[측도론] 6-3 몇 가지 유용한 부등식, 분포함수

[측도론] 6-3 몇 가지 유용한 부등식, 분포함수

몇 가지 유용한 부등식

6.18 체비셰프 부등식(Chebyshev's Inequality) 

$f\in L^{p}\,(0<p<\infty)$이면, 임의의 $\alpha>0$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$\mu(\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\})\leq\left\{\frac{\|f\|_{p}}{\alpha}\right\}^{p}$$   

증명: $E_{\alpha}=\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\}$라 하면 다음의 부등식으로부터 성립한다. $$\|f\|_{p}^{p}=\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\geq\int_{E_{\alpha}}{|f|^{p}d\mu}\geq\alpha^{p}\int_{E_{\alpha}}{1d\mu}=\alpha^{p}\mu(E_{\alpha})$$  

6.19 $(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$, $(Y,\,\mathcal{N},\,\nu)$를 $\sigma-$유한 측도공간, $K$를 $X\times Y$에서 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-$가측함수, $C>0$가 존재해서 $a.e.\,y\in Y$에 대해 $\displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C$, $a.e.\,x\in X$에 대해 $\displaystyle\int_{Y}{|K(x,\,y)|d\nu(y)}\leq C$, $1\leq p\leq\infty$라 하자. $f\in L^{p}(\nu)$이면, 다음의 적분 $$Tf(x)=\int_{X}{K(x,\,y)f(y)d\nu(y)}$$ 는 $a.e.\,x\in X$에 대해 수렴하고 $Tf\in L^{p}(\mu)$, $\|Tf\|_{p}\leq C\|f\|_{p}$이다.   

증명: 

(i) $1<p<\infty$, $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$이라 하자. $$|K(x,\,y)f(y)|=|K(x,\,y)|^{\frac{1}{q}}\{|K(x,\,y)|^{\frac{1}{p}}|f(y)|\}$$ 이므로 횔더 부등식으로부터 $a.e.\,x\in X$에 대해 $$\int_{Y}{|K(x,\,y)f(y)|d\nu(y)}\leq\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)|d\nu(y)}\right\}^{\frac{1}{q}}\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)||f(y)|^{p}d\nu(y)}\right\}^{\frac{1}{p}}\leq C^{\frac{1}{q}}\left\{\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}\right\}$$ 이므로 토넬리 정리에 의해 $$\int_{X}{\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)f(y)|d\nu(y)}\right\}^{p}d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}}\iint_{X\times Y}{|K(x,\,y)||f(y)|^{p}d\nu(y)d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}+1}\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}$$ 이고 $\displaystyle\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}<\infty$이며 푸비니 정리에 의해 $a.e.\,x\in X$에 대해 $K(x,\,\cdot)f\in L^{1}(\nu)$이므로 $Tf$는 $a.e.$잘 정의되어있고 다음의 부등식에 $p$승근을 취하면 된다. $$\int_{X}{|Tf(x)|^{p}d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}+1}\|f\|_{p}^{p}$$    

(ii) $p=1$일 때는 조건 $\displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C$만 필요하고 $K(x,\,y)f(y)$는 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-$가측이므로 푸비니-토넬리 정리를 적용한다.  

(iii) $p=\infty$일 때는 조건 $\displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C$만 필요하고 이 경우는 자명하다.  

6.20 적분에 대한 민코프스키 부등식(Minkowski's Inequality for Integrals) 

$(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$, $(Y,\,\mathcal{N},\,\nu)$를 $\sigma-$유한 측도공간, $f$를 $X\times Y$에서 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-$가측함수라 하자.  

a. $f\geq0$, $1\leq p<\infty$이면, 다음의 부등식이 성립한다. $$\left\{\int_{X}{\left(\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right)^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}\leq\int_{Y}{\left\{\int_{X}{(f(x,\,y))^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}d\nu(y)}$$  

b. $1\leq p\leq\infty$이면, $a.e.\,y$에 대해 $f(\cdot,\,y)\in L^{p}(\mu)$, 함수 $y\,\mapsto\,\|f(\cdot,\,y)\|_{p}$가 $L^{1}(\nu)$의 원소이면, $a.e.\,x$에 대해 $f(x,\,\cdot)\in L^{1}(\nu)$, 함수 $\displaystyle x\,\mapsto\,\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}$는 $L^{p}(\mu)$의 원소이고 다음의 부등식이 성립한다. $$\left\|\int_{Y}{f(\cdot,\,y)d\nu(y)}\right\|_{p}\leq\int_{Y}{\|f(\cdot,\,y)\|_{p}d\nu(y)}$$

증명: 

(a) $p=1$이면 토넬리 정리가 되고 등식이 성립한다. $1<p<\infty$, $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $g\in L^{q}(\mu)$라 하자. 그러면 토넬리 정리와 횔더 부등식에 의해 $$\int_{X}{\left\{\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right\}|g(x)|d\mu(x)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)|g(x)|d\mu(x)d\nu(y)}\leq\|g\|_{q}\int_{Y}{\left\{\int_{X}{(f(x,\,y))^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}d\nu(y)}$$ 이고 6.14에 의해 성립한다.   

(b) $p<\infty$일 때 (a)에서 $f$를 $|f|$로 교체한 후 푸비니 정리를 적용하고 $p=\infty$일 때는 적분의 단조성에 의해 자명하다.  

6.21 $K$를 $(0,\,\infty)\times(0,\,\infty)$에서 르베그 가측함수로 모든 $\lambda>0$에 대해 $\displaystyle K(\lambda x,\,\lambda y)=\frac{1}{\lambda}K(x,\,y)$, 적당한 $p\in[1,\,\infty]$, $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,1)|x^{-\frac{1}{p}}dx}=C<\infty$라 하자. $f\in L^{p}$, $g\in L^{q}$에 대하여 $$Tf(y)=\int_{0}^{\infty}{K(x,\,y)f(x)dx},\,Sg(x)=\int_{0}^{\infty}{K(x,\,y)g(y)dy}$$ 라 하면 $Tf$와 $Sg$는 $a.e.$정의되고 $\|Tf\|_{p}\leq C\|f\|_{p}$, $\|Sg\|_{q}\leq C\|g\|_{q}$이다.   

증명: $\displaystyle z=\frac{x}{y}$라고 하면 $$\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,y)f(x)|dx}=\int_{0}^{\infty}{|K(yz,\,y)f(yz)|ydz}=\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)f_{z}(y)|dz}$$ 이고 여기서 $f_{z}(y)=f(yz)$이다. 또한 $$\|f_{z}\|_{p}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|f(yz)|^{p}dy}\right\}^{\frac{1}{p}}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|f(x)|^{p}z^{-1}dx}\right\}^{\frac{1}{p}}=z^{-\frac{1}{p}}\|f\|_{p}$$ 이므로 적분에 대한 민코프스키 부등식(6.20)에 의해 $Tf$는 $a.e.$존재하고 다음이 성립한다. $$\|Tf\|_{p}\leq\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)|\|f_{z}\|_{p}dz}=\|f\|_{p}\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)|z^{-\frac{1}{p}}dz}=C\|f\|_{p}$$ $\displaystyle w=\frac{y}{x}$라고 하면 $$\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,y)g(y)|dy}=\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,xw)g(xw)|xdw}=\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)g_{w}(x)|dw}$$ 이고 여기서 $g_{w}(x)=g(xw)$이다. 또한 $$\|g_{w}\|_{q}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|g(xw)|^{q}dx}\right\}^{\frac{1}{q}}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|g(y)|^{q}w^{-1}dy}\right\}^{\frac{1}{q}}=w^{-\frac{1}{q}}\|g\|_{q}$$ 이므로 적분에 대한 민코프스키 부등식에 의해 $S_{g}$는 $a.e.$존재하고 $$\|Sg\|_{q}\leq\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|\|g_{z}\|_{q}dw}=\|g\|_{q}\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|w^{-\frac{1}{q}}dw}$$ 이며 $\displaystyle u=\frac{1}{w}$라고 하면 $$\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|w^{-\frac{1}{q}}dw}=\int_{0}^{\infty}{|K(w^{-1},\,1)|w^{-1-\frac{1}{q}}dw}=\int_{0}^{\infty}{|K(u,\,1)|u^{-\frac{1}{p}}du}=C$$ 이므로 $\|Sg\|_{q}\leq C\|g\|_{q}$이다.      

6.22 $Tf$와 $Sg$를 다음과 같이 정의하자. $$Tf(y)=\frac{1}{y}\int_{0}^{y}{f(x)dx},\,Sg(x)=\int_{x}^{\infty}{\frac{1}{y}g(y)dy}$$ $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$이라고 하면 $1<p\leq\infty$, $1\leq q<\infty$에 대하여 다음이 성립한다. $$\|Tf\|_{p}\leq\frac{p}{p-1}\|f\|_{p},\,\|Sg\|_{q}\leq q\|g\|_{q}$$  

증명: $\displaystyle K(x,\,y)=\frac{1}{y}\chi_{E}(x,\,y)$, $E=\{(x,\,y)\,|\,x<y\}$라 하자. 그러면 $$\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,1)|x^{-\frac{1}{p}}dx}=\int_{0}^{1}{x^{-\frac{1}{p}}dx}=\frac{p}{p-1}=q$$ 이므로 6.21에 의해 성립한다.  

분포함수 

$(X,\,\mathcal{M},\,\mu)$에서의 가측함수 $f$의 분포함수(distribution function) $\lambda_{f}:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$를 다음과 같이 정의한다. $$\lambda_{f}(\alpha)=\mu(\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\})$$  

6.23 

a. $\lambda_{\alpha}$는 감소하는 우연속 함수이다.  

b. $|f|\leq|g|$이면, $\lambda_{f}\leq\lambda_{g}$ 

c. $|f_{n}|$이 $|f|$로 증가하면서 수렴하면, $\lambda_{f_{n}}$도 $\lambda_{f}$로 증가하면서 수렴한다.  

d. $f=g+h$이면, $\displaystyle\lambda_{f}(\alpha)\leq\lambda_{g}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)+\lambda_{h}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)$이다.  

증명: 

a: $E(\alpha,\,f)=\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\}$라 하자. $\alpha<\beta$이면, $E(\beta,\,f)\subset E(\alpha,\,f)$이므로 $\lambda_{f}$는 감소함수이고 $\displaystyle E(\alpha,\,f)=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E\left(\alpha+\frac{1}{n},\,f\right)}$이므로 $\lambda_{f}$는 우연속 함수이다.  

b: $|f|\leq|g|$이면 $E(\alpha,\,f)\subset E(\alpha,\,g)$이므로 $\lambda_{f}\leq\lambda_{g}$이다.  

c: $|f_{n}|$이 $|f|$로 증가하면서 수렴하면 $\displaystyle E(\alpha,\,f)=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E(\alpha,\,f_{n})}$이므로 $\lambda_{f_{n}}$은 $\lambda_{f}$로 증가하면서 수렴한다. 

d: $f=g+h$이면 $\displaystyle E(\alpha,\,f)\subset E\left(\frac{1}{2}\alpha,\,g\right)\cup E\left(\frac{1}{2}\alpha,\,h\right)$이고 $\displaystyle\lambda_{f}(\alpha)\leq\lambda_{g}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)+\lambda_{h}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)$이다.  

모든 $\alpha>0$에 대해 $\lambda_{f}(\alpha)<\infty$라 하자. 6.23의 a에 의해 $\lambda_{f}$는 $(0,\,\infty)$에서 음의 보렐측도 $\nu$를 정의하고 $\nu((a,\,b])=\lambda_{f}(b)-\lambda_{f}(a)\,(0<a<b)$이다. 따라서 $\displaystyle\int_{(0,\,\infty)}{\phi d\lambda_{f}}=\int_{(0,\,\infty)}{\phi d\nu}$는 $(0,\,\infty)$에서 $\phi$의 르베그-스틸체스 적분이다.  

6.24 모든 $\alpha>0$에 대하여 $\lambda_{f}(\alpha)<\infty$이고 $\phi$가 $(0,\,\infty)$에서 음이 아닌 보렐 가측함수이면, 다음의 식이 성립한다. $$\int_{X}{(\phi\circ|f|)d\mu}=-\int_{0}^{\infty}{\phi(\alpha)d\lambda_{f}(\alpha)}$$  

증명: $\nu$가 $\lambda_{f}$에 의해 정의된 음의 측도이면 $$\nu((a,\,b])=\lambda_{f}(b)-\lambda_{f}(a)=-\mu(\{x\,|\,a<|f(x)|\leq b\})=-\mu(|f|^{-1}[(a,\,b]])$$ 이고 1.13의 c에 의해 모든 보렐집합 $E\subset(0,\,\infty)$에 대해 $\nu(E)=-\mu(|f|^{-1}[E])$이다. $\phi=\chi_{E}$라 하면 $$\begin{align*}\int_{X}{(\phi\circ|f|)d\mu}&=\int_{X}{(\chi_{E}\circ|f|)d\mu}=\mu(|f|^{-1}[E])\\&=-\nu(E)=-\int_{0}^{\infty}{\chi_{E}d\nu}\\&=-\int_{0}^{\infty}{\phi(\alpha)d\lambda_{f}(\alpha)}\end{align*}$$ 이고 따라서 $\phi$가 임의의 단순함수 일 때도 성립하며 2.10과 단조수렴정리에 의해 일반적인 경우에도 성립한다.    

6.24에서 $\phi(\alpha)=\alpha^{p}$라 하면 다음의 등식이 성립하고 $$\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=-\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p}d\lambda_{f}(\alpha)}$$ $\alpha\,\rightarrow\,0$, $\alpha,\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\alpha^{p}\lambda_{f}(\alpha)\,\rightarrow\,0$이면, 부분적분을 할 수 있고 이때 식 $\displaystyle\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}$을 얻는다.  

6.25 $0<p<\infty$이면 다음의 식이 성립한다. $$\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}$$  

증명: 적당한 $\alpha>0$에 대해 $\lambda_{f}(\alpha)=\infty$이면 두 적분은 무한대($\infty$)가 된다. 

모든 $\alpha>0$에 대하여 $\lambda_{f}(\alpha)<\infty$, $f$를 단순함수라 하자. $\alpha>0$에 대해 $\lambda_{f}(\alpha)\leq M\,(M>0)$이면 충분히 큰 $\alpha$에 대해 $\lambda_{f}(\alpha)=0$이므로 부분적분을 적용해서 식을 얻는다. 

일반적인 경우 $\{g_{n}\}$을 $|f|$로 증가하면서 수렴하는 단순함수열이라고 하자. 그러면 6.23의 c와 단조수렴정리에 의해 다음의 식이 성립한다. $$\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{g_{n}^{p}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{g_{n}}(\alpha)d\alpha}}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}$$     

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사