2006학년도 중등교사 임용시험 14번, 2009학년도 중등교사 임용시험 2차 2교시 4번

2006학년도 중등교사 임용시험 14번, 2009학년도 중등교사 임용시험 2차 2교시 4번

2006학년도 14번 문제:

실수 집합을 \(\mathbb{R}\)이라 하자.  \(n\)차 다항식 \(x^{n}\)이 주어질 때, 함수 \(f:\,[0,\,1]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 연속이면 다음 식을 만족하는 \(c\in[0,\,1]\)가 존재함을 보이시오.$$(n+1)\int_{0}^{1}{f(x)x^{n}dx}=f(c)$$풀이: \(f\)가 \([0,\,1]\)에서 연속이므로 최대, 최소정리에 의해 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 갖는다. 즉 모든 \(x\in[0,\,1]\)에 대해 \(m\leq f(x)\leq M\)이다.

그러면 모든 \(x\in[0,\,1]\)에 대해$$mx^{n}\leq f(x)x^{n}\leq Mx^{n}$$이고 이 부등식의 각 변들을 \([0,\,1]\)에서 적분하면$$\frac{m}{n+1}=\int_{0}^{1}{mx^{n}dx}\leq\int_{0}^{1}{f(x)x^{n}dx}\leq\int_{0}^{1}{Mx^{n}dx}=\frac{M}{n+1}$$이며$$m\leq(n+1)\int_{0}^{1}{f(x)x^{n}dx}\leq M$$이다. 그러면 중간값(사이값) 정리에 의해 \(\displaystyle(n+1)\int_{0}^{1}{f(x)x^{n}dx}=f(c)\)인 \(c\in[0,\,1]\)가 존재한다.

2009학년도 2차 2교시 4번 문제:

다음 (가), (나), (다)를 아래의 <조건>에 따라 각각 증명하고, (가)와 (나)의 의미를 비교하여 설명하시오. 그리고 (다)와 관련된 다음 명제

'실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)에서 정의된 함수 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 \(C^{\infty}\)급 함수이고 유계(bounded)이면 상수함수이다.'

가 성립하면 그 이유를 설명하고, 성립하지 않으면 반례를 제시하시오.

 

(가) 실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)의 두 원소 \(a,\,b\) (단, \(a<b\))에 대하여, 닫힌 구간 \(I=[a,\,b]\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 두 함수 \(f,\,g\)가 연속이고, 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(g(x)>0\)이라고 하자. 그러면$$\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(c)\int_{a}^{b}{g(x)dx}$$를 만족하는 \(c\in I\)가 존재한다. (나) 복소평면 \(\mathbb{C}\)에 있는 중심이 \(z_{0}\)이고 반지름이 \(r(>0)\)인 닫힌 원판 \(B=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z-z_{0}|\leq r\}\)에서 정의된 함수 \(f:\,B\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 해석적(analytic)이면 \(\displaystyle f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+re^{i\theta})d\theta}\)이다. (다) 복소평면 \(\mathbb{C}\)에서 정의된 함수 \(f:\,\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 \(\mathbb{C}\)에서 해석적이고 유계이면 상수함수이다.

   

<조 건> (가), (나), (다)를 증명할 때, 각 증명에 다음 중 한 가지 이상을 사용하시오. -최대, 최소의 정리 -중간값(사이값)의 정리 -코시(Cauchy)의 적분공식                                                                         <참 고> 함수 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 \(C^{\infty}\)급 함수라는 것은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\mathbb{R}\)에서 \(n\)계도함수 \(f^{(n)}\)이 존재하고 \(f^{(n)}\)이 연속임을 뜻한다.

풀이: 

(가): 함수 \(f\)가 \(I\)에서 연속이므로 최대, 최소의 정리에 의해 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 갖는다. 즉 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(m\leq f(x)\leq M\)이다. 연속함수 \(g\)는 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(g(x)>0\)이므로 모든 \(x\in I\)에 대하여$$mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$$이고 이 부등식의 각 변들을 구간 \(I\)에서 적분하면$$m\int_{a}^{b}{g(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}\leq M\int_{a}^{b}{g(x)dx}$$이다. \(\displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dx}>0\)이므로 위의 식을 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)로 나누면$$m\leq\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}}{\displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)}dx}\leq M$$이고 중간값(사이값)의 정리에 의해$$\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}}{\displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dx}}=f(c)$$를 만족하는 \(c\in I\)가 존재한다. 따라서$$\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(c)\int_{a}^{b}{g(x)dx}$$를 만족하는 \(c\in I\)가 존재한다.

(나): 함수 \(f\)는 닫힌원판 \(B=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z-z_{0}|\leq r\}\)에서 해석적이므로 코시 적분공식에 의해$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$이고 여기서 \(\partial B\)는 닫힌원판 \(B\)의 경계이다.$$\partial B:\,z=z_{0}+re^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)$$이므로$$\begin{align*}f(z_{0})&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}{\frac{f(z_{0}+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+re^{i\theta})d\theta}\end{align*}$$이다.

(다): 임의의 \(z_{0}\in\mathbb{C}\)에 대해 닫힌원판 \(B=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z-z_{0}|\leq r\}\)는 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 복소평면 전체인 \(\mathbb{C}\)가 된다. 함수 \(f\)는 \(\mathbb{C}\)에서 유계이므로 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(z\in\mathbb{C}\)에 대해 \(|f(z)|\leq M\)이다. 또한 \(f\)는 \(\mathbb{C}\)에서 해석적이므로 코시 적분공식에 의해$$f'(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}dz}$$이고 여기서 \(\partial B\)는 \(B\)의 경계이다. 그러면$$|f'(z_{0})|=\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}dz}\right|\leq\frac{1}{2\pi}\int_{C}{\left|\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}\right|dz}\leq\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{(2\pi r)M}{r^{2}}=\frac{M}{r}$$이고 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\frac{M}{r}}=0\)이므로 \(|f'(z_{0})|=0\)이고 \(f'(z_{0})=0\)이다. \(z_{0}\)는 \(\mathbb{C}\)상의 임의의 점이므로 모든 \(z\in\mathbb{C}\)에 대하여 \(f'(z)=0\)이고 따라서 \(f\)는 상수함수이다. 

(가)와 (나)의 의미: (가)는 실수함수에 대한 적분에 관한 평균값 정리, (나)는 복소함수에 대한 적분에 관한 평균값 정리이다.

명제 '실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)에서 정의된 함수 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 \(C^{\infty}\)급 함수이고 유계이면 상수함수이다'는 거짓이다. 그 반례로 함수 \(f(x)=\sin x\)는 \(C^{\infty}\)급 함수이고 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(|f(x)|=|\sin x|\leq1\)이므로 유계이지만 상수함수가 아니다.