[측도론] 8-4 측도의 푸리에해석

[측도론] 8-4 측도의 푸리에해석

\(M(\mathbb{R}^{n})\)은 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 복소 보렐측도들의 공간이고 7.6에 의해 라돈측도들의 공간이다. \(\mu,\,\nu\in M(\mathbb{R}^{n})\)일 때 \(\mu\times\nu\in M(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n})\)를 다음과 같이 정의하고$$d(\mu\times\nu)(x,\,y)=\frac{d\mu}{d|\mu|}(x)\frac{d\nu}{d|\nu|}(y)d(|\mu|\times|\nu|)(x,\,y)$$\(\mu\)와 \(\nu\)의 합성곱 \(\mu*\nu\)를 \((\mu*\nu)(E)=(\mu\times\nu)(\alpha^{-1}[E])\) (\(\alpha:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)는 \(\alpha(x,\,y)=x+y\)),즉 다음과 같이 정의한다.$$(\mu*\nu)(E)=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\chi_{E}(x+y)d\mu(x)d\nu(y)}$$  

8.19  

a. 측도의 합성곱은 교환법칙과 결합법칙을 만족한다. 

b. 임의의 유계 보렐가측함수 \(h\)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{hd(\mu*\nu)}=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{h(x+y)d\mu(x)d\nu(y)}$$

c. \(\|\mu*\nu\|\leq\|\mu\|\|\nu\|\) 

d. \(d\mu=fdm\), \(d\nu=gdm\)이면, \(d(\mu*\nu)=(f*g)dm\) 

증명: 

a: 교환법칙은 푸비니정리로부터 성립하고 결합법칙은 다음의 식이 잘 정의되므로 성립한다.$$(\lambda*\mu*\nu)(E)=\iiint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\chi_{E}(x+y+z)d\lambda(x)d\mu(y)d\nu(z)}$$ 

b: \(\mu*\nu\)의 정의와 2.10, 선형성으로부터 성립한다.  

c: b에서 \(\displaystyle h=\frac{d|\mu*\nu|}{d(\mu*\nu)}\)라고 하면 \(|h|=1\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\|\mu*\nu\|=\int_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{hd(\mu*\nu)}\leq\iint_{\mathbb{R}^{n}\mathbb{R}^{n}}{|h|d|h|d|\nu|}=\|\mu\|\|\nu\|$$ 

d: \(d\mu=fdm\), \(d\nu=gdm\)이면, 임의의 유계 가측함수 \(h\)에 대해$$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{hd(\mu*\nu)}&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{h(x+y)f(x)g(y)dxdy}\\&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{h(x)f(x-y)g(y)dxdy}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{h(x)(f*g)(x)dx}\end{align*}$$이므로 \(d(\mu*\nu)=(f*g)dm\)이다.  

다음은 측도와 보렐가측 \(L^{p}(\mathbb{R}^{n},\,m)\)상의 함수간의 합성곱을 정의할 수 있음을 보인 정리이다.  

8.20 \(f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})\,(1\leq p\leq\infty)\), \(\mu\in M(\mathbb{R}^{n})\)이면, \(\displaystyle(f*\mu)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)d\mu(y)}\)는 \(a.e.\,x\)에 대해 존재하고 \(f*\mu\in L^{p}\), \(\|f*\mu\|_{p}\leq\|f\|_{p}\|\mu\|\)이다.(여기서 \(L^{p}\)와 \(a.e.\)는 르베그측도에 대한 것이다) 

증명: \(f\)와 \(\mu\)가 음이 아니면, 모든 \(x\)에 대해 \(f*\mu(x)\)가 존재하고(\(\infty\)가 될 수 있다), 적분에 대한 민코프스키 부등식에 의해 다음의 부등식이 성립하며$$\|f*\mu\|_{p}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\|f(\cdot-y)\|_{p}d\mu(y)}=\|f\|_{p}\|\mu\|$$특히 \(a.e.\,x\)에 대해 \(f*\mu(x)<\infty\)이다. 일반적인 경우는 \(|f|\)와 \(|\mu|\)에 적용한다. 

8.18에서 \(p=1\)일 때 임의의 보렐집합 \(E\)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{E}{f*\mu(x)dx}=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\chi_{E}(x)f(x-y)d\mu(y)dx}=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\chi_{E}(x+y)f(x)dxd\mu(y)}$$\(\mu\in M(\mathbb{R}^{n})\)일 때, 다음과 같이 정의된 \(\hat{\mu}\)를 측도 \(\mu\)의 푸리에 변환이라 하고 푸리에-스틸체스 변환(Fourier-Stieltjes transform)이라고도 한다.$$\hat{\mu}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-2\pi i\xi\cdot x}d\mu(x)}$$\(e^{-2\pi i\xi\cdot x}\)는 \(x\)에서 균등연속이므로 \(\hat{\mu}\)는 유계연속함수이고 \(\|\hat{\mu}\|_{u}\leq\|\mu\|\)이다. 게다가 8.19b에서 \(h=e^{-2\pi i\xi\cdot x}\)라 하면 식 \(\hat{\mu*\nu}=\hat{\mu}\hat{\nu}\)가 성립한다.

  

8.21 \(\mu_{1},\,\mu_{2},\,...,\,\mu\in M(\mathbb{R}^{n})\)이라 하자. 모든 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\|\mu_{k}\|\leq C<\infty\)이고 \(\hat{\mu}_{k}\)가 \(\hat{\mu}\)로 점별수렴하면, \(\mu_{k}\)는 \(\mu\)로 모호하게 수렴한다.  

증명: \(f\in\mathcal{S}\)이면, 8.15에 의해 \(\check{f}\in\mathcal{S}\)이므로 푸리에 역변환 정리에 의해$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu_{k}}=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\check{f}(y)e^{-2\pi iy\cdot x}dyd\mu_{k}(x)}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\check{f}(y)\hat{\mu}_{k}(y)dy}$$이고 \(\check{f}\in L^{1}\), \(\|\mu_{k}\|\leq C\)이므로 지배수렴정리에 의해 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu_{k}}\,\rightarrow\,\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu}\)이다. 8.11에 의해 \(\mathcal{S}\)는 \(C_{0}(\mathbb{R}^{n})\)에서 조밀하므로 5.14에 의해 모든 \(f\in C_{0}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu_{k}}\,\rightarrow\,\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu}\)이고 따라서 \(\mu_{k}\)는 \(\mu\)로 모호하게 수렴한다.  

\(\mu_{k}\)가 \(\mu\)로 모호하게 수렴하고 \(\|\mu_{k}\|\,\rightarrow\,\|\mu\|\)이면 \(\hat{\mu}_{k}\)는 \(\hat{\mu}\)로 점별수렴한다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley