2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 4번, 2020학년도 3교시 전공B 9번

2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 4번, 2020학년도 3교시 전공B 9번

2017학년도 3교시 전공B 4번

함수 \(f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)는 미분가능하고 도함수 \(f'\)이 \(\mathbb{R}\)에서 연속이다.

자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(g_{n}\)을$$g_{n}(x)=2^{n}\{f(x+2^{-n})-f(x)\}$$라 하자. 함수열 \(\{g_{n}\}\)이 닫힌구간 \([0,\,1]\)에서 \(f'\)으로 평등수렴(균등수렴, 고른수렴, uniform convergence)함을 보이시오. 또한 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{1}{g_{n}(x)dx}}=f(1)-f(0)\)임을 보이시오. 

함수 \(f\)가 미분가능하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{2^{-n}}=0\)이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}(x)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x+2^{-n})-f(x)}{2^{-n}}}=f'(x)$$이다. 함수열 \(\{g_{n}\}\)이 \([0,\,1]\)에서 \(f'\)으로 균등수렴함을 보이자. \(\displaystyle T_{n}=\sup_{x\in[0,\,1]}{|g_{n}(x)-f'(x)|}\)이라고 하면 \(g_{n}\)과 \(f'\)은 \([0,\,1]\)에서 연속이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}}=0\)이고 따라서 \(\{g_{n}\}\)은 \([0,\,1]\)에서 \(f'\)으로 균등수렴한다. 그러면$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{1}{g_{n}(x)}dx}=\int_{0}^{1}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}(x)}\right)dx}=\int_{0}^{1}{f'(x)dx}$$이고 미적분학의 기본정리에 의해$$\int_{0}^{1}{f'(x)dx}=f(1)-f(0)$$이므로 따라서$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{1}{g_{n}(x)dx}}=f(1)-f(0)$$이다. 

2020학년도 3교시 전공B 9번

자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(g_{n}:[0,\,1]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)을$$g_{n}(x)=\int_{0}^{x}{\{1+(x-y)^{n}\sin^{n}xy\}dy}$$로 정의하고, \(\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}{g_{n}(x)dx}\)라 하자. 함수열 \(\{g_{n}\}\)이 \([0,\,1]\)에서 어떤 함수 \(g\)로 균등수렴(고른수렴, 평등수렴, uniform convergence)함을 보이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}\)의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

이 문제는 \(g_{n}\)의 피적분함수에서 1을 포함한 \(1+(x-y)^{n}\sin^{n}xy\)가 아닌 수열 부분인 \((x-y)^{n}\sin^{n}xy\)를 해석해야 한다.

\(0\leq y\leq x\leq1\)일 때$$|(x-y)^{n}\sin^{n}xy|=(x-y)^{n}|\sin^{n}xy|\leq(x-y)^{n}$$이고$$\int_{0}^{x}{(x-y)^{n}dy}=\frac{x^{n}}{n+1},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{x^{n}}{n+1}}=0\,(\because\,0\leq x\leq1)$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{x}{(x-y)^{n}\sin^{n}xydy}}=0\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}(x)}=\int_{0}^{x}{1dx}=x\) 즉, \(g(x)=x\)이다.

\(\{g_{n}\}\)이 \([0,\,1]\)에서 \(g\)로 균등수렴함을 보이자. \(\displaystyle T_{n}=\sup_{x\in[0,\,1]}{|g_{n}(x)-g(x)|}\)라 하면 \(g_{n}\)과 \(g\)는 \([0,\,1]\)에서 연속이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}}=0\)이고 따라서 \(\{g_{n}\}\)은 \([0,\,1]\)에서 \(g\)로 균등수렴한다. 그러면$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{1}{g_{n}(x)dx}}\\&=\int_{0}^{1}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}(x)}\right)dx}\\&=\int_{0}^{1}{g(x)dx}\\&=\int_{0}^{1}{xdx}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$$이다.