[측도론] 7-2 정칙성과 근사이론

[측도론] 7-2 정칙성과 근사이론 

7.3 모든 라돈측도는 \(\sigma-\)유한 집합에서 내정칙이다.  

증명: \(\mu\)를 라돈측도, \(E\)를 \(\sigma-\)유한집합이라 하자. \(\mu(E)<\infty\)이면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 열린집합 \(E\subset U\)를 선택해서 \(\mu(U)<\mu(E)+\epsilon\), 컴팩트집합 \(F\subset U\)를 선택해서 \(\mu(F)>\mu(U)-\epsilon\)이 되게 할 수 있다. \(\mu(U-E)<\epsilon\)이므로 열린집합 \(V\)를 선택해서 \(E-U\subset V\)이고 \(\mu(V)<\epsilon\)이 되게 할 수 있다. \(K=F-V\)라고 하면 \(K\)는 컴팩트, \(K\subset E\)$$\mu(K)=\mu(F)-\mu(F\cap V)>\mu(E)-\epsilon-\mu(V)>\mu(E)-2\epsilon$$이므로 \(\mu\)는 \(E\)에서 내정칙이다. 

\(\mu(E)=\infty\)이면 \(\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)(\(E_{i}\subset E_{i+1}\), \(\mu(E_{i})<\infty\), \(\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{i})}=\infty\))이므로 따라서 임의의 \(N\in\mathbb{N}\)에 대해 \(j\)가 존재해서 \(\mu(E_{j})>N\)이고 앞의 결과에 의해 컴팩트집합 \(K\subset E_{i}\)가 존재해서 \(\mu(K)>N\)이므로 \(\mu\)는 \(E\)에서 내정칙이다.   

7.4 모든 \(\sigma-\)유한 라돈측도는 정칙이다. \(X\)가 \(\sigma-\)컴팩트이면, \(X\)상의 모든 라돈측도들은 내정칙이다.  

7.5 \(\mu\)를 \(X\)에서 \(\sigma-\)유한 라돈측도, \(E\subset X\)를 보렐집합이라 하자.  

a. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 열린집합 \(U\)와 닫힌집합 \(F\)가 존재해서 \(F\subset E\subset U\)이고 \(\mu(U-F)<\epsilon\)이다.  

b. \(F_{\sigma}\)집합 \(A\)와 \(G_{\delta}\)집합 \(B\)가 존재해서 \(A\subset E\subset B\)이고 \(\mu(B-A)=0\)이다.  

증명: 

a: \(\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\)(\(E_{i}\)는 서로소, \(\mu(E_{i})<\infty\))라 하고 열린집합 \(U_{i}\)를 선택해서 \(E_{i}\subset U_{i}\), \(\displaystyle\mu(U_{i})<\mu(E_{i})+\epsilon2^{-i-1}\), \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\)라고 하자. 그러면 \(U\)는 열린집합, \(E\subset U\)이고 다음이 성립한다.$$\mu(U-E)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i}-E_{i})}<\frac{\epsilon}{2}$$\(E^{c}\)에 대해서도 같은 이유로 열린집합 \(V\)가 존재해서 \(E^{c}\subset V\), \(\displaystyle\mu(V-E^{c})<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(F=V^{c}\)라고 하면 \(F\)는 닫힌집합, \(F\subset E\)이고 다음이 성립한다.$$\mu(U-F)=\mu(U-E)+\mu(E-F)=\mu(U-E)+\mu(V-E^{c})<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 

b: a에 의해 열린집합 \(U_{i}\)와 닫힌집합 \(F_{i}\)가 존재해서 \(F_{i}\subset E\subset U_{i}\)이고 \(\displaystyle\mu(U_{i}-F_{i})<\frac{1}{i}\)이다. 집합 \(A\)와 \(B\)를 다음과 같이 정의하자.$$A=\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}},\,B=\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}$$그러면 \(A\)는 \(F_{\sigma}\)집합, \(B\)는 \(G_{\delta}\)집합이고$$B-A=\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}-\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}=\bigcap_{i=1}^{\infty}{(U_{i}-F_{i})}$$이므로 따라서 다음이 성립한다.$$\mu(B-A)=\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{(U_{i}-F_{i})}\right)\leq\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(U_{i}-F_{i})}<\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{i}}=0$$  

7.6 \(X\)를 모든 열린집합이 \(\sigma-\)컴팩트인 LCH공간이라고 하자(예를 들면 \(X\)는 제2가산). 그러면 컴팩트집합에서 유한한 \(X\)상의 모든 보렐측도는 정칙이고 따라서 라돈측도이다.  

증명: \(\mu\)가 컴팩트집합에서 유한한 보렐측도이면, \(C_{c}(X)\subset L^{1}(\mu)\)이므로 사상 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\)는 \(C_{c}(X)\)에서 양 선형범함수이다. \(\nu\)를 7.2(리즈 표현정리)에서의 라돈측도라 하자. \(U\subset X\)가 열린집합일 때 \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{K_{i}}\)(\(K_{i}\)는 컴팩트), \(f_{1}\in C_{c}(X)\)을 선택해서 \(f_{1}\prec U\), \(f_{1}|_{K_{1}}=1\)이라 하자. 귀납적으로 \(n>1\)에 대해 \(f_{n}\in C_{c}(X)\)를 선택해서 \(f_{n}\prec U\)이고, \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{K_{i}}\), \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n-1}{\text{supp}(f_{i})}\)에서 \(f_{n}=1\)이라 하자. 그러면 \(f_{n}\)은 \(\chi_{U}\)로 증가하면서 수렴하고 단조수렴정리에 의해 다음이 성립한다.$$\mu(U)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\nu}}=\nu(U)$$\(E\)가 임의의 보렐집합이고 \(\epsilon>0\)이면, 7.5에 의해 열린집합 \(V\)와 닫힌집합 \(F\)가 존재해서 \(F\subset E\subset V\)이고 \(\nu(V-F)<\epsilon\)이다. \(V-F\)는 열린집합이므로 \(\mu(V-F)=\nu(V-F)<\epsilon\)이고 \(\mu(V)\leq\mu(E)+\epsilon\)이므로 \(\mu\)는 외정칙이다. 또한 \(\mu(F)\geq\mu(E)-\epsilon\)이고 \(F\)가 \(\sigma-\)컴팩트(\(\because\,X\))이므로 컴팩트집합열 \(\{K_{i}\}\)가 존재해서 \(K_{i}\subset F\), \(\mu(K_{i})\,\rightarrow\,\mu(F)\)이므로 \(\mu\)는 내정칙이다. 따라서 \(\mu\)는 정칙이고 7.2의 유일성에 의해 \(\mu=\nu\)이다. 

7.7 \(\mu\)가 \(X\)에서 라돈측도이면, \(C_{c}(X)\)는 \(L^{p}(\mu)\,(1\leq p<\infty)\)에서 조밀하다.   

증명: 6.5에 의해 단순함수들은 \(L^{p}\)에서 조밀하므로 임의의 보렐집합 \(E\)(\(\mu(E)<\infty\))에 대해 \(\chi_{E}\)를 \(L^{p}\)노름에서 \(C_{c}(X)\)의 원소로 근사시킬 수 있음을 보이면 된다. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 7.3에 의해 컴팩트집합 \(K\)와 열린집합 \(U\)가 존재해서 \(K\subset E\subset U\), \(\mu(U-K)<\epsilon\)이고 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 \(f\in C_{c}(X)\)를 선택해서 \(\chi_{K}\leq f\leq\chi_{U}\)가 되게 할 수 있다(\(K\subset E\subset U\)). 그러면 \(\|\chi_{E}-f\|_{p}\leq\{\mu(U-K)\}^{\frac{1}{p}}<\epsilon^{\frac{1}{p}}\)이다.   

7.8 루진 정리(Lusin's Theorem) 

\(\mu\)를 \(X\)상의 라돈측도, \(f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 유한측도집합 바깥에서 소멸하는 가측함수라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\phi\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(\mu(\{x\in X\,|\,f(x)\neq\phi(x)\})<\epsilon\)이고 \(\phi\)가 유계이면 \(\|\phi\|_{u}\leq\|f\|_{u}\)가 되게 선택할 수 있다.  

증명: \(E=\{x\,|\,f(x)\neq0\}\), \(f\)를 유계라 하자. 그러면 \(f\in L^{1}(\mu)\)이고 7.7에 의해 \(C_{c}(X)\)상의 \(\{g_{n}\}\)이 존재해서 \(L^{1}\)에서 \(f\)로 수렴하고 2.32에 의해 부분수열이 \(f\)로 \(a.e.\)수렴한다. 에고로프 정리에 의해 집합 \(A\subset E\)가 존재해서 \(\displaystyle\mu(E-A)<\frac{\epsilon}{3}\)이고 \(A\)에서 \(g_{n}\)은 \(f\)로 균등수렴하며 컴팩트집합 \(B\subset A\)와 열린집합 \(E\subset U\)가 존재해서 \(\displaystyle\mu(A-B)<\frac{\epsilon}{3}\), \(\displaystyle\mu(U-E)<\frac{\epsilon}{3}\)이다. \(g_{n}\)은 \(B\)에서 \(f\)로 균등수렴하므로 \(f|_{B}\)는 연속함수이고 티체의 확장정리(4.31)에 의해 \(h\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(h|_{B}=f\)이고 \(\text{supp}(h)\subset U\)이다. 그러면 \(\{x\,|\,f(x)\neq h(x)\}\subset U-B\), \(\mu(\{x\,|\,f(x)\neq h(x)\})<\epsilon\)이다. 증명을 완성하기 위해 \(\beta:\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를$$\beta(z)=\begin{cases}z&\,(|z|\leq\|f\|_{u})\\ \|f\|_{u}\text{sgn}z&\,(|z|>\|f\|_{u})\end{cases}$$로 정의하고 \(\phi=\beta\circ h\)라 하자. 그러면 \(\beta\)가 연속이고 \(\beta(0)=0\)이므로 \(\phi\in C_{c}(X)\)이고 \(\|\phi\|_{u}\leq\|f\|_{u}\), 집합 \(\{x\,|\,h(x)=f(x)\}\)에서 \(\phi=f\)이다. 

\(f\)가 유계가 아니면 \(A_{n}=\{x\,|\,0<|f(x)|\leq n\}\)이라 하자. 그러면 \(A_{n}\subset A_{n+1}\), \(A_{n}\,\rightarrow\,E\)이므로 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(\displaystyle\mu(E-A_{n})<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(f\)가 유계인 경우처럼 \(\phi\in C_{c}(X)\)가 존재해서 측도가 \(\displaystyle\frac{\epsilon}{2}\)보다 작은 집합을 제외하고 \(\phi=f\chi_{A_{n}}\)이고 따라서 측도가 \(\epsilon\)보다 작은 집합을 제외하고 \(\phi=f\)이다.   

\(X\)를 위상공간이라 하자. 함수 \(f:X\,\rightarrow\,(-\infty,\,\infty]\)를 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\{x\,|\,f(x)>a\}\)가 열린집합이면 하반연속(lower semicontinuous, LSC)함수, 함수 \(f:X\,\rightarrow\,[-\infty,\,\infty)\)를 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\{x\,|\,f(x)<a\}\)가 열린집합이면 상반연속(upper semicontinuous)이라고 한다.  

7.9 \(X\)를 위상공간이라 하자.  

a. \(U\subset X\)가 열린집합이면 \(\chi_{U}\)는 LSC이다.  

b. \(f\)가 LSC이고 \(c\in[0,\,\infty)\)이면, \(cf\)는 LSC이다.  

c. \(\mathcal{G}\)가 LSC함수들의 집합족이고 \(\displaystyle f(x)=\sup_{g\in\mathcal{G}}{g(x)}\)이면, \(f\)는 LSC이다.  

d. \(f_{1}\), \(f_{2}\)가 LSC이면, \(f_{1}+f_{2}\)도 LSC이다.  

e. \(X\)가 LCH공간, \(f\)가 음이 아닌 LSC이면, 다음이 성립한다.$$f(x)=\sup\{g(x)\,|\,g\in C_{c}(X),\,0\leq g\leq f\}$$ 

증명:

a, b: 자명하다.  

c: \(\displaystyle f^{-1}[(a,\,\infty]]=\bigcup_{g\in\mathcal{G}}{g^{-1}[(a,\,\infty]]}\) 

d: \(f_{1}(x_{0})+f_{2}(x_{0})>a\)이면, \(\epsilon>0\)을 선택해서 \(f_{1}(x_{0})>a-f_{2}(x_{0})+\epsilon\)이라 하자. 그러면$$\{x\,|\,f_{1}(x)>a-f_{2}(x_{0})+\epsilon\}\cap\{x\,|\,f_{2}(x)>f_{2}(x_{0})-\epsilon\}\subset\{x\,|\,(f_{1}+f_{2})(x)>a\}$$이고 \(\{x\,|\,(f_{1}+f_{2})(x)>a\}\)는 \(x_{0}\)의 근방이므로 \(f_{1}+f_{2}\)는 LSC이다.  

e: \(X\)가 LCH, \(f(x)>0\), \(0<a<f(x)\)이면, \(U=\{y\,|\,f(y)>a\}\)는 \(x\)를 포함하는 열린집합이고 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 \(g\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(g(x)=a\)이고 \(0\leq g\leq a\chi_{U}\leq f\)이므로 \(f(x)>0\)일 때 e가 성립한다. \(f(x)=0\)인 경우는 자명하다.  

7.10 \(\mathcal{G}\)를 LCH공간 \(X\)상의 음이 아닌 LSC함수들의 집합족이고, 모든 \(g_{1},\,g_{2}\in\mathcal{G}\)에 대해 \(g\in\mathcal{G}\)가 존재해서 \(g_{1}\leq g\), \(g_{2}\leq g\), \(\displaystyle f=\sup_{g\in\mathcal{G}}{g}\)라 하자. \(\mu\)가 \(X\)상의 임의의 라돈측도이면, \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\sup_{g\in\mathcal{G}}{\int_{X}{gd\mu}}\)이다.  

증명: 7.9c에 의해 \(f\)는 LSC이고 따라서 보렐가측이며 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\geq\sup_{g\in\mathcal{G}}{\int_{X}{fd\mu}}\)이다. \(\phi_{n}\)을 \(f\)로 증가하면서 수렴하는 단순함수열(2.10)이라 하고 다음과 같이 정의하자.$$\phi_{n}=\frac{1}{2^{n}}\sum_{i=1}^{2^{2n}}{\chi_{U_{ni}}}\,\left(U_{ni}=\left\{x\,|\,f(x)>\frac{i}{2^{n}}\right\}\right)$$단조수렴정리에 의해 \(\displaystyle a<\int_{X}{fd\mu}\)에 대해 충분히 큰 \(n\)을 고정시켜 다음이 성립하게 할 수 있다.$$\frac{1}{2^{n}}\sum_{i=1}^{2^{2n}}{\mu(U_{ni})}=\int_{X}{\phi_{n}d\mu}>a$$\(U_{ni}\)는 열린집합이므로 컴팩트집합 \(K_{i}\subset U_{i}\,(1\leq i\leq2^{2n})\)가 존재해서 \(\displaystyle\frac{1}{2^{n}}\sum_{i=1}^{2^{2n}}{\mu(K_{i})}>a\)이다. \(\displaystyle\psi=\sum_{i=1}^{2^{2n}}{\chi_{K_{i}}}\)라고 하자. \(\displaystyle x\in\bigcup_{i=1}^{2^{2n}}{K_{i}}\)에 대하여 \(\psi(x)\leq\phi_{n}(x)<f(x)\)이므로 \(g_{x}\in\mathcal{G}\)를 선택해서 \(g_{x}(x)>\psi(x)\)가 되게 할 수 있다. \(-\chi_{K_{i}}\)는 LSC이므로 7.9d에 의해 \(g_{x}-\psi\)는 LSC이고 따라서 \(V_{x}=\{y\,|\,\phi(y)<g_{x}(y)\}\)는 열린집합이고 \(\displaystyle\left\{V_{x}\,|\,x\in\bigcup_{i=1}^{2^{2n}}{K_{i}}\right\}\)는 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{K_{i}}\)의 한 열린덮개이며 유한부분덮개 \(V_{x_{1}},\,...,\,V_{x_{n}}\)이 존재한다. \(g\in\mathcal{G}\)를 선택해서 \(g_{x_{k}}\leq g\,(k=1,\,...,\,m)\)라 하면 \(\psi\leq g\)이고 \(\displaystyle\int_{X}{gd\mu}>a\)이다. \(a\)는 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\)보다 작은 임의의 수 이므로 \(\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\leq\sup_{g\in\mathcal{G}}{\int_{X}{gd\mu}}\)이다.  

7.11 \(\mu\)가 라돈측도, \(f\)가 음이 아닌 LSC이면, 다음이 성립한다.$$\int_{X}{fd\mu}=\sup\left\{\int_{X}{gd\mu}\,|\,g\in C_{c}(X),\,0\leq g\leq f\right\}$$ 

증명: 7.9e를 7.10에 적용한다.  

7.12 \(\mu\)가 라돈측도, \(f\)가 음이 아닌 보렐 가측함수이면, 다음이 성립하고,$$\int_{X}{fd\mu}=\inf\left\{\int_{X}{gd\mu}\,|\,g\geq f,\,g\,\text{is LSC}\right\}$$\(\{x\,|\,f(x)>0\}\)가 \(\sigma-\)유한이면, 다음이 성립한다. 

증명: \(\{\phi_{n}\}\)을 \(f\)로 증가하며 점별수렴하는 음이 아닌 단순함수열이라 하자. 그러면 \(\displaystyle f=\phi_{1}+\sum_{n=2}^{\infty}{(\phi_{n}-\phi_{n-1})}\)이고 급수의 각 항들은 음이 아닌 단순함수이므로 \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\,(a_{i}>0)\)로 나타낼 수 있다. \(\epsilon>0\)과 \(i\)에 대하여 열린집합 \(U_{i}\)를 선택해서 \(E_{i}\subset U_{i}\), \(\displaystyle\mu(U_{i})\leq\mu(E_{i})+\frac{\epsilon}{2^{i}a_{i}}\)이라 하자. 그러면 7.9d에 의해 \(\displaystyle g=\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}\chi_{U_{i}}}\)는 LSC이고 \(g\geq f\), \(\displaystyle\int_{X}{gd\mu}\leq\int_{X}{fd\mu}+\epsilon\)이므로 다음이 성립한다.$$\int_{X}{fd\mu}=\inf\left\{\int_{X}{gd\mu}\,|\,g\geq f,\,g\,\text{is LSC}\right\}$$\(\displaystyle a<\int_{X}{fd\mu}\)이면, \(N\)을 충분히 크고 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{a_{i}\mu(E_{i})}>a\)라고 하자. \(E_{i}\)들은 \(\sigma-\)유한이므로 7.3에 의해 컴팩트집합 \(K_{i}\subset E_{i}\)가 존재해서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{a_{i}\mu(K_{i})}>a\)이므로 따라서 \(\displaystyle g=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{K_{i}}}\)라 하면 \(g\)는 USC, \(g\leq f\), \(\displaystyle\int_{X}{gd\mu}>a\)이고 다음이 성립한다.$$\int_{X}{fd\mu}=\sup\left\{\int_{X}{gd\mu}\,|\,0\leq g\leq f,\,g\,\text{is USC}\right\}$$

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley 

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사