2016학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 4번, 2018학년도 3교시 전공B 7번

2016학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 4번, 2018학년도 3교시 전공B 7번

2016학년도 3교시 전공B 4번

양의 정수 $n$에 대하여 함수 $f_{n}:[-1,\,1]\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $$f_{n}(x)=e^{\frac{x}{n^{2}}}-\cos\frac{x}{n^{2}}$$ 로 정의할 때 함수급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}$가 구간 $[-1,\,1]$에서 미분가능한 함수로 평등수렴(균등수렴, 고른수렴, uniform convergence)함을 보이시오.

※다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

구간 $[a,\,b]$에서 정의된 미분가능한 함수열 $\{f_{n}\}$에 대하여, 다음 두 조건 (가), (나)를 모두 만족하는 함수급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}$는 $[a,\,b]$에서 미분가능한 함수로 평등수렴한다. (가) 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x_{0})}$가 수렴하는 점 $x_{0}\in[a,\,b]$가 존재한다.  (나) 함수급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}'(x)}$가 $[a,\,b]$에서 평등수렴한다.

문제에서 요구하는 함수급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}$가 문제의 정리의 조건 (가), (나)를 만족함을 보이면 된다.

$f_{n}(0)=1-1=0$이므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(0)}=0$이다. 

함수열 $f_{n}$을 미분하면 다음과 같다. $$f_{n}'(x)=\frac{1}{n^{2}}e^{\frac{x}{n^{2}}}+\frac{1}{n^{2}}\sin\frac{x}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}\left(e^{\frac{x}{n^{2}}}+\sin\frac{x}{n^{2}}\right)$$ 구간 $[-1,\,1]$에서 $\displaystyle|f_{n}'(x)|\leq\frac{e+1}{n^{2}}$이고 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(e+1)}{n^{2}}}$는 수렴하는 급수이므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}'(x)}$는 구간 $[-1,\,1]$에서 균등수렴한다. 

따라서 문제의 정리에 의해 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}$는 $[-1,\,1]$에서 미분가능한 함수로 균등수렴한다. 

2018학년도 3교시 전공B 7번

함수항 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}$가 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$에서 점별수렴(pointwise convergence)함을 보이시오. 또 함수 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}$는 균등연속(고른연속, 평등연속, uniformly continuous)임을 보이시오. (단, $\displaystyle\tan^{-1}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\left(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right)$는 탄젠트함수의 역함수이다)

문제의 함수항 급수가 수렴함을 보이기 위해서는 모든 실수 $t\in\mathbb{R}$에 대해 부등식 $|\tan^{-1}t|\leq|t|$가 성립함을 보여야 한다.

$t\geq0$에서 $g(t)=t-\tan^{-1}t$라 하자. $$g'(t)=1-\frac{1}{1+t^{2}}\geq0$$ 이므로 $g$는 $t\geq0$에서 증가하고 $g(0)=0$이므로 $g(t)=t-\tan^{-1}t\geq0$이고 따라서 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 다음의 부등식을 얻는다. $$|\tan^{-1}t|\leq|t|$$ (i) $x\geq0$일 때 $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x}{n^{2}}}$$ 이고 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}$는 수렴하므로 $x\geq0$일 때 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}$는 점별수렴한다. 

(ii) $x<0$일 때 $x=-t\,(t>0)$라 하자. 그러면 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}=-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{t}{n}}$이고 (i)에 의해 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}$는 점별수렴한다. 

따라서 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}$은 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$에서 점별수렴한다.

함수 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}$가 균등연속임을 보이자. $$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}\frac{1}{1+\left(\frac{x}{n}\right)^{2}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}+x^{2}}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}$$ 이므로 $f'$은 유계이다. 그러면 평균값 정리에 의해 임의의 $x,\,y\in\mathbb{R}(x\neq y)$의 사이에 $c$가 존재해서 다음이 성립한다. $$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|=|f'(c)|\leq\alpha\,\left(\alpha=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}\right)$$ 그러면 $$|f(x)-f(y)|\leq\alpha|x-y|$$ 이고 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{\alpha}$라 하면 임의의 $x,\,y\in\mathbb{R}$에 대해 $|x-y|<\delta$일 때 $$|f(x)-f(y)|\leq\alpha|x-y|<\epsilon$$ 이므로 따라서 $f$는 균등연속이다.