2008학년도 중등교사 임용시험 11번

2008학년도 중등교사 임용시험 11번

2008학년도 11번 문제:

실수 집합을 \(\mathbb{R}\)이라 하고, 폐구간 \(I=[0,\,1]\)에서 정의된 연속함수 \(f:\,I\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 다음 조건을 만족한다고 하자.

임의의 \(x\in I\)에 대하여, 적당한 \(y\in I\)가 존재하여 다음이 성립한다.$$|f(y)|\leq\frac{1}{5}|f(x)|$$

이 때, \(f(c)=0\)을 만족하는 \(c\in I\)가 존재함을 증명하시오.

풀이: 문제의 조건에 의해 임의의 \(x\in I\)에 대하여 \(x_{1}\in I\)가 존재해서 \(\displaystyle|f(x_{1})|\leq\frac{1}{5}|f(x)|\)이고, 또한 \(x_{2}\in I\)가 존재해서 \(\displaystyle|f(x_{2})|\leq\frac{1}{5}|f(x_{1})|\leq\frac{1}{5^{2}}|f(x)|\)이다. 이 과정을 반복하면 수열 \(\{x_{n}\}\subset I\)을 얻고, 이때 \(\displaystyle|f(x_{n})|\leq\frac{1}{5^{n}}|f(x)|\)이다. 그러면$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|f(x_{n})|}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{5^{n}}|f(x)|}=0$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|f(x_{n})|}=0\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=0\)이다. \(\{x_{n}\}\subset I\)이므로 \(\{x_{n}\}\)은 유계수열이고 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 \(\{x_{n}\}\)의 부분수열 \(\{x_{n_{i}}\}\)가 존재해서 \(\displaystyle\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{i}}}=c\,(c\in I)\)이다. \(f\)는 연속함수이므로$$f(c)=f\left(\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{i}}}\right)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n_{i}})}=0$$이고 따라서 \(f(c)=0\)인 \(c\in I\)가 존재한다.