[측도론] 7-2 정칙성과 근사이론

[측도론] 7-2 정칙성과 근사이론 

7.3 모든 라돈측도는 $\sigma-$유한 집합에서 내정칙이다.  

증명: $\mu$를 라돈측도, $E$를 $\sigma-$유한집합이라 하자. $\mu(E)<\infty$이면 임의의 $\epsilon>0$에 대해 열린집합 $E\subset U$를 선택해서 $\mu(U)<\mu(E)+\epsilon$, 컴팩트집합 $F\subset U$를 선택해서 $\mu(F)>\mu(U)-\epsilon$이 되게 할 수 있다. $\mu(U-E)<\epsilon$이므로 열린집합 $V$를 선택해서 $E-U\subset V$이고 $\mu(V)<\epsilon$이 되게 할 수 있다. $K=F-V$라고 하면 $K$는 컴팩트, $K\subset E$ $$\mu(K)=\mu(F)-\mu(F\cap V)>\mu(E)-\epsilon-\mu(V)>\mu(E)-2\epsilon$$ 이므로 $\mu$는 $E$에서 내정칙이다. 

$\mu(E)=\infty$이면 $\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$($E_{i}\subset E_{i+1}$, $\mu(E_{i})<\infty$, $\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(E_{i})}=\infty$)이므로 따라서 임의의 $N\in\mathbb{N}$에 대해 $j$가 존재해서 $\mu(E_{j})>N$이고 앞의 결과에 의해 컴팩트집합 $K\subset E_{i}$가 존재해서 $\mu(K)>N$이므로 $\mu$는 $E$에서 내정칙이다.   

7.4 모든 $\sigma-$유한 라돈측도는 정칙이다. $X$가 $\sigma-$컴팩트이면, $X$상의 모든 라돈측도들은 내정칙이다.  

7.5 $\mu$를 $X$에서 $\sigma-$유한 라돈측도, $E\subset X$를 보렐집합이라 하자.  

a. 임의의 $\epsilon>0$에 대해 열린집합 $U$와 닫힌집합 $F$가 존재해서 $F\subset E\subset U$이고 $\mu(U-F)<\epsilon$이다.  

b. $F_{\sigma}$집합 $A$와 $G_{\delta}$집합 $B$가 존재해서 $A\subset E\subset B$이고 $\mu(B-A)=0$이다.  

증명: 

a: $\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}$($E_{i}$는 서로소, $\mu(E_{i})<\infty$)라 하고 열린집합 $U_{i}$를 선택해서 $E_{i}\subset U_{i}$, $\displaystyle\mu(U_{i})<\mu(E_{i})+\epsilon2^{-i-1}$, $\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}$라고 하자. 그러면 $U$는 열린집합, $E\subset U$이고 다음이 성립한다. $$\mu(U-E)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i}-E_{i})}<\frac{\epsilon}{2}$$ $E^{c}$에 대해서도 같은 이유로 열린집합 $V$가 존재해서 $E^{c}\subset V$, $\displaystyle\mu(V-E^{c})<\frac{\epsilon}{2}$이다. $F=V^{c}$라고 하면 $F$는 닫힌집합, $F\subset E$이고 다음이 성립한다. $$\mu(U-F)=\mu(U-E)+\mu(E-F)=\mu(U-E)+\mu(V-E^{c})<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$  

b: a에 의해 열린집합 $U_{i}$와 닫힌집합 $F_{i}$가 존재해서 $F_{i}\subset E\subset U_{i}$이고 $\displaystyle\mu(U_{i}-F_{i})<\frac{1}{i}$이다. 집합 $A$와 $B$를 다음과 같이 정의하자. $$A=\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}},\,B=\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}$$ 그러면 $A$는 $F_{\sigma}$집합, $B$는 $G_{\delta}$집합이고 $$B-A=\bigcap_{i=1}^{\infty}{U_{i}}-\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}=\bigcap_{i=1}^{\infty}{(U_{i}-F_{i})}$$ 이므로 따라서 다음이 성립한다. $$\mu(B-A)=\mu\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}{(U_{i}-F_{i})}\right)\leq\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\mu(U_{i}-F_{i})}<\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{i}}=0$$   

7.6 $X$를 모든 열린집합이 $\sigma-$컴팩트인 LCH공간이라고 하자(예를 들면 $X$는 제2가산). 그러면 컴팩트집합에서 유한한 $X$상의 모든 보렐측도는 정칙이고 따라서 라돈측도이다.  

증명: $\mu$가 컴팩트집합에서 유한한 보렐측도이면, $C_{c}(X)\subset L^{1}(\mu)$이므로 사상 $\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}$는 $C_{c}(X)$에서 양 선형범함수이다. $\nu$를 7.2(리즈 표현정리)에서의 라돈측도라 하자. $U\subset X$가 열린집합일 때 $\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{K_{i}}$($K_{i}$는 컴팩트), $f_{1}\in C_{c}(X)$을 선택해서 $f_{1}\prec U$, $f_{1}|_{K_{1}}=1$이라 하자. 귀납적으로 $n>1$에 대해 $f_{n}\in C_{c}(X)$를 선택해서 $f_{n}\prec U$이고, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{K_{i}}$, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n-1}{\text{supp}(f_{i})}$에서 $f_{n}=1$이라 하자. 그러면 $f_{n}$은 $\chi_{U}$로 증가하면서 수렴하고 단조수렴정리에 의해 다음이 성립한다. $$\mu(U)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\nu}}=\nu(U)$$ $E$가 임의의 보렐집합이고 $\epsilon>0$이면, 7.5에 의해 열린집합 $V$와 닫힌집합 $F$가 존재해서 $F\subset E\subset V$이고 $\nu(V-F)<\epsilon$이다. $V-F$는 열린집합이므로 $\mu(V-F)=\nu(V-F)<\epsilon$이고 $\mu(V)\leq\mu(E)+\epsilon$이므로 $\mu$는 외정칙이다. 또한 $\mu(F)\geq\mu(E)-\epsilon$이고 $F$가 $\sigma-$컴팩트($\because\,X$)이므로 컴팩트집합열 $\{K_{i}\}$가 존재해서 $K_{i}\subset F$, $\mu(K_{i})\,\rightarrow\,\mu(F)$이므로 $\mu$는 내정칙이다. 따라서 $\mu$는 정칙이고 7.2의 유일성에 의해 $\mu=\nu$이다. 

7.7 $\mu$가 $X$에서 라돈측도이면, $C_{c}(X)$는 $L^{p}(\mu)\,(1\leq p<\infty)$에서 조밀하다.   

증명: 6.5에 의해 단순함수들은 $L^{p}$에서 조밀하므로 임의의 보렐집합 $E$($\mu(E)<\infty$)에 대해 $\chi_{E}$를 $L^{p}$노름에서 $C_{c}(X)$의 원소로 근사시킬 수 있음을 보이면 된다. 임의의 $\epsilon>0$에 대해 7.3에 의해 컴팩트집합 $K$와 열린집합 $U$가 존재해서 $K\subset E\subset U$, $\mu(U-K)<\epsilon$이고 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 $f\in C_{c}(X)$를 선택해서 $\chi_{K}\leq f\leq\chi_{U}$가 되게 할 수 있다($K\subset E\subset U$). 그러면 $\|\chi_{E}-f\|_{p}\leq\{\mu(U-K)\}^{\frac{1}{p}}<\epsilon^{\frac{1}{p}}$이다.   

7.8 루진 정리(Lusin's Theorem) 

$\mu$를 $X$상의 라돈측도, $f:X\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 유한측도집합 바깥에서 소멸하는 가측함수라 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\phi\in C_{c}(X)$가 존재해서 $\mu(\{x\in X\,|\,f(x)\neq\phi(x)\})<\epsilon$이고 $\phi$가 유계이면 $\|\phi\|_{u}\leq\|f\|_{u}$가 되게 선택할 수 있다.  

증명: $E=\{x\,|\,f(x)\neq0\}$, $f$를 유계라 하자. 그러면 $f\in L^{1}(\mu)$이고 7.7에 의해 $C_{c}(X)$상의 $\{g_{n}\}$이 존재해서 $L^{1}$에서 $f$로 수렴하고 2.32에 의해 부분수열이 $f$로 $a.e.$수렴한다. 에고로프 정리에 의해 집합 $A\subset E$가 존재해서 $\displaystyle\mu(E-A)<\frac{\epsilon}{3}$이고 $A$에서 $g_{n}$은 $f$로 균등수렴하며 컴팩트집합 $B\subset A$와 열린집합 $E\subset U$가 존재해서 $\displaystyle\mu(A-B)<\frac{\epsilon}{3}$, $\displaystyle\mu(U-E)<\frac{\epsilon}{3}$이다. $g_{n}$은 $B$에서 $f$로 균등수렴하므로 $f|_{B}$는 연속함수이고 티체의 확장정리(4.31)에 의해 $h\in C_{c}(X)$가 존재해서 $h|_{B}=f$이고 $\text{supp}(h)\subset U$이다. 그러면 $\{x\,|\,f(x)\neq h(x)\}\subset U-B$, $\mu(\{x\,|\,f(x)\neq h(x)\})<\epsilon$이다. 증명을 완성하기 위해 $\beta:\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 $$\beta(z)=\begin{cases}z&\,(|z|\leq\|f\|_{u})\\ \|f\|_{u}\text{sgn}z&\,(|z|>\|f\|_{u})\end{cases}$$ 로 정의하고 $\phi=\beta\circ h$라 하자. 그러면 $\beta$가 연속이고 $\beta(0)=0$이므로 $\phi\in C_{c}(X)$이고 $\|\phi\|_{u}\leq\|f\|_{u}$, 집합 $\{x\,|\,h(x)=f(x)\}$에서 $\phi=f$이다. 

$f$가 유계가 아니면 $A_{n}=\{x\,|\,0<|f(x)|\leq n\}$이라 하자. 그러면 $A_{n}\subset A_{n+1}$, $A_{n}\,\rightarrow\,E$이므로 충분히 큰 $n$에 대해 $\displaystyle\mu(E-A_{n})<\frac{\epsilon}{2}$이다. $f$가 유계인 경우처럼 $\phi\in C_{c}(X)$가 존재해서 측도가 $\displaystyle\frac{\epsilon}{2}$보다 작은 집합을 제외하고 $\phi=f\chi_{A_{n}}$이고 따라서 측도가 $\epsilon$보다 작은 집합을 제외하고 $\phi=f$이다.   

$X$를 위상공간이라 하자. 함수 $f:X\,\rightarrow\,(-\infty,\,\infty]$를 모든 $a\in\mathbb{R}$에 대하여 $\{x\,|\,f(x)>a\}$가 열린집합이면 하반연속(lower semicontinuous, LSC)함수, 함수 $f:X\,\rightarrow\,[-\infty,\,\infty)$를 모든 $a\in\mathbb{R}$에 대하여 $\{x\,|\,f(x)<a\}$가 열린집합이면 상반연속(upper semicontinuous)이라고 한다.  

7.9 $X$를 위상공간이라 하자.  

a. $U\subset X$가 열린집합이면 $\chi_{U}$는 LSC이다.  

b. $f$가 LSC이고 $c\in[0,\,\infty)$이면, $cf$는 LSC이다.  

c. $\mathcal{G}$가 LSC함수들의 집합족이고 $\displaystyle f(x)=\sup_{g\in\mathcal{G}}{g(x)}$이면, $f$는 LSC이다.  

d. $f_{1}$, $f_{2}$가 LSC이면, $f_{1}+f_{2}$도 LSC이다.  

e. $X$가 LCH공간, $f$가 음이 아닌 LSC이면, 다음이 성립한다. $$f(x)=\sup\{g(x)\,|\,g\in C_{c}(X),\,0\leq g\leq f\}$$  

증명:

a, b: 자명하다.  

c: $\displaystyle f^{-1}[(a,\,\infty]]=\bigcup_{g\in\mathcal{G}}{g^{-1}[(a,\,\infty]]}$ 

d: $f_{1}(x_{0})+f_{2}(x_{0})>a$이면, $\epsilon>0$을 선택해서 $f_{1}(x_{0})>a-f_{2}(x_{0})+\epsilon$이라 하자. 그러면 $$\{x\,|\,f_{1}(x)>a-f_{2}(x_{0})+\epsilon\}\cap\{x\,|\,f_{2}(x)>f_{2}(x_{0})-\epsilon\}\subset\{x\,|\,(f_{1}+f_{2})(x)>a\}$$ 이고 $\{x\,|\,(f_{1}+f_{2})(x)>a\}$는 $x_{0}$의 근방이므로 $f_{1}+f_{2}$는 LSC이다.  

e: $X$가 LCH, $f(x)>0$, $0<a<f(x)$이면, $U=\{y\,|\,f(y)>a\}$는 $x$를 포함하는 열린집합이고 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 $g\in C_{c}(X)$가 존재해서 $g(x)=a$이고 $0\leq g\leq a\chi_{U}\leq f$이므로 $f(x)>0$일 때 e가 성립한다. $f(x)=0$인 경우는 자명하다.  

7.10 $\mathcal{G}$를 LCH공간 $X$상의 음이 아닌 LSC함수들의 집합족이고, 모든 $g_{1},\,g_{2}\in\mathcal{G}$에 대해 $g\in\mathcal{G}$가 존재해서 $g_{1}\leq g$, $g_{2}\leq g$, $\displaystyle f=\sup_{g\in\mathcal{G}}{g}$라 하자. $\mu$가 $X$상의 임의의 라돈측도이면, $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}=\sup_{g\in\mathcal{G}}{\int_{X}{gd\mu}}$이다.  

증명: 7.9c에 의해 $f$는 LSC이고 따라서 보렐가측이며 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\geq\sup_{g\in\mathcal{G}}{\int_{X}{fd\mu}}$이다. $\phi_{n}$을 $f$로 증가하면서 수렴하는 단순함수열(2.10)이라 하고 다음과 같이 정의하자. $$\phi_{n}=\frac{1}{2^{n}}\sum_{i=1}^{2^{2n}}{\chi_{U_{ni}}}\,\left(U_{ni}=\left\{x\,|\,f(x)>\frac{i}{2^{n}}\right\}\right)$$ 단조수렴정리에 의해 $\displaystyle a<\int_{X}{fd\mu}$에 대해 충분히 큰 $n$을 고정시켜 다음이 성립하게 할 수 있다. $$\frac{1}{2^{n}}\sum_{i=1}^{2^{2n}}{\mu(U_{ni})}=\int_{X}{\phi_{n}d\mu}>a$$ $U_{ni}$는 열린집합이므로 컴팩트집합 $K_{i}\subset U_{i}\,(1\leq i\leq2^{2n})$가 존재해서 $\displaystyle\frac{1}{2^{n}}\sum_{i=1}^{2^{2n}}{\mu(K_{i})}>a$이다. $\displaystyle\psi=\sum_{i=1}^{2^{2n}}{\chi_{K_{i}}}$라고 하자. $\displaystyle x\in\bigcup_{i=1}^{2^{2n}}{K_{i}}$에 대하여 $\psi(x)\leq\phi_{n}(x)<f(x)$이므로 $g_{x}\in\mathcal{G}$를 선택해서 $g_{x}(x)>\psi(x)$가 되게 할 수 있다. $-\chi_{K_{i}}$는 LSC이므로 7.9d에 의해 $g_{x}-\psi$는 LSC이고 따라서 $V_{x}=\{y\,|\,\phi(y)<g_{x}(y)\}$는 열린집합이고 $\displaystyle\left\{V_{x}\,|\,x\in\bigcup_{i=1}^{2^{2n}}{K_{i}}\right\}$는 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{K_{i}}$의 한 열린덮개이며 유한부분덮개 $V_{x_{1}},\,...,\,V_{x_{n}}$이 존재한다. $g\in\mathcal{G}$를 선택해서 $g_{x_{k}}\leq g\,(k=1,\,...,\,m)$라 하면 $\psi\leq g$이고 $\displaystyle\int_{X}{gd\mu}>a$이다. $a$는 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}$보다 작은 임의의 수 이므로 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}\leq\sup_{g\in\mathcal{G}}{\int_{X}{gd\mu}}$이다.  

7.11 $\mu$가 라돈측도, $f$가 음이 아닌 LSC이면, 다음이 성립한다. $$\int_{X}{fd\mu}=\sup\left\{\int_{X}{gd\mu}\,|\,g\in C_{c}(X),\,0\leq g\leq f\right\}$$  

증명: 7.9e를 7.10에 적용한다.  

7.12 $\mu$가 라돈측도, $f$가 음이 아닌 보렐 가측함수이면, 다음이 성립하고, $$\int_{X}{fd\mu}=\inf\left\{\int_{X}{gd\mu}\,|\,g\geq f,\,g\,\text{is LSC}\right\}$$ $\{x\,|\,f(x)>0\}$가 $\sigma-$유한이면, 다음이 성립한다. 

증명: $\{\phi_{n}\}$을 $f$로 증가하며 점별수렴하는 음이 아닌 단순함수열이라 하자. 그러면 $\displaystyle f=\phi_{1}+\sum_{n=2}^{\infty}{(\phi_{n}-\phi_{n-1})}$이고 급수의 각 항들은 음이 아닌 단순함수이므로 $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\,(a_{i}>0)$로 나타낼 수 있다. $\epsilon>0$과 $i$에 대하여 열린집합 $U_{i}$를 선택해서 $E_{i}\subset U_{i}$, $\displaystyle\mu(U_{i})\leq\mu(E_{i})+\frac{\epsilon}{2^{i}a_{i}}$이라 하자. 그러면 7.9d에 의해 $\displaystyle g=\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}\chi_{U_{i}}}$는 LSC이고 $g\geq f$, $\displaystyle\int_{X}{gd\mu}\leq\int_{X}{fd\mu}+\epsilon$이므로 다음이 성립한다. $$\int_{X}{fd\mu}=\inf\left\{\int_{X}{gd\mu}\,|\,g\geq f,\,g\,\text{is LSC}\right\}$$ $\displaystyle a<\int_{X}{fd\mu}$이면, $N$을 충분히 크고 $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{a_{i}\mu(E_{i})}>a$라고 하자. $E_{i}$들은 $\sigma-$유한이므로 7.3에 의해 컴팩트집합 $K_{i}\subset E_{i}$가 존재해서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{a_{i}\mu(K_{i})}>a$이므로 따라서 $\displaystyle g=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{K_{i}}}$라 하면 $g$는 USC, $g\leq f$, $\displaystyle\int_{X}{gd\mu}>a$이고 다음이 성립한다. $$\int_{X}{fd\mu}=\sup\left\{\int_{X}{gd\mu}\,|\,0\leq g\leq f,\,g\,\text{is USC}\right\}$$

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley 

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사