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[측도론] 8-1 푸리에 해석의 기초



여기서는 Rn상에서 이론이 전개될 것이고 n은 차원이다. 또한 여기서의 측도는 르베그 측도이다. 따라서 ERn에서 가측집합이면, Lp(E,m)Lp(E)로 나타낸다. 

URn에서 열린집합이고 kN일 때, k계 이하의 편도함수들이 모두 존재하고 연속인 U상의 모든 함수들의 공간을 C(k)(U)로 나타내고 C()(U)=n=1C(n)(U)라고 한다. 임의의 ERn에 대하여 C()c(E)를 받침이 컴팩트이고 E에 포함되는 Rn상의 C()함수들의 공간이라고 한다. E=Rn 또는 U=Rn이면 간단히 Lp=Lp(Rn), C(k)=C(k)(Rn), C()c=C()c(Rn)으로 나타낸다. 

x,yRn일 때 xy|x|를 다음과 같이 정의하고xy=ni=1xiyi,|x|=xx편의를 위해 편도함수 기호를 다음과 같이 나타낸다.i=xi고계도함수일 경우는 다중지표(multi index)를 이용하여 나타내는데 다중지표는 n개의 음이 아닌 정수들의 순서쌍이다. α=(α1,...,αn)가 다중지표일 때,|α|=ni=1αi,α!=ni=1αi!,α=(x1)α1(xn)αn(=α1xα11αnxαnn)으로 설정하고 x=(x1,...,xn)Rn일 때 다음과 같이 xα를 설정한다.xα=ni=1xαii따라서 fC(k)에 대한 테일러공식은 다음과 같이 나타낼 수 있고,f(x)=|α|k(αf)(x0)(xx0)αα!+Rk(x)(lim예를들어 f\in C^{(2)}에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.\begin{align*}f(x)&=\sum_{|\alpha|\leq2}{(\partial^{\alpha}f)(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{\alpha}}{\alpha!}}+R_{2}(x)\\&=f(a,\,b)+(x-a)f_{x}(a,\,b)+(y-b)f_{y}(a,\,b)+\frac{1}{2!}\left\{(x-a)^{2}f_{xx}(a,\,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,\,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,\,b)\right\}+\cdots\end{align*}도함수에 대한 곱의 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.\partial^{\alpha}(fg)=\sum_{\beta+\gamma=\alpha}{\frac{\alpha!}{\beta!\gamma!}(\partial^{\beta}f)(\partial^{\gamma}g)}x^{\alpha}는 임의의 점 x에서 함숫값이 x^{\alpha}인 함수를 나타내는데 이용한다.  

\mathbb{R}^{n}상의 두 C^{(\infty)}함수들의 공간이 중요하다. 그 중 하나는 컴팩트 받침을 갖는 C^{(\infty)}함수들의 공간 C_{c}^{(\infty)}이다. C_{c}^{(\infty)}에서 0이 아닌 함수의 존재성은 분명하지 않다. 함수 \eta(t)=e^{-\frac{1}{t}}\chi_{(0,\,\infty)}(t)에 대해 \displaystyle\eta^{(k)}(t)=P_{k}\left(\frac{1}{t}\right)e^{-\frac{1}{t}}(P_{2k}2k차 다항식)이고 \eta\in C^{(\infty)}이나 모든 n\in\mathbb{N}에 대해 \eta^{(n)}(0)=0이다.  

\psi(x)=\eta(1-|x|^{2})라고 하면 |x|<1일 때 \psi(x)=e^{-\frac{1}{|x|^{2}-1}}, |x|\geq1일 때 \psi(x)=0이므로 \psi\in C^{(\infty)}이고 \text{supp}(\psi)는 닫힌 단위공이다.  

다른 하나는 무한대에서 자기 자신과 모든 도함수들이 |x|의 임의의 제곱(멱)보다 빠르게 소멸하는 C^{(\infty)}함수들로 구성된 슈바르츠 공간(Schwartz space) \mathcal{S}이다.  

임의의 음이 아닌 정수 N과 다중지표 \alpha에 대해\|f\|_{(N,\,\alpha)}=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{(1+|x|)^{N}|\partial^{\alpha}f(x)|}라고 하면\mathcal{S}=\{f\in C^{(\infty)}\,|\,\|f\|_{(N,\,\alpha)}\,\text{for all}\,N,\,\alpha\}이다. f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}e^{-|x|^{2}}\in\mathcal{S}(\alpha는 다중지표)이고 C_{c}^{(\infty)}\subset\mathcal{S}이다. f\in\mathcal{S}이면 모든 다중지표 \alphap\in[1,\,\infty]에 대하여 \partial^{\alpha}f\in L^{p}이다. 2.49에 의해 모든 N에 대하여 |\partial^{\alpha}f(x)|\leq C_{N}(1+|x|)^{-N}이고 모든 \displaystyle N>\frac{n}{p}에 대해 (1+|x|)^{-N}\in L^{p}이다.    


8.1 f\in C^{(\infty)}이면, f\in\mathcal{S}\,\Leftrightarrow\,모든 다중지표 \alpha,\,\beta에 대해 x^{\beta}\partial^{\alpha}f가 유계 \Leftrightarrow 모든 다중지표 \alpha,\,\beta에 대해 \partial^{\alpha}(x^{\beta}f)가 유계이다.

증명: |\beta|\leq N에 대하여 |x|^{\beta}\leq(1+|x|)^{N}이고, 단위구 |x|=1에서 \displaystyle\sum_{i=1}^{N}{|x_{i}|^{N}}은 양의 값을 가지며 양의 최솟값 \delta를 갖는다. 그러면 모든 x에 대하여 \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|^{N}}\geq\delta|x|^{N}이고 양변이 N차동차이므로(1+|x|)^{N}\leq2^{N}(1+|x|^{N})\leq2^{N}\left\{1+\frac{1}{\delta}\sum_{i=1}^{N}{|x_{i}^{N}|}\right\}\leq\frac{2^{N}}{\delta}\sum_{|\beta|\leq N}{|x^{\beta}|}이고 첫 번째 동치조건이 성립한다. 두 번째 동치조건은 다음의 두 등식으로부터 성립한다.\begin{align*}x^{\gamma}\partial^{\delta}f&=\partial^{\delta}(x^{\gamma}f)+\sum{c'_{ab}\partial^{a}(x^{b}f)}\\ \partial^{\delta}(x^{\gamma}f)&=x^{\gamma}\partial^{\delta}f+\sum{c_{ab}x^{b}\partial^{a}f}\end{align*}(|\gamma|\geq|\alpha|,\,|\delta|\geq|\beta|일 때 c_{ab}=c'_{ab}=0)


f\mathbb{R}^{n}에서의 함수이고 y\in\mathbb{R}^{n}일 때 \tau_{y}f(x)=f(x-y)라고 하자. 그러면 1\leq p\leq\infty에 대하여 \|\tau_{y}f\|_{p}=\|f\|_{p}이고 \|\tau_{y}f\|_{u}=\|f\|_{u}이다. 여기서 f가 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 y\,\rightarrow\,0일 때 \|\tau_{y}f-f\|_{u}\,\rightarrow\,0인 것이다.   


8.2 f\in C_{c}(\mathbb{R}^{n})이면, f는 균등연속이다.  

증명: \epsilon>0x\in\text{supp}(f)에 대해 \delta_{x}>0가 존재해서 |y|<\delta_{x}일 때 \displaystyle|f(x-y)-f(x)|<\frac{1}{2}\epsilon이다. \text{supp}(f)가 컴팩트이므로 x_{1},\,...,\,x_{N}이 존재해서 각 x_{i}를 중심으로 하고 반지름이 \displaystyle\frac{1}{2}\delta_{x_{i}}인 공들이 \text{supp}(f)를 덮는다. \displaystyle\delta=\frac{1}{2}\min\{\delta_{x_{i}}\}라고 하면 |y|<\delta일 때 \|\tau_{y}(f)-f\|_{u}<\epsilon이다.  


8.3 1\leq p<\infty이면, 평행이동은 L^{p}노름에서 연속이다. 즉, f\in L^{p}이고 z\in\mathbb{R}^{n}이면, \displaystyle\lim_{y\,\rightarrow\,0}{\|\tau_{y+z}f-\tau_{z}f\|_{p}}=0이다.  

증명: \tau_{y+z}=\tau_{y}\tau_{z}이므로 f\tau_{z}f로 바꿈으로써 z=0이라고 할 수 있다. g\in C_{c}이면, |y|\leq1에 대해 \tau_{y}g들의 받침은 컴팩트집합 K에 속하고 8.2에 의해 y\,\rightarrow\,0일 때 다음이 성립한다.\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\tau_{y}g-g|^{p}dm}\leq\|\tau_{y}g-g\|_{u}^{p}m(K)\,\rightarrow\,0f\in L^{p}라 하자. \epsilon>0이면 7.7에 의해 g\in C_{c}(X)가 존재해서 \displaystyle\|g-f\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}이므로\|\tau_{y}f-f\|_{p}\leq\|\tau_{y}(f-g)\|_{p}+\|\tau_{y}g-g\|_{p}+\|g-f\|_{p}<\frac{2}{3}\epsilon+\|\tau_{y}g-g\|_{p}이고 y가 충분히 작을 때 \displaystyle\|\tau_{y}g-g\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}이다.    


8.3은 p=\infty일 때 거짓이다.  


참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley  

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Posted by skywalker222