[측도론] 8-4 측도의 푸리에해석

[측도론] 8-4 측도의 푸리에해석

$M(\mathbb{R}^{n})$은 $\mathbb{R}^{n}$상의 복소 보렐측도들의 공간이고 7.6에 의해 라돈측도들의 공간이다. $\mu,\,\nu\in M(\mathbb{R}^{n})$일 때 $\mu\times\nu\in M(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n})$를 다음과 같이 정의하고 $$d(\mu\times\nu)(x,\,y)=\frac{d\mu}{d|\mu|}(x)\frac{d\nu}{d|\nu|}(y)d(|\mu|\times|\nu|)(x,\,y)$$ $\mu$와 $\nu$의 합성곱 $\mu*\nu$를 $(\mu*\nu)(E)=(\mu\times\nu)(\alpha^{-1}[E])$ ($\alpha:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$는 $\alpha(x,\,y)=x+y$),즉 다음과 같이 정의한다. $$(\mu*\nu)(E)=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\chi_{E}(x+y)d\mu(x)d\nu(y)}$$   

8.19  

a. 측도의 합성곱은 교환법칙과 결합법칙을 만족한다. 

b. 임의의 유계 보렐가측함수 $h$에 대하여 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{hd(\mu*\nu)}=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{h(x+y)d\mu(x)d\nu(y)}$$

c. $\|\mu*\nu\|\leq\|\mu\|\|\nu\|$ 

d. $d\mu=fdm$, $d\nu=gdm$이면, $d(\mu*\nu)=(f*g)dm$ 

증명: 

a: 교환법칙은 푸비니정리로부터 성립하고 결합법칙은 다음의 식이 잘 정의되므로 성립한다. $$(\lambda*\mu*\nu)(E)=\iiint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\chi_{E}(x+y+z)d\lambda(x)d\mu(y)d\nu(z)}$$  

b: $\mu*\nu$의 정의와 2.10, 선형성으로부터 성립한다.  

c: b에서 $\displaystyle h=\frac{d|\mu*\nu|}{d(\mu*\nu)}$라고 하면 $|h|=1$이므로 다음의 결과를 얻는다. $$\|\mu*\nu\|=\int_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{hd(\mu*\nu)}\leq\iint_{\mathbb{R}^{n}\mathbb{R}^{n}}{|h|d|h|d|\nu|}=\|\mu\|\|\nu\|$$  

d: $d\mu=fdm$, $d\nu=gdm$이면, 임의의 유계 가측함수 $h$에 대해 $$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{hd(\mu*\nu)}&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{h(x+y)f(x)g(y)dxdy}\\&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{h(x)f(x-y)g(y)dxdy}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{h(x)(f*g)(x)dx}\end{align*}$$ 이므로 $d(\mu*\nu)=(f*g)dm$이다.  

다음은 측도와 보렐가측 $L^{p}(\mathbb{R}^{n},\,m)$상의 함수간의 합성곱을 정의할 수 있음을 보인 정리이다.  

8.20 $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})\,(1\leq p\leq\infty)$, $\mu\in M(\mathbb{R}^{n})$이면, $\displaystyle(f*\mu)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)d\mu(y)}$는 $a.e.\,x$에 대해 존재하고 $f*\mu\in L^{p}$, $\|f*\mu\|_{p}\leq\|f\|_{p}\|\mu\|$이다.(여기서 $L^{p}$와 $a.e.$는 르베그측도에 대한 것이다) 

증명: $f$와 $\mu$가 음이 아니면, 모든 $x$에 대해 $f*\mu(x)$가 존재하고($\infty$가 될 수 있다), 적분에 대한 민코프스키 부등식에 의해 다음의 부등식이 성립하며 $$\|f*\mu\|_{p}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\|f(\cdot-y)\|_{p}d\mu(y)}=\|f\|_{p}\|\mu\|$$ 특히 $a.e.\,x$에 대해 $f*\mu(x)<\infty$이다. 일반적인 경우는 $|f|$와 $|\mu|$에 적용한다. 

8.18에서 $p=1$일 때 임의의 보렐집합 $E$에 대하여 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{E}{f*\mu(x)dx}=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\chi_{E}(x)f(x-y)d\mu(y)dx}=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\chi_{E}(x+y)f(x)dxd\mu(y)}$$ $\mu\in M(\mathbb{R}^{n})$일 때, 다음과 같이 정의된 $\hat{\mu}$를 측도 $\mu$의 푸리에 변환이라 하고 푸리에-스틸체스 변환(Fourier-Stieltjes transform)이라고도 한다. $$\hat{\mu}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-2\pi i\xi\cdot x}d\mu(x)}$$ $e^{-2\pi i\xi\cdot x}$는 $x$에서 균등연속이므로 $\hat{\mu}$는 유계연속함수이고 $\|\hat{\mu}\|_{u}\leq\|\mu\|$이다. 게다가 8.19b에서 $h=e^{-2\pi i\xi\cdot x}$라 하면 식 $\hat{\mu*\nu}=\hat{\mu}\hat{\nu}$가 성립한다.

  

8.21 $\mu_{1},\,\mu_{2},\,...,\,\mu\in M(\mathbb{R}^{n})$이라 하자. 모든 $k\in\mathbb{N}$에 대하여 $\|\mu_{k}\|\leq C<\infty$이고 $\hat{\mu}_{k}$가 $\hat{\mu}$로 점별수렴하면, $\mu_{k}$는 $\mu$로 모호하게 수렴한다.  

증명: $f\in\mathcal{S}$이면, 8.15에 의해 $\check{f}\in\mathcal{S}$이므로 푸리에 역변환 정리에 의해 $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu_{k}}=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{\check{f}(y)e^{-2\pi iy\cdot x}dyd\mu_{k}(x)}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\check{f}(y)\hat{\mu}_{k}(y)dy}$$ 이고 $\check{f}\in L^{1}$, $\|\mu_{k}\|\leq C$이므로 지배수렴정리에 의해 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu_{k}}\,\rightarrow\,\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu}$이다. 8.11에 의해 $\mathcal{S}$는 $C_{0}(\mathbb{R}^{n})$에서 조밀하므로 5.14에 의해 모든 $f\in C_{0}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu_{k}}\,\rightarrow\,\int_{\mathbb{R}^{n}}{fd\mu}$이고 따라서 $\mu_{k}$는 $\mu$로 모호하게 수렴한다.  

$\mu_{k}$가 $\mu$로 모호하게 수렴하고 $\|\mu_{k}\|\,\rightarrow\,\|\mu\|$이면 $\hat{\mu}_{k}$는 $\hat{\mu}$로 점별수렴한다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley