2011학년도 중등교사 임용시험 1차 28번, 2019학년도 1차 2교시 전공 A 4번

2011학년도 중등교사 임용시험 1차 28번, 2019학년도 1차 2교시 전공 A 4번

2011학년도 1차 28번 

좌표평면에서 영역 $D=\{(x,\,y)\,|\,x^{2}+y^{2}\leq1\}$일 때, 다음 이중적분의 값은? $$\iint_{D}{\frac{|y|}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dxdy}$$ 이 문제는 겉보기에는 극좌표 치환문제 같지만 문제에 주어진 영역은 단위원 $x^{2}+y^{2}=1$의 내부이고, 피적분함수의 분모는 $\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}$이므로 극좌표 치환을 사용할 수 없다. 피적분함수의 분자에는 $|y|$가 있고, $$f(x,\,y)=\frac{|y|}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}$$ 라고 할 때 $f(x,\,-y)=f(x,\,y)$이므로 영역 $D'$을 $$D'=\{(x,\,y)\,|\,x^{2}+y^{2}\leq1,\,y\geq0\}$$ 이라고 할 때 $$\iint_{D}{\frac{|y|}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dxdy}=2\iint_{D'}{\frac{y}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dydx}$$ 이다. $D'$은 $x$축 상의 구간 $[-1,\,1]$과 반원 $y=\sqrt{1-x^{2}}$로 둘러싸인 영역이므로 문제의 이중적분을 다음과 같이 계산할 수 있다. $$\begin{align*}\iint_{D'}{\frac{2y}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dydx}&=\int_{-1}^{1}{\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}{\frac{2y}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dy}dx}\\&=\int_{-1}^{1}{\left[\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}\right]_{-1}^{1}dx}\\&=\int_{-1}^{1}{(\sqrt{5-4x}-|x-2|)dx}\\&=\int_{-1}^{1}{\{\sqrt{5-4x}+(x-2)\}dx}\\&=\left[-\frac{1}{6}(5-4x)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}(x-2)^{2}\right]_{-1}^{1}\\&=\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{27}{6}+\frac{9}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}\end{align*}$$ 따라서 $\displaystyle\iint_{D}{\frac{|y|}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dxdy}=\frac{2}{3}$이다. 

2019학년도 1차 2교시 전공 A 4번

좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 영역 $D_{n}$이 $$D_{n}=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,(x-y)^{2}+x^{2}\leq n\}$$ 일 때, 다음의 극한값을 구하시오. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\iint_{D_{n}}{e^{-[(x-y)^{2}+x^{2}]}dxdy}}$$ (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대 정수이다.)

먼저 $u=x-y$, $v=x$로 변수변환을 해서 이중적분을 구한다. $$u_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}=1,\,u_{y}=\frac{\partial u}{\partial y}=-1,\,v_{x}=\frac{\partial v}{\partial x}=1,\,v_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}=0$$ 이므로 이 변환의 야코비안은 $$J=\left|\begin{matrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}1&-1\\1&0\end{matrix}\right|=1$$ 이고 영역 $D$를 다음과 같은 영역 $D'$으로 사상한다. $$D'=\{(u,\,v)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,u^{2}+v^{2}\leq n\}$$ $|J|=1$이므로 $$\iint_{D_{n}}{e^{-[(x-y)^{2}+x^{2}]}dxdy}=\iint_{D_{n}'}{e^{-[u^{2}+v^{2}]}dudv}$$ 이고 $$u=r\cos\theta,\,v=r\sin\theta\,(0\leq r\leq \sqrt{n},\,0\leq\theta\leq2\pi)$$ 라 하자. 그러면 $$\iint_{D_{n}'}{e^{-[u^{2}+v^{2}]}dudv}=\int_{0}^{2\pi}{e^{-[r^{2}]}rdrd\theta}=\pi\int_{0}^{\sqrt{n}}{2re^{-r^{2}}dr}$$ 이고 $s=r^{2}$라 하면 $ds=2rdr$이므로 $$\pi\int_{0}^{\sqrt{n}}{2re^{-[r^{2}]}dr}=\pi\int_{0}^{n}{e^{-[s]}ds}=\pi\sum_{k=0}^{n}{e^{-k}}$$ 따라서 $$\iint_{D_{n}}{e^{-[(x-y)^{2}+x^{2}]}dxdy}=\pi\sum_{k=0}^{n}{e^{-k}}$$ 이고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\iint_{D_{n}}e^{-[(x-y)+x^{2}]}dxdy}=\pi\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-k}}=\frac{\pi}{1-\frac{1}{e}}=\frac{\pi e}{e-1}$$ 이다.