2002학년도 중등교사 임용시험 8번, 2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 2번

2002학년도 중등교사 임용시험 8번, 2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 2번

2002학년도 중등교사 임용시험 8번

함수 \(f:[0,\,1]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 연속일 때, 리만적분의 정의를 이용하여 극한 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{f\left(\frac{k}{n}\right)}}\)가 존재함을 보이시오.

풀이: \(P_{n}=\{x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{n-1},\,x_{n}\}\)을 구간 \([0,\,1]\)의 \(n\)등분할, \(I_{k}=[x_{k-1},\,x_{k}]\)라 하자. 

\(f\)는 \(I_{k}\)에서 연속이므로 \(I_{k}\)에서 최댓값 \(M_{k}\)와 최솟값 \(m_{k}\)를 갖고, \(\displaystyle\Delta x=\frac{1}{n}\)이므로$$L(f,\,P_{n})=\sum_{k=1}^{n}{M_{k}\Delta x},\,U(f,\,P_{n})=\sum_{k=1}^{n}{m_{k}\Delta x}$$이고$$L(f,\,P_{n})\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{f\left(\frac{k}{n}\right)}\leq U(f,\,P_{n})$$이다. \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{U(f,\,P_{n})-L(f,\,P_{n})\}}=0\)이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{U(f,\,P_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{L(f,\,P_{n})}=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$$이므로 따라서$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{f\left(\frac{k}{n}\right)}}=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$$이다.     

2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 2번

다음을 읽고 물음에 답하시오

 

유계인 닫힌 구간 \([a,\,b]\)에서 유계함수 \(f:[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)와 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)에 대한 하합(lower sum)과 상합(upper sum)을 각각 \(L(f,\,P)\), \(U(f,\,P)\)로 나타내고$$\begin{align*}A&=\sup\{L(f,\,P)\,|\,P는\,[a,\,b]의\,분할\}\\B&=\inf\{U(f,\,P)\,|\,P는\,[a,\,b]의\,분할\}\end{align*}$$이라 두자.  이때 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P,\,Q\)에 대하여 \(L(f,\,P)\leq U(f,\,Q)\)이므로$$A\leq B\cdots\cdots\cdots\cdots(가)$$가 성립한다. 만약$$A\geq B\cdots\cdots\cdots\cdots(나)$$도 성립하면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만적분 가능하다고 한다. 한편 고등학교 교과서에서는 "함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이면 극한$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}\,\left(\Delta x=\frac{b-a}{n},\,x_{k}=a+k\Delta x\right)$$는 항상 존재함이 알려져 있다."라고 설명하고 이 극한을 정적분의 정의로 사용하고 있다.

부등식 (가)를 증명하고, \([a,\,b]\)에서 정의된 연속함수 \(f\)에 대하여 (나)가 성립함을 증명하시오. 그리고 이를 토대로 \([a,\,b]\)에서 정의된 연속함수 \(f\)의 경우, (다)의 극한 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}\)가 존재함을 보이시오. 

풀이: \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P,\,Q\)에 대해 \(P\cup Q\)는 \(P\)와 \(Q\)의 세분할이므로$$L(f,\,P)\leq L(f,\,P\cup Q)\leq U(f,\,P\cup Q)\leq U(f,\,Q)$$이고, 분할 \(P\)위에서 \(L(f,\,P)\leq A\), 분할 \(Q\)위에서 \(B\leq U(f,\,Q)\)이므로$$A\leq L(f,\,P\cup Q)\leq U(f,\,P\cup Q)\leq B$$이고 따라서 \(A\leq B\)이다. 

\(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이므로 \([a,\,b]\)에서 균등연속이고 따라서 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 모든 \(x,\,y\in[a,\,b]\)에 대해 \(|x-y|<\delta\)이면 \(\displaystyle|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}\)이다. 

아르키메데스 성질로부터 자연수 \(N\)이 존재해서 \(\displaystyle\frac{b-a}{N}<\delta\)이므로 \(n\geq N\)인 자연수 \(n\)에 대해 \(P_{n}=\{x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{n-1},\,x_{n}\}\)을 구간 \([a,\,b]\)의 \(n\)등분할, \(I_{k}=[x_{k-1},\,x_{k}]\)라 하자. \(f\)는 \(I_{k}\)에서 연속이므로 \(I_{k}\)에서 최댓값 \(M_{k}\)와 최솟값 \(m_{k}\)를 갖고 \(\displaystyle M_{k}-m_{k}<\frac{\epsilon}{b-a}\)이다. \(P_{n}\)은 균등분할이므로 \(\displaystyle\Delta x=\frac{b-a}{n}\)이고$$U(f,\,P_{n})=\sum_{k=1}^{n}{M_{k}\Delta x},\,L(f,\,P_{n})=\sum_{k=1}^{n}{m_{k}\Delta x}$$이므로$$U(f,\,P_{n})-L(f,\,P_{n})=\sum_{k=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x}<\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{k=1}^{n}{\Delta x}=\epsilon\,\left(\because\Delta x=\frac{b-a}{n}\right)$$이다.$$B-A\leq U(f,\,P_{n})-L(f,\,P_{n})<\epsilon$$이므로 \(B<A+\epsilon\)이고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 따라서 \(A\geq B\)이다. 

\([a,\,b]\)에서 정의된 연속함수 \(f\)에 대해 \(A=B\)이므로 \(\displaystyle A=B=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다. 또한 \([a,\,b]\)의 균등분할 \(P_{n}\)에 대해$$L(f,\,P_{n})\leq\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}\leq U(f,\,P_{n})$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{U(f,\,P_{n})-L(f,\,P_{n})\}}=0\),$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{U(f,\,P_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{L(f,\,P_{n})}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다.