2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 7번, 2020학년도 2교시 전공A 12번

2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 7번, 2020학년도 2교시 전공A 12번

2017학년도 전공B 7번 

상수함수가 아닌 함수 \(f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 무한번 미분가능하고 모든 실수 \(x\)와 자연수 \(n\)에 대해$$|f^{(n)}(x)|\leq n^{2}(|x|+2)$$를 만족시킬 때, 집합 \(\{x\in\mathbb{R}\,|\,f(x)=0,\,|x|<1\}\)이 유한집합임을 보이시오.

※다음 정리들은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

(가) \(c\in(a,\,b)\)이고 함수 \(f(x)\)가 열린구간 \((a,\,b)\)에서 \((n+1)\)번 미분가능할 때,$$T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}},\,R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)$$로 놓으면 \(\displaystyle R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}\)이 되는 \(t_{x}\)가 \(c\)와 \(x\)사이에 존재한다. (나) 함수 \(g(x)\)가 \(|x-c|<r\)(\(r>0\), \(c\)는 상수)인 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여$$g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}$$일 때, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(x_{n}\neq c\), \(g(x_{n})=0\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=c\)인 수열 \(\{x_{n}\}\)이 존재하면 \(|x-c|<r\)인 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(g(x)=0\)이다.

먼저 정리 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)를 급수로 나타내자. 

함수 \(f\)는 \((-1,\,1)\)에서 무한번 미분가능하고 \(0\in(-1,\,1)\)이므로 정리 (가)에 의해 \(t_{x}\)가 \(0\)과 \(x\in(-1,\,1)\)사이에 존재하여$$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}x^{n+1}$$이고$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}}+R_{n}(x)$$이다. 

모든 \(x\in(-1,\,1)\)와 자연수 \(n\)에 대해 \(|f^{(n)}(x)|\leq n^{2}(|x|+2)\)이고 \(t_{x}\in(-1,\,1)\)이므로$$|R_{n}(x)|=\frac{|f^{(n+1)}(t_{x})|}{(n+1)!}|x|^{n+1}<\frac{|f^{(n+1)}(t_{x})|}{(n+1)!}\leq\frac{(n+1)^{2}(|t_{x}|+2)}{(n+1)!}=\frac{(n+1)(|t_{x}|+2)}{n!}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{(n+1)(|t_{x}|+2)}{n!}}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R_{n}(x)}=0\)이고 따라서 모든 \(x\in(-1,\,1)\)에 대해 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}}\)이다.

집합 \(\{x\in\mathbb{R}\,|\,f(x)=0,\,|x|<1\}\)을 무한집합이라고 하자. 그러면 이 집합은 가산무한개의 부분집합 \(\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N},\,|a_{n}|<1\}\)을 갖고 이 부분집합은 유계수열이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열을 갖는다.

그 부분수열을 \(\{b_{n}\}\)이라 하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{b_{n}}=0\)이라 하자. 

수열 \(\{x_{n}\}\)을 

(i) 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(b_{n}\neq0\)이면, \(x_{n}=b_{n}\)

(ii) 적당한 \(m\in\mathbb{N}\)에 대해 \(b_{m}=0\)이면,$$x_{n}=\begin{cases}b_{n}&\,(n<m)\\ b_{n+1}&\,(n\geq m)\end{cases}$$이라 하자. 그러면 \(\{x_{n}\}\)은 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(x_{n}\neq0\)이고 \(f(x_{n})=0\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=0\)이므로 정리 (나)에 의해 모든 \(x\in(-1,\,1)\)에 대해 \(f(x)=0\)이고 이것은 \(f\)가 상수함수가 아니라는 사실에 모순이다. 

따라서 집합 \(\{x\in\mathbb{R}\,|\,f(x)=0,\,|x|<1\}\)은 유한집합이다. 

2020학년도 2교시 전공 A 12번  

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여$$S=\{x\,|\,f(x)=0,\,-1\leq x\leq1\}$$라 하자. 다음 명제 \(P\)의 대우명제를 쓰고 \(P\)를 증명하시오. 

\(P\): 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f(x)\neq0\)이거나 \(f'(x)\neq0\)이면 \(S\)는 유한집합이다.

 

명제 \(P\)의 대우명제는 다음과 같다:

\(S\)가 무한집합이면, 적당한 \(x\in\mathbb{R}\)에 대해 \(f(x)=f'(x)=0\)이다.

집합 \(S\)는 무한집합이므로 가산무한개의 부분집합 \(\{a_{n}\in S\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)을 갖고, 이 부분집합은 유계수열이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열을 갖는다.

그 부분수열을 \(\{b_{n}\}\)이라 하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{b_{n}}=\alpha\in S\)라 하자. \(f\)는 \([-1,\,1]\)에서 미분가능하므로$$f'(\alpha)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(b_{n+1})-f(b_{n})}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{0}=0\,(\because\,b_{n}\in S)$$이고 \(\alpha\in S\)이므로

따라서 \(f(\alpha)=f'(\alpha)=0\)이다.