2016학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 4번, 2018학년도 3교시 전공B 7번

2016학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 4번, 2018학년도 3교시 전공B 7번

2016학년도 3교시 전공B 4번

양의 정수 \(n\)에 대하여 함수 \(f_{n}:[-1,\,1]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를$$f_{n}(x)=e^{\frac{x}{n^{2}}}-\cos\frac{x}{n^{2}}$$로 정의할 때 함수급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}\)가 구간 \([-1,\,1]\)에서 미분가능한 함수로 평등수렴(균등수렴, 고른수렴, uniform convergence)함을 보이시오.

※다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 미분가능한 함수열 \(\{f_{n}\}\)에 대하여, 다음 두 조건 (가), (나)를 모두 만족하는 함수급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}\)는 \([a,\,b]\)에서 미분가능한 함수로 평등수렴한다. (가) 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x_{0})}\)가 수렴하는 점 \(x_{0}\in[a,\,b]\)가 존재한다.  (나) 함수급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}'(x)}\)가 \([a,\,b]\)에서 평등수렴한다.

문제에서 요구하는 함수급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}\)가 문제의 정리의 조건 (가), (나)를 만족함을 보이면 된다.

\(f_{n}(0)=1-1=0\)이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(0)}=0\)이다. 

함수열 \(f_{n}\)을 미분하면 다음과 같다.$$f_{n}'(x)=\frac{1}{n^{2}}e^{\frac{x}{n^{2}}}+\frac{1}{n^{2}}\sin\frac{x}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}\left(e^{\frac{x}{n^{2}}}+\sin\frac{x}{n^{2}}\right)$$구간 \([-1,\,1]\)에서 \(\displaystyle|f_{n}'(x)|\leq\frac{e+1}{n^{2}}\)이고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(e+1)}{n^{2}}}\)는 수렴하는 급수이므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}'(x)}\)는 구간 \([-1,\,1]\)에서 균등수렴한다. 

따라서 문제의 정리에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}\)는 \([-1,\,1]\)에서 미분가능한 함수로 균등수렴한다. 

2018학년도 3교시 전공B 7번

함수항 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}\)가 실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)에서 점별수렴(pointwise convergence)함을 보이시오. 또 함수 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}\)는 균등연속(고른연속, 평등연속, uniformly continuous)임을 보이시오. (단, \(\displaystyle\tan^{-1}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\left(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right)\)는 탄젠트함수의 역함수이다)

문제의 함수항 급수가 수렴함을 보이기 위해서는 모든 실수 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 부등식 \(|\tan^{-1}t|\leq|t|\)가 성립함을 보여야 한다.

\(t\geq0\)에서 \(g(t)=t-\tan^{-1}t\)라 하자.$$g'(t)=1-\frac{1}{1+t^{2}}\geq0$$이므로 \(g\)는 \(t\geq0\)에서 증가하고 \(g(0)=0\)이므로 \(g(t)=t-\tan^{-1}t\geq0\)이고 따라서 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 다음의 부등식을 얻는다.$$|\tan^{-1}t|\leq|t|$$(i) \(x\geq0\)일 때$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x}{n^{2}}}$$이고 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}\)는 수렴하므로 \(x\geq0\)일 때 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}\)는 점별수렴한다. 

(ii) \(x<0\)일 때 \(x=-t\,(t>0)\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}=-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{t}{n}}\)이고 (i)에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}\)는 점별수렴한다. 

따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}\)은 실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)에서 점별수렴한다.

함수 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}}\)가 균등연속임을 보이자.$$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}\frac{1}{1+\left(\frac{x}{n}\right)^{2}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}+x^{2}}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}$$이므로 \(f'\)은 유계이다. 그러면 평균값 정리에 의해 임의의 \(x,\,y\in\mathbb{R}(x\neq y)\)의 사이에 \(c\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|=|f'(c)|\leq\alpha\,\left(\alpha=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}\right)$$그러면$$|f(x)-f(y)|\leq\alpha|x-y|$$이고 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{\alpha}\)라 하면 임의의 \(x,\,y\in\mathbb{R}\)에 대해 \(|x-y|<\delta\)일 때$$|f(x)-f(y)|\leq\alpha|x-y|<\epsilon$$이므로 따라서 \(f\)는 균등연속이다.