[측도론] 8-1 푸리에 해석의 기초

[측도론] 8-1 푸리에 해석의 기초

여기서는 \(\mathbb{R}^{n}\)상에서 이론이 전개될 것이고 \(n\)은 차원이다. 또한 여기서의 측도는 르베그 측도이다. 따라서 \(E\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 가측집합이면, \(L^{p}(E,\,m)\)을 \(L^{p}(E)\)로 나타낸다. 

\(U\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 열린집합이고 \(k\in\mathbb{N}\)일 때, \(k\)계 이하의 편도함수들이 모두 존재하고 연속인 \(U\)상의 모든 함수들의 공간을 \(C^{(k)}(U)\)로 나타내고 \(\displaystyle C^{(\infty)}(U)=\bigcap_{n=1}^{\infty}{C^{(n)}(U)}\)라고 한다. 임의의 \(E\subset\mathbb{R}^{n}\)에 대하여 \(C_{c}^{(\infty)}(E)\)를 받침이 컴팩트이고 \(E\)에 포함되는 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 \(C^{(\infty)}\)함수들의 공간이라고 한다. \(E=\mathbb{R}^{n}\) 또는 \(U=\mathbb{R}^{n}\)이면 간단히 \(L^{p}=L^{p}(\mathbb{R}^{n})\), \(C^{(k)}=C^{(k)}(\mathbb{R}^{n})\), \(C_{c}^{(\infty)}=C_{c}^{(\infty)}(\mathbb{R}^{n})\)으로 나타낸다. 

\(x,\,y\in\mathbb{R}^{n}\)일 때 \(x\cdot y\)와 \(|x|\)를 다음과 같이 정의하고$$x\cdot y=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}},\,|x|=\sqrt{x\cdot x}$$편의를 위해 편도함수 기호를 다음과 같이 나타낸다.$$\partial_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}$$고계도함수일 경우는 다중지표(multi index)를 이용하여 나타내는데 다중지표는 \(n\)개의 음이 아닌 정수들의 순서쌍이다. \(\alpha=(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)가 다중지표일 때,$$|\alpha|=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}},\,\alpha!=\prod_{i=1}^{n}{\alpha_{i}!},\,\partial^{\alpha}=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)^{\alpha_{1}}\cdots\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)^{\alpha_{n}}\left(=\frac{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}\cdots\frac{\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\right)$$으로 설정하고 \(x=(x_{1},\,...,\,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}\)일 때 다음과 같이 \(x^{\alpha}\)를 설정한다.$$x^{\alpha}=\prod_{i=1}^{n}{x_{i}^{\alpha_{i}}}$$따라서 \(f\in C^{(k)}\)에 대한 테일러공식은 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$f(x)=\sum_{|\alpha|\leq k}{(\partial^{\alpha}f)(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{\alpha}}{\alpha!}}+R_{k}(x)\,\left(\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{\frac{|R_{k}(x)|}{|x-x_{0}|^{k}}}=0\right)$$예를들어 \(f\in C^{(2)}\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}f(x)&=\sum_{|\alpha|\leq2}{(\partial^{\alpha}f)(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{\alpha}}{\alpha!}}+R_{2}(x)\\&=f(a,\,b)+(x-a)f_{x}(a,\,b)+(y-b)f_{y}(a,\,b)+\frac{1}{2!}\left\{(x-a)^{2}f_{xx}(a,\,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,\,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,\,b)\right\}+\cdots\end{align*}$$도함수에 대한 곱의 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\partial^{\alpha}(fg)=\sum_{\beta+\gamma=\alpha}{\frac{\alpha!}{\beta!\gamma!}(\partial^{\beta}f)(\partial^{\gamma}g)}$$\(x^{\alpha}\)는 임의의 점 \(x\)에서 함숫값이 \(x^{\alpha}\)인 함수를 나타내는데 이용한다.  

\(\mathbb{R}^{n}\)상의 두 \(C^{(\infty)}\)함수들의 공간이 중요하다. 그 중 하나는 컴팩트 받침을 갖는 \(C^{(\infty)}\)함수들의 공간 \(C_{c}^{(\infty)}\)이다. \(C_{c}^{(\infty)}\)에서 0이 아닌 함수의 존재성은 분명하지 않다. 함수 \(\eta(t)=e^{-\frac{1}{t}}\chi_{(0,\,\infty)}(t)\)에 대해 \(\displaystyle\eta^{(k)}(t)=P_{k}\left(\frac{1}{t}\right)e^{-\frac{1}{t}}\)(\(P_{2k}\)는 \(2k\)차 다항식)이고 \(\eta\in C^{(\infty)}\)이나 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\eta^{(n)}(0)=0\)이다.  

\(\psi(x)=\eta(1-|x|^{2})\)라고 하면 \(|x|<1\)일 때 \(\psi(x)=e^{-\frac{1}{|x|^{2}-1}}\), \(|x|\geq1\)일 때 \(\psi(x)=0\)이므로 \(\psi\in C^{(\infty)}\)이고 \(\text{supp}(\psi)\)는 닫힌 단위공이다.  

다른 하나는 무한대에서 자기 자신과 모든 도함수들이 \(|x|\)의 임의의 제곱(멱)보다 빠르게 소멸하는 \(C^{(\infty)}\)함수들로 구성된 슈바르츠 공간(Schwartz space) \(\mathcal{S}\)이다.  

임의의 음이 아닌 정수 \(N\)과 다중지표 \(\alpha\)에 대해$$\|f\|_{(N,\,\alpha)}=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{(1+|x|)^{N}|\partial^{\alpha}f(x)|}$$라고 하면$$\mathcal{S}=\{f\in C^{(\infty)}\,|\,\|f\|_{(N,\,\alpha)}\,\text{for all}\,N,\,\alpha\}$$이다. \(f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}e^{-|x|^{2}}\in\mathcal{S}\)(\(\alpha\)는 다중지표)이고 \(C_{c}^{(\infty)}\subset\mathcal{S}\)이다. \(f\in\mathcal{S}\)이면 모든 다중지표 \(\alpha\)와 \(p\in[1,\,\infty]\)에 대하여 \(\partial^{\alpha}f\in L^{p}\)이다. 2.49에 의해 모든 \(N\)에 대하여 \(|\partial^{\alpha}f(x)|\leq C_{N}(1+|x|)^{-N}\)이고 모든 \(\displaystyle N>\frac{n}{p}\)에 대해 \((1+|x|)^{-N}\in L^{p}\)이다.    

8.1 \(f\in C^{(\infty)}\)이면, \(f\in\mathcal{S}\,\Leftrightarrow\,\)모든 다중지표 \(\alpha,\,\beta\)에 대해 \(x^{\beta}\partial^{\alpha}f\)가 유계 \(\Leftrightarrow\) 모든 다중지표 \(\alpha,\,\beta\)에 대해 \(\partial^{\alpha}(x^{\beta}f)\)가 유계이다.

증명: \(|\beta|\leq N\)에 대하여 \(|x|^{\beta}\leq(1+|x|)^{N}\)이고, 단위구 \(|x|=1\)에서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{|x_{i}|^{N}}\)은 양의 값을 가지며 양의 최솟값 \(\delta\)를 갖는다. 그러면 모든 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|^{N}}\geq\delta|x|^{N}\)이고 양변이 \(N\)차동차이므로$$(1+|x|)^{N}\leq2^{N}(1+|x|^{N})\leq2^{N}\left\{1+\frac{1}{\delta}\sum_{i=1}^{N}{|x_{i}^{N}|}\right\}\leq\frac{2^{N}}{\delta}\sum_{|\beta|\leq N}{|x^{\beta}|}$$이고 첫 번째 동치조건이 성립한다. 두 번째 동치조건은 다음의 두 등식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}x^{\gamma}\partial^{\delta}f&=\partial^{\delta}(x^{\gamma}f)+\sum{c'_{ab}\partial^{a}(x^{b}f)}\\ \partial^{\delta}(x^{\gamma}f)&=x^{\gamma}\partial^{\delta}f+\sum{c_{ab}x^{b}\partial^{a}f}\end{align*}$$(\(|\gamma|\geq|\alpha|,\,|\delta|\geq|\beta|\)일 때 \(c_{ab}=c'_{ab}=0\))

\(f\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 함수이고 \(y\in\mathbb{R}^{n}\)일 때 \(\tau_{y}f(x)=f(x-y)\)라고 하자. 그러면 \(1\leq p\leq\infty\)에 대하여 \(\|\tau_{y}f\|_{p}=\|f\|_{p}\)이고 \(\|\tau_{y}f\|_{u}=\|f\|_{u}\)이다. 여기서 \(f\)가 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 \(y\,\rightarrow\,0\)일 때 \(\|\tau_{y}f-f\|_{u}\,\rightarrow\,0\)인 것이다.   

8.2 \(f\in C_{c}(\mathbb{R}^{n})\)이면, \(f\)는 균등연속이다.  

증명: \(\epsilon>0\)과 \(x\in\text{supp}(f)\)에 대해 \(\delta_{x}>0\)가 존재해서 \(|y|<\delta_{x}\)일 때 \(\displaystyle|f(x-y)-f(x)|<\frac{1}{2}\epsilon\)이다. \(\text{supp}(f)\)가 컴팩트이므로 \(x_{1},\,...,\,x_{N}\)이 존재해서 각 \(x_{i}\)를 중심으로 하고 반지름이 \(\displaystyle\frac{1}{2}\delta_{x_{i}}\)인 공들이 \(\text{supp}(f)\)를 덮는다. \(\displaystyle\delta=\frac{1}{2}\min\{\delta_{x_{i}}\}\)라고 하면 \(|y|<\delta\)일 때 \(\|\tau_{y}(f)-f\|_{u}<\epsilon\)이다.  

8.3 \(1\leq p<\infty\)이면, 평행이동은 \(L^{p}\)노름에서 연속이다. 즉, \(f\in L^{p}\)이고 \(z\in\mathbb{R}^{n}\)이면, \(\displaystyle\lim_{y\,\rightarrow\,0}{\|\tau_{y+z}f-\tau_{z}f\|_{p}}=0\)이다.  

증명: \(\tau_{y+z}=\tau_{y}\tau_{z}\)이므로 \(f\)를 \(\tau_{z}f\)로 바꿈으로써 \(z=0\)이라고 할 수 있다. \(g\in C_{c}\)이면, \(|y|\leq1\)에 대해 \(\tau_{y}g\)들의 받침은 컴팩트집합 \(K\)에 속하고 8.2에 의해 \(y\,\rightarrow\,0\)일 때 다음이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\tau_{y}g-g|^{p}dm}\leq\|\tau_{y}g-g\|_{u}^{p}m(K)\,\rightarrow\,0$$\(f\in L^{p}\)라 하자. \(\epsilon>0\)이면 7.7에 의해 \(g\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(\displaystyle\|g-f\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}\)이므로$$\|\tau_{y}f-f\|_{p}\leq\|\tau_{y}(f-g)\|_{p}+\|\tau_{y}g-g\|_{p}+\|g-f\|_{p}<\frac{2}{3}\epsilon+\|\tau_{y}g-g\|_{p}$$이고 \(y\)가 충분히 작을 때 \(\displaystyle\|\tau_{y}g-g\|_{p}<\frac{\epsilon}{3}\)이다.    

8.3은 \(p=\infty\)일 때 거짓이다.  

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley