2017학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공A 6번, 2019학년도 3교시 전공B 4번

2017학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공A 6번, 2019학년도 3교시 전공B 4번

2017학년도 2교시 전공A 6번 

복소수 \(z=x+iy\)(\(x,\,y\)는 실수)에 대한 함수$$f(z)=(x^{n}y+xy^{n}+x+y)+iv(x,\,y)$$가 \(z=1\)에서 해석적(analytic)이 되도록 하는 자연수 \(n\)의 값과 이때의 \(f'(1)\)의 값을 각각 구하시오.

함수 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)가 해석적이면 코시-리만 방정식 \(u_{x}=v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\)를 만족한다. 

\(f(z)\)의 실수부 \(u(x,\,y)\)를 다음과 같다고 하자.$$u(x,\,y)=x^{n}y+xy^{n}+x+y$$그러면 \(f(z)\)가 \(z=1\)에서 해석적이므로 \(z=1\)의 근방에서 미분가능하고, 이 근방에 속한 임의의 \(z=x+iy\,(x,\,y\in\mathbb{R})\)에 대하여 코시-리만 방정식을 만족해야 한다.$$\begin{align*}u_{x}(x,\,y)&=nx^{n-1}y+y^{n}+1\\u_{y}(x,\,y)&=x^{n}+nxy^{n-1}+1\end{align*}$$이고$$v_{y}(x,\,y)=u_{x}(x,\,y)=nx^{n-1}y+y^{n}+1$$이므로$$v(x,\,y)=\frac{1}{2}nx^{n-1}y^{2}+\frac{1}{n+1}y^{n+1}+y+g(x)$$이고 \(v_{x}(x,\,y)=-u_{y}(x,\,y)\)이어야 하므로$$v_{x}(x,\,y)=\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}y^{2}+g'(x)=-x^{n}-nxy^{n-1}-1$$이다. \(g\)는 \(x\)에 대한 함수이므로 \(n=1\)이어야 한다. 그러면 \(g'(x)=-2x-1\)이고$$u(x,\,y)_{x}=2y+1,\,v_{x}(x,\,y)=-2x-1$$이므로$$f'(z)=2y+1-i(2x+1)$$이고 따라서 \(f'(0)=1-3i\)이다. 

2019학년도 3교시 전공B 4번

실숫값을 갖는 두 함수$$u(x,\,y),\,v(x,\,y)=e^{-y}(x\cos x-y\sin x)$$와 복소수 \(z=x+iy\) (\(x,\,y\)는 실수)에 대하여 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)가 정함수(entire function)이다. 

곡선 \(C\)가 \(x=\cos t,\,y=\sin t\,(0\leq t\leq2\pi)\)로 정의된 원일 때,$$\int_{C}{-yu(x,\,y)+xu(x,\,y)dy}=6\pi$$이다. \(f(0)\)의 값과 함수 \(u(x,\,y)\)를 각각 풀이 과정과 함께 쓰시오. 

※다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

복소평면의 열린집합 \(D\)에서 해석적인 함수 \(f:D\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)에 대하여, \(r>0\)이고 \(\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z-z_{0}|\leq r\}\subset D\)이면$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+re^{it})dt}$$이다.

모든 \(z\in\mathbb{C}\)에 대하여 \(f(z)\)가 정함수이고 \(v(x,\,y)=e^{-y}x\cos x-ye^{-y}\sin x\)이므로$$v_{x}(x,\,y)=e^{-y}\cos x-e^{-y}x\sin x-ye^{-y}\cos x$$이고 코시-리만 방정식 \(u_{y}(x,\,y)=-v_{x}(x,\,y)\)을 만족해야 하므로$$u_{y}(x,\,y)=-v_{x}(x,\,y)=e^{-y}x\sin x+(y-1)e^{-y}\cos x$$이고 \(\displaystyle\int{(y-1)e^{-y}dy}=-ye^{-y}+C\)이므로$$u(x,\,y)=-e^{-y}x\sin x-ye^{-y}\cos x+g(x)$$이다. 코시-리만 방정식 \(u_{x}(x,\,y)=v_{y}(x,\,y)\)를 만족해야 하므로$$v_{y}=-e^{-y}x\cos x-e^{-y}\sin x+ye^{-y}\sin x$$이고$$u_{x}=-e^{-y}\sin x-e^{-y}x\cos x+ye^{-y}\sin x+g'(x)$$이므로 \(g'(x)=0\)이고 \(g(x)=C\)(\(u(x,\,y)\)는 실숫값 함수이므로 실수상수)이다. 그러면 \(f(z)\)는 다음과 같다.$$f(z)=-e^{-y}(x\sin x+y\cos x)+C+ie^{-y}(x\cos x-y\sin x)$$\(f(0)=C\)이고 문제의 정리에 의해$$\begin{align*}f(0)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(e^{it})dt}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(\cos t+i\sin t)dt}\\&=\frac{1}{2\pi}\left\{\int_{0}^{2\pi}{u(\cos t,\,\sin t)dt}+i\int_{0}^{2\pi}{v(\cos t,\,\sin t)dt}\right\}\end{align*}$$이고 \(f(0)=C\)는 실수이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{v(\cos t,\,\sin t)dt}=0\)이다. 그러면$$C=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{u(\cos t,\,\sin t)dt}$$이고 곡선 \(C\)가 \(x=\cos t,\,y=\sin t\,(0\leq t\leq2\pi)\)로 정의된 원이므로 \(dx=-\sin tdt\), \(dy=\cos tdt\)이고$$\begin{align*}6\pi&=\int_{C}{-yu(x,\,y)+xu(x,\,y)dx}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\{\sin^{2}tu(\cos t,\,\sin t)+\cos^{2}tu(\cos t,\,\sin t)\}dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{u(\cos t,\,\sin t)dt}\end{align*}$$이므로$$C=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{u(\cos t,\,\sin t)dt}=\frac{1}{2\pi}\times6\pi=3$$이다. 따라서 \(f(0)=3\), \(u(x,\,y)=-e^{y}(x\sin x+y\cos x)+3\)이다.