[측도론] 8-1 푸리에 해석의 기초
여기서는 Rn상에서 이론이 전개될 것이고 n은 차원이다. 또한 여기서의 측도는 르베그 측도이다. 따라서 E가 Rn에서 가측집합이면, Lp(E,m)을 Lp(E)로 나타낸다.
U가 Rn에서 열린집합이고 k∈N일 때, k계 이하의 편도함수들이 모두 존재하고 연속인 U상의 모든 함수들의 공간을 C(k)(U)로 나타내고 C(∞)(U)=∞⋂n=1C(n)(U)라고 한다. 임의의 E⊂Rn에 대하여 C(∞)c(E)를 받침이 컴팩트이고 E에 포함되는 Rn상의 C(∞)함수들의 공간이라고 한다. E=Rn 또는 U=Rn이면 간단히 Lp=Lp(Rn), C(k)=C(k)(Rn), C(∞)c=C(∞)c(Rn)으로 나타낸다.
x,y∈Rn일 때 x⋅y와 |x|를 다음과 같이 정의하고x⋅y=n∑i=1xiyi,|x|=√x⋅x편의를 위해 편도함수 기호를 다음과 같이 나타낸다.∂i=∂∂xi고계도함수일 경우는 다중지표(multi index)를 이용하여 나타내는데 다중지표는 n개의 음이 아닌 정수들의 순서쌍이다. α=(α1,...,αn)가 다중지표일 때,|α|=n∑i=1αi,α!=n∏i=1αi!,∂α=(∂∂x1)α1⋯(∂∂xn)αn(=∂α1∂xα11⋯∂αn∂xαnn)으로 설정하고 x=(x1,...,xn)∈Rn일 때 다음과 같이 xα를 설정한다.xα=n∏i=1xαii따라서 f∈C(k)에 대한 테일러공식은 다음과 같이 나타낼 수 있고,f(x)=∑|α|≤k(∂αf)(x0)(x−x0)αα!+Rk(x)(lim예를들어 f\in C^{(2)}에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.\begin{align*}f(x)&=\sum_{|\alpha|\leq2}{(\partial^{\alpha}f)(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{\alpha}}{\alpha!}}+R_{2}(x)\\&=f(a,\,b)+(x-a)f_{x}(a,\,b)+(y-b)f_{y}(a,\,b)+\frac{1}{2!}\left\{(x-a)^{2}f_{xx}(a,\,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,\,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,\,b)\right\}+\cdots\end{align*}도함수에 대한 곱의 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.\partial^{\alpha}(fg)=\sum_{\beta+\gamma=\alpha}{\frac{\alpha!}{\beta!\gamma!}(\partial^{\beta}f)(\partial^{\gamma}g)}x^{\alpha}는 임의의 점 x에서 함숫값이 x^{\alpha}인 함수를 나타내는데 이용한다.
\mathbb{R}^{n}상의 두 C^{(\infty)}함수들의 공간이 중요하다. 그 중 하나는 컴팩트 받침을 갖는 C^{(\infty)}함수들의 공간 C_{c}^{(\infty)}이다. C_{c}^{(\infty)}에서 0이 아닌 함수의 존재성은 분명하지 않다. 함수 \eta(t)=e^{-\frac{1}{t}}\chi_{(0,\,\infty)}(t)에 대해 \displaystyle\eta^{(k)}(t)=P_{k}\left(\frac{1}{t}\right)e^{-\frac{1}{t}}(P_{2k}는 2k차 다항식)이고 \eta\in C^{(\infty)}이나 모든 n\in\mathbb{N}에 대해 \eta^{(n)}(0)=0이다.
\psi(x)=\eta(1-|x|^{2})라고 하면 |x|<1일 때 \psi(x)=e^{-\frac{1}{|x|^{2}-1}}, |x|\geq1일 때 \psi(x)=0이므로 \psi\in C^{(\infty)}이고 \text{supp}(\psi)는 닫힌 단위공이다.
다른 하나는 무한대에서 자기 자신과 모든 도함수들이 |x|의 임의의 제곱(멱)보다 빠르게 소멸하는 C^{(\infty)}함수들로 구성된 슈바르츠 공간(Schwartz space) \mathcal{S}이다.
임의의 음이 아닌 정수 N과 다중지표 \alpha에 대해\|f\|_{(N,\,\alpha)}=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{(1+|x|)^{N}|\partial^{\alpha}f(x)|}라고 하면\mathcal{S}=\{f\in C^{(\infty)}\,|\,\|f\|_{(N,\,\alpha)}\,\text{for all}\,N,\,\alpha\}이다. f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}e^{-|x|^{2}}\in\mathcal{S}(\alpha는 다중지표)이고 C_{c}^{(\infty)}\subset\mathcal{S}이다. f\in\mathcal{S}이면 모든 다중지표 \alpha와 p\in[1,\,\infty]에 대하여 \partial^{\alpha}f\in L^{p}이다. 2.49에 의해 모든 N에 대하여 |\partial^{\alpha}f(x)|\leq C_{N}(1+|x|)^{-N}이고 모든 \displaystyle N>\frac{n}{p}에 대해 (1+|x|)^{-N}\in L^{p}이다.
8.1 f\in C^{(\infty)}이면, f\in\mathcal{S}\,\Leftrightarrow\,모든 다중지표 \alpha,\,\beta에 대해 x^{\beta}\partial^{\alpha}f가 유계 \Leftrightarrow 모든 다중지표 \alpha,\,\beta에 대해 \partial^{\alpha}(x^{\beta}f)가 유계이다.
증명: |\beta|\leq N에 대하여 |x|^{\beta}\leq(1+|x|)^{N}이고, 단위구 |x|=1에서 \displaystyle\sum_{i=1}^{N}{|x_{i}|^{N}}은 양의 값을 가지며 양의 최솟값 \delta를 갖는다. 그러면 모든 x에 대하여 \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|^{N}}\geq\delta|x|^{N}이고 양변이 N차동차이므로(1+|x|)^{N}\leq2^{N}(1+|x|^{N})\leq2^{N}\left\{1+\frac{1}{\delta}\sum_{i=1}^{N}{|x_{i}^{N}|}\right\}\leq\frac{2^{N}}{\delta}\sum_{|\beta|\leq N}{|x^{\beta}|}이고 첫 번째 동치조건이 성립한다. 두 번째 동치조건은 다음의 두 등식으로부터 성립한다.\begin{align*}x^{\gamma}\partial^{\delta}f&=\partial^{\delta}(x^{\gamma}f)+\sum{c'_{ab}\partial^{a}(x^{b}f)}\\ \partial^{\delta}(x^{\gamma}f)&=x^{\gamma}\partial^{\delta}f+\sum{c_{ab}x^{b}\partial^{a}f}\end{align*}(|\gamma|\geq|\alpha|,\,|\delta|\geq|\beta|일 때 c_{ab}=c'_{ab}=0)
f가 \mathbb{R}^{n}에서의 함수이고 y\in\mathbb{R}^{n}일 때 \tau_{y}f(x)=f(x-y)라고 하자. 그러면 1\leq p\leq\infty에 대하여 \|\tau_{y}f\|_{p}=\|f\|_{p}이고 \|\tau_{y}f\|_{u}=\|f\|_{u}이다. 여기서 f가 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 y\,\rightarrow\,0일 때 \|\tau_{y}f-f\|_{u}\,\rightarrow\,0인 것이다.
8.2 f\in C_{c}(\mathbb{R}^{n})이면, f는 균등연속이다.
증명: \epsilon>0과 x\in\text{supp}(f)에 대해 \delta_{x}>0가 존재해서 |y|<\delta_{x}일 때 \displaystyle|f(x-y)-f(x)|<\frac{1}{2}\epsilon이다. \text{supp}(f)가 컴팩트이므로 x_{1},\,...,\,x_{N}이 존재해서 각 x_{i}를 중심으로 하고 반지름이 \displaystyle\frac{1}{2}\delta_{x_{i}}인 공들이 \text{supp}(f)를 덮는다. \displaystyle\delta=\frac{1}{2}\min\{\delta_{x_{i}}\}라고 하면 |y|<\delta일 때 \|\tau_{y}(f)-f\|_{u}<\epsilon이다.
8.3 1\leq p<\infty이면, 평행이동은 L^{p}노름에서 연속이다. 즉, f\in L^{p}이고 z\in\mathbb{R}^{n}이면, \displaystyle\lim_{y\,\rightarrow\,0}{\|\tau_{y+z}f-\tau_{z}f\|_{p}}=0이다.
증명: \tau_{y+z}=\tau_{y}\tau_{z}이므로 f를 \tau_{z}f로 바꿈으로써 z=0이라고 할 수 있다. g\in C_{c}이면, |y|\leq1에 대해 \tau_{y}g들의 받침은 컴팩트집합 K에 속하고 8.2에 의해 y\,\rightarrow\,0일 때 다음이 성립한다.\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\tau_{y}g-g|^{p}dm}\leq\|\tau_{y}g-g\|_{u}^{p}m(K)\,\rightarrow\,0f\in L^{p}라 하자. \epsilon>0이면 7.7에 의해 g\in C_{c}(X)가 존재해서 \displaystyle\|g-f\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}이므로\|\tau_{y}f-f\|_{p}\leq\|\tau_{y}(f-g)\|_{p}+\|\tau_{y}g-g\|_{p}+\|g-f\|_{p}<\frac{2}{3}\epsilon+\|\tau_{y}g-g\|_{p}이고 y가 충분히 작을 때 \displaystyle\|\tau_{y}g-g\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}이다.
8.3은 p=\infty일 때 거짓이다.
참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley
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