[측도론] 6-2 Lp공간의 쌍대공간(2)

[측도론] 6-2 Lp공간의 쌍대공간(2) 

6.16 \(1<p<\infty\)이면, \(L^{p}\)는 반사적이다.  

사상 \(g\,\mapsto\,\phi_{g}\)는 \(L^{\infty}\)에서 \((L^{1})^{*}\)로의 사상이나 일반적으로 단사도 전사도 아니다. \(\mu\)가 반 유한측도가 아니면 단사가 아니다. \(E\subset X\)를 무한측도 집합으로 양의 유한측도 부분집합을 갖지 않는다 하고, \(f\in L^{1}\)이라 하면 \(\{x\,|\,f(x)\neq0\}\)는 \(\sigma-\)유한집합이므로 \(\mu(\{x\,|\,f(x)\neq0\}\cap E)=0\)이다. 그러면 임의의 \(f\in L^{1}\)에 대해 \(\phi_{\chi_{E}}=0\)이나 \(\chi_{E}\neq0\)이다. \(\mu\)가 \(\sigma-\)유한이 아니면 \(g\,\mapsto\,\phi_{g}\)는 전사가 아니다. \(X\)를 비가산집합, \(\mu\)를 가측공간 \((X,\,\mathcal{M})\)상의 셈측도, \(\mathcal{M}\)을 가산집합 또는 여가산집합(여집합이 가산집합인 집합)의 \(\sigma-\)대수, \(\mu_{0}=\mu|_{\mathcal{M}}\)이라 하자. \(f\in L^{1}(\mu)\)는 가산집합 바깥에서 소멸(\(\{x\,|\,f(x)\neq0\}\)은 가산집합)하므로 \(f\in L^{1}(\mu_{0})\)이고 역도 성립하므로 \(L^{1}(\mu)=L^{1}(\mu_{0})\)이다. 반면에 \(L^{\infty}(\mu)\)는 \(X\)상의 유계함수들로 구성되어있고 \(L^{\infty}(\mu_{0})\)는 가산집합이 아닌 집합에서 상수인 유계함수들로 구성되어있다. 그러면 다음이 성립한다.$$L^{\infty}(\mu_{0})\subset L^{\infty}(\mu)=(L^{1}(\mu)\mu)^{*}=(L^{1}(\mu_{0}))^{*}\,(L^{\infty}(\mu_{0})\neq L^{\infty}(\mu))$$(\(\because\) \(f\in L^{\infty}(\mu_{0})\)이면 \(M>0\)이 존재해서 \(|f|\leq M<\infty\)이고 \(f\)가 가측함수이므로 \(A_{1}=f^{-1}[[-M,\,0]]\), \(A_{2}=f^{-1}[[0,\,M]]\)일 때 이 두 집합이 모두 비가산집합이면 \(f^{-1}[\{0\}]\)은 비가산집합이고 \(\{x\,|\,f(x)\neq0\}\)은 가산집합이다. \(A_{1}\), \(A_{2}\)모두 비가산집합이 아니면 적어도 하나는 비가산집합이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리의 증명과정에 의해 \(\alpha\in[-M,\,M]\)가 존재해서 \(f^{-1}[\{\alpha\}]\)는 비가산집합이고 \(\{x\,|\,f(x)\neq\alpha\}\)는 가산집합이다.)

\(X=[0,\,1]\), \(\mu\)를 르베그측도라고 하자. \(C(X)\)는 \(L^{\infty}\)의 부분공간이고 \(f\,\mapsto\,f(0)\)는 \(C(X)\)상의 유계선형범함수이므로 한-바나흐 정리에 의해 \(\phi\in(L^{\infty})^{*}\)가 존재해서 모든 \(f\in C(X)\)에 대해 \(\phi(f)=f(0)\)이다. \(f_{n}\in C(X)\)을 \(f_{n}(x)=\max\{1-nx,\,0\}\)이라고 하자. 그러면 \(\phi(f_{n})=f_{n}(0)=1\)이나 모든 \(x>0\)에 대해 \(f_{n}(x)\,\rightarrow\,0\)이므로 지배수렴정리에 의해 모든 \(g\in L^{1}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{X}{f_{n}gd\mu}\,\rightarrow\,0\)이다. 이것은 \(\phi\)를 적분으로 나타낼 수 없음을 뜻한다.   

   

6.17 폰 노이만에 의한 르베그-라돈-니코딤 정리(Lebesgue-Radon-Nikodym Theorem due to von Neumann) 

\(\mu,\,\nu\)를 각각 \((X,\,\mathcal{M})\)에서의 \(\sigma-\)유한 양측도, 부호측도라고 하자. 그러면 유일한 부호측도 \(\nu_{a}\), \(\nu_{s}\)가 존재해서$$\nu=\nu_{a}+\nu_{s},\,\nu_{a}\ll\mu,\,\nu_{s}\perp\mu$$이고 적당한 함수 \(f\in L^{2}\)에 대해 다음이 성립한다.$$d\nu_{a}=fd\mu\,\left(\nu_{a}(E)=\int_{E}{fd\mu}\right)$$  

증명: 

I. \(\mu,\,\nu\)를 유한 양측도, \(\lambda=\mu+\nu\), \(L^{2}(\lambda)\)를 힐베르트 공간, 모든 \(f\in L^{2}(\lambda)\)에 대하여 연산자 \(T\)를 다음과 같이 정의하자.$$T(f)=\int_{X}{fd\nu}$$그러면 슈바르츠 부등식으로부터 다음의 부등식이 성립하고$$|T(f)|\leq\int_{X}{|f|d\nu}\leq\int_{X}{|f|d\lambda}\leq\sqrt{\int_{X}{|f|^{2}d\lambda}}\sqrt{\lambda(X)}$$\(\mu\)와 \(\nu\)가 유한이므로 \(\lambda\)도 유한이고 따라서 \(T\)는 유계이고 연속이다. \(T\)는 선형변환이므로 \(L^{2}(\lambda)\)에서 유계선형변환이고 5.21에 의해 \(g\in L^{2}(\lambda)\)가 존재해서 모든 \(f\in L^{2}(\lambda)\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$T(f)=\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{fgd\lambda}$$\(\lambda(E)>0\)인 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(f=\chi_{E}\)라 하자. 그러면$$\nu(E)=\int_{X}{\chi_{E}d\nu}=\int_{E}{\chi_{E}gd\lambda}=\int_{E}{gd\lambda}$$이고 \(\nu\), \(\mu\)는 양측도이므로 \(\nu(E)\leq\lambda(E)\)이다. \(\displaystyle0\leq\frac{1}{\lambda(E)}\int_{E}{gd\lambda}\leq1\)이므로 임의의 \(E\in\mathcal{M}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{E}{gd\lambda}\geq0\), \(\int_{E}{(1-g)d\lambda}\geq0\)이고 \(0\leq g\leq1\,\lambda-a.e.\)이다. \(\lambda=\mu+\nu\), \(\displaystyle\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{fgd\lambda}\)이므로 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{X}{f(1-g)d\nu}=\int_{X}{fgd\mu}$$\(A=\{x\,|\,0\leq g(x)<1\}\), \(B=\{x\,|\,g(x)=1\}\), \(\nu_{a}=\nu(A\cap E)\), \(\nu_{s}(E)=\nu(B\cap E)\)라 하자. 등식 \(\displaystyle\int_{X}{f(1-g)d\nu}=\int_{X}{fgd\mu}\)에서 \(f=\chi_{B}\)라고 하면$$0=\int_{B}{(1-g)d\nu}=\int_{B}{gd\mu}=\mu(B)$$이고 따라서 \(\nu_{s}\perp\mu\)이다. 

\(\displaystyle f=\sum_{i=0}^{n}{g^{i}\chi_{E}}\)라 하면 \(\displaystyle\int_{E}{(1-g^{n+1})d\nu}=\int_{E}{g\left(\sum_{i=0}^{n}{g^{i}}\right)d\mu}\)이고 \(x\in A\)이면$$(1-g^{n+1})\,\rightarrow\,1,\,g\sum_{i=0}^{n}{g^{i}}\,\rightarrow\,\frac{g}{1-g}\,(g^{n}\,\rightarrow\,0)$$이고 \(x\in B\)이면 \(g=1\)이므로 \((1-g^{n+1})=0\)이다. 위의 등식과 지배수렴정리에 의해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\nu_{a}(E)=\nu(E\cap A)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{(1-g^{n+1})d\nu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g\left(\sum_{i=0}^{n}{g^{i}}\right)d\mu}=\int_{E}{\frac{g}{1-g}d\mu}$$이고 \(\displaystyle f=\frac{g}{1-g}\)라고 하면 \(\displaystyle\nu_{a}(E)=\int_{E}{fd\mu}\)이고 \(\nu_{a}(X)\leq\nu(X)<\infty\)이므로 \(f\in L^{2}(\mu)\)이다.    

II. \(\mu,\,\nu\)를 \(\sigma-\)유한 양측도라 하자. 그러면 \(\{E_{i}\}\)가 존재해서 \(E_{i}\in\mathcal{M}\), \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}=X\), \(\mu(E_{i})<\infty\), \(\nu(E_{i})<\infty\)이다. \(\mu_{i}(E)=\mu(E\cap E_{i})\), \(\nu_{i}=\nu(E\cap E_{i})\)라 하면 \(\mu_{i}\), \(\nu_{i}\)는 유한 양측도이고 \(I\)의 결과에 의해$$\nu_{i}=\nu_{i,\,a}+\nu_{i,\,s},\,\nu_{i,\,s}\perp\mu_{i},\,\nu_{i,\,a}\ll\mu_{i}$$이고 적당한 \(f_{i}\in L^{2}(\mu)\)에 대하여 \(\displaystyle\nu_{i,\,a}(E)=\int_{E}{f_{i}d\mu_{i}}\)이다.   

일반적으로 \(\nu\)가 \(\sigma-\)유한 부호측도이면 조르단 분해정리에 의해 \(\nu=\nu^{+}-\nu^{-}\)이므로 \(\nu^{+}\)와 \(\nu^{-}\)에 II의 결과를 적용한다. 

유일성: \(\nu=\nu_{a}+\nu_{s}=\nu_{a}'+\nu_{s}'\)라고 하면 \(\nu_{a}-\nu_{a}'=\nu_{s}'-\nu_{s}\)이다. \(\nu_{a}\ll\mu\), \(\nu_{a}'\ll\mu\), \(\nu_{s}\perp\mu\), \(\nu_{s}'\perp\mu\)이므로 \(\nu_{a}-\nu_{a}'\ll\mu\), \(\nu_{s}'-\nu_{s}\perp\mu\)이고 따라서 \(\nu_{a}-\nu_{a}'=\nu_{s}'-\nu_{s}=0\)이다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley 

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사