[측도론] 6-1 Lp공간의 기본적인 이론(1)

[측도론] 6-1 Lp공간의 기본적인 이론(1) 

여기서는 고정된 측도공간 $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$에 대해 다룰 것이다, $f$가 $X$상의 가측함수이고 $0<p<\infty$이면, $\|f\|_{p}$를 다음과 같이 정의하고 $$\|f\|_{p}=\left\{\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\right\}^{\frac{1}{p}}$$ ($\|f\|_{p}=\infty$인 경우도 허용), $L^{p}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 다음과 같이 정의한다. $$L^{p}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)=\{f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,f\,\text{is measurable and}\,\|f\|_{p}<\infty\}$$ 혼동의 여지가 없다면 $L^{p}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 $L^{p}(\mu)$, $L^{p}(X)$ 또는 간단히 $L^{p}$로 나타내며 $L^{1}$에서처럼 $f,\,g\in L^{p}$에 대해 $f$와 $g$가 같다는 것을 $f=g\,a.e.$로 정의한다.   

임의의 집합 $A(\neq\phi)$에 대해 $\ell^{p}(A)$를 $L^{p}(\mu)$에서 $\mu$가 $(A,\,2^{A})$에서 셈측도인 경우로 정의하고 $\ell^{p}(\mathbb{N})$을 간단히 $\ell^{p}$로 나타낸다.  

$L^{p}$는 벡터공간이다. 그 이유는 $f,\,g\in L^{p}$이면, $$|f+g|^{p}\leq\{2\max\{|f|,\,|g|\}\}^{p}\leq2^{p}(|f|^{p}+|g|^{p})$$ 이므로 $f^{p}+g^{p}\in L^{p}$이기 때문이다. 이때 "$\|\cdot\|_{p}$가 $L^{p}$에서의 노름이 되는가?"라는 의문이 생긴다. $\|f\|_{p}=0$일 필요충분조건은 $f=0\,a.e.$이고 $\|cf\|_{p}=|c|\|f\|_{p}$이므로 삼각부등식이 성립하는가를 확인해야 한다. $p\geq 1$일 때는 성립하나 나머지의 경우에는 성립하지 않는다.   

$a>0,\,b>0,\,0<p<1$이라고 하자. $t>0$에 대하여 $t^{p-1}>(a+t)^{p-1}$이고 이 부등식의 양변을 0부터 $b$까지 $t$에 대해 적분하면 부등식 $a^{p}+b^{p}>(a+b)^{p}$를 얻는다. 따라서 $E,\,F\subset X$가 양의 유한측도를 갖는 서로소인 집합이고 $a=\{\mu(E)\}^{\frac{1}{p}}$, $b=\{\mu(F)\}^{\frac{1}{q}}$라고 하면 다음의 부등식이 성립한다. $$\|\chi_{E}+\chi_{F}\|=(a^{p}+b^{p})^{\frac{1}{p}}>a+b=\|\chi_{E}\|_{p}+\|\chi_{F}\|_{q}$$  

6.1 $a\geq0,\,b\geq0,\,0<\lambda<1$이면 다음의 부등식이 성립하고 $$a^{\lambda}b^{1-\lambda}\leq\lambda a+(1-\lambda)b$$ 등식이 성립할 필요충분조건은 $a=b$이다.  

증명: $b=0$이면 분명하므로 $b\neq0$, $\displaystyle t=\frac{a}{b}$라 하고 부등식 $t^{\lambda}\leq\lambda t+(1-\lambda)$이 성립하며 등식이 성립할 필요충분조건이 $t=1$임을 보이자. $t^{\lambda}-\lambda t$는 $t<1$에서 증가하고 $t>1$에서 감소하며 $t=1$일 때 최댓값 $1-\lambda$를 갖는다.  

6.2 횔더 부등식(Hölder's inequality) 

$1<p<\infty$, $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,\left(q=\frac{p}{p-1}\right)$라고 하자. $f,\,g$가 $X$에서 가측함수이면, 다음의 부등식이 성립하고 $$\|fg\|_{1}\leq\|f\|_{p}\|g\|_{q}$$ 특히 $f\in L^{p},\,g\in L^{q}$이면 $fg\in L^{1}$이고 이때 등식이 성립할 필요충분조건은 적당한 상수 $\alpha(\neq0)$, $\beta(\neq0)$에 대하여 $\alpha|f|^{p}=\beta|g|^{q}$이다.   

증명: $\|f\|_{p}=0$ 또는 $\|g\|_{q}=0$이거나 $\|f\|_{p}=\infty$ 또는 $\|g\|_{q}=\infty$인 경우는 자명하다. 이 부등식은 $f$와 $g$의 특별한 형태(0 또는 $\infty$)에 대해 성립하므로 $f$와 $g$의 스칼라 곱에 대해서 성립하며 $f$와 $g$를 $af$와 $bg$로 바꾸면 부등식의 양변은 $|ab|$의 인자들로 바뀌게 된다. 따라서 $\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1$일 때 부등식이 성립함을 보이면 충분하고 이때 등식이 성립할 필요충분조건은 $|f|^{p}=|g|^{q}\,a.e.$이다.

6.1에서 $a=|f(x)|^{p}$, $b=|g(x)|^{q}$, $\displaystyle\lambda=\frac{1}{p}$라고 하면 $$|f(x)g(x)|\leq\frac{1}{p}|f(x)|+\frac{1}{q}|g(x)|$$ 이고 이 부등식의 양변을 적분하면 $$\|fg\|_{1}\leq\frac{1}{p}\int_{X}{|f|^{p}d\mu}+\frac{1}{q}\int_{X}{|g|^{q}d\mu}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1=\|f\|_{p}\|g\|_{q}$$ 이며 등식은 $|f|^{p}=|g|^{q}\,a.e.$일 때 성립한다.       

횔더 부등식에서의 조건 $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$에서 $1<p<\infty$일 때 $\displaystyle q=\frac{p}{p-1}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\right)$를 $p$의 켤레지수(conjugate exponent)라고 한다.

6.3 민코프스키 부등식(Minkowski's Inequality)  

$1\leq p<\infty$이고 $f,\,g\in L^{p}$이면, 다음의 부등식이 성립한다. $$\|f+g\|_{p}\leq\|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$

증명: $p=1$이거나 $f+g=0\,a.e.$이면 자명하다. 그 이외의 경우 $$|f+g|^{p}\leq(|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,((p-1)q=p)$$ 이고 횔더 부등식을 적용하면 $$\begin{align*}\int_{X}{|f+g|^{p}d\mu}&\leq\|f\|_{p}\||f+g|^{p-1}\|_{q}+\|g\|_{p}\||f+g|^{p-1}\|_{q}\\&=(\|f\|_{p}+\|g\|_{q})\left(\int_{X}{|f+g|^{p}d\mu}\right)^{\frac{1}{q}}\end{align*}$$ 이므로 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\|f+g\|_{p}=\left\{\int_{X}{|f+g|^{p}d\mu}\right\}^{1-\frac{1}{q}}\leq\|f\|_{p}+\|g\|_{q}$$  

6.3에 의해 $p\geq1$에 대하여 $L^{p}$는 노름벡터공간이다.  

6.4 $1\leq p<\infty$에 대하여 $L^{p}$는 바나흐공간이다.  

증명: 5.1을 이용하여 증명한다. $\{f_{k}\}\subset L^{p}$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\|f_{k}\|_{p}}=B<\infty$이라 가정하고 $\displaystyle G_{n}=\sum_{k=1}^{n}{|f_{k}|}$, $\displaystyle G=\sum_{k=1}^{\infty}{|f_{k}|}$라고 하자. 그러면 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle\|G_{n}\|_{p}\leq\sum_{k=1}^{n}{\|f_{k}\|_{p}}\leq B$이므로 단조수렴정리에 의해 $\displaystyle\int_{X}{G^{p}d\mu}=\lim_{X}{G_{n}^{p}d\mu}\leq B^{p}$이다. 따라서 $G\in L^{p}$이고 $G(x)<\infty\,a.e.$이다. 이것은 급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{f_{k}}$가 $a.e.$수렴함을 뜻하고 $\displaystyle F=\sum_{k=1}^{\infty}{f_{k}}$라고 하면 $|F|\leq G$이고 따라서 $F\in L^{p}$이다. 게다가 $\displaystyle\left|F-\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}\right|\leq(2G)^{p}\in L^{1}$이므로 지배수렴정리에 의해 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\left\|F-\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}\right\|_{p}^{p}=\int_{X}{\left|F-\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}\right|^{p}d\mu}\,\rightarrow\,0$$ 이므로 따라서 급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{f_{k}}$는 $L^{p}$노름에서 수렴한다.  

6.5 $1\leq p<\infty$에 대하여 단순함수 $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}$(모든 $i$에 대하여 $\mu(E_{i})<\infty$)들의 집합은 $L^{p}$에서 조밀하다.  

증명: 단순함수는 $L^{p}$의 원소가 된다. $f\in L^{p}$이면, 단순함수열 $\{f_{n}\}$을 선택해서 $f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.$이고 $|f_{n}|\leq|f|$라고 하자. 2.10에 의해 $f_{n}\in L^{p}$이고 $|f_{n}-f|^{p}\leq2^{p}|f|^{p}\in L^{1}$이므로 지배수렴정리에 의해 $\|f_{n}-f\|_{p}\,\rightarrow\,0$이다. 게다가 $\displaystyle f=\sum_{i}{a_{i}\mu(E_{i})}$($E_{i}$들은 서로소이고 $a_{i}\neq0$)이면, $\displaystyle\sum_{i}{|a_{i}|^{p}\mu(E_{i})}=\int_{X}{|f_{n}|^{p}d\mu}<\infty$이므로 $\mu(E_{i})<\infty$이어야 한다.   

$L^{p}$공간을 완성하기 위해서는 $p=\infty$인 경우를 고려해야 한다. $f$가 $X$에서 가측함수이면 $$\|f\|_{\infty}=\inf\{a\geq0\,|\,\mu(\{x\,|\,|f(x)|>a\})=0\}$$ 로 정의하고 $\inf\phi=\infty$이다. 이때 $$\{x\,|\,|f(x)|>a\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left\{x\,|\,|f(x)|>a+\frac{1}{n}\right\}}$$ 이고 이 식의 우변이 공집합이면, 좌변도 공집합이다. 여기서의 $\|f\|_{\infty}$를 $f$의 본질적 상계(essential supremum)라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$\|f\|_{\infty}=\text{ess}\sup_{x\in X}{|f(x)|}$$ $L^{\infty}=L^{\infty}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$를 다음과 같이 정의하고 $$L^{\infty}=L^{\infty}(X,\,\mathcal{M},\,\mu)=\{f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\,|\,f\,\text{is measurable and}\,\|f\|_{\infty}<\infty\}$$ $L^{\infty}$공간의 두 함수가 $a.e.$로 같으면, $L^{\infty}$에서 동일한 함수로 간주한다. 따라서 $f\in L^{\infty}$일 필요충분조건은 유계 가측함수 $g$가 존재해서 $f=g\,a.e.$이고 이때 $g=\chi_{E}\,(E=\{x\,|\,|f(x)|\leq\|f\|_{\infty}\})$로 선택할 수 있다.  

6.6  

a. $f,\,g$가 $X$에서 가측함수이면, $\|fg\|_{1}\leq\|f\|_{1}\|g\|_{\infty}$이다. $f\in L^{1}$, $g\in L^{\infty}$이면, 등식 $\|fg\|_{1}=\|f\|_{1}\|g\|_{\infty}$이 성립할 필요충분조건은 집합 $\{x\,|\,f(x)\neq0\}$에서 $|g(x)|=\|g\|_{\infty}\,a.e.$이다.  

b. $\|\circ\|_{\infty}$는 $L^{\infty}$에서 노름이다.  

c. $\|f_{n}-f\|_{\infty}\,\rightarrow\,0$일 필요충분조건은 $E\in\mathcal{M}$가 존재해서 $\mu(E^{c})=0$이고 $E$에서 $f_{n}$이 $f$로 균등수렴하는 것이다.  

d. $L^{\infty}$는 바나흐공간이다.  

e. 단순함수들은 $L^{\infty}$에서 조밀하다.  

증명: 

a: $|g|\leq\|g\|_{\infty}\,a.e.$이므로 $|f||g|\leq|f|\|g\|_{\infty}\,a.e.$이고 $$\|fg\|_{1}=\int_{X}{|f||g|d\mu}\leq\int_{X}{|f|\|g\|_{\infty}d\mu}=\left(\int_{X}{|f|d\mu}\right)\|g\|_{\infty}=\|f\|_{1}\|g\|_{\infty}$$ 이다. $|f|\|g\|_{\infty}-|f||g|\geq0$이므로 $\displaystyle\int_{X}{|f|(\|g\|_{\infty}-|g|)d\mu}=0$일 필요충분조건은 $|f|(\|g\|_{\infty}-|g|)=0\,a.e.$이므로 $\{x\,|\,f(x)\neq0\}$에서 $|g(x)|=\|g\|_{\infty}$이다.   

b:

(i) $\|f\|_{\infty}=0$이라고 하자. 그러면 $|f|\leq0\,a.e.$이어야 하고 따라서 $f=0\,a.e.$이다.

(ii) $\lambda=0$이면 자명하므로 $\lambda\neq0$이라고 하자. 그러면 $|\lambda f|=|\lambda||f|\leq|\lambda|\|f\|_{\infty}$이므로 $\|\lambda f\|_{\infty}\leq|\lambda|\|f\|_{\infty}$이다. 앞에서 얻은 결과에서 $\lambda$를 $\lambda^{-1}$로, $f$를 $\lambda f$로 바꾸면 $\|f\|_{\infty}\leq|\lambda^{-1}|\|\lambda f\|_{\infty}$이고 $|\lambda|\|f\|_{\infty}\leq\|\lambda f\|_{\infty}$이다. 따라서 $\|\lambda f\|_{\infty}=|\lambda|\|f\|$이다. 

(iii) $|f+g|\leq|f|+|g|\leq\|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}\,a.e.$이므로 $\|f+g\|_{\infty}\leq\|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}$이다. 

(i), (ii), (iii)에 의해 $\|\cdot\|_{\infty}$는 노름이다.   

c: 

($\Rightarrow$): $\|f_{n}-f\|_{\infty}\,\rightarrow\,0$이라 하자. $|f_{n}-f|\leq\|f_{n}-f\|\,a.e.$이다. $F_{n}=\{x\,|\,|f_{n}-f|\geq\|f_{n}-f\|_{\infty}\}$, $\mu_(F_{n})=0$이라 하자. $\displaystyle F=\bigcup_{n=1}^{\infty}{F_{n}}$, $E=F^{c}$라고 하면 $F=E^{c}$의 측도는 0이고 모든 $x\in E$에 대하여 $|f_{n}(x)-f(x)|\leq\|f_{n}-f\|_{\infty}$이므로 $\|f_{n}-f\|_{u}\leq\|f_{n}-f\|_{\infty}\,\rightarrow\,0$이고 이것은 $E$에서 $f_{n}$이 $f$로 균등수렴함을 뜻한다.  

($\Leftarrow$): $E$에서 $f_{n}$이 $f$로 균등수렴하고 $\mu(E^{c})=0$이라 하자. 모든 $x\in E$에 대하여 $|f_{n}(x)-f(x)|\leq\|f_{n}-f\|_{u}$이므로 $E$에서 $|f_{n}-f|\leq\|f_{n}-f\|_{u}\,a.e.$이고 $\|f_{n}-f\|_{\infty}\leq\|f_{n}-f\|_{u}$이다. 가정에 의해 $\|f_{n}-f\|_{u}\,\rightarrow\,0$이므로 $\|f_{n}-f\|_{\infty}\,\rightarrow\,0$이다.  

d: $\{f_{k}\}\subset L^{\infty}$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\|f_{k}\|^{2}}=C<\infty$라 하고 $\displaystyle G_{n}=\sum_{k=1}^{n}{|f_{k}|}$, $\displaystyle G=\sum_{k=1}^{\infty}{|f_{k}|}$라 하자. b에 의해 $\displaystyle G_{n}=\sum_{k=1}^{n}{|f_{k}|}\in L^{\infty}$이다. $$E_{n}=\{x\,|\,f_{n}(x)>\|f_{n}\|_{\infty}\},\,E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$$ 이라 하면 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\mu(E)=\mu(E_{n})=0$이고 $E^{c}$에서 $$G_{n}\leq\sum_{k=1}^{n}{\|f_{k}\|_{\infty}}\leq\sum_{k=1}^{\infty}{\|f_{k}\|_{\infty}}=C<\infty$$ 이므로 $\displaystyle G=\sum_{k=1}^{\infty}{|f_{k}|}\in L^{1}$이고 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{f_{k}}$는 $L^{\infty}$상의 함수로 수렴한다.   

e: 유계 단순함수들의 집합은 $L^{\infty}$에서 조밀하다. 2.10에 의해 단순함수열 $\{f_{n}\}$이 존재해서 집합 $\{x\,|\,|f(x)|\leq\|f\|_{\infty}<\infty\}$에서 $f$로 균등수렴한다.  

6.6의 a에서 $1^{-1}+\infty^{-1}=1$이므로 1을 $\infty$의 공액지수, $\infty$를 1의 공액지수라고 할 수 있다.  

6.6의 c는 $\|\cdot\|_{\infty}$가 균등노름 $\|\cdot\|_{u}$에 상당히 가까우나 서로 같지 않음을 보여준다.  

일반적으로 모든 열린집합에 대해 양의 부호를 갖는 보렐측도에 대해 $f$를 연속함수라고 하면 $\{x\,|\,|f(x)|>a\}$가 열린집합이므로 $\|f\|_{\infty}=\|f\|_{u}$이다. 이 상황에서 $\|f\|_{\infty}$와 $\|f\|_{u}$를 서로 교환할 수 있고, 유계 연속함수들의 공간을 $L^{\infty}$의 (닫힌)부분공간이라고 할 수 있다.  

일반적으로 모든 $p\neq q$에 대하여 $L^{p}\not\subset L^{q}$이다. $((0,\,\infty),\,\mathfrak{L},\,m)$에서 $f_{a}(x)=x^{-a}\,(a>0)$라고 하자. 그러면 $f_{\alpha}\chi_{(0,\,1)}\in L^{p}$일 필요충분조건은 $\displaystyle p<\frac{1}{a}$이고 $f_{a}\chi_{(1,\,\infty)}\in L^{p}$일 필요충분조건은 $\displaystyle p>\frac{1}{a}$이다. 이것은 $|f|^{p}$가 어떤 점에서 급격히 발산하거나 무한대에서 급격히 0으로 수렴하면 $f\notin L^{p}$가 될 수 있음을 뜻한다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley