2002학년도 중등교사 임용시험 8번, 2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 2번
2002학년도 중등교사 임용시험 8번
함수 f:[0,1]→R가 연속일 때, 리만적분의 정의를 이용하여 극한 limn→∞1nn∑k=1f(kn)가 존재함을 보이시오.
풀이: Pn={x0,x1,...,xn−1,xn}을 구간 [0,1]의 n등분할, Ik=[xk−1,xk]라 하자.
f는 Ik에서 연속이므로 Ik에서 최댓값 Mk와 최솟값 mk를 갖고, Δx=1n이므로L(f,Pn)=n∑k=1MkΔx,U(f,Pn)=n∑k=1mkΔx이고L(f,Pn)≤1nn∑k=1f(kn)≤U(f,Pn)이다. limn→∞{U(f,Pn)−L(f,Pn)}=0이므로limn→∞U(f,Pn)=limn→∞L(f,Pn)=∫10f(x)dx이므로 따라서limn→∞1nn∑k=1f(kn)=∫10f(x)dx이다.
2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 2번
다음을 읽고 물음에 답하시오
유계인 닫힌 구간 [a,b]에서 유계함수 f:[a,b]→R와 [a,b]의 분할 P에 대한 하합(lower sum)과 상합(upper sum)을 각각 L(f,P), U(f,P)로 나타내고A=sup{L(f,P)|P는[a,b]의분할}B=inf{U(f,P)|P는[a,b]의분할}이라 두자. 이때 [a,b]의 임의의 분할 P,Q에 대하여 L(f,P)≤U(f,Q)이므로A≤B⋯⋯⋯⋯(가)가 성립한다. 만약A≥B⋯⋯⋯⋯(나)도 성립하면 f는 [a,b]에서 리만적분 가능하다고 한다. 한편 고등학교 교과서에서는 "함수 f가 [a,b]에서 연속이면 극한limn→∞n∑k=1f(xk)Δx(Δx=b−an,xk=a+kΔx)는 항상 존재함이 알려져 있다."라고 설명하고 이 극한을 정적분의 정의로 사용하고 있다. |
부등식 (가)를 증명하고, [a,b]에서 정의된 연속함수 f에 대하여 (나)가 성립함을 증명하시오. 그리고 이를 토대로 [a,b]에서 정의된 연속함수 f의 경우, (다)의 극한 limn→∞n∑k=1f(xk)Δx가 존재함을 보이시오.
풀이: [a,b]의 임의의 분할 P,Q에 대해 P∪Q는 P와 Q의 세분할이므로L(f,P)≤L(f,P∪Q)≤U(f,P∪Q)≤U(f,Q)이고, 분할 P위에서 L(f,P)≤A, 분할 Q위에서 B≤U(f,Q)이므로A≤L(f,P∪Q)≤U(f,P∪Q)≤B이고 따라서 A≤B이다.
f는 [a,b]에서 연속이므로 [a,b]에서 균등연속이고 따라서 임의의 ϵ>0에 대해 δ>0가 존재해서 모든 x,y∈[a,b]에 대해 |x−y|<δ이면 |f(x)−f(y)|<ϵb−a이다.
아르키메데스 성질로부터 자연수 N이 존재해서 b−aN<δ이므로 n≥N인 자연수 n에 대해 Pn={x0,x1,...,xn−1,xn}을 구간 [a,b]의 n등분할, Ik=[xk−1,xk]라 하자. f는 Ik에서 연속이므로 Ik에서 최댓값 Mk와 최솟값 mk를 갖고 Mk−mk<ϵb−a이다. Pn은 균등분할이므로 Δx=b−an이고U(f,Pn)=n∑k=1MkΔx,L(f,Pn)=n∑k=1mkΔx이므로U(f,Pn)−L(f,Pn)=n∑k=1(Mi−mi)Δx<ϵb−an∑k=1Δx=ϵ(∵이다.B-A\leq U(f,\,P_{n})-L(f,\,P_{n})<\epsilon이므로 B<A+\epsilon이고 \epsilon은 임의의 양수이므로 따라서 A\geq B이다.
[a,\,b]에서 정의된 연속함수 f에 대해 A=B이므로 \displaystyle A=B=\int_{a}^{b}{f(x)dx}이다. 또한 [a,\,b]의 균등분할 P_{n}에 대해L(f,\,P_{n})\leq\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}\leq U(f,\,P_{n})이고 \displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{U(f,\,P_{n})-L(f,\,P_{n})\}}=0,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{U(f,\,P_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{L(f,\,P_{n})}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}이므로 따라서 \displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}이다.
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