[측도론] 8-3 푸리에 변환

[측도론] 8-3 푸리에 변환

$\mathbb{R}^{n}$상의 함수 $f$가 모든 $x\in\mathbb{R}^{n}$와 $k\in\mathbb{Z}^{n}$에 대해 $f(x+k)=f(x)$를 만족하면 $f$를 주기적(periodic)이라고 한다. 모든 주기함수는 단위 정육면체 $\displaystyle Q=\left[-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)^{n}$에서의 값에 의해 결정된다. 주기함수는 $\mathbb{Z}^{n}$의 잉여류 $\mathbb{R}^{n}/\mathbb{Z}^{n}\approx(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{n}$(이것을 $n$차원 원환면(torus)이라 하고 $\mathbb{T}^{n}$으로 나타내며 $n=1$일 때 $\mathbb{T}$로 나타낸다)에서의 함수라고 할 수 있다. $\mathbb{T}^{n}$은 컴팩트 하우스도르프 공간이고 $z=(z_{1},\,...,\,z_{n})\in\mathbb{C}^{n}$($|z_{i}|=1$)들의 집합이다.(참고: $(x_{1},\,...,\,x_{n})\,\mapsto\,(e^{2\pi ix_{1}},\,...,\,e^{2\pi ix_{n}})$)측도론적 이론 전개를 위해 $\mathbb{T}^{n}$을 $Q$라 하고 $\mathbb{T}^{n}$에서의 르베그측도는 $Q$에서의 르베그측도에 의해 $\mathbb{T}^{n}$에서 유도된 측도라 하며 $m(\mathbb{T}^{n})=1$이다. $\mathbb{T}^{n}$에서의 함수는 $\mathbb{R}^{n}$상의 주기함수 또는 $Q$상의 함수로 고려될 수 있고, $\mathbb{T}^{n}$에서의 함수들의 합성곱은 $\mathbb{R}^{n}$상의 함수들처럼 정의된다. 

$\mathbb{R}^{n}$, $\mathbb{T}^{n}$에서의 공간들은 덧셈과 평행이동에 대해 아벨군(가환군)이다. 이러한 공간들에서 조화해석학의 재료는 모든 $x$에 대해 $\phi(x)$가 존재해서 $|\phi(x)|=1$이고 $f(y+x)=\phi(x)f(y)$를 맍고하는 함수 $f$들이다. $f$와 $\phi$가 이 성질을 만족하면 $f(x)=\phi(x)f(0)$이고 따라서 $f$는 $\psi$에 의해 결정되고 $$\phi(x)\phi(y)f(0)=\phi(x)f(y)=f(x+y)=\phi(x+y)f(0)$$ 이므로 $f=0$이 아닌 이상 $\phi(x+y)=\phi(x)\phi(y)$이다.      

8.12 $\phi$가 $\mathbb{R}^{n}(\mathbb{T}^{n})$에서 가측이고 $\phi(x+y)=\phi(x)\phi(y)$, $|\phi|=1$이면, $\xi\in\mathbb{R}^{n}(\mathbb{T}^{n})$가 존재해서 $\phi(x)=e^{2\pi i\xi\cdot x}$이다.  

증명: 먼저 $n=1$인 경우에 대해 보이자. $a\in\mathbb{R}$를 $\displaystyle\int_{0}^{a}{\phi(t)dt}\neq0$이고 이러한 $a$가 확실히 존재한다고 하자. 그렇지 않다면 르베그 미분정리(3-4)에 의해 $\phi=0\,a.e.$이다. $\displaystyle A=\left(\int_{0}^{a}{\phi(t)dt}\right)^{-1}$라 하면 $$\phi(x)=A\int_{0}^{a}{\phi(x)\phi(t)dt}=A\int_{0}^{a}{\phi(x+t)dt}=A\int_{x}^{x+a}{\phi(t)dt}$$ 이므로 $\phi$는 국소적분가능한 함수의 부정적분이고 연속이며 연속함수의 적분이므로 $C^{(1)}$함수이다. 게다가 $$\phi'(x)=A\{\phi(x+a)-\phi(x)\}=B\phi(x)\,(B=A\{\phi(a)-1\})$$ 이므로 $\displaystyle\frac{d}{dx}\{e^{-Bx}\phi(x)\}=0$이고 $e^{-Bx}\phi(x)$는 상수이다. $\phi(0)=1$이므로 $\phi(x)=e^{Bx}$이고 $|\phi|=1$이므로 $B$는 순허수이고 적당한 $\xi\in\mathbb{R}$에 대하여 $B=2\pi i\xi$이다. $\mathbb{T}$의 경우, $\phi$가 주기함수(주기가 1) $\Leftrightarrow$ $e^{2\pi i\xi}=1$ $\Leftrightarrow$ $\xi\in\mathbb{Z}$이다. 

$n$차원의 경우 $e_{1},\,...,\,e_{n}$이 $\mathbb{R}^{n}$상의 표준기저일 때 함수 $\psi_{i}(t)=\phi(te_{i})$는 $\psi_{i}(t+s)=\psi_{i}(t)\psi_{i}(s)$이므로 $\psi_{i}(t)=e^{2\pi i\xi_{i}t}$이고 다음이 성립한다. $$\phi(x)=\phi\left(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}e_{i}}\right)=\prod_{i=1}^{n}{\psi_{i}(x_{i})}=e^{2\pi i\xi\cdot x}$$     

8.13 $E_{\kappa}(x)=e^{2\pi i\kappa\cdot x}$라고 하자. 그러면 $\{E_{\kappa}\,|\,\kappa\in\mathbb{Z}^{n}\}$는 $L^{2}(\mathbb{T}^{n})$에서 정규직교집합이다.  

증명: 푸비니정리와 적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{2\pi ikt}dt}$가 $k=0$일 때 1이고, 나머지 경우에는 0이 되기 때문에 정규직교성이 성립한다.($E_{\kappa}\overline{E}_{\kappa}=1$) $E_{\kappa}E_{\lambda}=E_{\kappa+\lambda}$이므로 유한개의 $E_{\kappa}$들의 집합은 대수이고 $\mathbb{T}^{n}$에서 점을 분리한다. 또한 $E_{0}=1$, $\overline{E}_{\kappa}=E_{-\kappa}$, $\mathbb{T}^{n}$은 컴팩트이므로 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 이 대수는 균등노름 하에 $C(\mathbb{T}^{n})$에서 조밀하고 따라서 $L^{2}$노름 하에서 $C(\mathbb{T}^{n})$에서 조밀하며 7.7에 의해 $C(\mathbb{T}^{n})$는 $L^{2}(\mathbb{T}^{n})$에서 조밀하다. 따라서 $\{E_{\kappa}\}$는 기저이다. 

$f\in L^{2}(\mathbb{T}^{n})$이면, $f$의 푸리에 변환(Fourier transform)을 다음과 같이 정의하고 $$\hat{f}(\kappa)=\langle f,\,E_{\kappa}\rangle=\int_{\mathbb{T}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\kappa\cdot x}dx}$$ 다음의 급수를 $f$의 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다. $$\sum_{\kappa\in\mathbb{Z}^{n}}{\hat{f}(\kappa)E_{\kappa}}$$ 8.13에 의해 푸리에변환은 $L^{2}(\mathbb{T}^{n})$에서 $\ell^{2}(\mathbb{Z}^{n})$으로 사상하고 파세발 항등식으로부터 $\|\hat{f}\|_{2}=\|f\|_{2}$이며 $f$의 푸리에 급수는 $L^{2}$노름에서 $f$로 수렴한다. $\hat{f}(\kappa)$는 $f\in L^{1}(\mathbb{T}^{n})$, $|\hat{f}(\kappa)|\leq\|f\|_{1}$일 때 문제없이 정의된다. $\mathbb{R}^{n}$의 경우, $$f(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi\cdot x}d\xi}\,\left(\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}\right)$$ 이다. $\hat{f}(\xi)$는 $f\in L^{2}$일 때 발산하나 $f\in L^{1}$일 때 수렴한다. $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$의 푸리에 변환(Fourier transform)을 다음과 같이 정의한다. $$\mathcal{F}f(x)=\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}$$ 분명히 $\|\hat{f}\|_{u}\leq\|f\|_{1}$이고 2.28에 의해 $\hat{f}$가 연속이므로 $\mathcal{F}:L^{1}(\mathbb{R}^{n})\,\rightarrow\,BC(X)$이다.     

8.14 $f,\,g\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$이라 하자.  

a. $\hat{(\tau_{y}f)}(\epsilon)=e^{-2\pi i\xi\cdot x}\hat{f}(\xi)$, $\tau_{\eta}(\hat{f})=\hat{h}\,(h(x)=e^{2\pi i\eta\cdot x}f(x))$ 

b. $T$가 $\mathbb{R}^{n}$상의 가역 선형변환이고 $S=(T^{+})^{-1}\,(T^{+}f=f\circ T)$이면, $(\hat{f\circ T})=|\det T|^{-1}(\hat{f}\circ S)$이다. 특히 $T$가 회전이면 $(\hat{f\circ T})=\hat{f}\circ T\,(|\det T|=1)$이고 $Tx=t^{-1}x\,(t>0)$이면 $(\hat{f\circ T})(\xi)=t^{n}\hat{f}(t\xi)$이며 $\hat{f}_{t}(\xi)=\hat{f}(t\xi)\,(f_{t}(x)=t^{-n}f(t^{-1}x))$이다.   

c. $\hat{f*g}=\hat{f}\hat{g}$ 

d. $|\alpha|\leq k$에 대하여 $x^{\alpha}f\in L^{1}$이면, $\hat{f}\in C^{(k)}$이고 $\partial^{\alpha}\hat{f}=\hat{(-2\pi ix)^{\alpha}f}$이다.  

e. $|\alpha|\leq k$에 대하여 $f\in C^{(k)}$, $\partial^{\alpha}f\in L^{1}$, $|\alpha|\leq k-1$에 대하여 $\partial^{\alpha}f\in C_{0}$이면, $(\hat{\partial^{\alpha}f})(\xi)=(2\pi i\xi)^{\alpha}\hat{f}(\xi)$이다.  

증명: 

a: 다음 식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}(\hat{\tau_{y}f})(\xi)&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot(x+y)}dx}=e^{-2\pi i\xi\cdot y}\hat{f}(y)\\ \tau_{\eta}(\hat{f})&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-2\pi i(\xi+\eta)\cdot x}f(x)dx}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-2\pi i\xi\cdot x}e^{-2\pi i\eta\cdot x}f(x)dx}\end{align*}$$  

b: 2.44에 의해 다음과 같이 성립한다. $$\begin{align*}(\hat{f\circ T})(\xi)&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(Tx)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=|\det T|^{-1}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi T^{-1}x}dx}\\&=|\det T|^{-1}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi iS\xi\cdot x}dx}=|\det T|^{-1}\hat{f}(S\xi)\end{align*}$$  

c: 푸비니 정리에 의해 다음과 같이 성립한다. $$\begin{align*}\hat{f*g}(\xi)&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dydx}\\&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)e^{-2\pi i\xi\cdot(x-y)}g(y)e^{-2\pi i\xi\cdot y}dxdy}\\&=\hat{f}(\xi)\int_{\mathbb{R}^{n}}{g(y)e^{-2\pi i\xi\cdot y}dy}\\&=\hat{f}(\xi)\hat{g}(\xi)\end{align*}$$

d: 2.28과 $|\alpha|$에서의 귀납법으로부터 다음과 같이 성립한다. $$\partial^{\alpha}\hat{f}(\xi)=\partial^{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)(-2\pi ix)^{\alpha}e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}$$  

e: $n=|\alpha|=1$이라 하자. $f\in C_{0}$이므로 부분적분에 의해 다음의 식이 성립한다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{f'(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=[f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}]_{-\infty}^{\infty}-(-2\pi i\xi)\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=(2\pi i\xi)\hat{f}(\xi)$$ $n>1$, $|\alpha|=1$일 때 $\hat{\partial_{i}f}$를 계산하려면 $i$번째 변수에 대해 부분적분을 하고, 일반적인 경우는 $|\alpha|$에서의 귀납법에 의해 성립한다.  

8.15 $\mathcal{F}:\mathcal{S}\,\rightarrow\,\mathcal{S}$는 연속이다. 

증명: 생략

8.16 $f(x)=e^{-\pi a|x|^{2}}\,(a>0)$이면, $\hat{f}(\xi)=a^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\pi|\xi|^{2}}{a}}$이다.   

증명: $n=1$일 때 $\displaystyle\frac{d}{dx}e^{-\pi ax^{2}}=-2\pi axe^{-\pi ax^{2}}$이므로 8.14의 d, e에 의해 $$(\hat{f})'(\xi)=(\hat{-2\pi ixe^{-\pi ax^{2}}})(\xi)=\frac{i}{a}(\hat{f'})(\xi)=\frac{i}{a}(2\pi i\xi)\hat{f}(\xi)=-\frac{2\pi}{a}\xi\hat{f}(\xi)$$ 이고 $\displaystyle\frac{d}{d\xi}\left(e^{\frac{\pi\xi^{2}}{a}}\hat{f}(\xi)\right)=0$이므로 $e^{\frac{\pi\xi^{2}}{a}}\hat{f}(\xi)$는 상수이다. 이 상수를 구하기 위해 $\xi=0$이라 하고 2.50을 이용하면 다음의 식이 성립한다. $$\hat{f}(0)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\pi ax^{2}}dx}=a^{-\frac{1}{2}}$$ $n$차원의 경우 $\displaystyle|x|^{2}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}$이므로 푸비니 정리에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\hat{f}(\xi)=\prod_{i=1}^{n}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\pi ax_{i}^{2}-2\pi i\xi_{i}x_{i}}dx_{i}}}=\prod_{i=1}^{n}{a^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{\pi|\xi|^{2}}{a}}}$$  

$f\in L^{1}$에 대하여 $\check{f}$를 다음과 같이 정의한다. $$\check{f}(x)=\hat{f}(-x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\xi)e^{2\pi i\xi\cdot x}d\xi}$$ $f\in L^{1}$이고 $\hat{f}\in L^{1}$이면, $\check{\hat{f}}=f$가 됨을 보이는데 일반적으로 다음의 적분식에서 피적분 함수는 $L^{1}(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n})$의 원소가 아니기 때문에 다른 방법을 이용해야 한다. $$(\check{\hat{f}})(x)=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(y)e^{-2\pi i\xi\cdot y}e^{2\pi i\xi\cdot x}dyd\xi}$$  

8.17 $f,\,g\in L^{1}$이면 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{\hat{f}gdm}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f\hat{g}dm}$

증명: 위의 두 적분은 적분 $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(x)g(\xi)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dxd\xi}$와 같다.  

8.18 푸리에 역변환 정리(Fourier Inversion Theorem) 

$f\in L^{1}$, $\hat{f}\in L^{1}$이면, $f$는 연속함수 $f_{0}$와 $a.e.$같고 $(\check{\hat{f}})=(\hat{\check{f}})=f_{0}$이다.  

증명: $t>0$, $x\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 $\phi(\xi)=e^{2\pi i\xi\cdot x-\pi t^{2}|\xi|^{2}}$라 하자. 8.14a, 8.16에 의해 $\hat{\phi}(y)=t^{-n}e^{-\frac{\pi|x-y|^{2}}{t^{2}}}=g_{t}(x-y)$이고 여기서 $g(x)=e^{-\pi|x|^{2}}$, $\displaystyle g_{t}(x)=t^{-n}g\left(\frac{x}{t}\right)$이다. 8.17에 의해 $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\pi t^{2}|\xi|^{2}}e^{2\pi i\xi\cdot x}\hat{f}(\xi)d\xi}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\hat{f}\phi dm}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f\hat{\phi}dm}=(f*g_{t})(x)$$ 이고 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\pi|x|^{2}}dx}=1$이므로 8.9에 의해 $t\,\rightarrow\,0$일 때 $L^{1}$노름에서 $f*g_{t}\,\rightarrow\,f$이다. $\hat{f}\in L^{1}$이므로 지배수렴정리에 의해 $$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\pi t^{2}|\xi|^{2}}e^{2\pi i\xi\cdot x}\hat{f}(\xi)d\xi}}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{2\pi i\xi\cdot x}\hat{f}(\xi)d\xi}=(\check{\hat{f}})(x)$$ 이고 $f=(\check{\hat{f}})\,a.e.$이다. 같은 방법으로 $(\hat{\check{f}})=f\,a.e.$이고 이 둘은 연속이므로 증명은 완료되었다. 

$f\in L^{1}$, $\hat{f}\in L^{1}$이면, $\displaystyle f(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\hat{f}(\xi)e^{2\pi\xi\cdot x}d\xi}$를 $f$의 푸리에 적분(Fourier integral)표현이라고 한다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley