[측도론] 5-2 선형범함수

[측도론] 5-2 선형범함수

\(X\)를 \(K(=\mathbb{R}\,\text{or}\,\mathbb{C})\)상의 벡터공간이라 하자. \(X\)에서 \(K\)로의 선형사상을 \(X\)상의 선형범함수(linear functional)라고 한다. \(X\)가 노름벡터공간이면, \(X\)상의 유계선형범함수들의 공간 \(L(X,\,K)\)를 쌍대공간(dual space)이라 하고 \(X^{*}\)로 나타낸다. 5.4에 의해 \(X^{*}\)는 연산자노름을 갖는 바나흐공간이다. 

사상 \(f:X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)은 \(\mathbb{R}\)에서 선형이고, \(f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)는 \(\mathbb{C}\)에서 선형이다. 

5.5 \(X\)를 \(\mathbb{C}\)상의 벡터공간이라 하자. \(f\)가 \(X\)상의 복소 선형범함수이고 \(u=\text{Re}f\)라고 하면, \(u\)는 실 선형범함수이고 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(f(x)=u(x)-iu(ix)\)이다. 역으로 \(u\)가 \(X\)상의 실 선형범함수이고 \(f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 \(f(x)=u(x)-iu(ix)\)로 정의되면, \(f\)는 복소 선형범함수이다. \(X\)가 노름벡터공간이면, \(\|u\|=\|f\|\)이다.  

증명: \(f\)를 복소 선형범함수, \(u=\text{Re}f\)라고 하면, \(u\)는 명백히 실 선형범함수이고 \(\text{Im}f(x)=-\text{Re}\{if(x)\}=-u(ix)\)이므로 \(f(x)=u(x)-iu(ix)\)이다. 역으로 \(u\)가 실 선형범함수이고 \(f(x)=u(x)-iu(ix)\)이면, \(f\)는 분명히 \(\mathbb{R}\)에서 선형이고$$f(ix)=u(ix)-iu(-x)=u(ix)+iu(x)=if(x)$$이므로 \(f\)는 \(\mathbb{C}\)에서 선형이다. 

\(X\)가 노름공간이면, \(|u(x)|=|\text{Re}f(x)|\leq|f(x)|\)이므로 \(\|u\|\leq\|f\|\)이고, \(f(x)\neq0\)이면, \(\alpha=\overline{\text{sgn}f(x)}\)라고 하자. 그러면 \(f(\alpha x)\)가 실수이므로$$|f(x)|=\alpha f(x)=f(\alpha x)=u(\alpha x)$$이고 \(|f(x)|\leq\|u\|\|\alpha x\|=\|u\|\|x\|\)이므로 \(\|f\|\leq\|u\|\)가 되어 따라서 \(\|f\|=\|u\|\)이다.     

\(X\)가 실벡터공간이고 사상 \(p:X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 모든 \(x,\,y\in X\)와 \(\lambda\geq0\)에 대하여 다음 조건들을 만족하면 \(p\)를 \(X\)상의 부분선형범함수(sublinear functional)라고 한다.$$p(x+y)\leq p(x)+p(y),\,p(\lambda x)=\lambda p(x)$$예를들어 모든 반 노름은 부분선형범함수이다.   

5.6 한-바나흐 정리(Hahn-Banach Theorem) 

\(X\)를 실벡터공간, \(p\)를 \(X\)상의 부분선형범함수, \(M\)을 \(X\)의 부분공간, \(f\)를 \(M\)상의 선형범함수라 하고, 모든 \(x\in M\)에 대하여 \(f(x)\leq p(x)\)라고 하자. 그러면 \(X\)상의 선형범함수 \(F\)가 존재해서 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(F(x)\leq p(x)\)이고 \(F|_{M}=f\)이다.  

증명: \(x\in X-M\)이면, \(f\)를 모든 \(y\in M+\mathbb{R}x\)에 대하여 \(g(y)\leq p(y)\)인 \(M+\mathbb{R}x\)상의 선형범함수 \(g\)로 확장할 수 있음을 보이자. 

\(y_{1},\,y_{2}\in M\)이면,$$f(y_{1})+f(y_{2})=f(y_{1}+y_{2})\leq p(y_{1}+y_{2})\leq p(y_{1}-x)+p(x+y_{2})$$또는$$f(y_{1})-p(y_{1}-x)\leq p(x+y_{2})-f(y_{2})$$이므로 따라서 다음의 부등식이 성립한다.$$\sup\{f(y)-p(y-x)\,|\,y\in M\}\leq\inf\{p(x+y)-f(y)\,|\,y\in M\}$$\(\alpha\)를 다음의 부등식을 만족하는 수라 하고$$\sup_{y\in M}{\{f(y)-p(y-x)\}}\leq\alpha\leq\inf_{y\in M}{\{p(x+y)-f(y)\}}$$\(g:M+\mathbb{R}x\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(g(y+\lambda x)=f(y)+\lambda\alpha\)로 정의하자. 그러면 \(g\)는 선형이고 \(g|_{M}=f\)이며, 모든 \(y\in M\)에 대해 \(g(y)\leq p(y)\)이다. 게다가 \(\lambda>0\)이고 \(y\in M\)이면,$$g(y+\lambda x)=\lambda\left\{f\left(\frac{y}{\lambda}\right)+\alpha\right\}\leq\lambda\left\{f\left(\frac{y}{\lambda}\right)+p\left(x+\frac{y}{\lambda}\right)-f\left(\frac{y}{\lambda}\right)\right\}$$이고 반면에 \(\lambda=-\mu<0\)이면$$g(y+\lambda x)=\mu\left\{f\left(\frac{y}{\mu}\right)-\alpha\right\}\leq\mu\left\{f\left(\frac{y}{\mu}\right)-f\left(\frac{y}{\mu}\right)+p\left(\frac{y}{\mu}-x\right)\right\}=p(y+\lambda x)$$이므로 모든 \(z\in M+\mathbb{R}x\)에 대하여 \(g(z)\leq p(z)\)이다.

분명히 이 결과를 정의역에서 \(F\leq p\)인 \(f\)의 임의의 선형 확장 \(F\)에 적용할 수 있고, 이것은 \(F\leq p\)를 만족하는 극대 선형확장의 정의역이 \(X\)와 같아야 함을 보여준다. 

\(\mathcal{F}=\{F\,|\,F\,\text{is linear extension of}\,f,\,F\leq p\}\)는 포함에 의한 부분순서이고, \(\mathcal{F}\)의 선형순서 부분족들의 합집합은 \(\mathcal{F}\)에 있다. 따라서 조른의 보조정리에 의해 극대원소 \(F\in\mathcal{F}\)가 존재하고, 이 \(F\)가 이 정리를 만족하는 선형범함수이다. 

5.7 복소 한-바나흐 정리(Complex Hahn-Banach Theorem) 

\(X\)를 복소벡터공간, \(P\)를 \(X\)상의 반 노름, \(M\)을 \(X\)의 부분공간, \(f\)를 \(M\)상의 복소선형범함수라 하고, 모든 \(x\in M\)에 대하여 \(|f(x)|\leq p(x)\)라 하자. 그러면 \(X\)상의 복소선형범함수 \(F\)가 존재해서 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(|F(x)|\leq p(x)\)이고 \(F|_{M}=f\)이다.  

증명: \(u=\text{Re}f\)라 하자. 5.6에 의해 \(u\)의 확장 \(U\)가 존재해서 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(|U(x)|\leq p(x)\)이다. \(F(x)=U(x)-iU(ix)\)라고 하면 \(F\)는 \(f\)의 복소선형확장이고, \(\alpha=\overline{\text{sgn}F(x)}\)라고 하면 다음의 부등식이 성립한다.$$|F(x)|=\alpha F(x)=F(\alpha x)=U(\alpha x)\leq p(\alpha x)=p(x)$$ 

5.8 \(X\)를 노름벡터공간이라 하자.  

a. \(M\)이 \(X\)의 닫힌부분공간이고 \(x\in X-M\)이면, \(f\in X^{*}\)가 존재해서 \(f(x)\neq0\)이고 \(f|_{M}=0\)이다.  

b. \(x(\neq0)\in X\)이면, \(f\in X^{*}\)가 존재해서 \(\|f\|=1\)이고 \(f(x)=\|x\|\)이다.  

c. \(X\)에서의 유계선형범함수는 점을 분리한다.  

d. \(x\in X\)일 때 \(\hat{x}:X^{*}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 \(\hat{x}(f)=f(x)\)로 정의하면 사상 \(x\,\mapsto\,\hat{x}\)는 \(X\)에서 \(X^{**}(=(X^{*})^{*})\)로의 선형 등거리이다.(\(X^{**}\)는 \(X^{*}\)의 쌍대공간) 

증명: 

a: \(M+\mathbb{C}x\)상의 함수 \(f\)를 \(f(y+\lambda x)=\lambda\delta\,(y\in M,\,\lambda\in\mathbb{C})\)로 정의하면 \(f(x)=\delta\), \(f|_{M}=0\)이고, \(\lambda\neq0\)에 대해$$|f(y+\lambda x)|=|\lambda|\delta\leq|\lambda|\|\lambda^{-1}y+x\|=\|y+\lambda x\|$$이므로 \(p(x)=\|x\|\), \(M\)은 \(M+\mathbb{C}x\)로 바꾸고 한-바나흐 정리를 적용한다.  

b: a에서 \(M=\{0\}\)인 경우이다.  

c: \(x\neq y\)이면, \(f\in X^{*}\)가 존재해서 \(f(x-y)\neq0\,(f(x)\neq f(y))\)이다.  

d: 분명히 \(\hat{x}\)는 \(X^{*}\)에서의 선형범함수이고, 사상 \(x\,\mapsto\,\hat{x}\)는 선형이다. 게다가 \(|\hat{x}(f)|=|f(x)|\leq\|f\|\|x\|\)이므로 \(\|\hat{x}\|\leq\|x\|\)이고, b에 의해 \(\|\hat{x}\|\geq\|x\|\)이므로 \(\|\hat{x}\|=\|x\|\)이다.        

5.8의 d에서 \(\hat{X}=\{\hat{x}\,|\,x\in X\}\)라고 하자. \(X^{**}\)는 항상 완비이므로 \(X^{**}\)에서 \(\hat{X}\)의 폐포 \(\overline{\hat{X}}\)는 바나흐공간이고 \(\overline{\hat{X}}\)를 \(X\)의 완비화(completion)라고 한다. 특히 \(X\)가 바나흐공간이면, \(\overline{\hat{X}}=\hat{X}\)이다.   

식 \(\hat{X}=X^{**}\)는 \(X\)가 유한차원일 때에만 성립하나 무한차원일 때는 성립하지 않는다. 만약 무한차원에서 성립하면 \(X\)를 반사적(reflexive)이라고 한다.  

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley