[측도론] 6-1 Lp공간의 기본적인 이론(1)

[측도론] 6-1 Lp공간의 기본적인 이론(1) 

여기서는 고정된 측도공간 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)에 대해 다룰 것이다, \(f\)가 \(X\)상의 가측함수이고 \(0<p<\infty\)이면, \(\|f\|_{p}\)를 다음과 같이 정의하고$$\|f\|_{p}=\left\{\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\right\}^{\frac{1}{p}}$$(\(\|f\|_{p}=\infty\)인 경우도 허용), \(L^{p}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 다음과 같이 정의한다.$$L^{p}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)=\{f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,f\,\text{is measurable and}\,\|f\|_{p}<\infty\}$$혼동의 여지가 없다면 \(L^{p}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 \(L^{p}(\mu)\), \(L^{p}(X)\) 또는 간단히 \(L^{p}\)로 나타내며 \(L^{1}\)에서처럼 \(f,\,g\in L^{p}\)에 대해 \(f\)와 \(g\)가 같다는 것을 \(f=g\,a.e.\)로 정의한다.   

임의의 집합 \(A(\neq\phi)\)에 대해 \(\ell^{p}(A)\)를 \(L^{p}(\mu)\)에서 \(\mu\)가 \((A,\,2^{A})\)에서 셈측도인 경우로 정의하고 \(\ell^{p}(\mathbb{N})\)을 간단히 \(\ell^{p}\)로 나타낸다.  

\(L^{p}\)는 벡터공간이다. 그 이유는 \(f,\,g\in L^{p}\)이면,$$|f+g|^{p}\leq\{2\max\{|f|,\,|g|\}\}^{p}\leq2^{p}(|f|^{p}+|g|^{p})$$이므로 \(f^{p}+g^{p}\in L^{p}\)이기 때문이다. 이때 "\(\|\cdot\|_{p}\)가 \(L^{p}\)에서의 노름이 되는가?"라는 의문이 생긴다. \(\|f\|_{p}=0\)일 필요충분조건은 \(f=0\,a.e.\)이고 \(\|cf\|_{p}=|c|\|f\|_{p}\)이므로 삼각부등식이 성립하는가를 확인해야 한다. \(p\geq 1\)일 때는 성립하나 나머지의 경우에는 성립하지 않는다.   

\(a>0,\,b>0,\,0<p<1\)이라고 하자. \(t>0\)에 대하여 \(t^{p-1}>(a+t)^{p-1}\)이고 이 부등식의 양변을 0부터 \(b\)까지 \(t\)에 대해 적분하면 부등식 \(a^{p}+b^{p}>(a+b)^{p}\)를 얻는다. 따라서 \(E,\,F\subset X\)가 양의 유한측도를 갖는 서로소인 집합이고 \(a=\{\mu(E)\}^{\frac{1}{p}}\), \(b=\{\mu(F)\}^{\frac{1}{q}}\)라고 하면 다음의 부등식이 성립한다.$$\|\chi_{E}+\chi_{F}\|=(a^{p}+b^{p})^{\frac{1}{p}}>a+b=\|\chi_{E}\|_{p}+\|\chi_{F}\|_{q}$$ 

6.1 \(a\geq0,\,b\geq0,\,0<\lambda<1\)이면 다음의 부등식이 성립하고$$a^{\lambda}b^{1-\lambda}\leq\lambda a+(1-\lambda)b$$등식이 성립할 필요충분조건은 \(a=b\)이다.  

증명: \(b=0\)이면 분명하므로 \(b\neq0\), \(\displaystyle t=\frac{a}{b}\)라 하고 부등식 \(t^{\lambda}\leq\lambda t+(1-\lambda)\)이 성립하며 등식이 성립할 필요충분조건이 \(t=1\)임을 보이자. \(t^{\lambda}-\lambda t\)는 \(t<1\)에서 증가하고 \(t>1\)에서 감소하며 \(t=1\)일 때 최댓값 \(1-\lambda\)를 갖는다.  

6.2 횔더 부등식(Hölder's inequality) 

\(1<p<\infty\), \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,\left(q=\frac{p}{p-1}\right)\)라고 하자. \(f,\,g\)가 \(X\)에서 가측함수이면, 다음의 부등식이 성립하고$$\|fg\|_{1}\leq\|f\|_{p}\|g\|_{q}$$특히 \(f\in L^{p},\,g\in L^{q}\)이면 \(fg\in L^{1}\)이고 이때 등식이 성립할 필요충분조건은 적당한 상수 \(\alpha(\neq0)\), \(\beta(\neq0)\)에 대하여 \(\alpha|f|^{p}=\beta|g|^{q}\)이다.   

증명: \(\|f\|_{p}=0\) 또는 \(\|g\|_{q}=0\)이거나 \(\|f\|_{p}=\infty\) 또는 \(\|g\|_{q}=\infty\)인 경우는 자명하다. 이 부등식은 \(f\)와 \(g\)의 특별한 형태(0 또는 \(\infty\))에 대해 성립하므로 \(f\)와 \(g\)의 스칼라 곱에 대해서 성립하며 \(f\)와 \(g\)를 \(af\)와 \(bg\)로 바꾸면 부등식의 양변은 \(|ab|\)의 인자들로 바뀌게 된다. 따라서 \(\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1\)일 때 부등식이 성립함을 보이면 충분하고 이때 등식이 성립할 필요충분조건은 \(|f|^{p}=|g|^{q}\,a.e.\)이다.

6.1에서 \(a=|f(x)|^{p}\), \(b=|g(x)|^{q}\), \(\displaystyle\lambda=\frac{1}{p}\)라고 하면$$|f(x)g(x)|\leq\frac{1}{p}|f(x)|+\frac{1}{q}|g(x)|$$이고 이 부등식의 양변을 적분하면$$\|fg\|_{1}\leq\frac{1}{p}\int_{X}{|f|^{p}d\mu}+\frac{1}{q}\int_{X}{|g|^{q}d\mu}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1=\|f\|_{p}\|g\|_{q}$$이며 등식은 \(|f|^{p}=|g|^{q}\,a.e.\)일 때 성립한다.       

횔더 부등식에서의 조건 \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)에서 \(1<p<\infty\)일 때 \(\displaystyle q=\frac{p}{p-1}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\right)\)를 \(p\)의 켤레지수(conjugate exponent)라고 한다.

6.3 민코프스키 부등식(Minkowski's Inequality)  

\(1\leq p<\infty\)이고 \(f,\,g\in L^{p}\)이면, 다음의 부등식이 성립한다.$$\|f+g\|_{p}\leq\|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$

증명: \(p=1\)이거나 \(f+g=0\,a.e.\)이면 자명하다. 그 이외의 경우$$|f+g|^{p}\leq(|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,((p-1)q=p)$$이고 횔더 부등식을 적용하면$$\begin{align*}\int_{X}{|f+g|^{p}d\mu}&\leq\|f\|_{p}\||f+g|^{p-1}\|_{q}+\|g\|_{p}\||f+g|^{p-1}\|_{q}\\&=(\|f\|_{p}+\|g\|_{q})\left(\int_{X}{|f+g|^{p}d\mu}\right)^{\frac{1}{q}}\end{align*}$$이므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\|f+g\|_{p}=\left\{\int_{X}{|f+g|^{p}d\mu}\right\}^{1-\frac{1}{q}}\leq\|f\|_{p}+\|g\|_{q}$$ 

6.3에 의해 \(p\geq1\)에 대하여 \(L^{p}\)는 노름벡터공간이다.  

6.4 \(1\leq p<\infty\)에 대하여 \(L^{p}\)는 바나흐공간이다.  

증명: 5.1을 이용하여 증명한다. \(\{f_{k}\}\subset L^{p}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\|f_{k}\|_{p}}=B<\infty\)이라 가정하고 \(\displaystyle G_{n}=\sum_{k=1}^{n}{|f_{k}|}\), \(\displaystyle G=\sum_{k=1}^{\infty}{|f_{k}|}\)라고 하자. 그러면 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle\|G_{n}\|_{p}\leq\sum_{k=1}^{n}{\|f_{k}\|_{p}}\leq B\)이므로 단조수렴정리에 의해 \(\displaystyle\int_{X}{G^{p}d\mu}=\lim_{X}{G_{n}^{p}d\mu}\leq B^{p}\)이다. 따라서 \(G\in L^{p}\)이고 \(G(x)<\infty\,a.e.\)이다. 이것은 급수 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{f_{k}}\)가 \(a.e.\)수렴함을 뜻하고 \(\displaystyle F=\sum_{k=1}^{\infty}{f_{k}}\)라고 하면 \(|F|\leq G\)이고 따라서 \(F\in L^{p}\)이다. 게다가 \(\displaystyle\left|F-\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}\right|\leq(2G)^{p}\in L^{1}\)이므로 지배수렴정리에 의해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\left\|F-\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}\right\|_{p}^{p}=\int_{X}{\left|F-\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}\right|^{p}d\mu}\,\rightarrow\,0$$이므로 따라서 급수 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{f_{k}}\)는 \(L^{p}\)노름에서 수렴한다.  

6.5 \(1\leq p<\infty\)에 대하여 단순함수 \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\)(모든 \(i\)에 대하여 \(\mu(E_{i})<\infty\))들의 집합은 \(L^{p}\)에서 조밀하다.  

증명: 단순함수는 \(L^{p}\)의 원소가 된다. \(f\in L^{p}\)이면, 단순함수열 \(\{f_{n}\}\)을 선택해서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.\)이고 \(|f_{n}|\leq|f|\)라고 하자. 2.10에 의해 \(f_{n}\in L^{p}\)이고 \(|f_{n}-f|^{p}\leq2^{p}|f|^{p}\in L^{1}\)이므로 지배수렴정리에 의해 \(\|f_{n}-f\|_{p}\,\rightarrow\,0\)이다. 게다가 \(\displaystyle f=\sum_{i}{a_{i}\mu(E_{i})}\)(\(E_{i}\)들은 서로소이고 \(a_{i}\neq0\))이면, \(\displaystyle\sum_{i}{|a_{i}|^{p}\mu(E_{i})}=\int_{X}{|f_{n}|^{p}d\mu}<\infty\)이므로 \(\mu(E_{i})<\infty\)이어야 한다.   

\(L^{p}\)공간을 완성하기 위해서는 \(p=\infty\)인 경우를 고려해야 한다. \(f\)가 \(X\)에서 가측함수이면$$\|f\|_{\infty}=\inf\{a\geq0\,|\,\mu(\{x\,|\,|f(x)|>a\})=0\}$$로 정의하고 \(\inf\phi=\infty\)이다. 이때$$\{x\,|\,|f(x)|>a\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left\{x\,|\,|f(x)|>a+\frac{1}{n}\right\}}$$이고 이 식의 우변이 공집합이면, 좌변도 공집합이다. 여기서의 \(\|f\|_{\infty}\)를 \(f\)의 본질적 상계(essential supremum)라 하고 다음과 같이 나타낸다.$$\|f\|_{\infty}=\text{ess}\sup_{x\in X}{|f(x)|}$$\(L^{\infty}=L^{\infty}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)를 다음과 같이 정의하고$$L^{\infty}=L^{\infty}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)=\{f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,f\,\text{is measurable and}\,\|f\|_{\infty}<\infty\}$$\(L^{\infty}\)공간의 두 함수가 \(a.e.\)로 같으면, \(L^{\infty}\)에서 동일한 함수로 간주한다. 따라서 \(f\in L^{\infty}\)일 필요충분조건은 유계 가측함수 \(g\)가 존재해서 \(f=g\,a.e.\)이고 이때 \(g=\chi_{E}\,(E=\{x\,|\,|f(x)|\leq\|f\|_{\infty}\})\)로 선택할 수 있다.  

6.6  

a. \(f,\,g\)가 \(X\)에서 가측함수이면, \(\|fg\|_{1}\leq\|f\|_{1}\|g\|_{\infty}\)이다. \(f\in L^{1}\), \(g\in L^{\infty}\)이면, 등식 \(\|fg\|_{1}=\|f\|_{1}\|g\|_{\infty}\)이 성립할 필요충분조건은 집합 \(\{x\,|\,f(x)\neq0\}\)에서 \(|g(x)|=\|g\|_{\infty}\,a.e.\)이다.  

b. \(\|\circ\|_{\infty}\)는 \(L^{\infty}\)에서 노름이다.  

c. \(\|f_{n}-f\|_{\infty}\,\rightarrow\,0\)일 필요충분조건은 \(E\in\mathcal{M}\)가 존재해서 \(\mu(E^{c})=0\)이고 \(E\)에서 \(f_{n}\)이 \(f\)로 균등수렴하는 것이다.  

d. \(L^{\infty}\)는 바나흐공간이다.  

e. 단순함수들은 \(L^{\infty}\)에서 조밀하다.  

증명: 

a: \(|g|\leq\|g\|_{\infty}\,a.e.\)이므로 \(|f||g|\leq|f|\|g\|_{\infty}\,a.e.\)이고$$\|fg\|_{1}=\int_{X}{|f||g|d\mu}\leq\int_{X}{|f|\|g\|_{\infty}d\mu}=\left(\int_{X}{|f|d\mu}\right)\|g\|_{\infty}=\|f\|_{1}\|g\|_{\infty}$$이다. \(|f|\|g\|_{\infty}-|f||g|\geq0\)이므로 \(\displaystyle\int_{X}{|f|(\|g\|_{\infty}-|g|)d\mu}=0\)일 필요충분조건은 \(|f|(\|g\|_{\infty}-|g|)=0\,a.e.\)이므로 \(\{x\,|\,f(x)\neq0\}\)에서 \(|g(x)|=\|g\|_{\infty}\)이다.   

b:

(i) \(\|f\|_{\infty}=0\)이라고 하자. 그러면 \(|f|\leq0\,a.e.\)이어야 하고 따라서 \(f=0\,a.e.\)이다.

(ii) \(\lambda=0\)이면 자명하므로 \(\lambda\neq0\)이라고 하자. 그러면 \(|\lambda f|=|\lambda||f|\leq|\lambda|\|f\|_{\infty}\)이므로 \(\|\lambda f\|_{\infty}\leq|\lambda|\|f\|_{\infty}\)이다. 앞에서 얻은 결과에서 \(\lambda\)를 \(\lambda^{-1}\)로, \(f\)를 \(\lambda f\)로 바꾸면 \(\|f\|_{\infty}\leq|\lambda^{-1}|\|\lambda f\|_{\infty}\)이고 \(|\lambda|\|f\|_{\infty}\leq\|\lambda f\|_{\infty}\)이다. 따라서 \(\|\lambda f\|_{\infty}=|\lambda|\|f\|\)이다. 

(iii) \(|f+g|\leq|f|+|g|\leq\|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}\,a.e.\)이므로 \(\|f+g\|_{\infty}\leq\|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}\)이다. 

(i), (ii), (iii)에 의해 \(\|\cdot\|_{\infty}\)는 노름이다.   

c: 

(\(\Rightarrow\)): \(\|f_{n}-f\|_{\infty}\,\rightarrow\,0\)이라 하자. \(|f_{n}-f|\leq\|f_{n}-f\|\,a.e.\)이다. \(F_{n}=\{x\,|\,|f_{n}-f|\geq\|f_{n}-f\|_{\infty}\}\), \(\mu_(F_{n})=0\)이라 하자. \(\displaystyle F=\bigcup_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\), \(E=F^{c}\)라고 하면 \(F=E^{c}\)의 측도는 0이고 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(|f_{n}(x)-f(x)|\leq\|f_{n}-f\|_{\infty}\)이므로 \(\|f_{n}-f\|_{u}\leq\|f_{n}-f\|_{\infty}\,\rightarrow\,0\)이고 이것은 \(E\)에서 \(f_{n}\)이 \(f\)로 균등수렴함을 뜻한다.  

(\(\Leftarrow\)): \(E\)에서 \(f_{n}\)이 \(f\)로 균등수렴하고 \(\mu(E^{c})=0\)이라 하자. 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(|f_{n}(x)-f(x)|\leq\|f_{n}-f\|_{u}\)이므로 \(E\)에서 \(|f_{n}-f|\leq\|f_{n}-f\|_{u}\,a.e.\)이고 \(\|f_{n}-f\|_{\infty}\leq\|f_{n}-f\|_{u}\)이다. 가정에 의해 \(\|f_{n}-f\|_{u}\,\rightarrow\,0\)이므로 \(\|f_{n}-f\|_{\infty}\,\rightarrow\,0\)이다.  

d: \(\{f_{k}\}\subset L^{\infty}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\|f_{k}\|^{2}}=C<\infty\)라 하고 \(\displaystyle G_{n}=\sum_{k=1}^{n}{|f_{k}|}\), \(\displaystyle G=\sum_{k=1}^{\infty}{|f_{k}|}\)라 하자. b에 의해 \(\displaystyle G_{n}=\sum_{k=1}^{n}{|f_{k}|}\in L^{\infty}\)이다.$$E_{n}=\{x\,|\,f_{n}(x)>\|f_{n}\|_{\infty}\},\,E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$$이라 하면 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\mu(E)=\mu(E_{n})=0\)이고 \(E^{c}\)에서$$G_{n}\leq\sum_{k=1}^{n}{\|f_{k}\|_{\infty}}\leq\sum_{k=1}^{\infty}{\|f_{k}\|_{\infty}}=C<\infty$$이므로 \(\displaystyle G=\sum_{k=1}^{\infty}{|f_{k}|}\in L^{1}\)이고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{f_{k}}\)는 \(L^{\infty}\)상의 함수로 수렴한다.   

e: 유계 단순함수들의 집합은 \(L^{\infty}\)에서 조밀하다. 2.10에 의해 단순함수열 \(\{f_{n}\}\)이 존재해서 집합 \(\{x\,|\,|f(x)|\leq\|f\|_{\infty}<\infty\}\)에서 \(f\)로 균등수렴한다.  

6.6의 a에서 \(1^{-1}+\infty^{-1}=1\)이므로 1을 \(\infty\)의 공액지수, \(\infty\)를 1의 공액지수라고 할 수 있다.  

6.6의 c는 \(\|\cdot\|_{\infty}\)가 균등노름 \(\|\cdot\|_{u}\)에 상당히 가까우나 서로 같지 않음을 보여준다.  

일반적으로 모든 열린집합에 대해 양의 부호를 갖는 보렐측도에 대해 \(f\)를 연속함수라고 하면 \(\{x\,|\,|f(x)|>a\}\)가 열린집합이므로 \(\|f\|_{\infty}=\|f\|_{u}\)이다. 이 상황에서 \(\|f\|_{\infty}\)와 \(\|f\|_{u}\)를 서로 교환할 수 있고, 유계 연속함수들의 공간을 \(L^{\infty}\)의 (닫힌)부분공간이라고 할 수 있다.  

일반적으로 모든 \(p\neq q\)에 대하여 \(L^{p}\not\subset L^{q}\)이다. \(((0,\,\infty),\,\mathfrak{L},\,m)\)에서 \(f_{a}(x)=x^{-a}\,(a>0)\)라고 하자. 그러면 \(f_{\alpha}\chi_{(0,\,1)}\in L^{p}\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle p<\frac{1}{a}\)이고 \(f_{a}\chi_{(1,\,\infty)}\in L^{p}\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle p>\frac{1}{a}\)이다. 이것은 \(|f|^{p}\)가 어떤 점에서 급격히 발산하거나 무한대에서 급격히 0으로 수렴하면 \(f\notin L^{p}\)가 될 수 있음을 뜻한다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley