2011학년도 중등교사 임용시험 1차 28번, 2019학년도 1차 2교시 전공 A 4번

2011학년도 중등교사 임용시험 1차 28번, 2019학년도 1차 2교시 전공 A 4번

2011학년도 1차 28번 

좌표평면에서 영역 \(D=\{(x,\,y)\,|\,x^{2}+y^{2}\leq1\}\)일 때, 다음 이중적분의 값은?$$\iint_{D}{\frac{|y|}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dxdy}$$이 문제는 겉보기에는 극좌표 치환문제 같지만 문제에 주어진 영역은 단위원 \(x^{2}+y^{2}=1\)의 내부이고, 피적분함수의 분모는 \(\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}\)이므로 극좌표 치환을 사용할 수 없다. 피적분함수의 분자에는 \(|y|\)가 있고,$$f(x,\,y)=\frac{|y|}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}$$라고 할 때 \(f(x,\,-y)=f(x,\,y)\)이므로 영역 \(D'\)을$$D'=\{(x,\,y)\,|\,x^{2}+y^{2}\leq1,\,y\geq0\}$$이라고 할 때$$\iint_{D}{\frac{|y|}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dxdy}=2\iint_{D'}{\frac{y}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dydx}$$이다. \(D'\)은 \(x\)축 상의 구간 \([-1,\,1]\)과 반원 \(y=\sqrt{1-x^{2}}\)로 둘러싸인 영역이므로 문제의 이중적분을 다음과 같이 계산할 수 있다.$$\begin{align*}\iint_{D'}{\frac{2y}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dydx}&=\int_{-1}^{1}{\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}{\frac{2y}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dy}dx}\\&=\int_{-1}^{1}{\left[\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}\right]_{-1}^{1}dx}\\&=\int_{-1}^{1}{(\sqrt{5-4x}-|x-2|)dx}\\&=\int_{-1}^{1}{\{\sqrt{5-4x}+(x-2)\}dx}\\&=\left[-\frac{1}{6}(5-4x)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}(x-2)^{2}\right]_{-1}^{1}\\&=\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{27}{6}+\frac{9}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}\end{align*}$$따라서 \(\displaystyle\iint_{D}{\frac{|y|}{\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}}dxdy}=\frac{2}{3}\)이다. 

2019학년도 1차 2교시 전공 A 4번

좌표평면에서 자연수 \(n\)에 대하여 영역 \(D_{n}\)이$$D_{n}=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,(x-y)^{2}+x^{2}\leq n\}$$일 때, 다음의 극한값을 구하시오.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\iint_{D_{n}}{e^{-[(x-y)^{2}+x^{2}]}dxdy}}$$(단, \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대 정수이다.)

먼저 \(u=x-y\), \(v=x\)로 변수변환을 해서 이중적분을 구한다.$$u_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}=1,\,u_{y}=\frac{\partial u}{\partial y}=-1,\,v_{x}=\frac{\partial v}{\partial x}=1,\,v_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}=0$$이므로 이 변환의 야코비안은$$J=\left|\begin{matrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}1&-1\\1&0\end{matrix}\right|=1$$이고 영역 \(D\)를 다음과 같은 영역 \(D'\)으로 사상한다.$$D'=\{(u,\,v)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,u^{2}+v^{2}\leq n\}$$\(|J|=1\)이므로$$\iint_{D_{n}}{e^{-[(x-y)^{2}+x^{2}]}dxdy}=\iint_{D_{n}'}{e^{-[u^{2}+v^{2}]}dudv}$$이고$$u=r\cos\theta,\,v=r\sin\theta\,(0\leq r\leq \sqrt{n},\,0\leq\theta\leq2\pi)$$라 하자. 그러면$$\iint_{D_{n}'}{e^{-[u^{2}+v^{2}]}dudv}=\int_{0}^{2\pi}{e^{-[r^{2}]}rdrd\theta}=\pi\int_{0}^{\sqrt{n}}{2re^{-r^{2}}dr}$$이고 \(s=r^{2}\)라 하면 \(ds=2rdr\)이므로$$\pi\int_{0}^{\sqrt{n}}{2re^{-[r^{2}]}dr}=\pi\int_{0}^{n}{e^{-[s]}ds}=\pi\sum_{k=0}^{n}{e^{-k}}$$따라서$$\iint_{D_{n}}{e^{-[(x-y)^{2}+x^{2}]}dxdy}=\pi\sum_{k=0}^{n}{e^{-k}}$$이고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\iint_{D_{n}}e^{-[(x-y)+x^{2}]}dxdy}=\pi\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-k}}=\frac{\pi}{1-\frac{1}{e}}=\frac{\pi e}{e-1}$$이다.