[측도론] 6-3 몇 가지 유용한 부등식, 분포함수
몇 가지 유용한 부등식
6.18 체비셰프 부등식(Chebyshev's Inequality)
f∈Lp(0<p<∞)이면, 임의의 α>0에 대해 다음의 부등식이 성립한다.μ({x||f(x)|>α})≤{‖
증명: E_{\alpha}=\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\}라 하면 다음의 부등식으로부터 성립한다.\|f\|_{p}^{p}=\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\geq\int_{E_{\alpha}}{|f|^{p}d\mu}\geq\alpha^{p}\int_{E_{\alpha}}{1d\mu}=\alpha^{p}\mu(E_{\alpha})
6.19 (X,\,\mathcal{M},\,\mu), (Y,\,\mathcal{N},\,\nu)를 \sigma-유한 측도공간, K를 X\times Y에서 \mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-가측함수, C>0가 존재해서 a.e.\,y\in Y에 대해 \displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C, a.e.\,x\in X에 대해 \displaystyle\int_{Y}{|K(x,\,y)|d\nu(y)}\leq C, 1\leq p\leq\infty라 하자. f\in L^{p}(\nu)이면, 다음의 적분Tf(x)=\int_{X}{K(x,\,y)f(y)d\nu(y)}는 a.e.\,x\in X에 대해 수렴하고 Tf\in L^{p}(\mu), \|Tf\|_{p}\leq C\|f\|_{p}이다.
증명:
(i) 1<p<\infty, \displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1이라 하자.|K(x,\,y)f(y)|=|K(x,\,y)|^{\frac{1}{q}}\{|K(x,\,y)|^{\frac{1}{p}}|f(y)|\}이므로 횔더 부등식으로부터 a.e.\,x\in X에 대해\int_{Y}{|K(x,\,y)f(y)|d\nu(y)}\leq\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)|d\nu(y)}\right\}^{\frac{1}{q}}\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)||f(y)|^{p}d\nu(y)}\right\}^{\frac{1}{p}}\leq C^{\frac{1}{q}}\left\{\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}\right\}이므로 토넬리 정리에 의해\int_{X}{\left\{\int_{Y}{|K(x,\,y)f(y)|d\nu(y)}\right\}^{p}d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}}\iint_{X\times Y}{|K(x,\,y)||f(y)|^{p}d\nu(y)d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}+1}\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}이고 \displaystyle\int_{Y}{|f(y)|^{p}d\nu(y)}<\infty이며 푸비니 정리에 의해 a.e.\,x\in X에 대해 K(x,\,\cdot)f\in L^{1}(\nu)이므로 Tf는 a.e.잘 정의되어있고 다음의 부등식에 p승근을 취하면 된다.\int_{X}{|Tf(x)|^{p}d\mu(x)}\leq C^{\frac{p}{q}+1}\|f\|_{p}^{p}
(ii) p=1일 때는 조건 \displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C만 필요하고 K(x,\,y)f(y)는 \mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-가측이므로 푸비니-토넬리 정리를 적용한다.
(iii) p=\infty일 때는 조건 \displaystyle\int_{X}{|K(x,\,y)|d\mu(x)}\leq C만 필요하고 이 경우는 자명하다.
6.20 적분에 대한 민코프스키 부등식(Minkowski's Inequality for Integrals)
(X,\,\mathcal{M},\,\mu), (Y,\,\mathcal{N},\,\nu)를 \sigma-유한 측도공간, f를 X\times Y에서 \mathcal{M}\otimes\mathcal{N}-가측함수라 하자.
a. f\geq0, 1\leq p<\infty이면, 다음의 부등식이 성립한다.\left\{\int_{X}{\left(\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right)^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}\leq\int_{Y}{\left\{\int_{X}{(f(x,\,y))^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}d\nu(y)}
b. 1\leq p\leq\infty이면, a.e.\,y에 대해 f(\cdot,\,y)\in L^{p}(\mu), 함수 y\,\mapsto\,\|f(\cdot,\,y)\|_{p}가 L^{1}(\nu)의 원소이면, a.e.\,x에 대해 f(x,\,\cdot)\in L^{1}(\nu), 함수 \displaystyle x\,\mapsto\,\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}는 L^{p}(\mu)의 원소이고 다음의 부등식이 성립한다.\left\|\int_{Y}{f(\cdot,\,y)d\nu(y)}\right\|_{p}\leq\int_{Y}{\|f(\cdot,\,y)\|_{p}d\nu(y)}
증명:
(a) p=1이면 토넬리 정리가 되고 등식이 성립한다. 1<p<\infty, \displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, g\in L^{q}(\mu)라 하자. 그러면 토넬리 정리와 횔더 부등식에 의해\int_{X}{\left\{\int_{Y}{f(x,\,y)d\nu(y)}\right\}|g(x)|d\mu(x)}=\iint_{X\times Y}{f(x,\,y)|g(x)|d\mu(x)d\nu(y)}\leq\|g\|_{q}\int_{Y}{\left\{\int_{X}{(f(x,\,y))^{p}d\mu(x)}\right\}^{\frac{1}{p}}d\nu(y)}이고 6.14에 의해 성립한다.
(b) p<\infty일 때 (a)에서 f를 |f|로 교체한 후 푸비니 정리를 적용하고 p=\infty일 때는 적분의 단조성에 의해 자명하다.
6.21 K를 (0,\,\infty)\times(0,\,\infty)에서 르베그 가측함수로 모든 \lambda>0에 대해 \displaystyle K(\lambda x,\,\lambda y)=\frac{1}{\lambda}K(x,\,y), 적당한 p\in[1,\,\infty], \displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1에 대하여 \displaystyle\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,1)|x^{-\frac{1}{p}}dx}=C<\infty라 하자. f\in L^{p}, g\in L^{q}에 대하여Tf(y)=\int_{0}^{\infty}{K(x,\,y)f(x)dx},\,Sg(x)=\int_{0}^{\infty}{K(x,\,y)g(y)dy}라 하면 Tf와 Sg는 a.e.정의되고 \|Tf\|_{p}\leq C\|f\|_{p}, \|Sg\|_{q}\leq C\|g\|_{q}이다.
증명: \displaystyle z=\frac{x}{y}라고 하면\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,y)f(x)|dx}=\int_{0}^{\infty}{|K(yz,\,y)f(yz)|ydz}=\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)f_{z}(y)|dz}이고 여기서 f_{z}(y)=f(yz)이다. 또한\|f_{z}\|_{p}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|f(yz)|^{p}dy}\right\}^{\frac{1}{p}}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|f(x)|^{p}z^{-1}dx}\right\}^{\frac{1}{p}}=z^{-\frac{1}{p}}\|f\|_{p}이므로 적분에 대한 민코프스키 부등식(6.20)에 의해 Tf는 a.e.존재하고 다음이 성립한다.\|Tf\|_{p}\leq\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)|\|f_{z}\|_{p}dz}=\|f\|_{p}\int_{0}^{\infty}{|K(z,\,1)|z^{-\frac{1}{p}}dz}=C\|f\|_{p}\displaystyle w=\frac{y}{x}라고 하면\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,y)g(y)|dy}=\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,xw)g(xw)|xdw}=\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)g_{w}(x)|dw}이고 여기서 g_{w}(x)=g(xw)이다. 또한\|g_{w}\|_{q}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|g(xw)|^{q}dx}\right\}^{\frac{1}{q}}=\left\{\int_{0}^{\infty}{|g(y)|^{q}w^{-1}dy}\right\}^{\frac{1}{q}}=w^{-\frac{1}{q}}\|g\|_{q}이므로 적분에 대한 민코프스키 부등식에 의해 S_{g}는 a.e.존재하고\|Sg\|_{q}\leq\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|\|g_{z}\|_{q}dw}=\|g\|_{q}\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|w^{-\frac{1}{q}}dw}이며 \displaystyle u=\frac{1}{w}라고 하면\int_{0}^{\infty}{|K(1,\,w)|w^{-\frac{1}{q}}dw}=\int_{0}^{\infty}{|K(w^{-1},\,1)|w^{-1-\frac{1}{q}}dw}=\int_{0}^{\infty}{|K(u,\,1)|u^{-\frac{1}{p}}du}=C이므로 \|Sg\|_{q}\leq C\|g\|_{q}이다.
6.22 Tf와 Sg를 다음과 같이 정의하자.Tf(y)=\frac{1}{y}\int_{0}^{y}{f(x)dx},\,Sg(x)=\int_{x}^{\infty}{\frac{1}{y}g(y)dy}\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1이라고 하면 1<p\leq\infty, 1\leq q<\infty에 대하여 다음이 성립한다.\|Tf\|_{p}\leq\frac{p}{p-1}\|f\|_{p},\,\|Sg\|_{q}\leq q\|g\|_{q}
증명: \displaystyle K(x,\,y)=\frac{1}{y}\chi_{E}(x,\,y), E=\{(x,\,y)\,|\,x<y\}라 하자. 그러면\int_{0}^{\infty}{|K(x,\,1)|x^{-\frac{1}{p}}dx}=\int_{0}^{1}{x^{-\frac{1}{p}}dx}=\frac{p}{p-1}=q이므로 6.21에 의해 성립한다.
분포함수
(X,\,\mathcal{M},\,\mu)에서의 가측함수 f의 분포함수(distribution function) \lambda_{f}:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,\infty]를 다음과 같이 정의한다.\lambda_{f}(\alpha)=\mu(\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\})
6.23
a. \lambda_{\alpha}는 감소하는 우연속 함수이다.
b. |f|\leq|g|이면, \lambda_{f}\leq\lambda_{g}
c. |f_{n}|이 |f|로 증가하면서 수렴하면, \lambda_{f_{n}}도 \lambda_{f}로 증가하면서 수렴한다.
d. f=g+h이면, \displaystyle\lambda_{f}(\alpha)\leq\lambda_{g}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)+\lambda_{h}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)이다.
증명:
a: E(\alpha,\,f)=\{x\,|\,|f(x)|>\alpha\}라 하자. \alpha<\beta이면, E(\beta,\,f)\subset E(\alpha,\,f)이므로 \lambda_{f}는 감소함수이고 \displaystyle E(\alpha,\,f)=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E\left(\alpha+\frac{1}{n},\,f\right)}이므로 \lambda_{f}는 우연속 함수이다.
b: |f|\leq|g|이면 E(\alpha,\,f)\subset E(\alpha,\,g)이므로 \lambda_{f}\leq\lambda_{g}이다.
c: |f_{n}|이 |f|로 증가하면서 수렴하면 \displaystyle E(\alpha,\,f)=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E(\alpha,\,f_{n})}이므로 \lambda_{f_{n}}은 \lambda_{f}로 증가하면서 수렴한다.
d: f=g+h이면 \displaystyle E(\alpha,\,f)\subset E\left(\frac{1}{2}\alpha,\,g\right)\cup E\left(\frac{1}{2}\alpha,\,h\right)이고 \displaystyle\lambda_{f}(\alpha)\leq\lambda_{g}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)+\lambda_{h}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)이다.
모든 \alpha>0에 대해 \lambda_{f}(\alpha)<\infty라 하자. 6.23의 a에 의해 \lambda_{f}는 (0,\,\infty)에서 음의 보렐측도 \nu를 정의하고 \nu((a,\,b])=\lambda_{f}(b)-\lambda_{f}(a)\,(0<a<b)이다. 따라서 \displaystyle\int_{(0,\,\infty)}{\phi d\lambda_{f}}=\int_{(0,\,\infty)}{\phi d\nu}는 (0,\,\infty)에서 \phi의 르베그-스틸체스 적분이다.
6.24 모든 \alpha>0에 대하여 \lambda_{f}(\alpha)<\infty이고 \phi가 (0,\,\infty)에서 음이 아닌 보렐 가측함수이면, 다음의 식이 성립한다.\int_{X}{(\phi\circ|f|)d\mu}=-\int_{0}^{\infty}{\phi(\alpha)d\lambda_{f}(\alpha)}
증명: \nu가 \lambda_{f}에 의해 정의된 음의 측도이면\nu((a,\,b])=\lambda_{f}(b)-\lambda_{f}(a)=-\mu(\{x\,|\,a<|f(x)|\leq b\})=-\mu(|f|^{-1}[(a,\,b]])이고 1.13의 c에 의해 모든 보렐집합 E\subset(0,\,\infty)에 대해 \nu(E)=-\mu(|f|^{-1}[E])이다. \phi=\chi_{E}라 하면\begin{align*}\int_{X}{(\phi\circ|f|)d\mu}&=\int_{X}{(\chi_{E}\circ|f|)d\mu}=\mu(|f|^{-1}[E])\\&=-\nu(E)=-\int_{0}^{\infty}{\chi_{E}d\nu}\\&=-\int_{0}^{\infty}{\phi(\alpha)d\lambda_{f}(\alpha)}\end{align*}이고 따라서 \phi가 임의의 단순함수 일 때도 성립하며 2.10과 단조수렴정리에 의해 일반적인 경우에도 성립한다.
6.24에서 \phi(\alpha)=\alpha^{p}라 하면 다음의 등식이 성립하고\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=-\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p}d\lambda_{f}(\alpha)}\alpha\,\rightarrow\,0, \alpha,\,\rightarrow\,\infty일 때 \alpha^{p}\lambda_{f}(\alpha)\,\rightarrow\,0이면, 부분적분을 할 수 있고 이때 식 \displaystyle\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}을 얻는다.
6.25 0<p<\infty이면 다음의 식이 성립한다.\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}
증명: 적당한 \alpha>0에 대해 \lambda_{f}(\alpha)=\infty이면 두 적분은 무한대(\infty)가 된다.
모든 \alpha>0에 대하여 \lambda_{f}(\alpha)<\infty, f를 단순함수라 하자. \alpha>0에 대해 \lambda_{f}(\alpha)\leq M\,(M>0)이면 충분히 큰 \alpha에 대해 \lambda_{f}(\alpha)=0이므로 부분적분을 적용해서 식을 얻는다.
일반적인 경우 \{g_{n}\}을 |f|로 증가하면서 수렴하는 단순함수열이라고 하자. 그러면 6.23의 c와 단조수렴정리에 의해 다음의 식이 성립한다.\int_{X}{|f|^{p}d\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{g_{n}^{p}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{g_{n}}(\alpha)d\alpha}}=p\int_{0}^{\infty}{\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha}
참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley
실해석&함수해석학, 방현수, 교우사
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