[측도론] 5-4 힐베르트 공간

[측도론] 5-4 힐베르트 공간

\(H\)를 복소벡터공간이라 하자. \(H\)상의 내적(inner product)(또는 스칼라곱, scalar product) \(H\times H\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)은 다음 조건들을 만족하는 사상 \((x,\,y)\,\mapsto\,\langle x,\,y\rangle\)이다.  

i. 모든 \(x,\,y,\,z\in H\)에 대하여 \(\langle ax+by,\,z\rangle=a\langle x,\,z\rangle+b\langle y,\,z\rangle\) 

ii. 모든 \(x,\,y\in H\)에 대하여 \(\langle y,\,x\rangle=\overline{\langle x,\,y\rangle}\) 

iii. 모든 \(x\in H-\{0\}\)에 대하여 \(\langle x,\,x\rangle\in(0,\,\infty)\) 

i과 ii에 의해 모든 \(x,\,y,\,z\in H\)와 \(a,\,b\in\mathbb{C}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\langle x,\,ay+bz\rangle=\overline{a}\langle x,\,y+\overline{b}\langle x,\,z\rangle\rangle$$내적을 갖춘 복소벡터공간을 예비 힐베르트 공간(pre-Hilbert space)이라고 하고, \(H\)가 예비 힐베르트 공간일 때 \(x\in H\)에 대하여 \(\|x\|=\sqrt{\langle x,\,x\rangle}\)로 정의한다.  

5.15 슈바르츠 부등식(The Schwartz Inequality)

모든 \(x,\,y\in H\)에 대하여 \(|\langle x,\,y\rangle|\leq\|x\|\|y\|\)이고 등식이 성립할 필요충분조건은 \(x,\,y\)가 선형종속인 것이다.  

증명: \(\langle x,\,y\rangle=0\)이면 분명하다. \(\langle x,\,y\rangle\neq0\,(y\neq0)\)일 때 \(\alpha=\text{sgn}\langle x,\,y\rangle\), \(z=\alpha y\)라고 하자. 그러면 \(\langle x,\,z\rangle=\langle z,\,x\rangle=|\langle x,\,y\rangle|\), \(\|z\|=\|y\|\)이므로 임의의 \(t\in\mathbb{R}\)에 대하여$$0\leq\langle x-tz,\,x-tz\rangle=\|x\|^{2}-2t|\langle x,\,y\rangle|+t^{2}\|y\|^{2}$$이고 오른쪽의 2차식은 \(\displaystyle t=\frac{|\langle x,\,y\rangle|}{\|y\|^{2}}\)일 때 최소이다. 이때$$0\leq\|x-tz\|^{2}=\|x\|^{2}-\frac{|\langle x,\,y\rangle|^{2}}{\|y\|^{2}}$$이고 등식은 \(x-tz=x-\alpha ty=0\)일 때 성립한다.  

5.16 함수 \(x\,\mapsto\,\|x\|\)는 \(H\)상의 노름이다.  

증명: \(\|x\|=0\)일 필요충분조건은 \(x=0\)이고, \(\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|\)는 정의로부터 분명하다. 삼각부등식이 성립함을 보이자.$$\|x+y\|^{2}=\langle x+y\rangle^{2}=\|x\|^{2}+2\text{Re}\langle x,\,y\rangle+\|y\|^{2}$$이고 슈바르츠 부등식에 의해$$\|x+y\|^{2}\leq\|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}=(\|x\|+\|y\|)^{2}$$이므로 삼각부등식이 성립한다.   

노름 \(\|x\|=\sqrt{\langle x,\,x\rangle}\)에 대해 완비인 예비 힐베르트 공간을 힐베르트 공간(Hilbert space)이라고 한다.  

힐베르트 공간의 예: \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 측도공간, \(\displaystyle L^{2}(\mu)=\left\{f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,f\,\text{measurable}, \int_{X}{|f|d\mu}<\infty\right\}\)라고 하자. 부등식 \(\displaystyle ab\leq\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})\,(a,\,b\geq0)\)으로부터 \(f,\,g\in L^{2}(\mu)\)일 때 \(\displaystyle|f\overline{g}|\leq\frac{1}{2}(|f|^{2}+|g|^{2})\)이므로 \(f\overline{g}\in L^{2}(\mu)\)이다. 이때 \(\displaystyle\langle f,\,g\rangle=\int_{X}{f\overline{g}d\mu}\)로 정의하면 이것은 \(L^{2}(\mu)\)상의 내적공간이고 \(L^{2}(\mu)\)는 힐베르트 공간이다.  

5.17 \(x_{n}\,\rightarrow\,x\), \(y_{n}\,\rightarrow\,y\)이면, \(\langle x_{n},\,y_{n}\rangle\,\rightarrow\,\langle x,\,y\rangle\)이다.  

증명: 슈바르츠 부등식에 의해$$\begin{align*}\|x+y\|^{2}&=|\langle x_{n}-x,\,y_{n}\rangle-\langle x,\,y_{n}-y\rangle|\\&\leq\|x_{n}-x\|\|y_{n}\|+\|x\|\|y_{n}-y\|\end{align*}$$이고 \(x_{n}\,\rightarrow\,x\), \(y_{n}\,\rightarrow\,y\)이므로 따라서 \(\langle x_{n},\,y_{n}\rangle\,\rightarrow\,\langle x,\,y\rangle\)이다.   

5.18 평행사변형 법칙(Parallelogram Law) 

모든 \(x,\,y\in H\)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.$$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$$

증명: 다음의 두 식들을 더하면 원하는 결과를 얻는다.$$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+2\text{Re}\langle x,\,y\rangle+\|y\|^{2},\,\|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}-2\text{Re}\langle x,\,y\rangle+\|y\|^{2}$$

\(x,\,y\in H\)에 대해 \(\langle x,\,y\rangle=0\)이면, \(x\)와 \(y\)는 서로 수직(직교, orthogonal)이라고 하고 \(x\perp y\)로 나타낸다. \(E\subset H\)에 대하여$$E^{\perp}=\{x\in H\,|\,\langle x,\,y\rangle=0\,\text{for all}\,y\in E\}$$로 정의한다. \(E^{\perp}\)는 5.17과 내적의 성질에 의해 \(H\)의 닫힌 부분공간이다.   

5.19 피타고라스 정리(Pythagorean Theorem)   

\(x_{1},\,...,\,x_{n}\in H\)이고 \(x_{i}\perp x_{j}\,(i\neq j)\)이면, \(\displaystyle\left\|\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right\|=\sum_{i=1}^{n}{\|x_{i}\|^{2}}\)이다.  

증명: \(\displaystyle\left\|\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right\|^{2}=\left\langle\sum_{i=1}^{n}{x_{i}},\,\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right\rangle=\sum_{i,\,j}{\langle x_{i},\,x_{j}\rangle}=\sum_{i=1}^{n}{\|x_{i}\|^{2}}\)(\(\because\) \(i\neq j\)일 때 \(\langle x_{i},\,x_{j}\rangle=0\)) 

5.20 \(M\)이 \(H\)의 닫힌 부분공간이면, \(H=M\oplus M^{\perp}\)이다. 이것은 임의의 \(x\in H\)를 \(x=y+z\,(y\in M,\,z\in M^{\perp})\)로 나타낼 수 있고, 이때 \(y,\,z\)는 \(x\)로부터의 거리가 최소인 유일한 원소이다.  

증명: \(x\in H\)에 대하여 \(\displaystyle\delta=\inf_{y\in M}{\|x-y\|}\), \(\{y_{n}\}\subset M\)을 \(\|x-y_{n}\|\,\rightarrow\,\delta\)인 수열이라 하자. 평행사변형 법칙에 의해$$2(\|y_{n}-x\|^{2}+\|y_{m}-x\|^{2})=\|y_{n}-y_{m}\|^{2}+\|y_{n}+y_{m}-2x\|^{2}$$이고 \(\displaystyle\frac{1}{2}(y_{n}+y_{m})\in M\)이므로$$\begin{align*}\|y_{n}-y_{m}\|&=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\left\|\frac{1}{2}(y_{n}+y_{m})-x\right\|\\&\leq2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\delta^{2}\end{align*}$$이다. 이 부등식에 의해 \(\{y_{n}\}\)은 코시수열이고 \(\displaystyle y=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z=x-y}\)라고 하면 \(y\in M\)(\(\because\) \(M\)은 닫힌집합)이고 \(\|y-x\|=\delta\)이다. 

\(z\in M^{\perp}\)임을 보이자. \(u\in M\)일 때 \(u\)에 적당한 영이 아닌 스칼라를 곱해서 \(\langle z,\,u\rangle\)를 실수라고 가정할 수 있다. 그러면 함수$$f(t)=\|z+tu\|^{2}=\|z\|^{2}+2t\langle z,\,u\rangle+t^{2}\|u\|^{2}$$는 \(t\in\mathbb{R}\)에 대한 실함수이고 \(t=0\)에서 최솟값 \(\delta^{2}\)를 갖는데 그 이유는 \(z+tu=x-(y-tu)\)이고 \(y-tu\in M\)이기 때문이다. 따라서 \(2\langle t,\,u\rangle=f'(0)=0\)이고 \(z\in M^{\perp}\)이다. \(z'\)이 \(M^{\perp}\)의 다른 원소이면 피타고라스 정리에 의해(\(\because\) \(x-z=y\in M\))$$\|x-z'\|^{2}=\|x-z\|^{2}+\|z-z'\|^{2}\geq\|x-z\|^{2}$$이고 등식이 성립할 필요충분조건은 \(z=z'\)이다. 같은 이유로 \(y\in M\)은 \(x\)와 가까운 유일한 원소이다. 마지막으로 \(x=y'+z'\,(y'\in M,\,z'\in M^{\perp})\)이면 \(y-y'=z'-z\in M\cap M^{\perp}(=\{0\})\)이고 \(y-y'\)과 \(z'-z\)는 자신과 수직이므로 \(y=y'\), \(z'=z\)이다.      

\(y\in H\)이면, \(f_{y}(x)=\langle x,\,y\rangle\)는 \(\|f_{y}\|=\|y\|\)인 유계선형범함수이므로 사상 \(y\,\rightarrow\,f_{y}\)는 \(H\)에서 \(H^{*}\)로의 공액 선형 등거리이고 이 사상은 전사이다.  

5.21 \(f\in H^{*}\)이면, 유일한 \(y\in H\)가 존재해서 모든 \(x\in H\)에 대해 \(f(x)=\langle x,\,y\rangle\)이다.  

증명: 유일성을 보이는 것인 쉽다. 모든 \(x\in H\)에 대하여 \(\langle x,\,y\rangle=\langle x,\,y'\rangle\)이면, \(x=y-y'\)로 선택해서 \(\|y-y'\|^{2}=0\)이고 따라서 \(y=y'\)이다. \(f\)가 0인 범함수이면 \(y=0\)이고, 그렇지 않다면 \(M=\{x\in H\,|\,f(x)=0\}\)이라고 하자. 그러면 \(M\)은 \(H\)의 닫힌 진부분공간이고, 5.20에 의해 \(M^{\perp}\neq\{0\}\)이다. \(z\in M^{\perp}\)를 선택해서 \(\|z\|=1\)이라고 하자. \(u=f((x)z-f(z)x\)이면, \(u\in M\)이고$$0=\langle u,\,z\rangle=f(x)\|z\|^{2}-f(z)\langle x,\,z\rangle=f(x)-\langle x,\,\overline{f(z)}z\rangle$$이므로 따라서 \(f(x)=\langle x,\,y\rangle\,(y=\overline{f(z)}z)\)이다.   

\(\{u_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset H\)에서 임의의 \(\alpha,\,\beta\in A\)에 대해 \(\|u_{\alpha}\|=1\)이고 \(u_{\alpha}\perp u_{\beta}(\alpha\neq\beta)\)이면, 정규직교(orthonormal)집합이라고 한다. \(\{x_{n}\}\)이 \(H\)상의 선형독립인 수열이면, \(\{x_{n}\}\)을 정규직교열 \(\{u_{n}\}\)으로 바꿔주는 귀납적 과정(그람-슈미츠 과정, Gram-Schmidt process)이 존재하고 \(\{x_{n}\}_{n=1}^{N}\)과 \(\{u_{n}\}_{n=1}^{N}\)의 선형생성(linear span)은 서로 같다. 

그람-슈미츠 과정: \(\displaystyle u_{1}=\frac{x_{1}}{\|x_{1}\|}\), \(\displaystyle v_{N}=x_{N}-\sum_{n=1}^{N-1}{\langle x_{N},\,u_{n}\rangle u_{n}}\), \(\displaystyle u_{N}=\frac{v_{N}}{\|v_{N}\|}\)이라고 하자. 그러면 \(x_{N}\)이 \(x_{1},\,...,\,x_{N-1}\)로 생성되지 않으므로 \(v_{N}\neq0\)이고 모든 \(m<N\)에 대하여 \(\langle v_{N},\,u_{m}\rangle=\langle x_{N},\,u_{m}\rangle-\langle x_{N},\,u_{m}\rangle=0\)이다.  

5.22 베셀 부등식(Bessel's Inequality) 

\(\{u_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 \(H\)에서 정규직교집합이면, 임의의 \(x\in H\)에 대하여 다음의 부등식이 성립하고$$\sum_{\alpha\in A}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\leq\|x\|^{2}$$\(\{\alpha\,|\,\langle x,\,u_{\alpha}\rangle\neq0\}\)은 가산집합이다.  

증명: 임의의 유한집합 \(F\subset A\)에 대하여 부등식 \(\displaystyle\sum_{\alpha\in F}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\leq\|x\|^{2}\)가 성립함을 보이면 충분하다. 다음에 의해 이 부등식이 성립한다.$$\begin{align*}0&\leq\left\|x-\sum_{\alpha\in F}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}\right\|^{2}\\&=\|x\|^{2}-2\text{Re}\left\langle x,\,\sum_{\alpha\in F}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}\right\rangle+\left\|\sum_{\alpha\in F}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}\right\|\\&=\|x\|^{2}-2\sum_{\alpha\in F}{\|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle\|^{2}}+\sum_{\alpha\in F}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\\&=\|x\|^{2}-\sum_{\alpha\in F}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\end{align*}$$  

5.23 \(\{u_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 \(H\)에서 정규직교집합이면, 다음 명제들은 서로 동치이다.  

a. (완비성, Completeness) 모든 \(\alpha\)에 대하여 \(\langle x,\,u_{\alpha}\rangle=0\)이면, \(x=0\)이다.  

b. (파세발 항등식, Parseval's Identity) 모든 \(x\in H\)에 대하여 \(\displaystyle\|x\|=\sum_{\alpha\in A}{|\langle x,\,u_{\alpha}\rangle|^{2}}\) 

c. 모든 \(x\in H\)에 대하여 \(\displaystyle x=\sum_{\alpha\in A}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}\)로 나타낼 수 있다.  

증명: 

a\(\Rightarrow\)c: \(x\in H\)이면 \(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...\)들을 \(\langle x,\,u_{\alpha}\rangle\neq0\)인 \(\alpha\)들이라고 하자(가산집합). 베셀 부등식에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{|\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle|^{2}}\)가 수렴하므로 피타고라스 정리에 의해 \(m,\,n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\left\|\sum_{i=n}^{m}{\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle u_{\alpha_{i}}}\right\|^{2}=\sum_{i=n}^{m}{|\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle|^{2}}\,\rightarrow\,0$$이고 \(H\)가 완비이므로 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle u_{\alpha_{i}}}\)는 수렴한다. \(\displaystyle y=x-\sum_{i=1}^{\infty}{\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle u_{\alpha_{i}}}\)라고 하면 모든 \(\alpha\)에 대하여 \(\langle y,\,u_{\alpha}\rangle=0\)이므로 \(y=0\)이다.  

c\(\Rightarrow\)b: 베셀 부등식의 증명과정에서 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\|x\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}{|\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle|^{2}}=\left\|x-\sum_{i=1}^{n}{\langle x,\,u_{\alpha_{i}}\rangle u_{\alpha_{i}}}\right\|^{2}\,\rightarrow\,0$$이다. 

b\(\Rightarrow\)a: 자명하다.  

정리 5.23의 a, b, c를 만족하는 정규직교집합을 \(H\)의 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.  

예: \(\displaystyle H=\ell^{2}(A)=\left\{f:A\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,\sum_{\alpha\in A}{|f(\alpha)|^{2}}<\infty\right\}\)라고 하자. 모든 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(e_{\alpha}\in\ell^{2}(A)\)를 \(\beta=\alpha\)일 때 \(e_{\alpha}(\beta)=1\), 그 이외의 경우는 \(e_{\alpha}(\beta)=0\)이라고 하자. 그러면 집합 \(\{e_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)는 분명히 정규직교이고 임의의 \(f\in\ell^{2}(A)\)에 대하여 \(\langle f,\,e_{\alpha}\rangle=f(\alpha)\)이므로 \(\{e_{\alpha}\}_{\alpha}\)는 정규직교기저이다.  

5.23의 c에서 \(\displaystyle x=\sum_{\alpha\in A}{\langle x,\,u_{\alpha}\rangle u_{\alpha}}\)의 \(\langle x,\,u_{\alpha}\rangle\)를 \(u_{\alpha}\)에 대한 푸리에계수(Fourier coefficient)라고 하고 이 무한함을 \(A\)에 대한 \(x\)의 푸리에급수(Fourier series)라고 한다.  

5.24 모든 힐베르트 공간은 하나의 정규직교기저를 갖는다.  

증명: 포함(\(\subset\))은 선형순서이므로 조른의 보조정리에 의해 극대원소를 갖고, 극대성은 5.23의 a와 동치이다.  

5.25 힐베르트 공간 \(H\)가 가분일 필요충분조건은 가산개의 정규직교기저를 갖는 것이고 이때 모든 \(H\)에 대한 정규직교기저는 가산개이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(\{x_{n}\}\)이 \(H\)에서 가산조밀집합이면, \(x_{1},\,...,\,x_{n}\)으로 생성되는 \(x_{n}\)들을 제거함으로써 선형독립열 \(\{y_{n}\}\)을 얻고, 이들의 선형생성은 \(H\)에서 조밀하다. 그람-슈미츠 과정을 \(\{y_{n}\}\)에 적용해서 정규직교열 \(\{u_{n}\}\)을 얻고, 이들의 선형생성은 \(H\)에서 조밀하고 따라서 기저가 된다.  

(\(\Leftarrow\)): \(\{u_{n}\}\)이 가산 정규직교기저이면, \(\mathbb{C}\)의 가산 조밀부분집합을 계수로 갖는 \(u_{n}\)들의 유한선형결합들은 \(H\)에서 가산조밀집합을 형성한다. 게다가 \(\{v_{\alpha}\}\)가 또다른 정규직교기저이면, \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 집합 \(A_{n}=\{\alpha\in A\,|\,\langle u_{n},\,v_{\alpha}\rangle\neq0\}\)은 가산집합이다. \(\{u_{n}\}\)의 완비성에 의해 \(\displaystyle A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\)이고 \(A\)는 가산집합이다.  

\(H_{1}\)과 \(H_{2}\)가 내적이 각각 \(\langle\cdot,\,\cdot\rangle_{1},\,\langle\cdot,\,\cdot\rangle_{2}\)인 힐베르트공간이면, \(H_{1}\)에서 \(H_{2}\)로의 유니타리 사상(unitary map) \(U:H_{1}\,\rightarrow\,H_{2}\)는 가역 선형사상이고 내적을 보존한다. 즉 모든 \(x,\,y\in H\)에 대해 \(\langle Ux,\,Uy\rangle_{2}=\langle x,\,y\rangle_{1}\)이다. 위에서 \(y=x\)로 택하면 \(\|Ux\|_{2}=\|x\|_{1}\)이 되므로 모든 유니타리 사상은 등거리이다.   

5.26 \(H\)를 힐베르트 공간이라 하자.  

a. (극 항등식, The polarization identity) 모든 \(x,\,y\in H\)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.$$\langle x,\,y\rangle=\frac{1}{4}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2})$$ 

b. \(H'\)이 또 다른 힐베르트 공간일 때, \(H\)에서 \(H'\)으로의 선형사상이 유니타리일 필요충분조건은 등거리이고 전사인 것이다.  

증명: 

a: 다음의 두 등식이 성립하므로$$\begin{align*}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}&=2\langle x,\,y\rangle+2\langle y,\,x\rangle\\ \|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}&=2\langle x,\,iy\rangle-2\langle y,\,ix\rangle=-2i\langle x,\,y\rangle+2i\langle y,\,x\rangle\end{align*}$$다음과 같이 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}&=2\langle x,\,y\rangle+2\langle y,\,x\rangle+2\langle x,\,y\rangle-2\langle y,\,x\rangle\\&=4\langle x,\,y\rangle\end{align*}$$ 

b: \(U:H\,\rightarrow\,H'\)를 선형사상이라고 하자.  

(\(\Rightarrow\)): 유니타리 사상의 정의에 의해 \(U\)는 등거리이고 전사이다.   

(\(\Leftarrow\)): \(U\)를 등거리이고 전사라고 하자. \(U\)가 등거리이므로 극 항등식에 의해 \(\langle Ux,\,Uy\rangle=\langle x,\,y\rangle\)이고 따라서 \(U\)는 내적을 보존한다. \(U\)가 단사임을 보이자.$$Ux=0\,\Leftrightarrow\,\langle Ux,\,Ux\rangle=0\,\Leftrightarrow\,\langle x,\,x\rangle=0\,\Leftrightarrow\,x=0$$이므로 \(U\)는 단사이고 따라서 \(U\)는 가역이다. 그러므로 \(U\)는 유니타리이다.   

유니타리 사상은 힐베르트 공간에서 동형사상으로 선형구조와 위상 뿐만 아니라 노름과 내적도 보존한다. 이러한 추상적 구조는 모든 힐베르트 공간이 \(\ell^{2}\)공간처럼 보이게 한다.  

5.27 \(\{e_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 \(H\)의 정규직교기저라고 하자. 그러면 \(\hat{x}(\alpha)=\langle x,\,u_{\alpha}\rangle\)로 정의되는 사상 \(x\,\mapsto\,\hat{x}\)는 \(H\)에서 \(\ell^{2}(A)\)로의 유니타리 사상이다.  

증명: 사상 \(x\,\mapsto\,\hat{x}\)는 분명히 선형이고, 파세발 항등식 \(\displaystyle\|x\|^{2}=\sum_{\alpha\in A}{|\hat{x}(\alpha)|^{2}}\)에 의해 \(H\)에서 \(\ell^{2}(A)\)로의 등거리이다. \(f\in\ell^{2}(A)\)이면 \(\displaystyle\sum_{\alpha\in A}{|f(\alpha)|^{2}}<\infty\)이고 피타고라스 정리에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{\alpha\in A}{f(\alpha)u_{\alpha}}\)의 부분합은 코시수열이다. 따라서 \(\displaystyle x=\sum_{\alpha\in A}{f(\alpha)u_{\alpha}}\)는 \(H\)에서 존재하고 \(\hat{x}=f\)이며5.26의 b에 의해 \(x\,\mapsto\,\hat{x}\)는 유니타리이다.  

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley