[측도론] 5-4 힐베르트 공간

[측도론] 5-4 힐베르트 공간

$H$를 복소벡터공간이라 하자. $H$상의 내적(inner product)(또는 스칼라곱, scalar product) $H\times H\,\rightarrow\,\mathbb{C}$은 다음 조건들을 만족하는 사상 $(x,\,y)\,\mapsto\,\langle x,\,y\rangle$이다.  

i. 모든 $x,\,y,\,z\in H$에 대하여 $\langle ax+by,\,z\rangle=a\langle x,\,z\rangle+b\langle y,\,z\rangle$ 

ii. 모든 $x,\,y\in H$에 대하여 $\langle y,\,x\rangle=\overline{\langle x,\,y\rangle}$ 

iii. 모든 $x\in H-\{0\}$에 대하여 $\langle x,\,x\rangle\in(0,\,\infty)$ 

i과 ii에 의해 모든 $x,\,y,\,z\in H$와 $a,\,b\in\mathbb{C}$에 대해 다음이 성립한다. $$\langle x,\,ay+bz\rangle=\overline{a}\langle x,\,y+\overline{b}\langle x,\,z\rangle\rangle$$ 내적을 갖춘 복소벡터공간을 예비 힐베르트 공간(pre-Hilbert space)이라고 하고, $H$가 예비 힐베르트 공간일 때 $x\in H$에 대하여 $\|x\|=\sqrt{\langle x,\,x\rangle}$로 정의한다.  

5.15 슈바르츠 부등식(The Schwartz Inequality)

모든 $x,\,y\in H$에 대하여 $|\langle x,\,y\rangle|\leq\|x\|\|y\|$이고 등식이 성립할 필요충분조건은 $x,\,y$가 선형종속인 것이다.  

증명: $\langle x,\,y\rangle=0$이면 분명하다. $\langle x,\,y\rangle\neq0\,(y\neq0)$일 때 $\alpha=\text{sgn}\langle x,\,y\rangle$, $z=\alpha y$라고 하자. 그러면 $\langle x,\,z\rangle=\langle z,\,x\rangle=|\langle x,\,y\rangle|$, $\|z\|=\|y\|$이므로 임의의 $t\in\mathbb{R}$에 대하여 $$0\leq\langle x-tz,\,x-tz\rangle=\|x\|^{2}-2t|\langle x,\,y\rangle|+t^{2}\|y\|^{2}$$ 이고 오른쪽의 2차식은 $\displaystyle t=\frac{|\langle x,\,y\rangle|}{\|y\|^{2}}$일 때 최소이다. 이때 $$0\leq\|x-tz\|^{2}=\|x\|^{2}-\frac{|\langle x,\,y\rangle|^{2}}{\|y\|^{2}}$$ 이고 등식은 $x-tz=x-\alpha ty=0$일 때 성립한다.  

5.16 함수 $x\,\mapsto\,\|x\|$는 $H$상의 노름이다.  

증명: $\|x\|=0$일 필요충분조건은 $x=0$이고, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$는 정의로부터 분명하다. 삼각부등식이 성립함을 보이자. $$\|x+y\|^{2}=\langle x+y\rangle^{2}=\|x\|^{2}+2\text{Re}\langle x,\,y\rangle+\|y\|^{2}$$ 이고 슈바르츠 부등식에 의해 $$\|x+y\|^{2}\leq\|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}=(\|x\|+\|y\|)^{2}$$ 이므로 삼각부등식이 성립한다.   

노름 $\|x\|=\sqrt{\langle x,\,x\rangle}$에 대해 완비인 예비 힐베르트 공간을 힐베르트 공간(Hilbert space)이라고 한다.  

힐베르트 공간의 예: $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 측도공간, $\displaystyle L^{2}(\mu)=\left\{f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,f\,\text{measurable}, \int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}$라고 하자. 부등식 $\displaystyle ab\leq\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})\,(a,\,b\geq0)$으로부터 $f,\,g\in L^{2}(\mu)$일 때 $\displaystyle|f\overline{g}|\leq\frac{1}{2}(|f|^{2}+|g|^{2})$이므로 $f\overline{g}\in L^{2}(\mu)$이다. 이때 $\displaystyle\langle f,\,g\rangle=\int_{X}{f\overline{g}d\mu}$로 정의하면 이것은 $L^{2}(\mu)$상의 내적공간이고 $L^{2}(\mu)$는 힐베르트 공간이다.  

5.17 $x_{n}\,\rightarrow\,x$, $y_{n}\,\rightarrow\,y$이면, $\langle x_{n},\,y_{n}\rangle\,\rightarrow\,\langle x,\,y\rangle$이다.  

증명: 슈바르츠 부등식에 의해 $$\begin{align*}\|x+y\|^{2}&=|\langle x_{n}-x,\,y_{n}\rangle-\langle x,\,y_{n}-y\rangle|\\&\leq\|x_{n}-x\|\|y_{n}\|+\|x\|\|y_{n}-y\|\end{align*}$$ 이고 $x_{n}\,\rightarrow\,x$, $y_{n}\,\rightarrow\,y$이므로 따라서 $\langle x_{n},\,y_{n}\rangle\,\rightarrow\,\langle x,\,y\rangle$이다.   

5.18 평행사변형 법칙(Parallelogram Law) 

모든 $x,\,y\in H$에 대하여 다음의 등식이 성립한다. $$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$$

증명: 다음의 두 식들을 더하면 원하는 결과를 얻는다. $$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+2\text{Re}\langle x,\,y\rangle+\|y\|^{2},\,\|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}-2\text{Re}\langle x,\,y\rangle+\|y\|^{2}$$

$x,\,y\in H$에 대해 $\langle x,\,y\rangle=0$이면, $x$와 $y$는 서로 수직(직교, orthogonal)이라고 하고 $x\perp y$로 나타낸다. $E\subset H$에 대하여 $$E^{\perp}=\{x\in H\,|\,\langle x,\,y\rangle=0\,\text{for all}\,y\in E\}$$ 로 정의한다. $E^{\perp}$는 5.17과 내적의 성질에 의해 $H$의 닫힌 부분공간이다.   

5.19 피타고라스 정리(Pythagorean Theorem)   

$x_{1},\,...,\,x_{n}\in H$이고 $x_{i}\perp x_{j}\,(i\neq j)$이면, $\displaystyle\left\|\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right\|=\sum_{i=1}^{n}{\|x_{i}\|^{2}}$이다.  

증명: $\displaystyle\left\|\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right\|^{2}=\left\langle\sum_{i=1}^{n}{x_{i}},\,\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right\rangle=\sum_{i,\,j}{\langle x_{i},\,x_{j}\rangle}=\sum_{i=1}^{n}{\|x_{i}\|^{2}}$($\because$ $i\neq j$일 때 $\langle x_{i},\,x_{j}\rangle=0$) 

5.20 $M$이 $H$의 닫힌 부분공간이면, $H=M\oplus M^{\perp}$이다. 이것은 임의의 $x\in H$를 $x=y+z\,(y\in M,\,z\in M^{\perp})$로 나타낼 수 있고, 이때 $y,\,z$는 $x$로부터의 거리가 최소인 유일한 원소이다.  

증명: $x\in H$에 대하여 $\displaystyle\delta=\inf_{y\in M}{\|x-y\|}$, $\{y_{n}\}\subset M$을 $\|x-y_{n}\|\,\rightarrow\,\delta$인 수열이라 하자. 평행사변형 법칙에 의해 $$2(\|y_{n}-x\|^{2}+\|y_{m}-x\|^{2})=\|y_{n}-y_{m}\|^{2}+\|y_{n}+y_{m}-2x\|^{2}$$ 이고 $\displaystyle\frac{1}{2}(y_{n}+y_{m})\in M$이므로 $$\begin{align*}\|y_{n}-y_{m}\|&=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\left\|\frac{1}{2}(y_{n}+y_{m})-x\right\|\\&\leq2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\delta^{2}\end{align*}$$ 이다. 이 부등식에 의해 $\{y_{n}\}$은 코시수열이고 $\displaystyle y=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z=x-y}$라고 하면 $y\in M$($\because$ $M$은 닫힌집합)이고 $\|y-x\|=\delta$이다. 

$z\in M^{\perp}$임을 보이자. $u\in M$일 때 $u$에 적당한 영이 아닌 스칼라를 곱해서 $\langle z,\,u\rangle$를 실수라고 가정할 수 있다. 그러면 함수 $$f(t)=\|z+tu\|^{2}=\|z\|^{2}+2t\langle z,\,u\rangle+t^{2}\|u\|^{2}$$ 는 $t\in\mathbb{R}$에 대한 실함수이고 $t=0$에서 최솟값 $\delta^{2}$를 갖는데 그 이유는 $z+tu=x-(y-tu)$이고 $y-tu\in M$이기 때문이다. 따라서 $2\langle t,\,u\rangle=f'(0)=0$이고 $z\in M^{\perp}$이다. $z'$이 $M^{\perp}$의 다른 원소이면 피타고라스 정리에 의해($\because$ $x-z=y\in M$) $$\|x-z'\|^{2}=\|x-z\|^{2}+\|z-z'\|^{2}\geq\|x-z\|^{2}$$ 이고 등식이 성립할 필요충분조건은 $z=z'$이다. 같은 이유로 $y\in M$은 $x$와 가까운 유일한 원소이다. 마지막으로 $x=y'+z'\,(y'\in M,\,z'\in M^{\perp})$이면 $y-y'=z'-z\in M\cap M^{\perp}(=\{0\})$이고 $y-y'$과 $z'-z$는 자신과 수직이므로 $y=y'$, $z'=z$이다.      

$y\in H$이면, $f_{y}(x)=\langle x,\,y\rangle$는 $\|f_{y}\|=\|y\|$인 유계선형범함수이므로 사상 $y\,\rightarrow\,f_{y}$는 $H$에서 $H^{*}$로의 공액 선형 등거리이고 이 사상은 전사이다.  

5.21 $f\in H^{*}$이면, 유일한 $y\in H$가 존재해서 모든 $x\in H$에 대해 $f(x)=\langle x,\,y\rangle$이다.  

증명: 유일성을 보이는 것인 쉽다. 모든 $x\in H$에 대하여 $\langle x,\,y\rangle=\langle x,\,y'\rangle$이면, $x=y-y'$로 선택해서 $\|y-y'\|^{2}=0$이고 따라서 $y=y'$이다. $f$가 0인 범함수이면 $y=0$이고, 그렇지 않다면 $M=\{x\in H\,|\,f(x)=0\}$이라고 하자. 그러면 $M$은 $H$의 닫힌 진부분공간이고, 5.20에 의해 $M^{\perp}\neq\{0\}$이다. $z\in M^{\perp}$를 선택해서 $\|z\|=1$이라고 하자. $u=f((x)z-f(z)x$이면, $u\in M$이고 $$0=\langle u,\,z\rangle=f(x)\|z\|^{2}-f(z)\langle x,\,z\rangle=f(x)-\langle x,\,\overline{f(z)}z\rangle$$ 이므로 따라서 $f(x)=\langle x,\,y\rangle\,(y=\overline{f(z)}z)$이다.   

$\{u_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset H$에서 임의의 $\alpha,\,\beta\in A$에 대해 $\|u_{\alpha}\|=1$이고 $u_{\alpha}\perp u_{\beta}(\alpha\neq\beta)$이면, 정규직교(orthonormal)집합이라고 한다. $\{x_{n}\}$이 $H$상의 선형독립인 수열이면, $\{x_{n}\}$을 정규직교열 $\{u_{n}\}$으로 바꿔주는 귀납적 과정(그람-슈미츠 과정, Gram-Schmidt process)이 존재하고 $\{x_{n}\}_{n=1}^{N}$과 $\{u_{n}\}_{n=1}^{N}$의 선형생성(linear span)은 서로 같다. 

그람-슈미츠 과정: $\displaystyle u_{1}=\frac{x_{1}}{\|x_{1}\|}$, $\displaystyle v_{N}=x_{N}-\sum_{n=1}^{N-1}{\langle x_{N},\,u_{n}\rangle u_{n}}$, $\displaystyle u_{N}=\frac{v_{N}}{\|v_{N}\|}$이라고 하자. 그러면 $x_{N}$이 $x_{1},\,...,\,x_{N-1}$로 생성되지 않으므로 $v_{N}\neq0$이고 모든 $m<N$에 대하여 $\langle v_{N},\,u_{m}\rangle=\langle x_{N},\,u_{m}\rangle-\langle x_{N},\,u_{m}\rangle=0$이다.  

5.22 베셀 부등식(Bessel's Inequality) 

$\{u_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 $H$에서 정규직교집합이면, 임의의 $x\in H$에 대하여 다음의 부등식이 성립하고 $$\sum_{\alpha\in A}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\leq\|x\|^{2}$$ $\{\alpha\,|\,\langle x,\,u_{\alpha}\rangle\neq0\}$은 가산집합이다.  

증명: 임의의 유한집합 $F\subset A$에 대하여 부등식 $\displaystyle\sum_{\alpha\in F}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\leq\|x\|^{2}$가 성립함을 보이면 충분하다. 다음에 의해 이 부등식이 성립한다. $$\begin{align*}0&\leq\left\|x-\sum_{\alpha\in F}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}\right\|^{2}\\&=\|x\|^{2}-2\text{Re}\left\langle x,\,\sum_{\alpha\in F}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}\right\rangle+\left\|\sum_{\alpha\in F}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}\right\|\\&=\|x\|^{2}-2\sum_{\alpha\in F}{\|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle\|^{2}}+\sum_{\alpha\in F}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\\&=\|x\|^{2}-\sum_{\alpha\in F}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\end{align*}$$   

5.23 $\{u_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 $H$에서 정규직교집합이면, 다음 명제들은 서로 동치이다.  

a. (완비성, Completeness) 모든 $\alpha$에 대하여 $\langle x,\,u_{\alpha}\rangle=0$이면, $x=0$이다.  

b. (파세발 항등식, Parseval's Identity) 모든 $x\in H$에 대하여 $\displaystyle\|x\|=\sum_{\alpha\in A}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}$ 

c. 모든 $x\in H$에 대하여 $\displaystyle x=\sum_{\alpha\in A}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}$로 나타낼 수 있다.  

증명: 

a$\Rightarrow$c: $x\in H$이면 $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...$들을 $\langle x,\,u_{\alpha}\rangle\neq0$인 $\alpha$들이라고 하자(가산집합). 베셀 부등식에 의해 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{|\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle|^{2}}$가 수렴하므로 피타고라스 정리에 의해 $m,\,n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\left\|\sum_{i=n}^{m}{\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle u_{\alpha_{i}}}\right\|^{2}=\sum_{i=n}^{m}{|\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle|^{2}}\,\rightarrow\,0$$ 이고 $H$가 완비이므로 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle u_{\alpha_{i}}}$는 수렴한다. $\displaystyle y=x-\sum_{i=1}^{\infty}{\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle u_{\alpha_{i}}}$라고 하면 모든 $\alpha$에 대하여 $\langle y,\,u_{\alpha}\rangle=0$이므로 $y=0$이다.  

c$\Rightarrow$b: 베셀 부등식의 증명과정에서 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\|x\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}{|\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle|^{2}}=\left\|x-\sum_{i=1}^{n}{\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle u_{\alpha_{i}}}\right\|^{2}\,\rightarrow\,0$$ 이다. 

b$\Rightarrow$a: 자명하다.  

정리 5.23의 a, b, c를 만족하는 정규직교집합을 $H$의 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.  

예: $\displaystyle H=\ell^{2}(A)=\left\{f:A\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,\sum_{\alpha\in A}{|f(\alpha)|^{2}}<\infty\right\}$라고 하자. 모든 $\alpha\in A$에 대하여 $e_{\alpha}\in\ell^{2}(A)$를 $\beta=\alpha$일 때 $e_{\alpha}(\beta)=1$, 그 이외의 경우는 $e_{\alpha}(\beta)=0$이라고 하자. 그러면 집합 $\{e_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$는 분명히 정규직교이고 임의의 $f\in\ell^{2}(A)$에 대하여 $\langle f,\,e_{\alpha}\rangle=f(\alpha)$이므로 $\{e_{\alpha}\}_{\alpha}$는 정규직교기저이다.  

5.23의 c에서 $\displaystyle x=\sum_{\alpha\in A}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}$의 $\langle x,\,u_{\alpha}\rangle$를 $u_{\alpha}$에 대한 푸리에계수(Fourier coefficient)라고 하고 이 무한함을 $A$에 대한 $x$의 푸리에급수(Fourier series)라고 한다.  

5.24 모든 힐베르트 공간은 하나의 정규직교기저를 갖는다.  

증명: 포함($\subset$)은 선형순서이므로 조른의 보조정리에 의해 극대원소를 갖고, 극대성은 5.23의 a와 동치이다.  

5.25 힐베르트 공간 $H$가 가분일 필요충분조건은 가산개의 정규직교기저를 갖는 것이고 이때 모든 $H$에 대한 정규직교기저는 가산개이다.  

증명: 

($\Rightarrow$): $\{x_{n}\}$이 $H$에서 가산조밀집합이면, $x_{1},\,...,\,x_{n}$으로 생성되는 $x_{n}$들을 제거함으로써 선형독립열 $\{y_{n}\}$을 얻고, 이들의 선형생성은 $H$에서 조밀하다. 그람-슈미츠 과정을 $\{y_{n}\}$에 적용해서 정규직교열 $\{u_{n}\}$을 얻고, 이들의 선형생성은 $H$에서 조밀하고 따라서 기저가 된다.  

($\Leftarrow$): $\{u_{n}\}$이 가산 정규직교기저이면, $\mathbb{C}$의 가산 조밀부분집합을 계수로 갖는 $u_{n}$들의 유한선형결합들은 $H$에서 가산조밀집합을 형성한다. 게다가 $\{v_{\alpha}\}$가 또다른 정규직교기저이면, $n\in\mathbb{N}$에 대하여 집합 $A_{n}=\{\alpha\in A\,|\,\langle u_{n},\,v_{\alpha}\rangle\neq0\}$은 가산집합이다. $\{u_{n}\}$의 완비성에 의해 $\displaystyle A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}$이고 $A$는 가산집합이다.  

$H_{1}$과 $H_{2}$가 내적이 각각 $\langle\cdot,\,\cdot\rangle_{1},\,\langle\cdot,\,\cdot\rangle_{2}$인 힐베르트공간이면, $H_{1}$에서 $H_{2}$로의 유니타리 사상(unitary map) $U:H_{1}\,\rightarrow\,H_{2}$는 가역 선형사상이고 내적을 보존한다. 즉 모든 $x,\,y\in H$에 대해 $\langle Ux,\,Uy\rangle_{2}=\langle x,\,y\rangle_{1}$이다. 위에서 $y=x$로 택하면 $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{1}$이 되므로 모든 유니타리 사상은 등거리이다.   

5.26 $H$를 힐베르트 공간이라 하자.  

a. (극 항등식, The polarization identity) 모든 $x,\,y\in H$에 대하여 다음의 등식이 성립한다. $$\langle x,\,y\rangle=\frac{1}{4}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2})$$  

b. $H'$이 또 다른 힐베르트 공간일 때, $H$에서 $H'$으로의 선형사상이 유니타리일 필요충분조건은 등거리이고 전사인 것이다.  

증명: 

a: 다음의 두 등식이 성립하므로 $$\begin{align*}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}&=2\langle x,\,y\rangle+2\langle y,\,x\rangle\\ \|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}&=2\langle x,\,iy\rangle-2\langle y,\,ix\rangle=-2i\langle x,\,y\rangle+2i\langle y,\,x\rangle\end{align*}$$ 다음과 같이 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}&=2\langle x,\,y\rangle+2\langle y,\,x\rangle+2\langle x,\,y\rangle-2\langle y,\,x\rangle\\&=4\langle x,\,y\rangle\end{align*}$$  

b: $U:H\,\rightarrow\,H'$를 선형사상이라고 하자.  

($\Rightarrow$): 유니타리 사상의 정의에 의해 $U$는 등거리이고 전사이다.   

($\Leftarrow$): $U$를 등거리이고 전사라고 하자. $U$가 등거리이므로 극 항등식에 의해 $\langle Ux,\,Uy\rangle=\langle x,\,y\rangle$이고 따라서 $U$는 내적을 보존한다. $U$가 단사임을 보이자. $$Ux=0\,\Leftrightarrow\,\langle Ux,\,Ux\rangle=0\,\Leftrightarrow\,\langle x,\,x\rangle=0\,\Leftrightarrow\,x=0$$ 이므로 $U$는 단사이고 따라서 $U$는 가역이다. 그러므로 $U$는 유니타리이다.   

유니타리 사상은 힐베르트 공간에서 동형사상으로 선형구조와 위상 뿐만 아니라 노름과 내적도 보존한다. 이러한 추상적 구조는 모든 힐베르트 공간이 $\ell^{2}$공간처럼 보이게 한다.  

5.27 $\{e_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$를 $H$의 정규직교기저라고 하자. 그러면 $\hat{x}(\alpha)=\langle x,\,u_{\alpha}\rangle$로 정의되는 사상 $x\,\mapsto\,\hat{x}$는 $H$에서 $\ell^{2}(A)$로의 유니타리 사상이다.  

증명: 사상 $x\,\mapsto\,\hat{x}$는 분명히 선형이고, 파세발 항등식 $\displaystyle\|x\|^{2}=\sum_{\alpha\in A}{|\hat{x}(\alpha)|^{2}}$에 의해 $H$에서 $\ell^{2}(A)$로의 등거리이다. $f\in\ell^{2}(A)$이면 $\displaystyle\sum_{\alpha\in A}{|f(\alpha)|^{2}}<\infty$이고 피타고라스 정리에 의해 급수 $\displaystyle\sum_{\alpha\in A}{f(\alpha)u_{\alpha}}$의 부분합은 코시수열이다. 따라서 $\displaystyle x=\sum_{\alpha\in A}{f(\alpha)u_{\alpha}}$는 $H$에서 존재하고 $\hat{x}=f$이며5.26의 b에 의해 $x\,\mapsto\,\hat{x}$는 유니타리이다.  

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley