[측도론] 8-3 푸리에 변환

[측도론] 8-3 푸리에 변환

\(\mathbb{R}^{n}\)상의 함수 \(f\)가 모든 \(x\in\mathbb{R}^{n}\)와 \(k\in\mathbb{Z}^{n}\)에 대해 \(f(x+k)=f(x)\)를 만족하면 \(f\)를 주기적(periodic)이라고 한다. 모든 주기함수는 단위 정육면체 \(\displaystyle Q=\left[-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)^{n}\)에서의 값에 의해 결정된다. 주기함수는 \(\mathbb{Z}^{n}\)의 잉여류 \(\mathbb{R}^{n}/\mathbb{Z}^{n}\approx(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{n}\)(이것을 \(n\)차원 원환면(torus)이라 하고 \(\mathbb{T}^{n}\)으로 나타내며 \(n=1\)일 때 \(\mathbb{T}\)로 나타낸다)에서의 함수라고 할 수 있다. \(\mathbb{T}^{n}\)은 컴팩트 하우스도르프 공간이고 \(z=(z_{1},\,...,\,z_{n})\in\mathbb{C}^{n}\)(\(|z_{i}|=1\))들의 집합이다.(참고: \((x_{1},\,...,\,x_{n})\,\mapsto\,(e^{2\pi ix_{1}},\,...,\,e^{2\pi ix_{n}})\))측도론적 이론 전개를 위해 \(\mathbb{T}^{n}\)을 \(Q\)라 하고 \(\mathbb{T}^{n}\)에서의 르베그측도는 \(Q\)에서의 르베그측도에 의해 \(\mathbb{T}^{n}\)에서 유도된 측도라 하며 \(m(\mathbb{T}^{n})=1\)이다. \(\mathbb{T}^{n}\)에서의 함수는 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 주기함수 또는 \(Q\)상의 함수로 고려될 수 있고, \(\mathbb{T}^{n}\)에서의 함수들의 합성곱은 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 함수들처럼 정의된다. 

\(\mathbb{R}^{n}\), \(\mathbb{T}^{n}\)에서의 공간들은 덧셈과 평행이동에 대해 아벨군(가환군)이다. 이러한 공간들에서 조화해석학의 재료는 모든 \(x\)에 대해 \(\phi(x)\)가 존재해서 \(|\phi(x)|=1\)이고 \(f(y+x)=\phi(x)f(y)\)를 맍고하는 함수 \(f\)들이다. \(f\)와 \(\phi\)가 이 성질을 만족하면 \(f(x)=\phi(x)f(0)\)이고 따라서 \(f\)는 \(\psi\)에 의해 결정되고$$\phi(x)\phi(y)f(0)=\phi(x)f(y)=f(x+y)=\phi(x+y)f(0)$$이므로 \(f=0\)이 아닌 이상 \(\phi(x+y)=\phi(x)\phi(y)\)이다.      

8.12 \(\phi\)가 \(\mathbb{R}^{n}(\mathbb{T}^{n})\)에서 가측이고 \(\phi(x+y)=\phi(x)\phi(y)\), \(|\phi|=1\)이면, \(\xi\in\mathbb{R}^{n}(\mathbb{T}^{n})\)가 존재해서 \(\phi(x)=e^{2\pi i\xi\cdot x}\)이다.  

증명: 먼저 \(n=1\)인 경우에 대해 보이자. \(a\in\mathbb{R}\)를 \(\displaystyle\int_{0}^{a}{\phi(t)dt}\neq0\)이고 이러한 \(a\)가 확실히 존재한다고 하자. 그렇지 않다면 르베그 미분정리(3-4)에 의해 \(\phi=0\,a.e.\)이다. \(\displaystyle A=\left(\int_{0}^{a}{\phi(t)dt}\right)^{-1}\)라 하면$$\phi(x)=A\int_{0}^{a}{\phi(x)\phi(t)dt}=A\int_{0}^{a}{\phi(x+t)dt}=A\int_{x}^{x+a}{\phi(t)dt}$$이므로 \(\phi\)는 국소적분가능한 함수의 부정적분이고 연속이며 연속함수의 적분이므로 \(C^{(1)}\)함수이다. 게다가$$\phi'(x)=A\{\phi(x+a)-\phi(x)\}=B\phi(x)\,(B=A\{\phi(a)-1\})$$이므로 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\{e^{-Bx}\phi(x)\}=0\)이고 \(e^{-Bx}\phi(x)\)는 상수이다. \(\phi(0)=1\)이므로 \(\phi(x)=e^{Bx}\)이고 \(|\phi|=1\)이므로 \(B\)는 순허수이고 적당한 \(\xi\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(B=2\pi i\xi\)이다. \(\mathbb{T}\)의 경우, \(\phi\)가 주기함수(주기가 1) \(\Leftrightarrow\) \(e^{2\pi i\xi}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\xi\in\mathbb{Z}\)이다. 

\(n\)차원의 경우 \(e_{1},\,...,\,e_{n}\)이 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 표준기저일 때 함수 \(\psi_{i}(t)=\phi(te_{i})\)는 \(\psi_{i}(t+s)=\psi_{i}(t)\psi_{i}(s)\)이므로 \(\psi_{i}(t)=e^{2\pi i\xi_{i}t}\)이고 다음이 성립한다.$$\phi(x)=\phi\left(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}e_{i}}\right)=\prod_{i=1}^{n}{\psi_{i}(x_{i})}=e^{2\pi i\xi\cdot x}$$    

8.13 \(E_{\kappa}(x)=e^{2\pi i\kappa\cdot x}\)라고 하자. 그러면 \(\{E_{\kappa}\,|\,\kappa\in\mathbb{Z}^{n}\}\)는 \(L^{2}(\mathbb{T}^{n})\)에서 정규직교집합이다.  

증명: 푸비니정리와 적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{2\pi ikt}dt}\)가 \(k=0\)일 때 1이고, 나머지 경우에는 0이 되기 때문에 정규직교성이 성립한다.(\(E_{\kappa}\overline{E}_{\kappa}=1\)) \(E_{\kappa}E_{\lambda}=E_{\kappa+\lambda}\)이므로 유한개의 \(E_{\kappa}\)들의 집합은 대수이고 \(\mathbb{T}^{n}\)에서 점을 분리한다. 또한 \(E_{0}=1\), \(\overline{E}_{\kappa}=E_{-\kappa}\), \(\mathbb{T}^{n}\)은 컴팩트이므로 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 이 대수는 균등노름 하에 \(C(\mathbb{T}^{n})\)에서 조밀하고 따라서 \(L^{2}\)노름 하에서 \(C(\mathbb{T}^{n})\)에서 조밀하며 7.7에 의해 \(C(\mathbb{T}^{n})\)는 \(L^{2}(\mathbb{T}^{n})\)에서 조밀하다. 따라서 \(\{E_{\kappa}\}\)는 기저이다. 

\(f\in L^{2}(\mathbb{T}^{n})\)이면, \(f\)의 푸리에 변환(Fourier transform)을 다음과 같이 정의하고$$\hat{f}(\kappa)=\langle f,\,E_{\kappa}\rangle=\int_{\mathbb{T}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\kappa\cdot x}dx}$$다음의 급수를 \(f\)의 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다.$$\sum_{\kappa\in\mathbb{Z}^{n}}{\hat{f}(\kappa)E_{\kappa}}$$8.13에 의해 푸리에변환은 \(L^{2}(\mathbb{T}^{n})\)에서 \(\ell^{2}(\mathbb{Z}^{n})\)으로 사상하고 파세발 항등식으로부터 \(\|\hat{f}\|_{2}=\|f\|_{2}\)이며 \(f\)의 푸리에 급수는 \(L^{2}\)노름에서 \(f\)로 수렴한다. \(\hat{f}(\kappa)\)는 \(f\in L^{1}(\mathbb{T}^{n})\), \(|\hat{f}(\kappa)|\leq\|f\|_{1}\)일 때 문제없이 정의된다. \(\mathbb{R}^{n}\)의 경우,$$f(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi\cdot x}d\xi}\,\left(\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}\right)$$이다. \(\hat{f}(\xi)\)는 \(f\in L^{2}\)일 때 발산하나 \(f\in L^{1}\)일 때 수렴한다. \(f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\)의 푸리에 변환(Fourier transform)을 다음과 같이 정의한다.$$\mathcal{F}f(x)=\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}$$분명히 \(\|\hat{f}\|_{u}\leq\|f\|_{1}\)이고 2.28에 의해 \(\hat{f}\)가 연속이므로 \(\mathcal{F}:L^{1}(\mathbb{R}^{n})\,\rightarrow\,BC(X)\)이다.     

8.14 \(f,\,g\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\)이라 하자.  

a. \(\hat{(\tau_{y}f)}(\epsilon)=e^{-2\pi i\xi\cdot x}\hat{f}(\xi)\), \(\tau_{\eta}(\hat{f})=\hat{h}\,(h(x)=e^{2\pi i\eta\cdot x}f(x))\) 

b. \(T\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 가역 선형변환이고 \(S=(T^{+})^{-1}\,(T^{+}f=f\circ T)\)이면, \((\hat{f\circ T})=|\det T|^{-1}(\hat{f}\circ S)\)이다. 특히 \(T\)가 회전이면 \((\hat{f\circ T})=\hat{f}\circ T\,(|\det T|=1)\)이고 \(Tx=t^{-1}x\,(t>0)\)이면 \((\hat{f\circ T})(\xi)=t^{n}\hat{f}(t\xi)\)이며 \(\hat{f}_{t}(\xi)=\hat{f}(t\xi)\,(f_{t}(x)=t^{-n}f(t^{-1}x))\)이다.   

c. \(\hat{f*g}=\hat{f}\hat{g}\) 

d. \(|\alpha|\leq k\)에 대하여 \(x^{\alpha}f\in L^{1}\)이면, \(\hat{f}\in C^{(k)}\)이고 \(\partial^{\alpha}\hat{f}=\hat{(-2\pi ix)^{\alpha}f}\)이다.  

e. \(|\alpha|\leq k\)에 대하여 \(f\in C^{(k)}\), \(\partial^{\alpha}f\in L^{1}\), \(|\alpha|\leq k-1\)에 대하여 \(\partial^{\alpha}f\in C_{0}\)이면, \((\hat{\partial^{\alpha}f})(\xi)=(2\pi i\xi)^{\alpha}\hat{f}(\xi)\)이다.  

증명: 

a: 다음 식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}(\hat{\tau_{y}f})(\xi)&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot(x+y)}dx}=e^{-2\pi i\xi\cdot y}\hat{f}(y)\\ \tau_{\eta}(\hat{f})&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-2\pi i(\xi+\eta)\cdot x}f(x)dx}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-2\pi i\xi\cdot x}e^{-2\pi i\eta\cdot x}f(x)dx}\end{align*}$$ 

b: 2.44에 의해 다음과 같이 성립한다.$$\begin{align*}(\hat{f\circ T})(\xi)&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(Tx)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=|\det T|^{-1}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi T^{-1}x}dx}\\&=|\det T|^{-1}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi iS\xi\cdot x}dx}=|\det T|^{-1}\hat{f}(S\xi)\end{align*}$$ 

c: 푸비니 정리에 의해 다음과 같이 성립한다.$$\begin{align*}\hat{f*g}(\xi)&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dydx}\\&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)e^{-2\pi i\xi\cdot(x-y)}g(y)e^{-2\pi i\xi\cdot y}dxdy}\\&=\hat{f}(\xi)\int_{\mathbb{R}^{n}}{g(y)e^{-2\pi i\xi\cdot y}dy}\\&=\hat{f}(\xi)\hat{g}(\xi)\end{align*}$$

d: 2.28과 \(|\alpha|\)에서의 귀납법으로부터 다음과 같이 성립한다.$$\partial^{\alpha}\hat{f}(\xi)=\partial^{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x)(-2\pi ix)^{\alpha}e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}$$ 

e: \(n=|\alpha|=1\)이라 하자. \(f\in C_{0}\)이므로 부분적분에 의해 다음의 식이 성립한다.$$\int_{-\infty}^{\infty}{f'(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=[f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}]_{-\infty}^{\infty}-(-2\pi i\xi)\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dx}=(2\pi i\xi)\hat{f}(\xi)$$\(n>1\), \(|\alpha|=1\)일 때 \(\hat{\partial_{i}f}\)를 계산하려면 \(i\)번째 변수에 대해 부분적분을 하고, 일반적인 경우는 \(|\alpha|\)에서의 귀납법에 의해 성립한다.  

8.15 \(\mathcal{F}:\mathcal{S}\,\rightarrow\,\mathcal{S}\)는 연속이다. 

증명: 생략

8.16 \(f(x)=e^{-\pi a|x|^{2}}\,(a>0)\)이면, \(\hat{f}(\xi)=a^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\pi|\xi|^{2}}{a}}\)이다.   

증명: \(n=1\)일 때 \(\displaystyle\frac{d}{dx}e^{-\pi ax^{2}}=-2\pi axe^{-\pi ax^{2}}\)이므로 8.14의 d, e에 의해$$(\hat{f})'(\xi)=(\hat{-2\pi ixe^{-\pi ax^{2}}})(\xi)=\frac{i}{a}(\hat{f'})(\xi)=\frac{i}{a}(2\pi i\xi)\hat{f}(\xi)=-\frac{2\pi}{a}\xi\hat{f}(\xi)$$이고 \(\displaystyle\frac{d}{d\xi}\left(e^{\frac{\pi\xi^{2}}{a}}\hat{f}(\xi)\right)=0\)이므로 \(e^{\frac{\pi\xi^{2}}{a}}\hat{f}(\xi)\)는 상수이다. 이 상수를 구하기 위해 \(\xi=0\)이라 하고 2.50을 이용하면 다음의 식이 성립한다.$$\hat{f}(0)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\pi ax^{2}}dx}=a^{-\frac{1}{2}}$$\(n\)차원의 경우 \(\displaystyle|x|^{2}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}\)이므로 푸비니 정리에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\hat{f}(\xi)=\prod_{i=1}^{n}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\pi ax_{i}^{2}-2\pi i\xi_{i}x_{i}}dx_{i}}}=\prod_{i=1}^{n}{a^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{\pi|\xi|^{2}}{a}}}$$ 

\(f\in L^{1}\)에 대하여 \(\check{f}\)를 다음과 같이 정의한다.$$\check{f}(x)=\hat{f}(-x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\xi)e^{2\pi i\xi\cdot x}d\xi}$$\(f\in L^{1}\)이고 \(\hat{f}\in L^{1}\)이면, \(\check{\hat{f}}=f\)가 됨을 보이는데 일반적으로 다음의 적분식에서 피적분 함수는 \(L^{1}(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n})\)의 원소가 아니기 때문에 다른 방법을 이용해야 한다.$$(\check{\hat{f}})(x)=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(y)e^{-2\pi i\xi\cdot y}e^{2\pi i\xi\cdot x}dyd\xi}$$ 

8.17 \(f,\,g\in L^{1}\)이면 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{\hat{f}gdm}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f\hat{g}dm}\)

증명: 위의 두 적분은 적분 \(\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(x)g(\xi)e^{-2\pi i\xi\cdot x}dxd\xi}\)와 같다.  

8.18 푸리에 역변환 정리(Fourier Inversion Theorem) 

\(f\in L^{1}\), \(\hat{f}\in L^{1}\)이면, \(f\)는 연속함수 \(f_{0}\)와 \(a.e.\)같고 \((\check{\hat{f}})=(\hat{\check{f}})=f_{0}\)이다.  

증명: \(t>0\), \(x\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 \(\phi(\xi)=e^{2\pi i\xi\cdot x-\pi t^{2}|\xi|^{2}}\)라 하자. 8.14a, 8.16에 의해 \(\hat{\phi}(y)=t^{-n}e^{-\frac{\pi|x-y|^{2}}{t^{2}}}=g_{t}(x-y)\)이고 여기서 \(g(x)=e^{-\pi|x|^{2}}\), \(\displaystyle g_{t}(x)=t^{-n}g\left(\frac{x}{t}\right)\)이다. 8.17에 의해$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\pi t^{2}|\xi|^{2}}e^{2\pi i\xi\cdot x}\hat{f}(\xi)d\xi}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\hat{f}\phi dm}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f\hat{\phi}dm}=(f*g_{t})(x)$$이고 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\pi|x|^{2}}dx}=1\)이므로 8.9에 의해 \(t\,\rightarrow\,0\)일 때 \(L^{1}\)노름에서 \(f*g_{t}\,\rightarrow\,f\)이다. \(\hat{f}\in L^{1}\)이므로 지배수렴정리에 의해$$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\pi t^{2}|\xi|^{2}}e^{2\pi i\xi\cdot x}\hat{f}(\xi)d\xi}}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{2\pi i\xi\cdot x}\hat{f}(\xi)d\xi}=(\check{\hat{f}})(x)$$이고 \(f=(\check{\hat{f}})\,a.e.\)이다. 같은 방법으로 \((\hat{\check{f}})=f\,a.e.\)이고 이 둘은 연속이므로 증명은 완료되었다. 

\(f\in L^{1}\), \(\hat{f}\in L^{1}\)이면, \(\displaystyle f(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\hat{f}(\xi)e^{2\pi\xi\cdot x}d\xi}\)를 \(f\)의 푸리에 적분(Fourier integral)표현이라고 한다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley