해서 $\|f\|=1$이고 $f(x)=\|x\|$이다.  

c. $X$에서의 유계선형범함수는 점을 분리한다.  

d. $x\in X$일 때 $\hat{x}:X^{*}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 $\hat{x}(f)=f(x)$로 정의하면 사상 $x\,\mapsto\,\hat{x}$는 $X$에서 $X^{**}(=(X^{*})^{*})$로의 선형 등거리이다.($X^{**}$는 $X^{*}$의 쌍대공간) 

증명: 

a: $M+\mathbb{C}x$상의 함수 $f$를 $f(y+\lambda x)=\lambda\delta\,(y\in M,\,\lambda\in\mathbb{C})$로 정의하면 $f(x)=\delta$, $f|_{M}=0$이고, $\lambda\neq0$에 대해 $$|f(y+\lambda x)|=|\lambda|\delta\leq|\lambda|\|\lambda^{-1}y+x\|=\|y+\lambda x\|$$ 이므로 $p(x)=\|x\|$, $M$은 $M+\mathbb{C}x$로 바꾸고 한-바나흐 정리를 적용한다.  

b: a에서 $M=\{0\}$인 경우이다.  

c: $x\neq y$이면, $f\in X^{*}$가 존재해서 $f(x-y)\neq0\,(f(x)\neq f(y))$이다.  

d: 분명히 $\hat{x}$는 $X^{*}$에서의 선형범함수이고, 사상 $x\,\mapsto\,\hat{x}$는 선형이다. 게다가 $|\hat{x}(f)|=|f(x)|\leq\|f\|\|x\|$이므로 $\|\hat{x}\|\leq\|x\|$이고, b에 의해 $\|\hat{x}\|\geq\|x\|$이므로 $\|\hat{x}\|=\|x\|$이다.        

5.8의 d에서 $\hat{X}=\{\hat{x}\,|\,x\in X\}$라고 하자. $X^{**}$는 항상 완비이므로 $X^{**}$에서 $\hat{X}$의 폐포 $\overline{\hat{X}}$는 바나흐공간이고 $\overline{\hat{X}}$를 $X$의 완비화(completion)라고 한다. 특히 $X$가 바나흐공간이면, $\overline{\hat{X}}=\hat{X}$이다.   

식 $\hat{X}=X^{**}$는 $X$가 유한차원일 때에만 성립하나 무한차원일 때는 성립하지 않는다. 만약 무한차원에서 성립하면 $X$를 반사적(reflexive)이라고 한다.  

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley