[측도론] 6-3 몇 가지 유용한 부등식, 분포함수

[측도론] 6-3 몇 가지 유용한 부등식, 분포함수

몇 가지 유용한 부등식

6.18 체비셰프 부등식(Chebyshev's Inequality) 

\(f\in L^{p}\,(0<p<\infty)\)이면, 임의의 \(\alpha>0\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$\mu(\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\})\leq\left\{\frac{\|f\|_{p}}{\alpha}\right\}^{p}$$  

증명: \(E_{\alpha}=\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\}\)라 하면 다음의 부등식으로부터 성립한다.$$\|f\|_{p}^{p}=\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\geq\int_{E_{\alpha}}{|f|^{p}d\mu}\geq\alpha^{p}\int_{E_{\alpha}}{1d\mu}=\alpha^{p}\mu(E_{\alpha})$$ 

6.19 \((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\), \((Y,\,\mathcal{N},\,\nu)\)를 \(\sigma-\)유한 측도공간, \(K\)를 \(X\times Y\)에서 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-\)가측함수, \(C>0\)가 존재해서 \(a.e.\,y\in Y\)에 대해 \(\displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C\), \(a.e.\,x\in X\)에 대해 \(\displaystyle\int_{Y}{|K(x,\,y)|d\nu(y)}\leq C\), \(1\leq p\leq\infty\)라 하자. \(f\in L^{p}(\nu)\)이면, 다음의 적분$$Tf(x)=\int_{X}{K(x,\,y)f(y)d\nu(y)}$$는 \(a.e.\,x\in X\)에 대해 수렴하고 \(Tf\in L^{p}(\mu)\), \(\|Tf\|_{p}\leq C\|f\|_{p}\)이다.   

증명: 

(i) \(1<p<\infty\), \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)이라 하자.$$|K(x,\,y)f(y)|=|K(x,\,y)|^{\frac{1}{q}}\{|K(x,\,y)|^{\frac{1}{p}}|f(y)|\}$$이므로 횔더 부등식으로부터 \(a.e.\,x\in X\)에 대해$$\int_{Y}{|K(x,\,y)f(y)|d\nu(y)}\leq\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)|d\nu(y)}\right\}^{\frac{1}{q}}\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)||f(y)|^{p}d\nu(y)}\right\}^{\frac{1}{p}}\leq C^{\frac{1}{q}}\left\{\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}\right\}$$이므로 토넬리 정리에 의해$$\int_{X}{\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)f(y)|d\nu(y)}\right\}^{p}d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}}\iint_{X\times Y}{|K(x,\,y)||f(y)|^{p}d\nu(y)d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}+1}\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}$$이고 \(\displaystyle\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}<\infty\)이며 푸비니 정리에 의해 \(a.e.\,x\in X\)에 대해 \(K(x,\,\cdot)f\in L^{1}(\nu)\)이므로 \(Tf\)는 \(a.e.\)잘 정의되어있고 다음의 부등식에 \(p\)승근을 취하면 된다.$$\int_{X}{|Tf(x)|^{p}d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}+1}\|f\|_{p}^{p}$$   

(ii) \(p=1\)일 때는 조건 \(\displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C\)만 필요하고 \(K(x,\,y)f(y)\)는 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-\)가측이므로 푸비니-토넬리 정리를 적용한다.  

(iii) \(p=\infty\)일 때는 조건 \(\displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C\)만 필요하고 이 경우는 자명하다.  

6.20 적분에 대한 민코프스키 부등식(Minkowski's Inequality for Integrals) 

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\), \((Y,\,\mathcal{N},\,\nu)\)를 \(\sigma-\)유한 측도공간, \(f\)를 \(X\times Y\)에서 \(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-\)가측함수라 하자.  

a. \(f\geq0\), \(1\leq p<\infty\)이면, 다음의 부등식이 성립한다.$$\left\{\int_{X}{\left(\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right)^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}\leq\int_{Y}{\left\{\int_{X}{(f(x,\,y))^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}d\nu(y)}$$ 

b. \(1\leq p\leq\infty\)이면, \(a.e.\,y\)에 대해 \(f(\cdot,\,y)\in L^{p}(\mu)\), 함수 \(y\,\mapsto\,\|f(\cdot,\,y)\|_{p}\)가 \(L^{1}(\nu)\)의 원소이면, \(a.e.\,x\)에 대해 \(f(x,\,\cdot)\in L^{1}(\nu)\), 함수 \(\displaystyle x\,\mapsto\,\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\)는 \(L^{p}(\mu)\)의 원소이고 다음의 부등식이 성립한다.$$\left\|\int_{Y}{f(\cdot,\,y)d\nu(y)}\right\|_{p}\leq\int_{Y}{\|f(\cdot,\,y)\|_{p}d\nu(y)}$$

증명: 

(a) \(p=1\)이면 토넬리 정리가 되고 등식이 성립한다. \(1<p<\infty\), \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), \(g\in L^{q}(\mu)\)라 하자. 그러면 토넬리 정리와 횔더 부등식에 의해$$\int_{X}{\left\{\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right\}|g(x)|d\mu(x)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)|g(x)|d\mu(x)d\nu(y)}\leq\|g\|_{q}\int_{Y}{\left\{\int_{X}{(f(x,\,y))^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}d\nu(y)}$$이고 6.14에 의해 성립한다.   

(b) \(p<\infty\)일 때 (a)에서 \(f\)를 \(|f|\)로 교체한 후 푸비니 정리를 적용하고 \(p=\infty\)일 때는 적분의 단조성에 의해 자명하다.  

6.21 \(K\)를 \((0,\,\infty)\times(0,\,\infty)\)에서 르베그 가측함수로 모든 \(\lambda>0\)에 대해 \(\displaystyle K(\lambda x,\,\lambda y)=\frac{1}{\lambda}K(x,\,y)\), 적당한 \(p\in[1,\,\infty]\), \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,1)|x^{-\frac{1}{p}}dx}=C<\infty\)라 하자. \(f\in L^{p}\), \(g\in L^{q}\)에 대하여$$Tf(y)=\int_{0}^{\infty}{K(x,\,y)f(x)dx},\,Sg(x)=\int_{0}^{\infty}{K(x,\,y)g(y)dy}$$라 하면 \(Tf\)와 \(Sg\)는 \(a.e.\)정의되고 \(\|Tf\|_{p}\leq C\|f\|_{p}\), \(\|Sg\|_{q}\leq C\|g\|_{q}\)이다.   

증명: \(\displaystyle z=\frac{x}{y}\)라고 하면$$\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,y)f(x)|dx}=\int_{0}^{\infty}{|K(yz,\,y)f(yz)|ydz}=\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)f_{z}(y)|dz}$$이고 여기서 \(f_{z}(y)=f(yz)\)이다. 또한$$\|f_{z}\|_{p}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|f(yz)|^{p}dy}\right\}^{\frac{1}{p}}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|f(x)|^{p}z^{-1}dx}\right\}^{\frac{1}{p}}=z^{-\frac{1}{p}}\|f\|_{p}$$이므로 적분에 대한 민코프스키 부등식(6.20)에 의해 \(Tf\)는 \(a.e.\)존재하고 다음이 성립한다.$$\|Tf\|_{p}\leq\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)|\|f_{z}\|_{p}dz}=\|f\|_{p}\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)|z^{-\frac{1}{p}}dz}=C\|f\|_{p}$$\(\displaystyle w=\frac{y}{x}\)라고 하면$$\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,y)g(y)|dy}=\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,xw)g(xw)|xdw}=\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)g_{w}(x)|dw}$$이고 여기서 \(g_{w}(x)=g(xw)\)이다. 또한$$\|g_{w}\|_{q}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|g(xw)|^{q}dx}\right\}^{\frac{1}{q}}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|g(y)|^{q}w^{-1}dy}\right\}^{\frac{1}{q}}=w^{-\frac{1}{q}}\|g\|_{q}$$이므로 적분에 대한 민코프스키 부등식에 의해 \(S_{g}\)는 \(a.e.\)존재하고$$\|Sg\|_{q}\leq\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|\|g_{z}\|_{q}dw}=\|g\|_{q}\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|w^{-\frac{1}{q}}dw}$$이며 \(\displaystyle u=\frac{1}{w}\)라고 하면$$\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|w^{-\frac{1}{q}}dw}=\int_{0}^{\infty}{|K(w^{-1},\,1)|w^{-1-\frac{1}{q}}dw}=\int_{0}^{\infty}{|K(u,\,1)|u^{-\frac{1}{p}}du}=C$$이므로 \(\|Sg\|_{q}\leq C\|g\|_{q}\)이다.      

6.22 \(Tf\)와 \(Sg\)를 다음과 같이 정의하자.$$Tf(y)=\frac{1}{y}\int_{0}^{y}{f(x)dx},\,Sg(x)=\int_{x}^{\infty}{\frac{1}{y}g(y)dy}$$\(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)이라고 하면 \(1<p\leq\infty\), \(1\leq q<\infty\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\|Tf\|_{p}\leq\frac{p}{p-1}\|f\|_{p},\,\|Sg\|_{q}\leq q\|g\|_{q}$$ 

증명: \(\displaystyle K(x,\,y)=\frac{1}{y}\chi_{E}(x,\,y)\), \(E=\{(x,\,y)\,|\,x<y\}\)라 하자. 그러면$$\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,1)|x^{-\frac{1}{p}}dx}=\int_{0}^{1}{x^{-\frac{1}{p}}dx}=\frac{p}{p-1}=q$$이므로 6.21에 의해 성립한다.  

분포함수 

\((X,\,\mathcal{M},\,\mu)\)에서의 가측함수 \(f\)의 분포함수(distribution function) \(\lambda_{f}:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)를 다음과 같이 정의한다.$$\lambda_{f}(\alpha)=\mu(\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\})$$ 

6.23 

a. \(\lambda_{\alpha}\)는 감소하는 우연속 함수이다.  

b. \(|f|\leq|g|\)이면, \(\lambda_{f}\leq\lambda_{g}\) 

c. \(|f_{n}|\)이 \(|f|\)로 증가하면서 수렴하면, \(\lambda_{f_{n}}\)도 \(\lambda_{f}\)로 증가하면서 수렴한다.  

d. \(f=g+h\)이면, \(\displaystyle\lambda_{f}(\alpha)\leq\lambda_{g}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)+\lambda_{h}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\)이다.  

증명: 

a: \(E(\alpha,\,f)=\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\}\)라 하자. \(\alpha<\beta\)이면, \(E(\beta,\,f)\subset E(\alpha,\,f)\)이므로 \(\lambda_{f}\)는 감소함수이고 \(\displaystyle E(\alpha,\,f)=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E\left(\alpha+\frac{1}{n},\,f\right)}\)이므로 \(\lambda_{f}\)는 우연속 함수이다.  

b: \(|f|\leq|g|\)이면 \(E(\alpha,\,f)\subset E(\alpha,\,g)\)이므로 \(\lambda_{f}\leq\lambda_{g}\)이다.  

c: \(|f_{n}|\)이 \(|f|\)로 증가하면서 수렴하면 \(\displaystyle E(\alpha,\,f)=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E(\alpha,\,f_{n})}\)이므로 \(\lambda_{f_{n}}\)은 \(\lambda_{f}\)로 증가하면서 수렴한다. 

d: \(f=g+h\)이면 \(\displaystyle E(\alpha,\,f)\subset E\left(\frac{1}{2}\alpha,\,g\right)\cup E\left(\frac{1}{2}\alpha,\,h\right)\)이고 \(\displaystyle\lambda_{f}(\alpha)\leq\lambda_{g}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)+\lambda_{h}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\)이다.  

모든 \(\alpha>0\)에 대해 \(\lambda_{f}(\alpha)<\infty\)라 하자. 6.23의 a에 의해 \(\lambda_{f}\)는 \((0,\,\infty)\)에서 음의 보렐측도 \(\nu\)를 정의하고 \(\nu((a,\,b])=\lambda_{f}(b)-\lambda_{f}(a)\,(0<a<b)\)이다. 따라서 \(\displaystyle\int_{(0,\,\infty)}{\phi d\lambda_{f}}=\int_{(0,\,\infty)}{\phi d\nu}\)는 \((0,\,\infty)\)에서 \(\phi\)의 르베그-스틸체스 적분이다.  

6.24 모든 \(\alpha>0\)에 대하여 \(\lambda_{f}(\alpha)<\infty\)이고 \(\phi\)가 \((0,\,\infty)\)에서 음이 아닌 보렐 가측함수이면, 다음의 식이 성립한다.$$\int_{X}{(\phi\circ|f|)d\mu}=-\int_{0}^{\infty}{\phi(\alpha)d\lambda_{f}(\alpha)}$$ 

증명: \(\nu\)가 \(\lambda_{f}\)에 의해 정의된 음의 측도이면$$\nu((a,\,b])=\lambda_{f}(b)-\lambda_{f}(a)=-\mu(\{x\,|\,a<|f(x)|\leq b\})=-\mu(|f|^{-1}[(a,\,b]])$$이고 1.13의 c에 의해 모든 보렐집합 \(E\subset(0,\,\infty)\)에 대해 \(\nu(E)=-\mu(|f|^{-1}[E])\)이다. \(\phi=\chi_{E}\)라 하면$$\begin{align*}\int_{X}{(\phi\circ|f|)d\mu}&=\int_{X}{(\chi_{E}\circ|f|)d\mu}=\mu(|f|^{-1}[E])\\&=-\nu(E)=-\int_{0}^{\infty}{\chi_{E}d\nu}\\&=-\int_{0}^{\infty}{\phi(\alpha)d\lambda_{f}(\alpha)}\end{align*}$$이고 따라서 \(\phi\)가 임의의 단순함수 일 때도 성립하며 2.10과 단조수렴정리에 의해 일반적인 경우에도 성립한다.    

6.24에서 \(\phi(\alpha)=\alpha^{p}\)라 하면 다음의 등식이 성립하고$$\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=-\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p}d\lambda_{f}(\alpha)}$$\(\alpha\,\rightarrow\,0\), \(\alpha,\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\alpha^{p}\lambda_{f}(\alpha)\,\rightarrow\,0\)이면, 부분적분을 할 수 있고 이때 식 \(\displaystyle\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}\)을 얻는다.  

6.25 \(0<p<\infty\)이면 다음의 식이 성립한다.$$\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}$$ 

증명: 적당한 \(\alpha>0\)에 대해 \(\lambda_{f}(\alpha)=\infty\)이면 두 적분은 무한대(\(\infty\))가 된다. 

모든 \(\alpha>0\)에 대하여 \(\lambda_{f}(\alpha)<\infty\), \(f\)를 단순함수라 하자. \(\alpha>0\)에 대해 \(\lambda_{f}(\alpha)\leq M\,(M>0)\)이면 충분히 큰 \(\alpha\)에 대해 \(\lambda_{f}(\alpha)=0\)이므로 부분적분을 적용해서 식을 얻는다. 

일반적인 경우 \(\{g_{n}\}\)을 \(|f|\)로 증가하면서 수렴하는 단순함수열이라고 하자. 그러면 6.23의 c와 단조수렴정리에 의해 다음의 식이 성립한다.$$\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{g_{n}^{p}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{g_{n}}(\alpha)d\alpha}}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}$$    

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사