Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

반응형

2002학년도 중등교사 임용시험 8번, 2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 2번



2002학년도 중등교사 임용시험 8번


함수 f:[0,1]R가 연속일 때, 리만적분의 정의를 이용하여 극한 limn1nnk=1f(kn)가 존재함을 보이시오.


풀이: Pn={x0,x1,...,xn1,xn}을 구간 [0,1]n등분할, Ik=[xk1,xk]라 하자. 

fIk에서 연속이므로 Ik에서 최댓값 Mk와 최솟값 mk를 갖고, Δx=1n이므로L(f,Pn)=nk=1MkΔx,U(f,Pn)=nk=1mkΔx이고L(f,Pn)1nnk=1f(kn)U(f,Pn)이다. limn{U(f,Pn)L(f,Pn)}=0이므로limnU(f,Pn)=limnL(f,Pn)=10f(x)dx이므로 따라서limn1nnk=1f(kn)=10f(x)dx이다.     


2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 2번


다음을 읽고 물음에 답하시오

 

유계인 닫힌 구간 [a,b]에서 유계함수 f:[a,b]R[a,b]의 분할 P에 대한 하합(lower sum)과 상합(upper sum)을 각각 L(f,P), U(f,P)로 나타내고A=sup{L(f,P)|P[a,b]}B=inf{U(f,P)|P[a,b]}이라 두자.

 이때 [a,b]의 임의의 분할 P,Q에 대하여 L(f,P)U(f,Q)이므로AB()가 성립한다. 만약AB()도 성립하면 f[a,b]에서 리만적분 가능하다고 한다.

한편 고등학교 교과서에서는 "함수 f[a,b]에서 연속이면 극한limnnk=1f(xk)Δx(Δx=ban,xk=a+kΔx)는 항상 존재함이 알려져 있다."라고 설명하고 이 극한을 정적분의 정의로 사용하고 있다. 


부등식 (가)를 증명하고, [a,b]에서 정의된 연속함수 f에 대하여 (나)가 성립함을 증명하시오. 그리고 이를 토대로 [a,b]에서 정의된 연속함수 f의 경우, (다)의 극한 limnnk=1f(xk)Δx가 존재함을 보이시오. 


풀이: [a,b]의 임의의 분할 P,Q에 대해 PQPQ의 세분할이므로L(f,P)L(f,PQ)U(f,PQ)U(f,Q)이고, 분할 P위에서 L(f,P)A, 분할 Q위에서 BU(f,Q)이므로AL(f,PQ)U(f,PQ)B이고 따라서 AB이다. 

f[a,b]에서 연속이므로 [a,b]에서 균등연속이고 따라서 임의의 ϵ>0에 대해 δ>0가 존재해서 모든 x,y[a,b]에 대해 |xy|<δ이면 |f(x)f(y)|<ϵba이다. 

아르키메데스 성질로부터 자연수 N이 존재해서 baN<δ이므로 nN인 자연수 n에 대해 Pn={x0,x1,...,xn1,xn}을 구간 [a,b]n등분할, Ik=[xk1,xk]라 하자. fIk에서 연속이므로 Ik에서 최댓값 Mk와 최솟값 mk를 갖고 Mkmk<ϵba이다. Pn은 균등분할이므로 Δx=ban이고U(f,Pn)=nk=1MkΔx,L(f,Pn)=nk=1mkΔx이므로U(f,Pn)L(f,Pn)=nk=1(Mimi)Δx<ϵbank=1Δx=ϵ(이다.B-A\leq U(f,\,P_{n})-L(f,\,P_{n})<\epsilon이므로 B<A+\epsilon이고 \epsilon은 임의의 양수이므로 따라서 A\geq B이다. 

[a,\,b]에서 정의된 연속함수 f에 대해 A=B이므로 \displaystyle A=B=\int_{a}^{b}{f(x)dx}이다. 또한 [a,\,b]의 균등분할 P_{n}에 대해L(f,\,P_{n})\leq\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}\leq U(f,\,P_{n})이고 \displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{U(f,\,P_{n})-L(f,\,P_{n})\}}=0,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{U(f,\,P_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{L(f,\,P_{n})}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}이므로 따라서 \displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}이다.        

반응형
Posted by skywalker222