[측도론] 8-1 푸리에 해석의 기초

[측도론] 8-1 푸리에 해석의 기초

여기서는 $\mathbb{R}^{n}$상에서 이론이 전개될 것이고 $n$은 차원이다. 또한 여기서의 측도는 르베그 측도이다. 따라서 $E$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 가측집합이면, $L^{p}(E,\,m)$을 $L^{p}(E)$로 나타낸다. 

$U$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 열린집합이고 $k\in\mathbb{N}$일 때, $k$계 이하의 편도함수들이 모두 존재하고 연속인 $U$상의 모든 함수들의 공간을 $C^{(k)}(U)$로 나타내고 $\displaystyle C^{(\infty)}(U)=\bigcap_{n=1}^{\infty}{C^{(n)}(U)}$라고 한다. 임의의 $E\subset\mathbb{R}^{n}$에 대하여 $C_{c}^{(\infty)}(E)$를 받침이 컴팩트이고 $E$에 포함되는 $\mathbb{R}^{n}$상의 $C^{(\infty)}$함수들의 공간이라고 한다. $E=\mathbb{R}^{n}$ 또는 $U=\mathbb{R}^{n}$이면 간단히 $L^{p}=L^{p}(\mathbb{R}^{n})$, $C^{(k)}=C^{(k)}(\mathbb{R}^{n})$, $C_{c}^{(\infty)}=C_{c}^{(\infty)}(\mathbb{R}^{n})$으로 나타낸다. 

$x,\,y\in\mathbb{R}^{n}$일 때 $x\cdot y$와 $|x|$를 다음과 같이 정의하고

$$x\cdot y=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}},\,|x|=\sqrt{x\cdot x}$$ 편의를 위해 편도함수 기호를 다음과 같이 나타낸다. $$\partial_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}$$ 고계도함수일 경우는 다중지표(multi index)를 이용하여 나타내는데 다중지표는 $n$개의 음이 아닌 정수들의 순서쌍이다. $\alpha=(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})$가 다중지표일 때, $$|\alpha|=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}},\,\alpha!=\prod_{i=1}^{n}{\alpha_{i}!},\,\partial^{\alpha}=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)^{\alpha_{1}}\cdots\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)^{\alpha_{n}}\left(=\frac{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}\cdots\frac{\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\right)$$ 으로 설정하고 $x=(x_{1},\,...,\,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$일 때 다음과 같이 $x^{\alpha}$를 설정한다. $$x^{\alpha}=\prod_{i=1}^{n}{x_{i}^{\alpha_{i}}}$$ 따라서 $f\in C^{(k)}$에 대한 테일러공식은 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$f(x)=\sum_{|\alpha|\leq k}{(\partial^{\alpha}f)(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{\alpha}}{\alpha!}}+R_{k}(x)\,\left(\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{\frac{|R_{k}(x)|}{|x-x_{0}|^{k}}}=0\right)$$ 예를들어 $f\in C^{(2)}$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}f(x)&=\sum_{|\alpha|\leq2}{(\partial^{\alpha}f)(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{\alpha}}{\alpha!}}+R_{2}(x)\\&=f(a,\,b)+(x-a)f_{x}(a,\,b)+(y-b)f_{y}(a,\,b)+\frac{1}{2!}\left\{(x-a)^{2}f_{xx}(a,\,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,\,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,\,b)\right\}+\cdots\end{align*}$$ 도함수에 대한 곱의 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\partial^{\alpha}(fg)=\sum_{\beta+\gamma=\alpha}{\frac{\alpha!}{\beta!\gamma!}(\partial^{\beta}f)(\partial^{\gamma}g)}$$ $x^{\alpha}$는 임의의 점 $x$에서 함숫값이 $x^{\alpha}$인 함수를 나타내는데 이용한다.  

$\mathbb{R}^{n}$상의 두 $C^{(\infty)}$함수들의 공간이 중요하다. 그 중 하나는 컴팩트 받침을 갖는 $C^{(\infty)}$함수들의 공간 $C_{c}^{(\infty)}$이다. $C_{c}^{(\infty)}$에서 0이 아닌 함수의 존재성은 분명하지 않다. 함수 $\eta(t)=e^{-\frac{1}{t}}\chi_{(0,\,\infty)}(t)$에 대해 $\displaystyle\eta^{(k)}(t)=P_{k}\left(\frac{1}{t}\right)e^{-\frac{1}{t}}$($P_{2k}$는 $2k$차 다항식)이고 $\eta\in C^{(\infty)}$이나 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\eta^{(n)}(0)=0$이다.  

$\psi(x)=\eta(1-|x|^{2})$라고 하면 $|x|<1$일 때 $\psi(x)=e^{-\frac{1}{|x|^{2}-1}}$, $|x|\geq1$일 때 $\psi(x)=0$이므로 $\psi\in C^{(\infty)}$이고 $\text{supp}(\psi)$는 닫힌 단위공이다.  

다른 하나는 무한대에서 자기 자신과 모든 도함수들이 $|x|$의 임의의 제곱(멱)보다 빠르게 소멸하는 $C^{(\infty)}$함수들로 구성된 슈바르츠 공간(Schwartz space) $\mathcal{S}$이다.  

임의의 음이 아닌 정수 $N$과 다중지표 $\alpha$에 대해

$$\|f\|_{(N,\,\alpha)}=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{(1+|x|)^{N}|\partial^{\alpha}f(x)|}$$ 라고 하면 $$\mathcal{S}=\{f\in C^{(\infty)}\,|\,\|f\|_{(N,\,\alpha)}\,\text{for all}\,N,\,\alpha\}$$ 이다. $f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}e^{-|x|^{2}}\in\mathcal{S}$($\alpha$는 다중지표)이고 $C_{c}^{(\infty)}\subset\mathcal{S}$이다. $f\in\mathcal{S}$이면 모든 다중지표 $\alpha$와 $p\in[1,\,\infty]$에 대하여 $\partial^{\alpha}f\in L^{p}$이다. 2.49에 의해 모든 $N$에 대하여 $|\partial^{\alpha}f(x)|\leq C_{N}(1+|x|)^{-N}$이고 모든 $\displaystyle N>\frac{n}{p}$에 대해 $(1+|x|)^{-N}\in L^{p}$이다.    

8.1 $f\in C^{(\infty)}$이면, $f\in\mathcal{S}\,\Leftrightarrow\,$모든 다중지표 $\alpha,\,\beta$에 대해 $x^{\beta}\partial^{\alpha}f$가 유계 $\Leftrightarrow$ 모든 다중지표 $\alpha,\,\beta$에 대해 $\partial^{\alpha}(x^{\beta}f)$가 유계이다.

증명: $|\beta|\leq N$에 대하여 $|x|^{\beta}\leq(1+|x|)^{N}$이고, 단위구 $|x|=1$에서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{|x_{i}|^{N}}$은 양의 값을 가지며 양의 최솟값 $\delta$를 갖는다. 그러면 모든 $x$에 대하여 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|^{N}}\geq\delta|x|^{N}$이고 양변이 $N$차동차이므로

$$(1+|x|)^{N}\leq2^{N}(1+|x|^{N})\leq2^{N}\left\{1+\frac{1}{\delta}\sum_{i=1}^{N}{|x_{i}^{N}|}\right\}\leq\frac{2^{N}}{\delta}\sum_{|\beta|\leq N}{|x^{\beta}|}$$ 이고 첫 번째 동치조건이 성립한다. 두 번째 동치조건은 다음의 두 등식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}x^{\gamma}\partial^{\delta}f&=\partial^{\delta}(x^{\gamma}f)+\sum{c'_{ab}\partial^{a}(x^{b}f)}\\ \partial^{\delta}(x^{\gamma}f)&=x^{\gamma}\partial^{\delta}f+\sum{c_{ab}x^{b}\partial^{a}f}\end{align*}$$ ($|\gamma|\geq|\alpha|,\,|\delta|\geq|\beta|$일 때 $c_{ab}=c'_{ab}=0$)

$f$가 $\mathbb{R}^{n}$에서의 함수이고 $y\in\mathbb{R}^{n}$일 때 $\tau_{y}f(x)=f(x-y)$라고 하자. 그러면 $1\leq p\leq\infty$에 대하여 $\|\tau_{y}f\|_{p}=\|f\|_{p}$이고 $\|\tau_{y}f\|_{u}=\|f\|_{u}$이다. 여기서 $f$가 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 $y\,\rightarrow\,0$일 때 $\|\tau_{y}f-f\|_{u}\,\rightarrow\,0$인 것이다.   

8.2 $f\in C_{c}(\mathbb{R}^{n})$이면, $f$는 균등연속이다.  

증명: $\epsilon>0$과 $x\in\text{supp}(f)$에 대해 $\delta_{x}>0$가 존재해서 $|y|<\delta_{x}$일 때 $\displaystyle|f(x-y)-f(x)|<\frac{1}{2}\epsilon$이다. $\text{supp}(f)$가 컴팩트이므로 $x_{1},\,...,\,x_{N}$이 존재해서 각 $x_{i}$를 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle\frac{1}{2}\delta_{x_{i}}$인 공들이 $\text{supp}(f)$를 덮는다. $\displaystyle\delta=\frac{1}{2}\min\{\delta_{x_{i}}\}$라고 하면 $|y|<\delta$일 때 $\|\tau_{y}(f)-f\|_{u}<\epsilon$이다.  

8.3 $1\leq p<\infty$이면, 평행이동은 $L^{p}$노름에서 연속이다. 즉, $f\in L^{p}$이고 $z\in\mathbb{R}^{n}$이면, $\displaystyle\lim_{y\,\rightarrow\,0}{\|\tau_{y+z}f-\tau_{z}f\|_{p}}=0$이다.  

증명: $\tau_{y+z}=\tau_{y}\tau_{z}$이므로 $f$를 $\tau_{z}f$로 바꿈으로써 $z=0$이라고 할 수 있다. $g\in C_{c}$이면, $|y|\leq1$에 대해 $\tau_{y}g$들의 받침은 컴팩트집합 $K$에 속하고 8.2에 의해 $y\,\rightarrow\,0$일 때 다음이 성립한다.

$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\tau_{y}g-g|^{p}dm}\leq\|\tau_{y}g-g\|_{u}^{p}m(K)\,\rightarrow\,0$$ $f\in L^{p}$라 하자. $\epsilon>0$이면 7.7에 의해 $g\in C_{c}(X)$가 존재해서 $\displaystyle\|g-f\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}$이므로 $$\|\tau_{y}f-f\|_{p}\leq\|\tau_{y}(f-g)\|_{p}+\|\tau_{y}g-g\|_{p}+\|g-f\|_{p}<\frac{2}{3}\epsilon+\|\tau_{y}g-g\|_{p}$$ 이고 $y$가 충분히 작을 때 $\displaystyle\|\tau_{y}g-g\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}$이다.    

8.3은 $p=\infty$일 때 거짓이다.  

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley