2006학년도 중등교사 임용시험 14번, 2009학년도 중등교사 임용시험 2차 2교시 4번
2006학년도 14번 문제:
실수 집합을 R이라 하자. n차 다항식 xn이 주어질 때, 함수 f:[0,1]→R가 연속이면 다음 식을 만족하는 c∈[0,1]가 존재함을 보이시오.(n+1)∫10f(x)xndx=f(c)풀이: f가 [0,1]에서 연속이므로 최대, 최소정리에 의해 최댓값 M과 최솟값 m을 갖는다. 즉 모든 x∈[0,1]에 대해 m≤f(x)≤M이다.
그러면 모든 x∈[0,1]에 대해mxn≤f(x)xn≤Mxn이고 이 부등식의 각 변들을 [0,1]에서 적분하면mn+1=∫10mxndx≤∫10f(x)xndx≤∫10Mxndx=Mn+1이며m≤(n+1)∫10f(x)xndx≤M이다. 그러면 중간값(사이값) 정리에 의해 (n+1)∫10f(x)xndx=f(c)인 c∈[0,1]가 존재한다.
2009학년도 2차 2교시 4번 문제:
다음 (가), (나), (다)를 아래의 <조건>에 따라 각각 증명하고, (가)와 (나)의 의미를 비교하여 설명하시오. 그리고 (다)와 관련된 다음 명제
'실수 전체의 집합 R에서 정의된 함수 f:R→R가 C∞급 함수이고 유계(bounded)이면 상수함수이다.'
가 성립하면 그 이유를 설명하고, 성립하지 않으면 반례를 제시하시오.
(가) 실수 전체의 집합 R의 두 원소 a,b (단, a<b)에 대하여, 닫힌 구간 I=[a,b]에서 R로의 두 함수 f,g가 연속이고, 모든 x∈I에 대하여 g(x)>0이라고 하자. 그러면∫baf(x)g(x)dx=f(c)∫bag(x)dx를 만족하는 c∈I가 존재한다. (나) 복소평면 C에 있는 중심이 z0이고 반지름이 r(>0)인 닫힌 원판 B={z∈C||z−z0|≤r}에서 정의된 함수 f:B→C가 해석적(analytic)이면 f(z0)=12π∫2π0f(z0+reiθ)dθ이다. (다) 복소평면 C에서 정의된 함수 f:C→C가 C에서 해석적이고 유계이면 상수함수이다. |
<조 건> (가), (나), (다)를 증명할 때, 각 증명에 다음 중 한 가지 이상을 사용하시오. -최대, 최소의 정리 -중간값(사이값)의 정리 -코시(Cauchy)의 적분공식 <참 고> 함수 f:R→R가 C∞급 함수라는 것은 모든 자연수 n에 대하여 R에서 n계도함수 f(n)이 존재하고 f(n)이 연속임을 뜻한다. |
풀이:
(가): 함수 f가 I에서 연속이므로 최대, 최소의 정리에 의해 최댓값 M과 최솟값 m을 갖는다. 즉 모든 x∈I에 대하여 m≤f(x)≤M이다. 연속함수 g는 모든 x∈I에 대하여 g(x)>0이므로 모든 x∈I에 대하여mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)이고 이 부등식의 각 변들을 구간 I에서 적분하면m∫bag(x)dx≤∫baf(x)g(x)dx≤M∫bag(x)dx이다. ∫bag(x)dx>0이므로 위의 식을 ∫bag(x)dx로 나누면m≤∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx≤M이고 중간값(사이값)의 정리에 의해∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx=f(c)를 만족하는 c∈I가 존재한다. 따라서∫baf(x)g(x)dx=f(c)∫bag(x)dx를 만족하는 c∈I가 존재한다.
(나): 함수 f는 닫힌원판 B={z∈C||z−z0|≤r}에서 해석적이므로 코시 적분공식에 의해f(z0)=12πi∫∂Bf(z)z−z0dz이고 여기서 ∂B는 닫힌원판 B의 경계이다.∂B:z=z0+reiθ(0≤θ≤2π)이므로f(z0)=12πi∫∂Bf(z)z−z0dz=12πi∫2π0f(z0+reiθ)reiθireiθdθ=12π∫2π0f(z0+reiθ)dθ이다.
(다): 임의의 z0∈C에 대해 닫힌원판 B={z∈C||z−z0|≤r}는 r→∞일 때 복소평면 전체인 C가 된다. 함수 f는 C에서 유계이므로 M>0이 존재해서 모든 z∈C에 대해 |f(z)|≤M이다. 또한 f는 C에서 해석적이므로 코시 적분공식에 의해f′(z0)=12πi∫∂Bf(z)(z−z0)2dz이고 여기서 ∂B는 B의 경계이다. 그러면|f′(z0)|=|12πi∫∂Bf(z)(z−z0)2dz|≤12π∫C|f(z)(z−z0)2|dz≤12π⋅(2πr)Mr2=Mr이고 limr→∞Mr=0이므로 |f′(z0)|=0이고 f′(z0)=0이다. z0는 C상의 임의의 점이므로 모든 z∈C에 대하여 f′(z)=0이고 따라서 f는 상수함수이다.
(가)와 (나)의 의미: (가)는 실수함수에 대한 적분에 관한 평균값 정리, (나)는 복소함수에 대한 적분에 관한 평균값 정리이다.
명제 '실수 전체의 집합 R에서 정의된 함수 f:R→R가 C∞급 함수이고 유계이면 상수함수이다'는 거짓이다. 그 반례로 함수 f(x)=sinx는 C∞급 함수이고 모든 x∈R에 대하여 |f(x)|=|sinx|≤1이므로 유계이지만 상수함수가 아니다.
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