2010학년도 중등교사 임용시험 1차 35번, 2017학년도 2교시 전공A 11번

2010학년도 중등교사 임용시험 1차 35번, 2017학년도 2교시 전공A 11번

2010학년도 1차 35번

다음은 주어진 문제의 풀이를 단계별로 제시한 것이다. (가), (나), (다), (라)에 알맞은 것은?

<문 제> 복소수 전체 집합을 \(\mathbb{C}\)라 하자. \(D=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z|<2\}\)이고, 함수 \(f:D\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 \(D\)에서 해석적(analytic)이라 하자.  \(f(0)=f'(0)=0\), \(f''(0)\neq0\)이고 \(\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{i}{12}\)이며 모든 \(z\in D\)에 대해서 \(|f(z)|\leq3\)일 때 \(\displaystyle f\left(\frac{2i}{3}\right)\)의 값은?

    

<풀 이> <1단계> 함수 \(f\)가 \(D\)에서 해석적이므로 \(\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}\)이 되고, 따라서$$f(z)=\text{[(가)]}\cdot g(z)$$의 꼴이다. (단, \(g(z)\)는 \(D\)에서 해석적이며 \(g(0)\neq0\)이다.) <2단계> \(0<r<2\)인 \(r\)에 대하여 \(|z|=r\)일 때 \(|g(z)|\leq\text{[(나)]}\)이 성립한다.  여기서 최대 절댓값 정리(maximum modulus theorem)를 적용하면 \(|z|\leq r\)일 때 \(|g(z)|\leq\text{[(나)]}\)이다. 이 명제는 임의의 \(r<2\)에 대하여 성립하므로 모든 \(z\in D\)에 대하여 \(|g(z)|\leq\text{[(다)]}\)이다.  <3단계> 위의 결과와 \(\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{i}{12}\)를 사용하여 \(g(z)\)를 구할 수 있고, 이를 이용하면 \(\displaystyle f\left(\frac{2i}{3}\right)=\text{[(라)]}\)임을 알 수 있다.

문제에서 \(f(0)=f'(0)=0\)이고 \(f''(0)\neq0\)이므로 \(D\)에서 해석적이고 \(g(0)\neq0\)인 함수 \(g(z)\)에 대하여 \(f(z)=z^{2}g(z)\)의 꼴이다. 따라서 [(가)]에 알맞은 것은 \(z^{2}\)이다. 

앞의 결과에서 \(f(z)=z^{2}g(z)\)이고 \(0<r<2\)인 \(r\)에 대하여 \(|z|=r\)일 때 \(|f(z)|\leq3\)이므로 이때 다음이 성립한다.$$|g(z)|=\left|\frac{f(z)}{z^{2}}\right|\leq\frac{3}{r^{2}}$$따라서 [(나)]에 알맞은 것은 \(\displaystyle\frac{3}{r^{2}}\)이다.

임의의 \(r<2\)에 대하여 부등식 \(\displaystyle|g(z)|\leq\frac{3}{r^{2}}\)가 성립하고, \(\displaystyle\frac{3}{r^{2}}\)는 \(0<r<2\)일 때 감소,$$\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\frac{3}{r^{2}}}=\infty,\,\lim_{r\,\rightarrow\,2-}{\frac{3}{r^{2}}}=\frac{3}{4}$$이므로 모든 \(z\in D\)에 대하여 \(\displaystyle|g(z)|\leq\frac{3}{4}\)이고 따라서 [(다)]에 알맞은 것은 \(\displaystyle\frac{3}{4}\)이다. 

그러면 최대 절댓값 정리(원리)로부터 모든 \(z\in D\)에 대하여 \(g(z)\)는 상수함수이고 \(g(z)=c(\neq0)\)라 하자. 그러면 \(f(z)=cz^{2}\)이고 \(\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{i}{12}\)이므로$$f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{c}{9}=\frac{i}{12}$$이고 \(\displaystyle c=\frac{3i}{4}\)이므로 \(\displaystyle f(z)=\frac{3}{4}iz^{2}\)이다.

따라서 \(\displaystyle f\left(\frac{2i}{3}\right)=\frac{3}{4}i\left(-\frac{4}{9}\right)=-\frac{i}{3}\)이고 [(라)]에 알맞은 것은 \(\displaystyle-\frac{i}{3}\)이다.  

2017학년도 2교시 전공A 11번

복소평면 \(\mathbb{C}\)의 영역 \(D=\{z\in\mathbb{C}\,|\,0<|z|<1\}\)에 대하여 함수 \(f:D\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)는 해석적(analytic)이다. 임의의 \(z\in D\)에 대하여 함수 \(f(z)\)가 부등식$$|f(z)|\leq1+\ln\left(\frac{1+|z|}{2|z|}\right)$$를 만족시킨다. \(z=0\)은 함수 \(f(z)\)의 제거가능한 특이점(없앨 수 있는 특이점, removable singular point)임을 보이고, \(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=1\)일 때 \(\displaystyle f\left(\frac{1+i}{3}\right)\)의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

먼저 \(z=0\)이 함수 \(f(z)\)의 제거가능한 특이점임을 보이자. 로랑정리에 의해 \(z=0\)에서 \(f(z)\)의 로랑급수는 다음과 같고$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}z^{-n}}$$곡선 \(C_{r}:|z|=r\,(0<r<1)\)에 대해$$b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{r}}{\frac{f(z)}{z^{-n+1}}dz}$$이므로 \(C_{r}\)에서$$|b_{n}|=\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{r}}{z^{n-1}f(z)dz}\right|\leq\frac{1}{2\pi}\cdot2\pi r\cdot r^{n-1}\left\{1+\ln\left(\frac{1+r}{2r}\right)\right\}=r^{n}\left\{1+\ln\left(\frac{1+r}{2r}\right)\right\}$$이고 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{r^{n}\left\{1+\ln\left(\frac{1+r}{2r}\right)\right\}}=0\)이므로 이것은 \(z=0\)에서 \(f(z)\)의 주부(principal part)의 계수 \(b_{n}\)이 모두 0, 즉 주부가 0임을 뜻하고 따라서 \(\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}\)이므로 \(z=0\)은 \(f(z)\)의 제거가능한 특이점이다. 

\(z=0\)이 \(f(z)\)의 제거가능한 특이점이므로 \(\displaystyle\alpha=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f(z)}\)라 하고 함수 \(g(z)\)를 다음과 같이 정의하자.$$g(z)=\begin{cases}f(z)&\,z\in D\\ \alpha&\,z=0\end{cases}$$그러면 \(g(z)\)는 \(D\cup\{0\}\) 즉 \(|z|<1\)에서 해석적이고 \(0<r<1\)인 \(r\)에 대하여 \(|z|=r\)일 때 다음이 성립한다.$$|g(z)|\leq1+\ln\left(\frac{1+r}{2r}\right)$$또한 \(\displaystyle1+\ln\left(\frac{1+r}{2r}\right)\)은 \(0<r<1\)에서 감소,$$\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\left\{1+\ln\left(\frac{1+r}{2r}\right)\right\}}=\infty,\,\lim_{r\,\rightarrow\,1-}{\left\{1+\ln\left(\frac{1+r}{2r}\right)\right\}}=1$$이므로 모든 \(z\in D\cup\{0\}\)에 대해 \(|g(z)|\leq1\)이고 최대 절댓값 원리에 의해 \(g(z)\)는 상수함수이다. \(\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=1\)이므로 \(g(z)=1\)이고, \(D\)에서 \(f(z)=1\).

\(\displaystyle\frac{1+i}{3}\in D\)이므로 따라서 \(\displaystyle f\left(\frac{1+i}{3}\right)=1\)이다.