2009학년도 중등교사 임용시험 1차 27번, 2019학년도 1교시 전공A 11번

2009학년도 중등교사 임용시험 1차 27번, 2019학년도 2교시 전공A 11번

2009학년도 1차 27번

실수 전체의 집합을 $\mathbb{R}$라 하자. 자연수 $n$에 대하여 $f_{n}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$와 $g_{n}:\mathbb{R}-\{0\}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 각각 $$f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x^{2}+k^{3}}},\,g_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{2}x}}$$ 로 정의할 때, 함수열 $\{f_{n}\}$과 $\{g_{n}\}$에 대한 설명으로 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

<보 기> ㄱ. $\{f_{n}\}$은 균등수렴(평등수렴, uniform convergence)한다.   ㄴ. $\{f_{n}\}$의 극한함수는 연속이다.  ㄷ. $\{g_{n}\}$은 균등수렴한다.  ㄹ. $\{g_{n}\}$의 극한함수는 연속이다.

    

함수열이 극한함수로 균등수렴하면 그 극한함수는 연속이나 그 역은 성립하지 않는다.

ㄱ: 모든 $x\in\mathbb{R}$에 대해 $$\left|\frac{1}{x^{2}+k^{3}}\right|=\frac{1}{x^{2}+k^{3}}\leq\frac{1}{k^{3}}$$ 이고, 급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{3}}}$은 수렴하므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 $\{f_{n}\}$은 균등수렴한다. 

ㄴ: ㄱ에 의해 $\{f_{n}\}$은 균등수렴하므로 그 극한함수는 연속이다.

ㄷ, ㄹ: 급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{2}}}$는 수렴하므로 그 수렴값을 $\alpha$라 하자. $\{g_{n}\}$의 극한함수를 $g$라고 하면 $$g(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}(x)}=\frac{1}{x}\left(\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{2}}}\right)=\frac{\alpha}{x}$$ 이고, $$\left|\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{2}x}}-\frac{\alpha}{x}\right|=\frac{1}{|x|}\left|\alpha-\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{2}}}\right|$$ 이므로 $\{g_{n}\}$은 균등수렴하지 않고, 그 극한함수 $g$는 $\{g_{n}\}$의 정의역인 $\mathbb{R}-\{0\}$에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.        

2019학년도 1교시 전공A 11번

함수 $h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $$h(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{4}+t^{2}}dt},&\,x\neq0\\0&\,x=0\end{cases}$$ 일 때, 극한값 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{h(x)}$를 풀이 과정과 함께 쓰시오.  

또한 자연수 $n$에 대하여 함수 $h_{n}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $$h_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{nx^{2}}{n^{2}x^{4}+t^{2}}}$$ 일 때, $\mathbb{R}$에서 함수열 $\{h_{n}\}$이 $h$로 평등수렴(균등수렴, 고른수렴, uniform convergence)하는지를 판별하고 그 이유를 쓰시오.

$h(0)=0$이고, $x\neq0$이라고 하자. $$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{4}+t^{2}}dt}=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+\left(\frac{t}{x^{2}}\right)^{2}}\frac{1}{x^{2}}dt}$$ 이고 $\displaystyle y=\frac{t}{x^{2}}$라고 하면 $\displaystyle dy=\frac{1}{x^{2}}dt$이므로 $$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{4}+t^{2}}dt}=\int_{0}^{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{1+y^{2}}dy}=\left[\tan^{-1}y\right]_{0}^{\frac{1}{x^{2}}}=\tan^{-1}\frac{1}{x^{2}}$$ 이다. 그러면 $h(x)$는 다음과 같고 $$h(x)=\begin{cases}\displaystyle\tan^{-1}\frac{1}{x^{2}}&\,x\neq0\\0&\,x=0\end{cases}$$ $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{x^{2}}}=\infty$이므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{h(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\tan^{-1}\frac{1}{x^{2}}}=\frac{\pi}{2}$$ 이고 $h(x)$는 $x=0$에서 불연속이다.

함수열 $\{h_{n}\}$에 대해 $h_{n}(0)=0$이고 $x\neq0$일 때 $$h_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{nx^{2}}{n^{2}x^{4}+k^{2}}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{x^{2}}{x^{4}+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}}$$ 이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h_{n}(x)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\frac{x^{2}}{x^{4}+\left(\frac{k}{x}\right)^{2}}}}=\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{x^{4}+t^{2}}dt}=\tan^{-1}\frac{1}{x^{2}}$$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h_{n}(0)}=0$이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h_{n}(x)}=h(x)$이고 $\{h_{n}\}$은 $h$로 점별수렴한다. 

$\{h_{n}\}$의 극한함수 $h(x)$는 $x=0$에서 불연속이므로 균등수렴하지 않는다.