2016학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 7번, 2020학년도 2교시 전공A 9번

2016학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 7번, 2020학년도 2교시 전공A 9번 

2016학년도 3교시 전공B 7번

복소함수 $\displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{e^{2z}+1}\,\left(|z|<\frac{\pi}{2}\right)$의 점 $z_{0}=0$에 관한 테일러(Taylor) 급수 전개를 $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}$이라 하자. 

음이 아닌 모든 정수 $n$에 대하여 $a_{2n+1}=0$임을 보이시오. 또한 복소평면에서 시계반대방향의 단위원 $C:\,|z|=1$에 대하여 $\displaystyle\int_{C}{\frac{f(z)}{z^{3}}dz}$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

문제의 복소함수 $f(z)$를 $\displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{e^{2z}+1}=\frac{1}{e^{z}+e^{-z}}$로 나타낼 수 있고, $$e^{z}+e^{-z}=2\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}=2\left(1+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}+\cdots\right)$$ 이므로 $f$의 $z=0$에서의 테일러 급수전개를 $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}$이라고 하자. 그러면 $$\left(\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}\right)\left(2\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}\right)=\left(\sum_{n=0}^{\infty}{a_{2n}z^{2n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{2n+1}z^{2n+1}}\right)\left(2\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}\right)=1$$ 이고 $f(z)$의 테일러 전개식의 짝수항에는 상수항이 포함되어 있으므로 다음과 같아야 한다. $$\left(\sum_{n=0}^{\infty}{a_{2n}z^{2n}}\right)\left(2\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}\right)=1,\,\left(\sum_{n=0}^{\infty}{a_{2n+1}z^{2n+1}}\right)\left(2\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}\right)=0$$ 그러면 모든 음이 아닌 정수 $n$에 대해 $a_{2n+1}=0$이고 $$(a_{0}+a_{2}z^{2}+\cdots)\left(2+z^{2}+\cdots\right)=1$$ 이므로 $$2a_{0}=1,\,(a_{0}+2a_{2})z^{2}=0,\,...$$ 이고 $$a_{0}=\frac{1}{2},\,a_{2}=-\frac{1}{2}a_{0}=-\frac{1}{4},\,...$$ 이다. $f(z)$는 $\displaystyle|z|<\frac{\pi}{2}$에서 해석적이고 $$f(z)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}z^{2}+\cdots$$ 이므로 $$\frac{f(z)}{z^{3}}=\frac{1}{2z^{3}}-\frac{1}{4z}+\cdots$$ 이고 따라서 유수정리(residue theorem)에 의해 $$\int_{C}{\frac{f(z)}{z^{3}}dz}=2\pi i\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi}{2}i$$ 이다.

2020학년도 2교시 전공A 9번 

정의역이 $\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<1\}$인 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}-1}{1-x}$의 $x=0$에서의 3차 테일러 다항식을 구하시오. 또한 복소평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle\frac{1}{2}$인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 $C$에 대하여 선적분 $\displaystyle\int_{C}{\frac{e^{z}-1}{z^{4}(1-z)}dz}$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

함수 $\displaystyle\frac{1}{1-x}$는 정의역이 $(-1,\,1)$이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n}}=1+x+x^{2}+\cdots$$ 그러면 $$e^{x}-1=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}$$ 이므로 $$\begin{align*}f(z)&=\frac{e^{x}-1}{1-x}=\left(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n}}\right)\\&=\left(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots\right)\left(1+x+x^{2}+\cdots\right)\\&=x+\left(x^{2}+\frac{x^{2}}{2}\right)+\left(\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x^{3}\right)+\cdots\\&=x+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{5}{3}x^{3}+\cdots\end{align*}$$ 이고 $f(x)$의 $x=0$에서 3차 테일러 다항식은 $\displaystyle x+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{5}{3}x^{3}$이다. 

복소함수 $\displaystyle\frac{e^{z}-1}{1-z}$는 곡선 $C$내부에서 해석적이고 $$\frac{e^{z}-1}{z^{4}(1-z)}=\frac{1}{z^{4}}\cdot\left(\frac{e^{z}-1}{1-z}\right)=\frac{1}{z^{3}}+\frac{3}{2z^{2}}+\frac{5}{3z}+\cdots$$ 이므로 유수정리(residue theorem)에 의해 $$\int_{C}{\frac{e^{z}-1}{z^{4}(1-z)}dz}=2\pi i\cdot\frac{5}{3}=\frac{10}{3}\pi i$$ 이다.