2009학년도 중등교사 임용시험 1차 27번, 2019학년도 1교시 전공A 11번

2009학년도 중등교사 임용시험 1차 27번, 2019학년도 2교시 전공A 11번

2009학년도 1차 27번

실수 전체의 집합을 \(\mathbb{R}\)라 하자. 자연수 \(n\)에 대하여 \(f_{n}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)와 \(g_{n}:\mathbb{R}-\{0\}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 각각$$f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x^{2}+k^{3}}},\,g_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{2}x}}$$로 정의할 때, 함수열 \(\{f_{n}\}\)과 \(\{g_{n}\}\)에 대한 설명으로 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

<보 기> ㄱ. \(\{f_{n}\}\)은 균등수렴(평등수렴, uniform convergence)한다.   ㄴ. \(\{f_{n}\}\)의 극한함수는 연속이다.  ㄷ. \(\{g_{n}\}\)은 균등수렴한다.  ㄹ. \(\{g_{n}\}\)의 극한함수는 연속이다.

    

함수열이 극한함수로 균등수렴하면 그 극한함수는 연속이나 그 역은 성립하지 않는다.

ㄱ: 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대해$$\left|\frac{1}{x^{2}+k^{3}}\right|=\frac{1}{x^{2}+k^{3}}\leq\frac{1}{k^{3}}$$이고, 급수 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{3}}}\)은 수렴하므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 \(\{f_{n}\}\)은 균등수렴한다. 

ㄴ: ㄱ에 의해 \(\{f_{n}\}\)은 균등수렴하므로 그 극한함수는 연속이다.

ㄷ, ㄹ: 급수 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{2}}}\)는 수렴하므로 그 수렴값을 \(\alpha\)라 하자. \(\{g_{n}\}\)의 극한함수를 \(g\)라고 하면$$g(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}(x)}=\frac{1}{x}\left(\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{2}}}\right)=\frac{\alpha}{x}$$이고,$$\left|\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{2}x}}-\frac{\alpha}{x}\right|=\frac{1}{|x|}\left|\alpha-\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{2}}}\right|$$이므로 \(\{g_{n}\}\)은 균등수렴하지 않고, 그 극한함수 \(g\)는 \(\{g_{n}\}\)의 정의역인 \(\mathbb{R}-\{0\}\)에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.        

2019학년도 1교시 전공A 11번

함수 \(h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가$$h(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{4}+t^{2}}dt},&\,x\neq0\\0&\,x=0\end{cases}$$일 때, 극한값 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{h(x)}\)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.  

또한 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(h_{n}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가$$h_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{nx^{2}}{n^{2}x^{4}+t^{2}}}$$일 때, \(\mathbb{R}\)에서 함수열 \(\{h_{n}\}\)이 \(h\)로 평등수렴(균등수렴, 고른수렴, uniform convergence)하는지를 판별하고 그 이유를 쓰시오.

\(h(0)=0\)이고, \(x\neq0\)이라고 하자.$$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{4}+t^{2}}dt}=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+\left(\frac{t}{x^{2}}\right)^{2}}\frac{1}{x^{2}}dt}$$이고 \(\displaystyle y=\frac{t}{x^{2}}\)라고 하면 \(\displaystyle dy=\frac{1}{x^{2}}dt\)이므로$$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{4}+t^{2}}dt}=\int_{0}^{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{1+y^{2}}dy}=\left[\tan^{-1}y\right]_{0}^{\frac{1}{x^{2}}}=\tan^{-1}\frac{1}{x^{2}}$$이다. 그러면 \(h(x)\)는 다음과 같고$$h(x)=\begin{cases}\displaystyle\tan^{-1}\frac{1}{x^{2}}&\,x\neq0\\0&\,x=0\end{cases}$$\(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{x^{2}}}=\infty\)이므로$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{h(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\tan^{-1}\frac{1}{x^{2}}}=\frac{\pi}{2}$$이고 \(h(x)\)는 \(x=0\)에서 불연속이다.

함수열 \(\{h_{n}\}\)에 대해 \(h_{n}(0)=0\)이고 \(x\neq0\)일 때$$h_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{nx^{2}}{n^{2}x^{4}+k^{2}}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{x^{2}}{x^{4}+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}}$$이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h_{n}(x)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\frac{x^{2}}{x^{4}+\left(\frac{k}{x}\right)^{2}}}}=\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{4}+t^{2}}dt}=\tan^{-1}\frac{1}{x^{2}}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h_{n}(0)}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h_{n}(x)}=h(x)\)이고 \(\{h_{n}\}\)은 \(h\)로 점별수렴한다. 

\(\{h_{n}\}\)의 극한함수 \(h(x)\)는 \(x=0\)에서 불연속이므로 균등수렴하지 않는다.